Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет 10.1). Поток векторного поля. Вывод формулы Остроградского-Гаусса. Говорят, что в области G задано векторное поле, если каждой точке МG поставлен в соответствие по некоторому правилу вектор . если G – область трехмерного пространства с введенной в ней декартовой системой координат Oxyz с ортами , направленными по осям, то задание векторного поля равносильно заданию трёх скалярных функций-координат, каждая из которых зависит от трех переменных: =P(x,y,z)+Q(x,y,z)+R(x,y,z). Пусть σ – некоторая ориентированная поверхность в области G. Выберем определенную ее сторону, задав единичный вектор нормали к поверхности . Потоком вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора поля на нормальный единичный вектор: П=)dσ. В координатной форме, представим соответствующим образом скалярное произведение векторов и П=; П=. Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой области V и на ее кусочно гладкой границе σ. Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса: . Левая часть формулы представляет собой поток векторного поля через поверхность σ. Док-во. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольности P, Q, R состоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поля P, Q, R. В самом деле, можно взять P = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит только R. Остальные части формулы (при P = 0, R = 0, Q = 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы . 2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область V в виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными оси OZ. Доказательство можно проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах. Докажем соотношение для цилиндрического тела V, проектирующегося в область D на плоскости OXY. Пусть «верхняя» граница цилиндрического тела – поверхность описывается уравнением z=, «нижняя» граница – поверхность описывается уравнением z=, . Боковую поверхность цилиндрического тела, параллельную оси OZ, обозначим . Поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю. Действительно, , так как нормаль на боковой поверхности ортогональна оси OZ и cos0. Заметим также, что на «верхней» поверхности cos0, а на «нижней поверхности cos0. Поэтому при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно менять знак не надо. Таким образом, соотношение доказано. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом виде» – поток векторного поля через замкнутую поверхность σ равен объёмному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью σ. Дивегренция поля есть . Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат.2). Сформулировать условия независимости криволинейного интеграла 2-ого рода от пути интегрирования. Криволинейный интеграл 2-ого рода от векторной функции не зависит от пути интегрирования, если P,Q,R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция u=u(x,y,z), такая, что или u/x=P; u/y=Q; u/z=R. В этом случае криволинейный интеграл 2-ого рода от функции вдоль кривой С от точки A до точки B выражается формулой Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура С справедливо соотношение . . Криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. 3) Сформулировать основные свойства степенных рядов. Степенным рядом называется ряд вида . Степенной ряд заведомо расходится при x=, -центр сходимости ряда. Свойства. 1)Пусть степенной ряд имеет интервал сходимости (-R,R). Тогда ряды, полученные из данного ряда почленным его дифференцированием и интегрированием имеют тот же интервал сходимости, что и данный ряд.2) пусть степенной ряд имеет интервал сходимости (-R,R); а r-произвольное положительное число, меньше чем R (0<r<R). Тогда данный степенной ряд является правильно сходящимся на сегменте [-r;r]. 3) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости (-R;R). 4) Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке его интервала сходимости. 5) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости (-R;R), т.е. если x1,x2 – точки, принадлежащие интервалу сходимости, то …+….