Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
5.4 Спектральное рассмотрение интерференционных явлений. Многолучевая интерференция. Интерферометр Фабри-Перро
Многолучевая интерференция
При отражении света от поверхностей прозрачных пластин вследствие малого коэффициента отражения мы не принимали во внимание лучи, отражённые два или большее число раз. Однако, в случаях, когда интенсивности многократно отражённых лучей близки друг к другу, учёт их вклада в общую интенсивность является обязательным. Реализация упомянутого случая - случая многолучевой интерференции определяется значениями коэффициентов отражения и пропускания.
Вычисление интенсивностей лучей, прошедших через пластинку и отражённых от неё. Формулы Эйри.
Пусть плоская монохроматическая световая волна падает под углом i на поверхность плоскопараллельной прозрачной пластинки (рис 5.6). Показатели преломления пластинки и окружающей среды соответственно будут равны n и n0.
Рис.5.6
Коэффициенты отражения и пропускания по интенсивности обозначим соответственно через R и T. Если поглощением внутри пластинки можно пренебречь, то R+T=1. Ввиду того что потеря полуволны при отражении приводит всего лишь к смещению всей интерференционной картины на полполосы, её в наших расчётах можно не принимать во внимание. Вследствие многократного отражения на границе раздела возникнет совокупность отражённых и прошедших через пластинку параллельных лучей. Представляет интерес рассмотреть многолучевую интерференцию как отражённых, так и прошедших лучей, т.е. найти распределение соответствующих интенсивностей. Для этого надо сложить амплитуды взаимно параллельных лучей с учётом разности хода (фаз) между ними. Очевидно, что разность хода между двумя соседними вышедшими (отражёнными или прошедшими) из пластинки лучами равна
Δd=2hn соs r,
где h - толщина пластинки, r - угол преломления. Этой разнотси хода соответствует разность фаз:
ΔФ=(2π/λ) 2hn соs r,
где λ - длина падающей волны в вакууме.
Обозначим амплитудные коэффициенты отражения (отношение амплитуд отражённой и падающей волн) и пропускания (отношение амплитуд отражённой и падающей волн) через ρ и τ. Пусть амплитуда падающей линейно-поляризованной световой волны будет Е00 (рис.5.6). При каждом прохождении через границу раздела пластинка-воздух амплитуда волны уменьшается в τ раз, а при каждом отражении от такой границы она уменьшается в ρ раз. Вследствие этого амплитуды прошедших через пластинку и отражённых от неё лучей соответственно равны Е00τ2, Е00τ2ρ2, Е00τ2ρ4, Е00τ2ρ6 и Е00ρ, Е00τ2ρ, Е00τ2ρ3, Е00τ2ρ5,…и т.д. В выражении для амплитуды разность фаз между соседними лучами можно учесть введением соответствующего множителя. Учитывая это, суммарные амплитуды для прошедших и отражённых волн в случае достаточно длинной пластинки будут
∞
Σпр=Σ Е00τ2ρ2NеiNΔФ, (5.11)
N=0 ∞
Σотр=Е00(ρ+Σ τ2ρ2N-1еiNΔФ), (5.12)
N=0
где - N число интерферирующих лучей.
Суммирование, выполненное для случая, когда падение интенсивности складываемых пучков идёт достаточно быстро, приводит к такому результату:
Iпрох=Т2/(1-R)2]* Iпад/(1+4R/(1- R)2*sin2ΔФ/2)]= Т2*Iпад/((1- R)2+4R*sin2ΔФ/2),(5.13)
Iотр=4R*sin2ΔФ/2]/ ((1- R)2+4R*sin2ΔФ/2)]*Iпад ,(5.14)
где Т=τ2, R=ρ2.
Выражения (5.13) и (5.14) называются формулами Эйри.
Зависимость интенсивности отражённых и проходящих пучков от разности фаз.
