Интегральная сумма
Работа добавлена на сайт samzan.net:
17. Интегральная сумма. Определенный интеграл. Суммы Дарбу. Условие существования определенного интеграла. Свойства определенного. Интеграла.
Площадь криволинейной фигуры. Зададим на отрезке неотрицательную непрерывную функцию . Требуется определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой , осью , прямыми и, и вычислить эту площадь.
Разобьем отрезок на частей точками . Выберем на каждом из отрезков , по произвольной точке . Составим сумму. , где , которую называют интегральной суммой и которая представляет собой площадь ступенчатой фигуры.
Обозначим -длина наибольшего отрезка из .
Будем теперь стремить все к нулю и притом так, чтобы максимальный отрезок разбиения стремился к нулю. Если при этом величина стремится к определенному конечному пределу , не зависящему от способов разбиения и выбора точек ,то предел называется площадью нашей криволинейной фигуры.
.
На практике встречается много других конкретных задач, решение которых сводится к вычислению предела интегральной суммы. Эта операция называется операцией интегрирования функции на отрезке, а ее результат – предел интегральной суммы – определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается
-подынтегральная функция.
-нижний и верхний пределы интегрирования.
Суммы Дарбу.
Пусть на отрезке задана произвольная функция . Введем разбиение . Пусть . Рассмотрим суммы , которые называют нижней и верхней суммами Дарбу. Очевидно, что .
Известно, что для любой ограниченной функции нижние и верхние суммы Дарбу имеют конечные пределы и при этом .
Без доказательства. Теорема 1. Для того, чтобы функция была интегрируема в промежутке чтобы , т.е. , где -называется колебанием функции на .
Для непрерывной функции на для каждого частичного промежутка , такие ,что . Это следует из теоремы Вейерштрасса. Тогда для , такое, что при выполняется условие . Тогда если , то .
Следовательно для непрерыв на отр ф-и выполняется усл-е интегрируемости.
Теорема 2. Если ф-я определена и непрерыв на всюду за искл конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема 3. Если ф-я опред и явл монотонной и ограниченной на , то она интегрируема на этом отрезке.
Случай неинтегрируемых функций.
Теорема 4. неограниченная на отр ф-я не интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
- если интегрируема на , то также интегрируема на и
Док. .
- Если и интегрируемы на , то их сумма также интегрируема на и
Док. .
- (по определению)
- Пусть интегрируема в и , тогда она интегрируема на и и справедливо равенство
Предположим, что и интегр. Рассмотрим разбиение на части, причем точку будем считать одной из точек деления. Тогда где колебание функции на отрезке .
Так как все слагаемые справа положительные, то из стремления суммы слева к нулю, следует что, и слагаемые справа также стремятся к нулю. Таким образом установлена интегрируемость в промежутках .
Очевидно, что . Переходя к пределу при получаем требуемое равенство.
- если интегр на и , то .
Дкв. . Тогда .
- если функции и интегрируемы на и , то .
Дкв. Так как , то по свойству 6 имеем и по свойствам (1), (2) или .
- Если ф-я интегр на , то ф-я также интегр на и .
Док. Обозначим , , ,.
Покажем, что для одного и того же разбиения промежутка , где , .
Если иодного знака, то .
Если иразных знаков , то , а . Отсюда следует, что .
Из интегрируемости вытекает, что и следовательно , т.е. ф-я интегр на .
Составим и.
Очевидно, что . Переходя к пределу получим (*).
2. тематизатор античної філософії і логіки
3. Детально ознакомиться с действующей нормативной документацией уметь правильно ее использовать на произв.
4. Лабораторна робота ’1 Експлуатація масляних і електромагнітних вимикачів
5. История японского языка
6. Мировой кёрлинг в новом олимпийском цикле
7. на тему- Цех по производству керамовермикулитовых изделий
8. Mt 8-2 [C] jh si mnn ~rutsfill hbnds durinnnds inwit in qi~nds- fruj jbi wileis mgt mik ghrinjn
9. Реферат з педагогіки Поняття педагогічної майстерності педагогічного спілкування Що стоїть за понятт
10. тематические методы и модели в социальноэкономических исследованиях.html
11. Лабораторная работа 7 Создание объектов методом Editble Poly Редактируемая полисетка Стакан Телевизор
12. Культура речи и средства эффективного общения
13. Сети 1 стр. 58 январь 1997 Факсимильная связь на базе компьютерной телефонии А.
14. Что лучше истина или сострадание
15. Курсовая работа- Автоматизация управленческого учета
16. Эффективность комплексного применения методов неразрушающего контроля
17. тема финансовоправовых норм регулирующих общественные отношения по установлению введению в действие и взи
18. отчет по лабораторной работе 29 Определение ускорения свободного падения
19. Построение национальной идеологии России
20. Статья 1 Основные понятия В целях настоящего Федерального закона используются следующие основные понятия