9

свойства:

1.  Любая подстановка может быть разложена в произведение попарно независимых циклов. Такое представление определено однозначно с точностью до порядка перемножения циклов.
2.  Каждая подстановка может быть представлена в виде произведения транспозиций.
3.  Четность подстановки не зависит от способа разложения подстановки в произведение транспозиций.
4.  Для двух подстановок четность их произведения равна произведению четностей: 
5.  

4

Непустое множество R называется кольцом, если в нем определены две алгебраические операции: сложение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент a + b, называемый их суммой, и умножение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент ab, называемый их произведением, причем эти операции обладают следующими свойствами:

     I. (Коммутативность сложения) a + b = b + a;

     II. (Ассоциативность сложения) a + (b + c) = (a + b) + c;

     III. (Обратимость сложения) Для любых a и b из R уравнение a + x = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент  такой, что a + c = b;

     IV. (Коммутативность умножения) ab = ba;

     Термин "кольцо" применяется также ко множествам с некоммутативным или даже неассоциативным умножением. Формулировки других свойств также меняются.

     V. (Ассоциативность умножения) a(bc) = (ab)c;

     VI. (Дистрибутивность умножения относительно сложения) (a + b)c = ac + bc.

     Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является:

     1. Множество целых чисел.

     2. Множество рациональных чисел.

     3. Множество действительных чисел.

     4. Множество рациональных чисел.

7

Теорема. Число перестановок из  n  элементов равно  n!  — произведению чисел от 1 до  n.

Доказательство. По индукции. Для  n = 1  формула очевидно верна.

Пусть она верна для  n − 1,  докажем, что она верна и для  n.  Первый элемент упорядочения можно выбрать  n  способами, а к выбранному первому элементу можно  Pn−1  способами приписать остальное. Поэтому верна формула  Pn = n × Pn−1.
Если  Pn−1 = (n−1)!,  то  Pn = (n)!

8

10

11 

12

13

5

Поле- это такое множество, содержащее не менее двух элементов, в котором определены две операции: сложение и умножение.

Свойства

1.  Коммутативность: b+a = a+b ab = ba
2.  Ассоциативность: (a+b)+c = a+(b+c) , a(bc)=(ab)c
3.  Дистрибутивность: a(b+c) = ab+ac
4.  Существует () нейтральный элемент «0» : a+0=a

Существует () нейтральный элемент «1» : a .1=a

1.  Для каждого a существует () (-a) , a+(-a)=0, a0 существует () a-1,

Множество называется полем, если выполняются все перечисленные свойства.

Примеры полей:

1. Q – поле рациональных чисел (классы равных дробей)

2. R – множество всех действительных чисел.

3. С – множество всех комплексных чисел.

6

3

14

Минор эл.  определителя   –это определитель (n-1) –порядка сост. из эл. определителя   остающихся после вычеркивания i-ой строки и j- того столбца.

Теорема Лапласа: Определитель   порядка = сумме всевозможных миноров k-ого порядка на выделенных k-строках определителя на их алгебраическое дополнение

 1

Для любых двух элементов x и y, взятых из множества S определена бинарная алгебраическая операция « *» , если однозначно определен элемент z = x * y, называемый  произведением элементов x и y.

К таким операциям относятся: операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц определенного порядка, операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства. Свойства операций:

1)Свойство ассоциативности

В приведенных примерах арифметических операций это свойство выполняется почти везде, кроме операций вычитания и операций векторного произведения

Исходя из свойства ассоциативности  произведение любого количества сомножителей определено однозначно. Причем произведение не зависит от того, как расставлены скобки:

Однако при такой расстановке нельзя нарушать порядок, в котором следуют сомножители

С помощью свойства ассоциативности можно узнать степень любого элемента с натуральным показателем степени.

2)Свойство коммутативности

Свойство коммутативности справедливо при сложении и умножении чисел, но не допустимо при умножении матриц и композиции перестановок.

Также можно сказать, что:

Свойство наличия нейтрального элемента

Для арифметической операции элемент n называется нейтральным

Элемент n не зависит от того, какой x мы выберем

При умножении матриц нейтральным элементом будет являться единичная матрица, а при композиции перестановок - тождественная перестановка

Если перемножение будет векторным, то нейтральный элемент будет отсутствовать

Если в системе существует один нейтральный элемент, то, если операция ассоциативна, существует возможность определить степень с нулевым показателем :

При этом элемент x может быть любым. Свойства степени сохраняются и при показателе = 0

3)Свойство наличия обратного элемента

Это свойство стоит рассматривать, если у операции * существует нейтральный элемент

Обратный элемент - это такой элемент, при умножении, на который числа x получается нейтральный элемент:

При сложении чисел можно сказать, что обратный элемент существует для любого числа и равен этому же числу, взятому с противоположным знаком

При умножении обратный элемент существует для всех чисел, кроме 0

При умножении матриц обратный элемент равен обратной матрице. Он существует, если определитель матрицы не равен нулю (матрица «невырожденная»)

Если у элемента существует обратный, то его называют «обратимым»

Элемент всегда обратим, а обратный для него исходный элемент x

4)Группы

Группа ( G,* ) – это множество G, с определенной на нем бинарной операцией (*), при условии, что выполняются следующие условия:

Все элементы G обратимы

У операции существует нейтральный элемент

Операция (*) является ассоциативной

5)Единственность нейтрального элемента

Нейтральный элемент в любой группе определен однозначно

Если и - нейтральные элементы, то по определению , а , поэтому . Нейтральный элемент группы G будем обозначать или e

Признак нейтрального элемента

Если , тогда , откуда по закону сокращения получаем

6)Единственность обратного элемента

Для каждого элемента x обратный элемент определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z. Элемент z определен однозначно.

Таблица Кэли — в общей алгебре, таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли. Имеет важное значение в дискретной математике, в частности, в теории групп, в которой в качестве операций рассматриваются умножение и сложение. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти центр группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

В высшей алгебре таблицы Кэли могут также использоваться для определения бинарных операций в полях, кольцах и других алгебраических структурах. Также они удобны при проведении действий в данных структурах.

2

Говорят что на множестве А задана бинарная алгебраическая  операция *, если закон *, такой ,что  .

Свойства операции :

1)Говорят, что операц. задана на мн-ве А ассоц-ая,если для

2) Говорят, что операц. задана на мн-ве А коммутативна, если для

3) Говорят, что на мн-ве А с бинарной операцией  задан нейтральный элемент «», если для

4) Говорят, что на мн-ве А с бинарной операцией  для , задан обратный  элемент  

5)Если на мно-ве А заданы 2 операции , то говорят , что операция дистрибутивна относительно операции 0.

Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.
  Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .

  Моноид — полугруппа с единичным элементом.

  Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что .

  Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

16

 Разложение определителя по элементам строки

Рассмотрим квадратную матрицу  A  n-го порядка.
      Выберем  i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем  i-ую строку и  j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом  Mi j:

      Алгебраическое дополнение  Ai,j  элемента  ai j определяется формулой

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы  A  равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

.

вычисление    определителя методом аннулирование :

с помощью элементарных преобразований (сложение строк , вычисления строк) аннулируем строки (столбцы) определителя, операция приведение строк (столбцов ) к 0 называется аннулированием