Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 3.1. Електромагнітні хвилі. Хвильове рівняння.
Розглянемо електромагнітне поле в однорідному ізотропному діелектрику ( в якому немає вільних електричних зарядів (). Система рівнянь Максвелла за цих умов набуває вигляду
rot rot (3.1)
div div
З рівнянь (3.1) випливає існування електромагнітних збурень, або хвиль, що поширюються в просторі з певною скінченною швидкістю самостійно, незалежно від джерел, які спричинили виникнення даного електромагнітного поля. Справді, з рівнянь (3.1) видно, що будь-яка зміна в часі електричного поля — зумовлює виникнення змінного в просторі вихрового магнітного поля rot і, у свою чергу, змінне в часі магнітне поле спричиняє виникнення в сусідніх точках простору вихрового електричного поля rot . Змінні електричне і магнітне поля взаємно обумовлюють одне одного. Вони існують в єдності, становлячи особливу форму матерії — електромагнітне поле, яке, виникнувши в певних точках простору, не заповнює його миттєво, а поширюється у вигляді електромагнітних коливань, або хвиль, зі скінченною швидкістю, значення якої залежить від властивостей навколишнього середовища.
Хвильовий характер змінного електромагнітного поля випливає також із того, що рівняння (3.1) можна звести до хвильових диференціальних рівнянь, розв'язком яких є рівняння хвилі. Щоб з рівнянь (3.1) одержати хвильові рівняння, треба виключити, наприклад, з першого рівняння (3.1) змінну і звести його до однієї змінної . Для цього здиференціюємо обидві частини рівняння rot за часом і врахуємо незалежність операцій дифе-
ренціювання за часом і за координатами, оскільки середовище,
в якому існує електромагнітне поле, вважають нерухомим. Одержимо rot. Значення підставимо з другого рівняння (3.1). Тоді rot rot . Без доведення скористаємося формулою математичної фізики
(оскільки з (3.1) div тобто немає вільних зарядів), де
В результаті для вектора одержимо хвильове диференціальне рівняння (3.2)
Проробивши аналогічні операції для другого рівняння (3.1), одержимо
(3.3)
Введемо позначення . Тоді рівняння (3.2) і (3.3) запишуться у вигляді системи диференціальних хвильових рівнянь електромагнітного поля
(3.4)
Отже, вектори поля і задовольняють те саме хвильове рівняння. Найпростішого вигляду рівняння (3.4) набувають для випадку, коли вектори поля і залежать лише від однієї з координат, наприклад від z. Тоді частинні похідні від векторів поля по координатах х і у дорівнюватимуть нулеві і (14.4) запишуться так:
(3.5)
Частинним розв'язком (3.5) буде рівняння електромагнітної хвилі
(3.6)
для якої вектори і є функціями того самого аргументу z - , який називають фазою хвилі.
Розглянемо випадок сталої фази z – Тоді z = є рівнянням площини, перпендикулярної до осі Oz, яка переміщується в напрямі z зі швидкістю
. (3.7)
Швидкість поширення в просторі сталої фази називають фазовою швидкістю електромагнітної хвилі. Фаза хвилі (3.6) в усіх точках площини z = має однакове значення. Цю площину називають площиною сталої фази хвилі або фронтом хвилі. Вектори поля і в усіх точках цієї площини мають певні сталі значення. Якщо надавати різних числових значень, то одержимо сім'ю паралельних площин, перпендикулярних до осі Oz, що розміщені на різних відстанях від початку відліку осі Oz. На кожній з цих площин вектори і мають сталі значення, які в цілому можуть відрізнятись при переході від площини до площини. Співвідношення між і визначаються рівняннями Максвелла (3.1). Якщо вектори хвилі мають однакове значення в усіх точках довільної площини, перпендикулярної до напряму поширення хвилі, то таку електромагнітну хвилю називають плоскою. Отже, рівняння (3.5) і їх розв'язок (3.6) описують плоску електромагнітну хвилю. Електромагнітна хвиля може поширюватись і у від'ємному напрямі осі Oz. Рівняння поверхні сталої фази в_ цьому разі матиме вигляд z = , а рівняння хвилі ) ;
). При поширенні двох плоских хвиль
Рис. 3.1
у протилежних напрямах осі Оz утворюється результуюча стояча хвиля
(3.8)
Особливе значення в теорії і практиці мають монохроматичні хвилі, тобто хвилі, вектори яких змінюються з часом за гармонічним законом, або інакше, за синусоїдним чи косинусоїдним законом з однаковою частотою. Рівняння цих хвиль можуть бути записані так:
(3.9)
Де — сталі, які називають амплітудами хвилі. Введемо позначення k=, і назвемо цю величину хвильовим числом. Тоді (3.9) запишуться так:
(3.10)
Надаючи координаті z певних фіксованих значень, одержимо синусоїдні функції часу, які описують гармонічні коливання з циклічною (коловою) частотою со. Навпаки, для фіксованих значень часу t одержимо синусоїдний розподіл векторів хвилі і в просторі в заданий момент часу. У монохроматичній хвилі електричний і магнітний вектори поля завжди коливаються в однакових фазах. Як відомо, довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюються гармонічні коливання за час один період Т, тобто З цієї рівності можна дати означення хвильового числа: показує, скільки довжин хвиль вміщається на відстані 2 (м).