Если плоские световые волны одинаковой интенсивности направить на пластинку под мало различающимися углами, то в фокальной плоскости линзы (рис.5.7), поставленной перед отражёнными (или же прошедшими) пучками, появляются интерференционные полосы равного наклона. Положения максимумов и минимумов будут определяться значениями разности фаз. Так как sin2ΔФ/2 меняется от нуля (при ΔФ/2=mπ) до единицы при ΔФ/2=π(2m+1)/2], то, согласно (5.13) и (5.14), интенсивности меняются непрерывно, достигая минимума и максимума при данных R и T. Максимальные и минимальные значения интенсивностей в зависимости от R и T выражаются следующими формулами:
(Iотр)макс=4R*Iпад/(1+R)2,
(5.15)
(Iотр)мин=0;
(Iпрох)макс=Т2*Iпад/(1-R)2= Iпад ,
(5.16)
(Iпрох)макс=Т2*Iпад/(1+R)2=(1-R/1+R)2* Iпад.
Следовательно, в прошедшем свете максимумы наблюдаются при ΔФ=(2m+1)π, т.е. порядок интерференции m, определяемый как
m= ΔФ/2=2π=2hn соs r/λ,
равен целым числам 0,1,2,3,… для максимумов и полуцелым числам 1/2,3/2,5/2,…для минимумов. Вотражённом свете максимумы интенсивностей соответствуют полуцелым значениям порядка интерференции m=1/2,3/2,5/2,…, а минимумы - целым числам m=0,1,2,3,…и т.д. Таким образом, положение полос в отражённом и прошедшем свете аналогично соответствующим картинам интерференции при учёте только двух первых пучков (двухлучевая интерференция).
Графики зависимости интенсивностей от разности фаз ΔФ при данном значении R представленны на рис.5.8. Как следует из графиков, сумма Iотр+Iпрох остаётся постоянной и равной интенсивности падающего пучка. Интенсивность проходящего света отличается от нуля при всех значениях ΔФ, в то время как интенсивность отражённого света при ΔФ=0,2π,4π и т.д. становится равной нулю.
Зависимости интенсивности отражённых и прошедших пучков от коэффициента отражения.
Так как интенсивности отражённых и прошедших пучков зависят от коэффициента отражения (в данном случае R+T=1), то интересно проанализировать эти зависимости. Достаточно проделать это для одного случая, например для прошедшего света. Как следует из рис.5.9, с увеличением R (при приближении его к единице) интенсивность максимумов интерференционной картины в прошедшем свете падает, максимумы же становятся более резкими. Следовательно, интерференционная картина при R→1 представляет собой совокупность узких светлых полос на практически тёмном фоне.
Резкость полос. Интерференционную картину можно характеризовать величиной так называемой резкости полос. Этот параметр принято измерять полушириной полосы. В данном случае она равна расстоянию между точками, отвечающими половине максимального значения интенсивности. В качестве параметра резкости F интерференционной картины можно взять отношение расстояния между соседними полосами к полуширине δ. Согласно определению полуширины полосы,
Iпрох/Iпад=1/2. (5.17)
Это имеет место при ΔФ=m2π±δ/2. Так как δ - малая величина, то можно принять sinδ/4≈δ/4. Подставляя значение Iпрох в формулу (5.17), имеем
2√R/(1-R)]δ/4=1.
Отсюда
δ=2(1-R)/√R.
Так как расстояние между соседними полосами соответствует изменению ΔФ на 2π, то для разности полос F имеем
F=2π/δ=√π√R/√(1-R). (5.18)
При R=0,9F имеем значение, чуть меньше 30, т.е. расстояние
Между двумя соседними максимумами примерно в 30 раз больше ширины каждого из них. При наблюдении многолучевой интерференции в белом свете полосы окрашиваются в различные цвета. Полосы, принадлежащие различным длинам волн, в проходящем свете разделяются более чётко. Большое практическое значение многолучевой интерференции обусловлено именно этим фактом.
Как нам уже известно, в оптическом диапазоне коэффициент отражения при нормальном падении луча для границы воздух - стекло равен примерно 0,04. Увеличение R при наклонном падении луча не является достаточным для получения резкой многолучевой интерференционной картины в проходящем свете. Коэффициент отражения, близкий к единице, можно получить и при почти нормальном падении света - путём нанесения соответствующих многослойных диэлектрических покрытий или частично прозрачного слоя металла.
Интерферометр Фабри - Перо.
