Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Отчёт по лабораторной работе:
“Линейные системы уравнений”
Студента группы 2097/2
Потапова Григория Сергеевича
14.03.2013
Задание №1
Сравнить между собой естественное и стандартное числа обусловленности матрицы а также - точное значение стандартного числа обусловленности с его оценкой, вычисленной процедурой DECOMP.
Для 1 типа матрицы, 3 порядка.
Естественное число обусловленности (muj1): 1.733*101
Стандартное число обусловленности (muj2): 2.000*101
Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.175*101
(muj2-cond)/muj2 = 41%
Для 2 типа матрицы, 3 порядка.
Естественное число обусловленности (muj1): 1.867*101
Стандартное число обусловленности (muj2): 2.400*101
Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.933*101
(muj2-cond)/muj2 = 19%
Для 4 типа матрицы, 3 порядка.
Естественное число обусловленности (muj1): 1.753*101
Стандартное число обусловленности (muj2): 2.347*101
Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.266*101
(muj2-cond)/muj2 = 46%
Вывод: Оценка стандартного числа обусловленности позволяет грубо оценить норму обратной матрицы A. Стандартное число обусловленности из процедуры DECOMP достаточно удобна для использования.
Задание №2
Вывод: С увеличением порядка матрицы растёт и ошибка решения. Это связано с большим количеством округлений и математических операций. Порядок реальной ошибки и оценки ошибки по числу обусловленности, вычисленной процедурой DECOMP, совпадают. С ростом порядка матрицы растёт Ч.О.
Оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем с одинаково хорошо обусловленными матрицами порядка от 3 до 15; провести анализ точности, как функции порядка матрицы; сравнить фактически получаемую ошибку с ее оценками.
Для хорошо обусловленной матрицы 3 типа.
|
Порядок матрицы |
Ошибка решения |
Оценка ошибки |
Ч.О. |
|
3 |
3.638*10-12 |
5.80*10-12 |
4.074 |
|
6 |
1.152*10-11 |
2.25*10-11 |
13.58 |
|
9 |
1.698*10-11 |
4.42*10-11 |
27.26 |
|
12 |
1.789*10-11 |
5.29*10-11 |
44.06 |
|
15 |
3.298*10-11 |
1.29*10-11 |
63.94 |
Задание №3
|
Порядок матрицы |
Ошибка решения |
Оценка ошибки |
Ч.О. |
|
3 |
2.547*10-11 |
3.44*10-11 |
680.8 |
|
6 |
5.458*10-6 |
7.60*10-6 |
2.262*107 |
|
9 |
3.543*10-3 |
2.43*10-1 |
8.130*1011 |
|
12 |
1.163*101 |
8.46*101 |
7.553*1013 |
|
15 |
7.233 |
2.63*101 |
5.783*1013 |
Выполнить задания п.2 для систем с одинаково плохо обусловленными матрицами.
Вывод: С увеличением порядка матрицы растёт и ошибка решения. Оценка ошибки по числу обусловленности завышена по сравнению с реальной ошибкой решения. С ростом порядка матрицы растёт Ч.О.
Для плохо обусловленной матрицы 5 типа.
Задание №4
Оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем одного порядка, но различной обусловленности (от «очень хороших» до «очень плохих»). Результаты анализа представить в виде зависимости относительной точности решения от числа обусловленности. Обратить внимание на величину нормы вектора невязки и проследить ее зависимость от обусловленности системы и связь с фактической ошибкой решения.
Вывод: С увеличением числа обусловленности ошибка решения растёт. Норма вектора невязки и ошибка решения не зависят друг от друга. Норма вектора невязки не зависит от числа обусловленности матрицы системы.
Матрица 5 порядка.
|
Тип |
Ст. число обусловленности |
Норма вектора навязки |
Ошибка решения |
|
1 |
5.860*101 |
0 |
0 |
|
2 |
5.382*101 |
0 |
0 |
|
3 |
1.000*101 |
1.348*10-10 |
7.276*10-13 |
|
4 |
6.864 |
1.194*10-11 |
1.637*10-12 |
|
5 |
6.941*105 |
1.258*10-12 |
8.069*10-8 |
|
6 |
1.352*1010 |
6.022*10-11 |
1.158*10-5 |
|
7 |
4.944*106 |
3.316*10-13 |
9.040*10-9 |
|
8 |
1.066*107 |
2.347*10-11 |
3.188*10-6 |
Задание №5
Исследовать возможность улучшения обусловленности задачи посредством внесения малого случайного возмущения в матрицу системы.
