Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
17. Интегральная сумма. Определенный интеграл. Суммы Дарбу. Условие существования определенного интеграла. Свойства определенного. Интеграла.
Площадь криволинейной фигуры. Зададим на отрезке неотрицательную непрерывную функцию . Требуется определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой , осью , прямыми и, и вычислить эту площадь.
Разобьем отрезок на частей точками . Выберем на каждом из отрезков , по произвольной точке . Составим сумму. , где , которую называют интегральной суммой и которая представляет собой площадь ступенчатой фигуры.
Обозначим -длина наибольшего отрезка из .
Будем теперь стремить все к нулю и притом так, чтобы максимальный отрезок разбиения стремился к нулю. Если при этом величина стремится к определенному конечному пределу , не зависящему от способов разбиения и выбора точек ,то предел называется площадью нашей криволинейной фигуры.
.
На практике встречается много других конкретных задач, решение которых сводится к вычислению предела интегральной суммы. Эта операция называется операцией интегрирования функции на отрезке, а ее результат – предел интегральной суммы – определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается
-подынтегральная функция.
-нижний и верхний пределы интегрирования.
Суммы Дарбу.
Пусть на отрезке задана произвольная функция . Введем разбиение . Пусть . Рассмотрим суммы , которые называют нижней и верхней суммами Дарбу. Очевидно, что .
Известно, что для любой ограниченной функции нижние и верхние суммы Дарбу имеют конечные пределы и при этом .
Без доказательства. Теорема 1. Для того, чтобы функция была интегрируема в промежутке чтобы , т.е. , где -называется колебанием функции на .
Для непрерывной функции на для каждого частичного промежутка , такие ,что . Это следует из теоремы Вейерштрасса. Тогда для , такое, что при выполняется условие . Тогда если , то .
Следовательно для непрерыв на отр ф-и выполняется усл-е интегрируемости.
Теорема 2. Если ф-я определена и непрерыв на всюду за искл конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема 3. Если ф-я опред и явл монотонной и ограниченной на , то она интегрируема на этом отрезке.
Случай неинтегрируемых функций.
Теорема 4. неограниченная на отр ф-я не интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
Док. .
Док. .
Предположим, что и интегр. Рассмотрим разбиение на части, причем точку будем считать одной из точек деления. Тогда где колебание функции на отрезке .
Так как все слагаемые справа положительные, то из стремления суммы слева к нулю, следует что, и слагаемые справа также стремятся к нулю. Таким образом установлена интегрируемость в промежутках .
Очевидно, что . Переходя к пределу при получаем требуемое равенство.
Дкв. . Тогда .
Дкв. Так как , то по свойству 6 имеем и по свойствам (1), (2) или .
Док. Обозначим , , ,.
Покажем, что для одного и того же разбиения промежутка , где , .
Если иодного знака, то .
Если иразных знаков , то , а . Отсюда следует, что .
Из интегрируемости вытекает, что и следовательно , т.е. ф-я интегр на .
Составим и.
Очевидно, что . Переходя к пределу получим (*).