Для довільного напряму поширення монохроматичної хвилі рівняння (3.10) можна узагальнити . Нехай потрібно визначити вектори поля плоского фронту хвилі в точці А. Радіус-вектор точки А – — одиничний вектор, нормальний до фронту хвилі. Напрям його збігається з напрямом осі Оz. Тоді добуток kz можна записати так: kz = ). Узагальнені рівняння (3.10) матимуть вигляд:
(3.11)
або в комплексній формі
(3.12)
Рівняння (3.11) або (3.12) описують біжучу плоску монохроматичну хвилю, де хвильовий вектор к визначає напрям поширення хвилі. Якщо хвиля поширюється в протилежному напрямі, то змінюється знак хвильового вектора
(3.13)
При накладанні двох плоских монохроматичних хвиль, які поширюються в протилежних напрямах, одержимо результуючу стоячу хвилю, рівняння якої
(3.14)
не залежать від координат і часу.
Електромагнітні хвилі є поперечними. Вектори становлять правогвинтову трійку векторів.
Важливе значення в історичному розвитку електродинаміки та встановленні єдності між електромагнітними і світловими явищами мало обчислення на основі теорії Максвелла швидкості поширення електромагнітних хвиль в однорідному середовищі. З рівності (3.7) фазова швидкість плоскої хвилі
(3.15)
Для вакууму . Тоді
Тобто — швидкість світла у вакуумі. Поперечність плоских електромагнітних хвиль і те, що швидкість їх поширення у вакуумі дорівнює швидкості поширення світла, дали Дж. Максвеллу підставу зробити висновок, що світло є електромагнітною хвилею. Швидкість електромагнітних хвиль у довільному діелектричному середовищі з (3.15)
(3.16)
де — відносні діелектрична і магнітна проникності середовища. Формула (3.16) виражає закон Максвелла.
§ 3.2. Енергія електромагнітної хвилі. Вектор Умова — Пойнтінга.
Для розв'язання задач макроскопічної електродинаміки систему рівнянь Максвелла доповнюють співвідношеннями, які виражають закон збереження енергії. На основі цих співвідношень встановлюють можливість поширення електромагнітної енергії у просторі. Як відомо, енергію електричного поля визначають за формулою
а магнітного
Якщо в обмеженому замкненому об'ємі є електромагнітне поле, то його енергію визначають як суму електричної і магнітної складових
(3.17)
Щоб встановити, що енергія електромагнітної хвилі поширюється у просторі, розглянемо найпростіший випадок поля у вакуумі, де немає струмів провідності. Перші два рівняння Максвелла для цього випадку запишуться так:
(3.18)
Помножимо перше з цих рівнянь на , а друге на і віднімемо від другого рівняння перше. Тоді
(3.19)
Ліва частина цього рівняння на основі векторної тотожності, яка доводиться в математичній фізиці, дорівнює div [ У правій частині (3.19) зробимо перетворення, врахувавши при цьому, що :
З урахуванням цих перетворень (14.19) перепишемо так:
(3.20)
або
(3.21)
З формули (3.21) видно, що div дорівнює зміні електромагнітної енергії в одиниці об'єму за одиницю часу. Помноживши обидві частини (3.21) на dV і зінтегрувавши по V, встановимо зміну енергії за одиницю часу в довільному об'ємі V:
(3.22)
За теоремою Остроградського — Гаусса
Тоді
(3.23)
Потік вектора Умова — Пойнтінга крізь довільну замкнену поверхню що обмежує об'єм V, дорівнює зменшенню за одиницю часу запасу електромагнітної енергії W, яка міститься в об'ємі V. Зменшення енергії в умовах розглядуваної задачі може бути зумовлене лише витіканням її крізь поверхню S з об'єму V, оскільки інших перетворень енергії в об'ємі не відбувається.