Порядок матриц: 7; Тип возмущения: M
|
Матрица 8 типа |
Матрица 3 типа |
||||
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
|
1 |
0 |
4.415*107 |
1 |
0 |
1.785*101 |
|
103 |
0 |
4.415*107 |
103 |
0 |
1.785*101 |
|
106 |
0 |
4.415*107 |
106 |
0 |
1.785*101 |
|
109 |
0 |
4.415*107 |
109 |
0 |
1.785*101 |
|
1012 |
0 |
4.872*107 |
1012 |
0 |
1.785*101 |
|
1015 |
0 |
9.540*105 |
1015 |
0 |
1.785*101 |
|
1018 |
0 |
1.190*104 |
1018 |
0 |
2.082*101 |
|
1021 |
0 |
2.031*10 |
1021 |
0 |
9.997*101 |
|
0 |
1 |
4.415*107 |
0 |
1 |
1.785*101 |
|
0 |
103 |
4.415*107 |
0 |
103 |
1.785*101 |
|
0 |
106 |
4.415*107 |
0 |
106 |
1.785*101 |
|
0 |
109 |
4.415*107 |
0 |
109 |
1.785*101 |
|
0 |
1012 |
4.415*107 |
0 |
1012 |
1.785*101 |
|
0 |
1015 |
4.415*107 |
0 |
1015 |
1.785*101 |
|
0 |
1018 |
4.415*107 |
0 |
1018 |
1.785*101 |
|
0 |
1021 |
4.415*107 |
0 |
1021 |
1.785*101 |
|
1 |
1 |
4.415*107 |
1 |
1 |
1.785*101 |
|
103 |
103 |
4.415*107 |
103 |
103 |
1.785*101 |
|
106 |
106 |
4.415*107 |
106 |
106 |
1.785*101 |
|
109 |
109 |
4.417*107 |
109 |
109 |
1.785*101 |
|
1012 |
1012 |
4.737*107 |
1012 |
1012 |
1.785*101 |
|
1015 |
1015 |
1.730*107 |
1015 |
1015 |
1.785*101 |
|
1018 |
1018 |
4.609*102 |
1018 |
1018 |
2.060*101 |
|
1021 |
1021 |
6.671*102 |
1021 |
1021 |
3.994*101 |
Вывод: При возмущениях, вносимых в матрицу системы, меньших, чем 1015 – обусловленность матрицы не изменяется. При любых возмущениях kEpsB, обусловленность матрицы не меняется.
I: Плохо обусловленная матрица: при больших возмущениях kEpsA (>1015) обусловленность матрицы резко улучшается (на несколько порядков).
II: Хорошо обусловленная матрица: при больших возмущениях kEpsA (>1018) обусловленность матрицы немного ухудшается (в несколько раз).
Задание №6
Для задач с «хорошей» матрицей (m = 102 - 104) посредством внесения в матрицу системы возмущений различной величины сделать заключение о приемлемой для получения требуемой (наперед заданной) точности решения степени неопределенности в задании исходных данных.
Матрица 2 типа, 7 порядка. Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
0 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-19 |
1 |
|
103 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
2.98*10-16 |
1 |
|
106 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
2.50*10-13 |
1 |
|
109 |
0 |
1.353*102 |
1.492*10-10 |
1.71*10-10 |
3.00*10-10 |
1 |
|
1012 |
0 |
1.353*102 |
2.263*10-7 |
4.78*10-11 |
2.88*10-7 |
1 |
|
0 |
103 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-16 |
1 |
|
0 |
106 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-13 |
1 |
|
0 |
109 |
1.353*102 |
1.455*10-10 |
1.47*10-8 |
2.54*10-10 |
1 |
|
0 |
1012 |
1.353*102 |
1.085*10-7 |
1.47*10-5 |
2.17*10-7 |
1 |
|
103 |
103 |
1.353*102 |
0 |
0 |
3.77*10-16 |
1 |
|
106 |
106 |
1.353*102 |
0 |
0 |
4.59*10-13 |
1 |
|
109 |
109 |
1.353*102 |
3.074*10-10 |
1.47*10-8 |
5.66*10-10 |
1 |
|
1012 |
1012 |
1.353*102 |
1.334*10-7 |
1.47*10-5 |
5.10*10-7 |
1 |
Матрица 5 типа 3 порядка. Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
0 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
103 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
106 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.38*10-12 |
3*101 |
|
109 |
0 |
6.808*102 |
9.277*10-11 |
1.24*10-10 |
1.45*10-10 |
3*101 |
|
1012 |
0 |
6.808*102 |
5.256*10-8 |
5.72*10-11 |
9.86*10-8 |
3*101 |
|
0 |
103 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
0 |
106 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.38*10-12 |
3*101 |
|
0 |
109 |
6.808*102 |
3.747*10-10 |
7.40*10-8 |
4.53*10-10 |
3*101 |
|
0 |
1012 |
6.808*102 |
1.085*10-7 |
7.38*10-5 |
2.17*10-7 |
3*101 |
|
103 |
103 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
106 |
106 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.47*10-12 |
3*101 |
|
109 |
109 |
6.808*102 |
3.474*10-10 |
7.38*10-8 |
5.72*10-10 |
3*101 |
|
1012 |
1012 |
6.808*102 |
1.984*10-7 |
7.38*10-5 |
3.07*10-7 |
3*101 |
Вывод: Требуемая (наперёд заданная) точность решения достигается при степени неопределённости исходных данных (kEpsA и/или kEpsB) меньшей, чем 109. Если степень неопределённости исходных данных выше, то оценка ошибки решения и реальная ошибка не совпадают.
