Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Векторная алгебра
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
Вектор это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А начало вектора, а В его конец, то вектор обозначается или . Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .
Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается ||. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается 0.
Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково () или противоположно (). Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора и называются равными (), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Равные векторы называют также свободными.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Если среди трёх векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
К линейным операциям над векторами относят сложение векторов, вычитание векторов, умножение вектора на число.
Вектора складываются по правилам треугольника и параллелограмма:
|
Правило треугольника |
Правило параллелограмма |
|
`b `а Для того, чтобы вычислить сумму векторов и по правилу треугольника нужно от конца вектора отложить вектор и тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора и будет суммой этих векторов. |
`b `а Для того, чтобы вычислить сумму векторов и по правилу параллелограмма нужно от начала вектора отложить вектор , достроить до параллелограмма и тогда вектор исходящий из общего начала векторов и и будет суммой этих векторов. |
Разность векторов представляется суммой с противоположным вектором.
В параллелограмме, построенном на двух векторах – одна диагональ является суммой этих векторов (исходящая из общего начала этих векторов), а другая – их разностью (начало которого совпадает с концом вектора - вычитаемого, а конец которого совпадает с концом вектора - уменьшаемого).
`b
`а
Сумма трёх векторов: .
Произведением вектора на скаляр (число) l называется вектор l· (или ·l), который имеет длину |l|·, коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если l>0 и противоположное направление, если l<0.
Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:
всегда , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
;
;
;
;
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.
Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.
Проекцией точки М на ось l, называется основание M1 перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось.
Точка M1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси.
Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М.
Пусть - произвольный вектор (). Обозначим через А1 и В1 проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор .
Проекцией вектора на ось l называется положительное число ||, если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число -||, если вектор и ось l противоположно направлены. Если точки А1 и В1 совпадают (), то проекция вектора равна 0.
Проекция вектора на ось l обозначается так: прl. Если или , то прl=0.
Угол j между вектором и осью l (или угол между двумя векторами) удовлетворяет 0£j£p.
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.
Свойство 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла j между вектором и осью, т. е. прl=||·cosj.
Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.
Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
Свойство 3. При умножении вектора на число l его проекция на ось также умножается на это число, т. е. прl(l·)=l·прl.
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные_векторы (орты), обозначаемые i, j, k соответственно.
Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: . Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через M1, M2 и M3. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда
.
Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ах, ау, az называются координатами вектора , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Векторное равенство часто записывают в символическом виде: ={ax; ay; az}.
Зная проекции вектора можно легко найти выражение для модуля вектора:
т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.
Пусть углы вектора с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны a, b, g.
По свойству проекции вектора на ось, имеем
Или, что то же самое,
Числа cosa, cosb, cosg называются направляющими косинусами вектора .
Подставим выражения в равенство , получаем соотношение (сократив на ):
cos2a+cos2b+cos2g=1
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа cosa, cosb, cosg, т. е. ={cosa, cosb, cosg}.
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.
Пусть векторы ={ax; ay; az} и ={bx; by; bz} заданы своими проекциями на оси координат Ох, Оу и Oz или, что то же
Линейные операции над векторами
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:
Равенство векторов
Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора ={ax; ay; az} и ={bx; by; bz} равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: ax=bx; ay=by; az=bz, то есть
Коллинеарность векторов
Из определения векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .
Векторы и коллинеарны, тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, то есть
Координаты вектора
Координаты вектора , если известны координаты его начала А(хА; уА; zА) и конца В(хВ; уВ; zВ) равны разностям соответсвующих координат его конца и начала, то есть ={хВ-хА; уВ-уА; zВ-zА}.
PAGE
PAGE 6