Интерферометр Фабри - Перо состоит из двух стеклянных или кварцевых пластин (П1 и П2).
Внутренние поверхности их (рис.5.20) плоские (с точностью до 1/100 длины волны), строго параллельны друг другу и частично покрыты прозрачной плёнкой с высокой отражательной способностью (R≈0,9 - 0,99). С целью устранения вредного влияния света, отражённого внешними поверхностями пластин, делают обычно так, чтобы последние составляли небольшой угол с внутренними поверхностями. Пластинки могут передвигаться в перпендикулярном направлении друг относительно друга. Первоначально в интерферометрах одна пластинка оставалась неподвижной, а другая перемещалась (удалялась или приближалась) с помощью специального винта относительно первой. В более поздних интерферометрах пластины стали разделять неподвижным кольцом из инвара ( специальная сталь с ничтожно малым коэффициентом расширения) или кварца. На торцах кольца имеются три выступа, к которым пластины прижимаются с помощью пружин, служащих для тонкой регулировки положения пластин.
Если расстояние между пластинками строго фиксировано, т.е. пластины неподвижны, такой интерферометр называется эталоном Фабри - Перо. Преимуществом эталона Фабри - Перо является его высокая точность, которую не удаётся получить в раздвижном интерферометре. Расходящийся пучок света от протяжённого источника (на рис.5.20 показан ход одного из этих лучей) падает на интерферометр. При этом, очевидно, возникает интерференционная картина, представляющая собой семейство кривых равного наклона - концентрические кольца (рис.5.21). Чтобы наблюдать эту локализованную картину на экране, можно воспользоваться собирающей линзой, расположенной так, чтобы плоскость экрана совпала с её фокальной плоскостью.
Существуют также сферические интерферометры, прототипом которых явился интерферометр Фабри - Перо. Сферические интерферометры состоят из двух вогнутых зеркал одинакового или разного радиуса кривизны. Зеркала располагаются так, чтобы фокусы их были совмещены. Модифицированные сферические интерферометры нашли широкое применение в качестве резонаторов газовых лазеров. Применение сферических зеркал в качестве резонаторов оправдано, тем, что в этом случае требуется точность юстировки и обработки зеркал значительно ниже и стабильность системы выше.
Резкость интерференционной картины. Резкость интерференционной картины будет зависеть от коэффициента отражения нанесённой на пластины плёнки. На рис.5.22 показана зависимость резкости полос интерференции для разных значений R от углового расстояния относительно центра интерференционной картины. Значение R=0,04 соответствует поверхности чистого стекла, в то время как R=0,99 соответствует поверхности с многослойным покрытием. Следует обратить внимание на то, что при рассмотрении интерференции многих лучей мы полагали R+T=1, т.е. пренебрегали поглощением внутри пластинки. Однако при нанесении на поверхность пластины полупрозрачного металлического слоя происходит поглощение, в результате чего интенсивность изменится. Поэтому пользуются выражением R+T+А=1, где А - коэффициент суммарного поглощения света отражающими слоями. В проходящем через интерферометр свете значение Iмакс окажется меньше, чем при отсутствии поглощения, и резкость интерференционной картины уменьшается. В зависимости от толщины металлического поглощающего слоя максимумы и минимумы смещаются на определённое расстояние. Такое смещение приводит к нарушению взаимной дополнительности интерференционных картин в отражённом и проходящем свете.
Порядок интерференции. Так как разность хода между двумя соседними интерферирующими лучами составляет Δd=2l соs r, то взаимное усиление произойдёт при
2l соs r=mλ, (5.31)
где l - расстояние между пластинками, m=0,1,2,3,… - порядок интерференции. Порядок интерференции можно определить из (5.31):
m=2l соs r/λ. (5.32)
Следовательно, при неизменном расстоянии между пластинками порядок интерференции увеличивается с уменьшением угла преломления r. Наибольшее возможное значение m получается при соs r=1 (при r=0), т.е. наибольший порядок интерференции будет наблюдаться в центре картины. Тогда для m имеем
m=2l/λ (5.33)
Как следует из (5.33), чем больше расстояние (обычно оно меняется от 1 до 100 мм, в специальных эталонах - до 1 м) между отражающими слоями для данной длины волны, тем выше порядок интерференции, наблюдаемой в центре картины. Высокие значения порядков интерференции объясняются именно этим фактом. Например, при λ=5*10-5 см и l=5 см порядок интерференции m≈200000.