Отже, електромагнітна енергія, подібно до рідини, витікає з об'єму V, де є її певний запас, крізь замкнену поверхню S, яка обмежує об'єм V, в кількості dS (Дж.с). Модуль вектора Умова —Пойнтінга визначає потік електромагнітної енергії за одиницю часу крізь одиницю поверхні, перпендикулярної до напряму поширення енергії:
| | = | [] |, Дж.(с)
Вектори i становлять правогвинтову трійку векторів. Напрям вектора Я вказує напрям випромінювання електромагнітної енергії. Слід зазначити, що загальні уявлення про потік енергії в просторі вперше були розглянуті російським ученим М. О. Умовим у 1874 р. Тому вектор густини потоку енергії називають вектором Умова. Розробки М. О. Умова стосувалися переважно потоку енергії в пружних середовищах і в'язких рідинах. Через 11 років ідеї Умова були застосовані англійським фізиком Дж. Пойнтінгом (1852—1914) до вивчення потоку електромагнітної енергії. Він вперше отримав вираз = [], тому вектор називають вектором Умова — Пойнтінга. Формули (3.21) і (3.23) виражають закон збереження енергії в електродинаміці, і його часто називають теоремою Умова — Пойнтінга.
Обчислимо потік вектора Умова — Пойнтінга = [], для плоских електромагнітних хвиль. Як уже зазначалося, вектори , становлять праву гвинтову ортогональну трійку векторів. Отже, напрям вектора збігається з напрямом , тобто з напрямом поширення плоских хвиль.
З рівнянь (3.2) і (3.3) можна зробити висновок, що в електромагнітній хвилі, яка поширюється в просторі, складові напруженостей Е і Н пропорційні між собою
(3.24)
Тоді для П матимемо
(3.25)
Об'ємна густина енергії електромагнітного поля
Домножимо в (3.25) чисельник і знаменник на . Одержимо
(3.26)
Потік енергії крізь одиницю поверхні, перпендикулярної до напряму поширення плоских електромагнітних хвиль, дорівнює . Отже, енергія плоских електромагнітних хвиль в однорідному ізотропному середовищі переноситься у напрямі їх поширення зі швидкістю .
§3.3. Тиск електромагнітних хвиль.
Під час відбивання або поглинання електромагнітні хвилі чинять тиск на тіла, на які вони падають. Цей висновок вперше зробив Дж. Максвелл. Він показав, що тиск електромагнітної хвилі зумовлений дією магнітного поля хвилі на електричні струми, які збуджуються в речовині електричною складовою поля хвилі, а також дією електричного поля хвилі на заряди, які індукуються в речовині під дією того самого електричного поля. При поширенні плоскої хвилі в провідному середовищі електричне поле хвилі збуджує у ньому струм з об'ємною густиною . З боку магнітного поля на елемент струму діє сила
d, (3.27)
напрям якої визначається вектором, тобто сила діє в напрямі поширення хвилі. Проведемо одиничну нормаль п до плоскої поверхні межі поділу середовищ так, щоб її напрям збігався з напрямом поширення хвилі. Тоді рівність (3.27) можна переписати так:
(3.28)
У цих перетвореннях використані співвідношення Е = B та закон Джоуля — Ленца для електромагнітної енергії, яка перетворюється в теплову під час поглинання елементом об'єму провідного середовища за одиницю часу dР=jEdV. Потік енергії електромагнітних хвиль, яка поглинається за одиницю часу елементом провідної поверхні dS, на основі (3.26) dW=. Ця енергія перетворюється в теплову, тому dW=dP. Із рівності (3.28) маємо
Тиск електромагнітних хвиль як скалярна величина
(3.29)
де — об'ємна густина енергії електромагнітних хвиль. Вище розглянуто ідеальну провідну поверхню, коли вся електромагнітна енергія хвилі повністю поглинається і перетворюється в теплову. Можливі також випадки часткового або повного відбивання електромагнітних хвиль. Тиск при цьому змінюється за значенням, хоча в кожному випадку виражається через потік падаючої енергії.
Визначимо імпульс електромагнітних хвиль. Якщо на поверхню провідного тіла падає енергія W протягом певного часу , то середня сила, що діє на поверхню на основі (3.28), виразиться так:
(3.30)
За законом Ньютона імпульс сили , який передається поверхні,
З урахуванням (3.30)
(3.31)
Звідси випливає, що електромагнітні хвилі, які мають енергію W і поширюються в просторі зі швидкістю , мають імпульс , напрямлений у бік поширення хвилі. Імпульс одиниці об'єму електромагнітної енергії
(3.32)
де = (V — об'єм). Об'ємну густину імпульсу прийнято виражати через вектор Умова — Пойнтінга. Оскільки то з (3.32)
. (3.33)
Надзвичайно точний експеримент з визначення тиску світла у 1900 р. здійснив П. М. Лебедєв. Результати досліджень узгоджуються з електромагнітною теорією світла.
