Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос 1.
Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся параллельной самой себе. При этом скорости всех точек тела одинаковы.
Для того чтобы описать движение, нужно задать систему отсчёта – это тело отсчёта, которое условно считается неподвижным, система координат, связанная с телом отсчёта, и прибор для измерения времени («часы»).
Принцип относительности Галилея: механические явления и форма законов, их описывающих, не изменяются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) в другую (напомним, что ИСО называется такая система отсчёта, в которой выполняется 1-й закон Ньютона).
Никакими механическими опытами нельзя определить, покоится ли данная СО или движется прямолинейно и равномерно.
Вопрос 2
Тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой. Линия, которую описывает материальная точка при своём движении, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное, криволинейное, движение по окружности и т.п.
Пусть материальная точка (частица) переместилась по некоторой траектории из точки 1 в точку 2. Расстояние между точками 1 и 2, отсчитываемое вдоль траектории, называется путём (обозначен S12). Прямолинейный отрезок, проведённый из точки 1 в точку 2, называется перемещением, или вектором перемещения (обозначен )
Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения частицы. Разобьём траекторию на участки , каждому из которых соответствует перемещение (рис. 1.9). По определению
Таким образом, скорость есть производная радиус-вектора частицы по времени. Перемещение совпадает с бесконечно малым элементом траектории. Следовательно, вектор направлен по касательной к траектории.
Модуль скорости . При , тогда
т.е. модуль скорости равен производной пути по времени.
Вектор скорости, как и любой вектор, можно выразить через его компоненты , , :
Модуль скорости:
Свяжем компоненты скорости с компонентами радиус-вектора
, производная:
,
сравнивая выражения и для , получим:
; ; ,
т.е. проекции вектора скорости на координатные оси равны производным по времени соответствующих координат движущейся частицы.
Ускорение – векторная величина, характеризующая изменение скорости по величине и направлению. По определению ускорения :
Легко показать (читатель сам может это проверить), что
.
Вопрос 3 .
Можно показать, что в общем случае при движении по криволинейной траектории с переменной скоростью вектор ускорения можно представить в виде: , или ,
где
Первое слагаемое – тангенциальное ускорение , характеризующее изменение скорости по абсолютной величине, где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории () (рис. 1.10).
Рис. 1.11
Второе слагаемое – нормальное (центростремительное ускорение), характеризующее изменение скорости по направлению, где – единичный вектор нормали, направленный перпендикулярно скорости и по модулю равный единице: ; – радиус кривизны, представляющий собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом её участке. Центр такой окружности называется центром кривизны для данной точки кривой (рис. 1.11).
Вопрос 4
1-й закон Ньютона. Материальная точка, не подверженная внешним воздействиям , либо находится в покое, либо движется равномерно и прямолинейно. Такое тело называется свободным, его движение – свободным движением, или движением по инерции.
Классическая механика постулирует, что существует система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчёта. Таким образом, 1-й закон Ньютона выражает критерий инерциальности системы отсчёта.
2-й закон Ньютона. Производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе.
где – импульс (количество движения), векторная величина, равная для материальной точки произведению её массы на скорость и направленная вдоль ;
– масса – мера инертности тел.
Импульс механической системы равен геометрической сумме импульсов всех точек системы.
Сила в механике – мера механического действия на данное материальное тело других тел. Это действие может иметь место как при непосредственном контакте, так и через посредство создаваемых телами полей (электромагнитным, полем тяготения). Сила – величина векторная и в каждый момент времени характеризуется численным значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Сложение сил производится по правилу параллелограмма. В современной физике различают 4 вида взаимодействий:
3-й закон Ньютона. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки.
Третий закон, как и 1-й и 2-й, справедливы лишь в инерциальных системах отсчёта. Кроме того, отступление от 3-го закона наблюдается в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света.
Вопрос 5
Центробежная сила инерции
Пусть на некотором диске имеется радиальная направляющая, на которую наденем шарик, привязанный к оси диска пружиной (рис. 2.3). При раскручивании диска шарик растягивает пружину до тех пор, пока упругая сила не станет равной
где центростремительное ускорение;угловая скорость.
Относительно системы (диск) шарик покоится. Это можно формально объяснить тем, что в системе кроме силы на шарик действует сила инерции , направленная вдоль радиуса от оси вращения диска:
где единичный вектор, направленный к центру диска. Эта сила называется центробежной силой инерции. Она возникает во вращающихся (неинерциальных) системах отсчёта независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно неё со скоростью .
Сила Кориолиса: При движении тела () в неинерциальной вращающейся системе отсчёта кроме центробежной силы возникает еще одна сила инерции, называемая силой Кориолиса.