Ширина интерференционной полосы. Исходя из (5.32), можно также определить ширину интерференционной полосы:
-2l sin r δr=λδm.
Если δr рассматривать как угол между соседними максимумами, то, полагая δm=1, имеем
δr=-λ/2l sin r, (5.34)
т.е. чем больше l, тем уже интерференционные полосы. Однако это не означает, что нужно пользоваться интерферометрами с небольшим значением l. Как мы увидим дальше, разрешающая сила прямо пропорциональна порядку интерференции, и, в свою очередь согласно (5.33)], увеличивается с увеличением l. Следовательно, удобнее пользоваться интерферометрами с большим расстоянием между пластинками. Однако верхний предел расстояния между пластинками ограничивается так называемой областью свободной дисперсии интерферометра. Чтобы убедиться в этом, определим величину допустимого расстояния между пластинами интерферометра Фабри - Перо. Чтобы не происходило наложения двух соседних порядков интерференции, ширина исследуемой интерферометром структуры не должна превышать расстояния между двумя соседними максимумами, т.е. должно иметь место условие Δλ=λ/m. Так как наиболее возможное значение порядка интерференции m=2l/λ (где l - расстояние между пластинками интерферометра ), то Δλ=λ2/2l. Отсюда для величины допустимого расстояния между пластинками получим.
l=λ2/2Δλ.
Область свободной дисперсии интерферометра Фабри - Перо.
Интервал длин волн Δλ, определяемый формулой Δλ=λ2/2l, называется областью свободной дисперсии интерферометра Фабри - Перо. При l=0,5 см, λ=5*10-5 см допустимая ширина Δλ=0,25 А0. При дальнейшем увеличении l область свободной дисперсии становится ещё меньше. Именно поэтому интерферометр Фабри - Перо чаще всего используется для исследования контура спектральных линий.
Интерферометр Фабри - Перо применяется при исследовании тонкой структуры спектральных линий, выделенных более грубыми спектральными приборами. Широко применяемые в последнее время так называемые интерференционные фильтры, способные пропускать свет в определённой области длин волн, устроены по принципу действия интерферометра Фабри - Перо с очень малым расстоянием l между пластинами.
Интерферометр (пластинка) Люмера-Герке.
Интерферометр Люмера-Герке состоит из плоскопараллельной стеклянной или кварцевой однородной пластинки (толщина примерно 3-10 мм, длиной 10-30 см). Чтобы добиться нормального падения света и уменьшить таким образом потери энергии при отражении, один конец пластинки либо срезается, либо снабжается добавочной треугольной призмочкой (рис.5.23). Лучи света от источника направляются на срезанный конец пластинки (или на основание треугольной призмы) так чтобы на границу раздела луч падал под углом, чуть меньше предельного. Такое падение луча обеспечивает примерно одинаковую интенсивность 10-15 лучей, вышедших из пластинки. Это объясняется тем, что при каждом отражении
Рис.5.23
от внутренней поверхности пластинки из системы выходит очень малая часть падающей световой энергии (так как R≈1). При падении света из протяжённого источника света на пластинку Люмера-Герке луч, падающий под определённым углом (один из лучей изображён на рис.5.23), даёт ряд параллельных лучей с постоянной разностью хода между соседними лучами Δd=2hn соs r, где h - толщина пластинки, n - коэффициент преломления пластинки относительно окружающей среды, r - угол преломления. В фокальной плоскости собирающей линзы образуются интерференционные полосы равного наклона, соответствующие лучам, выходящие из нижней и верхней поверхностей пластинки. Число эффективных (участвующих в интерференции) пучков лимитируется длиной пластинки Люмера-Герке.
На пластинке Люмера-Герке наблюдаются интерференционные полосы очень высокого (десятка тысяч) порядка. Это позволяет использовать её в сочетании с другим спектральным прибором в основном для исследования тонкой структуры спектральных линий.
119