§3.4. Стоячі хвилі .
Експериментально стоячі електромагнітні хвилі можна одержати, якщо від параболічного дзеркала вібратора хвилю спрямувати на плоске металеве дзеркало. Під час накладання відбитих хвиль на біжучі одержують стоячі хвилі з вузлом електричного поля на плоскому дзеркалі. Дослідження вузлів і пучностей стоячої хвилі проводять за допомогою резонатора. Визначивши відстань між пучностями або вузлами /, розраховують довжину хвилі:.
Стояча електромагнітна хвиля характеризується двома взаємно перпендикулярними векторами . Якщо плоска монохроматична хвиля поширюється в додатному напрямі осі Ох, то її рівняння запишеться так:
Рівняння хвилі, яка поширюється у від'ємному напрямі осі Ох, можна одержати, якщо поміняти знак біля к і біля одного з векторів поля, наприклад (вектори становлять правогвинтову трійку векторів). Тоді
У разі накладання хвиль одержуємо
Або
Це і є рівняння стоячої електромагнітної хвилі. Вона має дві складові: електричну і магнітну. Коливання електричної складової поля зсунуті по фазі відносно коливань магнітної складової на /2. Пучності електричного поля збігаються з вузлами магнітного і навпаки. Вектор Умова — Пойнтінга дорівнює нулеві у вузлах і в пучностях як електричної, так і магнітної складових електромагнітного поля. Отже, енергія стоячої хвилі не переноситься в просторі, вона лише переміщається між вузлом (пучністю) електричного поля і пучністю (вузлом) магнітного поля.
У двопровідній лінії енергія біжучої монохроматичної електромагнітної хвилі поширюється вздовж проводів (вектори і є перпендикулярними до проводів, а вектор Умова — Пойнтінга паралельним проводам). Якщо лінія передач є необмеженою, то існує лише біжуча хвиля. У біжучій хвилі зміни струму й напруги збігаються по фазі. Якщо ж лінія передач є обмеженою, то на межі лінії і навколишнього середовища виникає відбита електромагнітна хвиля, яка, накладаючись на біжучу, утворює стоячу електромагнітну хвилю. Коливання струму і напруги в стоячій хвилі зсунуті по фазі на /2. Якщо обмежена двопровідна лінія передач на кінцях є незамкне- ною, то там з'являються пучність напруги і вузол струму. Якщо ж лінія замкнена накоротко, то з'являються пучність струму і вузол напруги. Вузли струму збігаються з пучностями напруги, а вузли напруги збігаються з пучностями струму. В кожному з вузлів один із векторів або дорівнює нулеві, а отже, і вектор Умова — Пойнтінга дорівнює нулеві. Електромагнітна енергія здійснює поширення між пучністю (вузлом) струму і сусіднім вузлом (пучністю) напруги. Напрямленого поширення енергії стоячою хвилею вздовж лінії передач не відбувається. Найбільші вимушені амплітудні зміни струму і напруги в стоячій хвилі відбуваються під час резонансу. При цьому вздовж лінії передач вміщається ціле число півхвиль, а частота вимушених коливань генератора збігається з власною частотою випромінювання лінії передач.
Стоячі електромагнітні хвилі у двопровідній лінії можна демонструвати в аудиторії, натягнувши вздовж неї паралельні між собою два оголених провідники на відстані близько 10 см. З одних кінців провідників установлюють ламповий генератор, що генерує хвилі 1 м завдовжки, індуктивно зв'язують його з лінією передач. Інші кінці провідників можна закоротити або залишити роз'єднаними. Як індикатор стоячих хвиль використовують неонові або звичайні, увімкнені в коло резонаторів, лампочки від кишенькових ліхтарів. Переміщаючи неонову лампочку вздовж провідників, спостерігають її загорання в пучностях і затухання у вузлах напруги. Звичайна лампочка, навпаки, загорається у пучностях і затухає у вузлах струму. Таким способом у 1891 р. незалежно один від одного австрійський фізик Е. Лехер (1856—1926) і французький фізик Блондо, вивчаючи стоячі хвилі, визначили швидкість поширення електромагнітних хвиль.