Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
9 свойства:
|
4 Непустое множество R называется кольцом, если в нем определены две алгебраические операции: сложение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент a + b, называемый их суммой, и умножение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент ab, называемый их произведением, причем эти операции обладают следующими свойствами: I. (Коммутативность сложения) a + b = b + a; II. (Ассоциативность сложения) a + (b + c) = (a + b) + c; III. (Обратимость сложения) Для любых a и b из R уравнение a + x = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что a + c = b; IV. (Коммутативность умножения) ab = ba; Термин "кольцо" применяется также ко множествам с некоммутативным или даже неассоциативным умножением. Формулировки других свойств также меняются. V. (Ассоциативность умножения) a(bc) = (ab)c; VI. (Дистрибутивность умножения относительно сложения) (a + b)c = ac + bc. Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является: 1. Множество целых чисел. 2. Множество рациональных чисел. 3. Множество действительных чисел. 4. Множество рациональных чисел. 7 Теорема. Число перестановок из n элементов равно n! — произведению чисел от 1 до n. 8
10 |
11 |
|
12 |
||
|
13 |
||
|
5 Поле- это такое множество, содержащее не менее двух элементов, в котором определены две операции: сложение и умножение. Свойства
Существует () нейтральный элемент «1» : a .1=a
Множество называется полем, если выполняются все перечисленные свойства. Примеры полей: 1. Q – поле рациональных чисел (классы равных дробей) 2. R – множество всех действительных чисел. 3. С – множество всех комплексных чисел. 6
3
|
||
|
14 Минор эл. определителя –это определитель (n-1) –порядка сост. из эл. определителя остающихся после вычеркивания i-ой строки и j- того столбца. Теорема Лапласа: Определитель порядка = сумме всевозможных миноров k-ого порядка на выделенных k-строках определителя на их алгебраическое дополнение |
||
|
1 Для любых двух элементов x и y, взятых из множества S определена бинарная алгебраическая операция « *» , если однозначно определен элемент z = x * y, называемый произведением элементов x и y. К таким операциям относятся: операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц определенного порядка, операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства. Свойства операций: 1)Свойство ассоциативности В приведенных примерах арифметических операций это свойство выполняется почти везде, кроме операций вычитания и операций векторного произведения Исходя из свойства ассоциативности произведение любого количества сомножителей определено однозначно. Причем произведение не зависит от того, как расставлены скобки: Однако при такой расстановке нельзя нарушать порядок, в котором следуют сомножители С помощью свойства ассоциативности можно узнать степень любого элемента с натуральным показателем степени. 2)Свойство коммутативности Свойство коммутативности справедливо при сложении и умножении чисел, но не допустимо при умножении матриц и композиции перестановок. Также можно сказать, что: Свойство наличия нейтрального элемента Для арифметической операции элемент n называется нейтральным Элемент n не зависит от того, какой x мы выберем При умножении матриц нейтральным элементом будет являться единичная матрица, а при композиции перестановок - тождественная перестановка Если перемножение будет векторным, то нейтральный элемент будет отсутствовать Если в системе существует один нейтральный элемент, то, если операция ассоциативна, существует возможность определить степень с нулевым показателем : При этом элемент x может быть любым. Свойства степени сохраняются и при показателе = 0 3)Свойство наличия обратного элемента Это свойство стоит рассматривать, если у операции * существует нейтральный элемент Обратный элемент - это такой элемент, при умножении, на который числа x получается нейтральный элемент: При сложении чисел можно сказать, что обратный элемент существует для любого числа и равен этому же числу, взятому с противоположным знаком При умножении обратный элемент существует для всех чисел, кроме 0 При умножении матриц обратный элемент равен обратной матрице. Он существует, если определитель матрицы не равен нулю (матрица «невырожденная») Если у элемента существует обратный, то его называют «обратимым» Элемент всегда обратим, а обратный для него исходный элемент x 4)Группы Группа ( G,* ) – это множество G, с определенной на нем бинарной операцией (*), при условии, что выполняются следующие условия: Все элементы G обратимы У операции существует нейтральный элемент Операция (*) является ассоциативной 5)Единственность нейтрального элемента Нейтральный элемент в любой группе определен однозначно Если и - нейтральные элементы, то по определению , а , поэтому . Нейтральный элемент группы G будем обозначать или e Признак нейтрального элемента Если , тогда , откуда по закону сокращения получаем 6)Единственность обратного элемента Для каждого элемента x обратный элемент определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z. Элемент z определен однозначно. Таблица Кэли — в общей алгебре, таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли. Имеет важное значение в дискретной математике, в частности, в теории групп, в которой в качестве операций рассматриваются умножение и сложение. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти центр группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе. В высшей алгебре таблицы Кэли могут также использоваться для определения бинарных операций в полях, кольцах и других алгебраических структурах. Также они удобны при проведении действий в данных структурах. |
2 Говорят что на множестве А задана бинарная алгебраическая операция *, если закон *, такой ,что . Свойства операции : 1)Говорят, что операц. задана на мн-ве А ассоц-ая,если для 2) Говорят, что операц. задана на мн-ве А коммутативна, если для 3) Говорят, что на мн-ве А с бинарной операцией задан нейтральный элемент «», если для 4) Говорят, что на мн-ве А с бинарной операцией для , задан обратный элемент 5)Если на мно-ве А заданы 2 операции , то говорят , что операция дистрибутивна относительно операции 0. Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением. Моноид — полугруппа с единичным элементом. Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что . Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+'). |
|
16 Разложение определителя по элементам строки Рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка.
Алгебраическое дополнение Ai,j элемента ai j определяется формулой
Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения: . вычисление определителя методом аннулирование : с помощью элементарных преобразований (сложение строк , вычисления строк) аннулируем строки (столбцы) определителя, операция приведение строк (столбцов ) к 0 называется аннулированием |