прямая параллельна оси Ох В 0 А 0 С 0 {x C 0} ~ прямая параллельна оси Оу В С 0 А 0 ~ прямая сов
Работа добавлена на сайт samzan.net:
8. прямая на плоскости. Виды.
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
9. линии второго порядка.
на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.
Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.
Общий вид линии второго порядка:
К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная
Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.
10. Понятие функции. Способы задания функции.
Функция- зависимость переменной у от переменной x
, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f
(x), где f(x)- с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
11.Предел функции основные теоремы предела
Предел : число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.( в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.)
Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.
.
Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).
.
12. непрерывность функции в точке.Точки разрыва функции и их определение.
Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
y
f(x0)+
f(x0)
f(x0)-
0 x0- x0 x0+ x
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство .
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + (x)
где (х) – бесконечно малая при хх0.
13. определение функции непрерывной на отрезке. И ее свйства.
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.
Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.
Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x1 Î [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) ≤ f(x).
Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'.
Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.
Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.
Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.
14. Производная функции ее геометрический и механический смысл. Связь между дифференцируемостью и не прерывностью функции.
15.Производные элементарных функций. Основные правила дифференцирования.
16. Дифференциал функции и его использование в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.
Таким же важным, как и понятие производной в математическом анализе, является и
понятие дифференциала функции.
Вернемся к определению производной: (предел отношения бесконечно
малого приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента).
Мы знаем, что переменная величина, имеющая предел, может быть представлена в виде
суммы этого предела и бесконечно малой: где α - бесконечно малая (1)
Отсюда имеем, Эта формула определяет связь между приращением ∆y всякой дифференцируемой
Функции y=f(x) и приращением ее аргумента ∆x.
Величина α - бесконечно мала одновременно с
Поэтому, второе слагаемое α⋅∆ x будет бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x
(как произведение двух бесконечно малых ∆x и α); в то же время, как первое слагаемое
y
/∆x будет бесконечно малой того же порядка, что и ∆x (если только y
/≠0 при данном
значении аргумента x). Таким образом, формула определяет бесконечно малое
приращение ∆y дифференцируемой функции y (при y
/≠0) в виде суммы двух слагаемых:
одного (y/⋅∆ x) – того же порядка малости, что и ∆x; другого (α⋅∆ x) – более высокого
порядка малости. Поэтому первое слагаемое y/⋅∆ x будет главной частью приращения
функции ∆y.
Определение. Эту главную часть приращения функции, пропорциональную приращению
аргумента, называют дифференциалом функции и обозначают символом dy: dy=y/⋅∆ x(2)
Применив эту формулу к функции y=x, получим dy=dx=1⋅∆ x=∆x.Поэтому, естественно
под дифференциалом аргумента функции понимать приращение dx=∆x, то есть под
символом dx понимают и приращение аргумента, и дифференциал функции, равной
аргументу. Теперь, формулу (2) можно записать dy=y/dx (3), а формулу (1) в виде∆y=y/ dx+α⋅ dx (4).
17.Возрастание и убывание функции. Исследование с помощью производной
Возрастание и убывание функций.
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Доказательство.
1) Если функция f(x) возрастает, то f(x + Dx) > f(x) при Dx>0 и f(x + Dx) < f(x) при Dх<0,
тогда:
2) Пусть f¢(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2.
Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f¢(e)(x2 – x1), x1 < e < x2
По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.
18. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Экстремум функции
Необходимое условие экстремума
Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точкии для всех точек x некоторой области: , выполнено соответственно неравенство
(в случае максимума) или (в случае минимума).
Экстремум функции находиться из условия:, если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.
Достаточное условие экстремума
1) Первое достаточное условие:
Если:
а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.
б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции
в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом
Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.
2) Второе достаточное условие
Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точкепервая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точкаэкстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.
3) Третье достаточное условие
Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:
а) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума.
б) Если N - нечетно, то в точке у функции g(x) экстремума не
19. Выпуклость графика функции. Исследование с помощью второй производной. Точки перегиба.
20. Асимптоты общая схема исследования функции.
Асимптоты графика функции
Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов
limx® a+0f(x) или limx® a-0f(x)
равен +Ґ или -Ґ.
Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как limx® 2+01/(x-2) = +Ґ, limx® 2-01/(x-2) = -Ґ (рис.28).
Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +Ґ, если f(x) имеет вид
f(x) = kx+b+a (x),
где limx® +Ґa (x) = 0.
Справедлива
Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.
Доказательство.
- Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид
f(x) = kx+b+a(x),
тогда
limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,
limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.
- Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.
Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -Ґ.
Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.
Пример 15. Найти асимптоты кривой:
y = 5x/(x-3).
Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как
limx® 3± 05x/(x-3) = ±Ґ.
Найдем наклонную асимптоту:
k = limx® ±Ґy/x = limx® ±Ґ5x/x(x-3) = 0. b = limx® ±Ґ(y-kx) =limx® ±Ґ5x/(x-3) = 5.
Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.
21. Частичные производные и дифференциал первого, второго порядка функции нескольких переменных.
22. Производная функция двух переменных по направлению. Градиент функции и его свойства
23.Экстримум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие локального экстримума функции двух переменных.
24. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции и замкнутой ограниченной области.
25. Первообразная. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
Функция F (х) называется первообразной функцией для данной функции f (х) (или, короче, первообразной данной функции f (х)) на данном промежутке, если на этом промежутке
. Пример. Функция является первообразной функции на всей числовой оси, так как при любом х.
Отметим, что вместе с функцией первообразной для является любая функция вида , где С — произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю). Это свойство имеет место и в общем случае.
Теорема 1. Если и — две первообразные для функции f (х) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.
Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х) данной функции f (х), то все множество первообразных для f (х) исчерпывается функциями F (х) + С.
Выражение F (х) + С, где F (х) — первообразная функции f (х) и С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом ,
причем f (х) называется подынтегральной функцией ;
— подынтегральным выражением,
х — переменной интегрирования;
∫ — знак неопределенного интеграла.
Таким образом, по определению
если .
Возникает вопрос: для всякой ли функции f (х) существует первообразная, а значит, и неопределенный интеграл?
Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна на [a ; b], то на этом отрезке для функции f (х) существует первообразная.
Ниже мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Поэтому рассматриваемые нами далее в этом параграфе интегралы существуют.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
l. diff(int(f(x), x), x) = f(x)2. int(diff(F(x), x), x) = `+`(F(x), C)
3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: (1) 4. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:
int(`+`(f(x), g(x)), x) = `+`(int(f(x), x), int(g(x), x)) (2) Равенства (1) и (2) следует понимать с точностью до постоянного слагаемого.
Свойство 4 распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа функций.
26.методы интегрирования
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путем преобразований и применения свойств неопределенного интеграла.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл (f (х) непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного.
Если где — функция, имеющая непрерывную производную, то .
Пример 1
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Пусть и — непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула (4)
(4)
Пример 1 Найдем
27. Определенный интеграл его геометрический смысл и свойства. Формула Ньютона – Лейбница.
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Ниже рассматриваются функции, непрерывные на отрезке [a ; b].
По определению полагают, что определенный интеграл от функции с равными верхним и нижним пределами интегрирования равен нулю: . 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: 2. Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от этих функций:
Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа функций.
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
4. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:
ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА
Если функция f (х) непрерывна на отрезке [a ; b] и F (х) — первообразная функции f (х) на этом отрезке, то (1) Формула (1) называется формулой Ньютона—Лейбница.
Пример 1
Пример 2
28. Заменна переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Предположим, что функция f (х) непрерывна на отрезке [a ; b],
функция имеет на отрезке [ α ; β ] непрерывную производную,
при этом
. Тогда (2) Пример. Найти
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Пусть — непрерывно дифференцируемые на [a ; b] функции.
Тогда справедлива формула (3)
Пример. Найдем . Положим
Согласно формуле (3) находим
=
29 Геометрические приложения определенного интеграла.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a ; b].
Если при этом f (х) ≥ 0 на [a ; b], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
выразится с помощью интеграла: (1)
Если же f (х) ≤ 0 на [a ; b], то −f (х) ≥ 0 на [a ; b].
Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле
или
(2)
Наконец, если линия у = f (х) пересекает ось Ох, то отрезок [a ; b] надо разбить на части, в пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул (1) или (2), которая ей соответствует.
Пример 1. Найдем площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sin х и осью абсцисс при условии 0 ≤ х ≤ 2 π .
Разобьем отрезок [ 0 ; 2π ] на два отрезка: [ 0 ; π ] и [ π ; 2π ].
На первом из них sin х ≥ 0, на втором sin х ≤ 0. Тогда, используя формулы (1) и (2), находим искомую площадь:
Площадь криволинейного сектора ОАВ ,
ограниченного лучами
и кривой АВ, заданной в полярной системе координат уравнением
,
где — функция, непрерывная на отрезке [ α ; β ], выражается формулой (3)
Пример 2. Найдем площадь круга радиуса R.
В полярных координатах r, φ уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид
, причем .
Тогда, используя формулу (3), получим
30. Несобственные интегралы
При введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что подынтегральная функция является ограниченной, а пределы интегрирования — конечными.