Возьмём горизонтально расположенный диск, вращающийся относительно инерциальной системы отсчёта с постоянной угловой скоростью (её определение будет в лекции № 3) (рис. 2.4).
Допустим, что по окружности радиусом R равномерно движется привязанная нитью к оси диска материальная точка
(частица) со скоростью относительно диска. Её скорость относительно Земли имеет модуль .
Центростремительное ускорение:
.
Сила натяжения нити:
где ускорение частицы относительно диска. Перенося в левую часть, а в правую, получим
или
(Формально это выглядит как 2-й закон Ньютона).
Здесь центробежная сила инерции;
сила Кориолиса, которую можно представить в виде векторного произведения:
Многие течения в мировом океане, а также ветры-пассаты обязаны своим происхождением силе Кориолиса. Силы Кориолиса необходимо учитывать при движении ракет и т.д.
Вопрос 6
Центром инерции (центром масс) системы материальных точек (частиц) называется точка С, положение которой задаётся радиус-вектором , определённым следующим образом:
где масса й частицы; радиус-вектор, определяющий положение этой частицы; масса системы.Замечание: в однородном поле сил тяжести центр инерции совпадает с центром тяжести системы.
Теорема о движении центра инерции (масс): Запишем 2-й закон Ньютона для й частицы массой:
где внутренняя сила, действующая на -ю частицу (т.е равнодействующая сил, действующая со стороны других частиц системы на -ю частицу); ускорение -й частицы; внешняя сила, действующая на -ю частицу.
Для всех тел (частиц) системы сумма , (*)
так как по 3-му закону Ньютона (внутренние силы попарно равны по величине, направлены противоположно и действуют вдоль одной прямой).
Из определения центра масс следует:
.
Продифференцируем это выражение дважды:
,
где ускорение центра масс.
. (**)
Сравнив выражения(*) и (**), получим .
Сумму внешних сил можно заменить равнодействующей , а (по определению), получим:
Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы и сосредоточена в центре инерции (масс), а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему (приложенных к точке С). Этот результат называется теоремой о движении центра масс (инерции).
Физический смысл этой теоремы заключается в том, что зачастую при движении тел (системы материальных точек) нас интересует не движение отдельных частей тела, а перемещение его в пространстве в целом. И в этом случае замена сложного (в общем случае) движения точек тела движением одной точки (центра масс) сильно упрощает задачу.
Вопрос 7
Абсолютно твёрдым телом называется такое тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.
Всякое движение твёрдого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.
Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.
Введём понятие угловой скорости и углового ускорения. Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной в данной системе отсчёта оси и за время совершает бесконечно малый поворот (рис. 3.1).
Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью , причём так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора .
Из рисунка следует, что . Вектор как бесконечно малую величину можно считать по модулю равным соответствующей дуге окружности , его направление соответствует правилу правого винта по отношению к векторам и Разделим обе части на :. (*)
Производная угла поворота по времени называется угловой скоростью.
Вектор совпадает по направлению с вектором . Изменение вектора со временем характеризуют вектором углового ускорения:
Из выражения * получаем связь линейной и угловой скоростей:
.
(**)
То есть скорость любой точки А твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , равна векторному произведению на радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения.
Если выбрать в качестве точки отсчёта для радиус-вектора центр окружности вращения (точка О), при неизменном радиусе окружности выражение (**) можно записать в скалярном виде:
Продифференцируем это выражение по времени: , отсюда получаем связь тангенциального и углового ускорений:
Нормальное ускорение можно представить как
Модуль полного ускорения:
Вопрос 8
Момент инерции тела. Определим кинетическую энергию вращения твёрдого тела (рис. 3.2). Разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки (). Обозначим массу i-го элемента , а скорость этого элемента .
Кинетическая энергия этого элемента.
Просуммировав кинетическую энергию всех элементов, получим кинетическую энергию вращательного движения тела:
.
Линейная скорость связана с угловой скоростью вращения тела (постоянна для всех точек тела).
.
Определение. Моментом инерции материальной точки относительно оси z называется произведение массы этой точки на квадрат её расстояния от оси вращения:
Определение. Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой оси z называется сумма моментов инерций материальных точек относительно данной оси.
В соответствии с этими определениями:
(Сравните с выражением для кинетической энергии поступательного движения , очевидно соответствие ).
Физический смысл момента инерции. Момент инерции во вращательном движении играет такую же роль, как масса при поступательном движении, характеризует меру инертности тела при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее при прочих равных условиях привести его во вращательное движение. Момент инерции определяется не только массой, но и тем, как эта масса распределена относительно оси вращения.
Соотношение является приближённым, причём тем более точным, чем меньше элементарные массы . Задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию.
(Интегрирование ведётся по всей массе тела ).