Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 11
Аналитическая геометрия
Два способа задания прямой линии на плоскости
1). Общее уравнение прямой.
1.1). Уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом.
1.2). Уравнение прямой в отрезках.
2). Каноническое уравнение прямой.
2.1).Уравнение прямой, проходящей через две точки.
2.2). Параметрическое уравнение прямой.
3). Основные задачи на прямую линию на плоскости.
3.1). Взаимное расположение двух прямых.
3.2).Угол между прямыми.
3.3). Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости.
Первый способ задания прямой линии на плоскости
В заданной системе координат любая прямая полностью определена в каждом из двух случаев.
1). Общее уравнение прямой.
На прямой известна точка М0 (x0,y0) и вектор =(A,B) перпендикулярный прямой, – нормальный вектор прямой.
Возьмем на прямой точку М (x,y) – говорят текущая точка, или точка с произвольными координатами. Тогда вектор=(x-x0;y-y0) будет вектору , из условия векторов следует
(,)=0 (1),
- это векторное уравнение прямой на плоскости.
Запишем его в координатной форме, получим:
А(x-x0 ) + В(y-y0)=0 (2)
Это общее уравнение прямой на плоскости. Преобразуем его:
Аx-Ax0 + Вy-By0=0 или
Ax+By+C=0 (3)
Уравнение (3) -также общее уравнение прямой на плоскости.
Уравнение прямой - это уравнение первой степени относительно x и y; А и В –координаты вектора нормали.
1.1). Уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом.
Найдем уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом – k из общего уравнения прямой
А(x-x0 ) + В(y-y0)=0 отсюда:
y-y0=- (x-x0)
или
y-y0=k( х-х0) (4)
уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом k, раскрывая скобки, получим или
y=kх+b (5)
- это уравнение прямой заданной угловым коэффициентом.
k=- . b = - (6)
k= - угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси ОХ.
1.2). Уравнение прямой в отрезках.
Получим уравнение прямой в отрезках из общего уравнения прямой в форме (3).
Ax + By= - C. Поделим на -С.
, представим в виде: или
(7)
Уравнение (7)- уравнение прямой в отрезках
Второй способ задания прямой.
2). Каноническое уравнение прямой.
Известна точка М0(x0;y0) и вектор =(m,n). - направляющий вектор прямой.
Возьмем точку M (x,y) на прямой, тогда вектор | | из условия параллельности векторов следует:
(8)
Векторное уравнение прямой на плоскости
при: (m,n); и =(x-x0;y-y0) подставим в (8) получим:
(9)
Каноническое уравнение прямой на плоскости.
Замечание: Каноническое уравнение будем иметь, если на прямой заданы две точки.
2.1).Уравнение прямой, проходящей через две точки.
=(x2-x1;y2-y1)
=(x-x1;y-y1)
(10)
уравнение прямой проходящей через две точки.
2.2). Параметрическое уравнение прямой.
Используя каноническое уравнение прямой (9), введём параметр t тогда: или
(11)
Уравнение прямой в параметрической форме.
Общий вывод: Все полученные уравнения прямой, являются уравнениями 1-й степени относительно x и y. Можно доказать обратное утверждение: всякое уравнение 1-й степени на плоскости определяет прямую линию.
Пример: Даны вершины треугольника A(1;-2) B(3;4) C(5;2)
1)Составить уравнение стороны BC;
2)Высоты из т. А
3)Медианы через т. В
Решение. 1)воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки
(уравнение 10)
ВС: получили каноническое уравнение.
Для пункта 3) используем формулу деления отрезка в данном отношении.
т.к.
Тогда M(3;0) Пусть В(x1;y1) M(x0;y0)
Запишем уравнение прямой ВМ используя уравнение (10), получим
ВМ: или - Найдем уравнение высоты из т. А так как то играет роль вектора нормали к прямой AD. Тогда =(2;-2)= тогда
AD: 2(x-1)-2(y+2)=0
3.Основные задачи на прямую на плоскости.
Рассмотрим различные ситуации с двумя прямыми.
3.1).Взаимное расположение двух прямых
Возможны четыре случая:
а) Если прямые L1 и L2 пересекаются в одной точке, то система имеет единственное решение, это возможно когда главный определитель системы
т.е. т.е. и - не коллинеарные
б) если прямые L1 и L2 параллельные то и коллинеарные (12)
условие L1 | | L2
в) если прямые L1 и L2 сливаются то система в этом случае имеет множество решений.
г) если прямые перпендикулярны
используя выражения для , получим k1k2=-1, итак
и k1k2=-1 (13) условие
3.2.Нахождение угла между прямыми.
Угол между прямыми – это угол между нормалями и .
(14)
(15)
3.3.Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости.
Рассмотрим скалярное произведение векторов. и поскольку они параллельны тогда
(,)=, это мы записали уравнение прямой.
(,)= , =(x1-x0;y1-y0);
; но в числителе стоит уравнение M1 M0; т. М0 M1 M0
(16)
Задача. Две стороны квадрата лежат на прямых L1:5x-12y-65=0 и L2:5x-12y+26=0. Вычислить его площадь.
Прямые параллельны.
L1 | | L2 :
Обозначим сторону квадрата за d, тогда S=d2
Теперь найдём расстояние от т. М0 до L2; оно и будет равно стороне квадрата.
S=49