Такой интеграл называется собственным (слово «собственный » обычно опускается).
Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется несобственным.
ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
Пусть функция f (х) непрерывна при ,т. е. при х ≥ а.
Тогда по определению полагают
Если этот предел существует, то говорят, что интеграл сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся. Такому интегралу не приписывают никакого значения.
Геометрически для неотрицательной при х > а функции f (х) несобственный интеграл (1) по аналогии с собственным интегралом представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции у = f (х), слева отрезком прямой х = а и снизу осью Ох :
Пример 1
т. е. данный несобственный интеграл сходится.
Пример 2
т. е. данный интеграл расходится.
Пример 3 Установим, при каких значениях α интеграл сходится. Случай α = 1 был рассмотрен в примере 2.
Если α ≠ 1,то
Значит, данный интеграл сходится при α > 1 и расходится при α < 1.
Все изложенное непосредственно переносится на интеграл вида
,
который определяется так:
Наконец, по определению, , где c — какое-нибудь число (выбор его безразличен).
Последнее равенство следует понимать так: если каждый из интегралов, стоящих справа, сходится, то сходится и интеграл, стоящий слева. Если же расходится хотя бы один из интегралов, стоящих справа, то расходится и интеграл, стоящий слева.
31 Событие Алгебра событий
ПОНЯТИЕ О СЛУЧАЙНОМ СОБЫТИИ
Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытаниями.
Примерами испытаний являются: бросание монеты, извлечение шара из урны, бросание игральной кости.
Результат, исход испытания называются событием.
Событиями являются: выпадение герба или цифры, взятие белого или черного шара, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. Для обозначения событий используются заглавные буквы латинского алфавита: А, В, С и т. д.
Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример 1. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А — появление четырех очков. Событие В — появление четного числа очков. События А и B — совместимые.
Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример 2. Испытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события A[1], A[2], A[3], A[4], A[5], A[6] — соответственно выпадение одного очка, двух, трех, четырех, пяти, шести. Эти события являются несовместимыми.
Два события А и conjugate(A) называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.
Пример 3. Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие conjugate(A) — выпадение цифры.
Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
Пример 4. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А — вынут белый шар — достоверное; событие В — вынут черный шар — невозможное.
Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Пример 5. Событие A[6] — выпадение шести очков при бросании игральной кости — случайное. Оно может и не наступить в данном испытании.
АЛГЕБРА СОБЫТИЙ
Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.
Пример 1. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А — попадает в мишень первый стрелок, событие В — попадает в мишень второй стрелок. Суммой событий А и В является событие С = А + В — попадает в мишень по крайней мере один стрелок.
Аналогично, суммой конечного числа событий называется событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий .
Из определения суммы событий непосредственно следует, что
А + В = В + А.
Справедливо также и сочетательное свойство. Однако
А + А = А (а не 2А, как в алгебре).
Произведением событий А и В называется событие С = А В, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.
Аналогично, произведением конечного числа событий называется событие , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
В Примере 1 произведением событий А и В является событие С = А В, состоящее в попадании в мишень двумя стрелками.
Из определения произведения событий непосредственно следует, что
АВ = ВА.
Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако
АA = А (а не ).
2. Трехслойная схема науки.html
3. воспитание употребляется в широком и узком социальном смысле а также в широком и узком педагогическом зна.
4. Центр развития творчества детей и юношества УТВЕРЖДЕНО УТВЕРЖДАЮ на научнометодическом
5. Сословнопредставительная монархия в Англии В середине ХШ столетия Англия переживает период острой борьб
6. На тему- Бортнянський Дмитро Степанович український композитор і диригент Народився 1751 р
7. Методика SWOT-анализа предприятия
8. Ювелирные изделия
9. Об обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеван
10. Основные функции биосферы Благодаря способности трансформировать солнечную энергию в энергию химических
11. Протестантизм
12. Курсовая работа- Понятие и гражданско-правовые способы защиты вещных прав
13. Изучить литературу и ресурсы интернет по выбранной теме
14. а ПЕРВЫЕ СТИХОТВОРЕНИЯ 19131918 Вполголоса Как потеплело к вечеру сегодня И как сверкают звезд
15. тема Windows XP; середовище Turbo Pscl
16. энергетический комплекс вообще и объекты энергетики в частности по степени влияния на окружающую среду при
17. Огонь и лед Эрин Хантер Огонь и лед Котывоители ~ 2 Аннотация Во врем
18. Разработка проходки ствола на шахте имени Костенко
19. Мир это большое государство
20. ТЕМА 8 ТАЩАН ИВАН 1000 РУБЛЕЙ