Задание №7
Повторить эксперимент п.6 для задач с плохо обусловленной матрицей.
Матрица 12 типа, 3 порядка; Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
1 |
0 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
103 |
0 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
106 |
0 |
9.986*105 |
3.080*10-8 |
8.32*10-8 |
6.13*10-9 |
1.26*106 |
|
109 |
0 |
9.986*105 |
3.293*10-8 |
3.57*10-7 |
1.19*10-8 |
1.26*106 |
|
1012 |
0 |
9.986*105 |
3.617*10-8 |
6.16*10-8 |
1.30*10-7 |
1.26*106 |
|
1015 |
0 |
9.986*105 |
3.381*10-5 |
3.04*10-7 |
7.21*10-5 |
1.26*106 |
|
1018 |
0 |
1.128*106 |
1.087*10-1 |
5.12*10-7 |
1.34*10-1 |
1.26*106 |
|
0 |
1 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
103 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
106 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
109 |
9.986*105 |
1.986*10-8 |
1.08*10-4 |
4.85*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
1012 |
9.986*105 |
9.873*10-8 |
1.08*10-1 |
2.32*10-7 |
1.26*106 |
|
0 |
1015 |
9.986*105 |
1.084*10-4 |
1.08*102 |
2.17*10-4 |
1.26*106 |
|
0 |
1018 |
9.986*105 |
1.084*10-1 |
1.08*105 |
1.96*10-1 |
1.26*106 |
|
1 |
1 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
103 |
103 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
106 |
106 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
109 |
109 |
9.986*105 |
2.591*10-8 |
1.08*10-4 |
5.50*10-9 |
1.26*106 |
|
1012 |
1012 |
9.986*105 |
1.356*10-7 |
1.08*10-1 |
3.86*10-7 |
1.26*106 |
|
1015 |
1015 |
9.986*105 |
1.445*10-4 |
1.08*102 |
3.15*10-4 |
1.26*106 |
|
1018 |
1018 |
1.070*106 |
1.129*10-1 |
1.08*105 |
3.06*10-1 |
1.26*106 |
Матрица 12 типа, 4 порядка; Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
1 |
0 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
103 |
0 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
106 |
0 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.44*10-4 |
1.03*10-5 |
6.50*107 |
|
109 |
0 |
1.488*109 |
3.265*10-5 |
1.93*10-4 |
4.04*10-6 |
6.50*107 |
|
1012 |
0 |
1.488*109 |
4.293*10-5 |
1.03*10-4 |
6.70*10-6 |
6.50*107 |
|
1015 |
0 |
1.488*109 |
4.579*10-5 |
2.09*10-4 |
1.31*10-4 |
6.50*107 |
|
1018 |
0 |
1.605*109 |
6.833*10-2 |
2.43*10-4 |
1.15*10-1 |
6.50*107 |
|
0 |
1 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
0 |
103 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
0 |
106 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
0 |
109 |
1.488*109 |
1.971*10-5 |
1.60*10-1 |
6.45*10-6 |
6.50*107 |
|
0 |
1012 |
1.488*109 |
1.717*10-5 |
1.61*102 |
9.11*10-6 |
6.50*107 |
|
0 |
1015 |
1.488*109 |
1.017*10-5 |
1.61*102 |
2.20*10-4 |
6.50*107 |
|
0 |
1018 |
1.488*109 |
1.084*10-1 |
1.61*108 |
1.96*10-1 |
6.50*107 |
|
1 |
1 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
103 |
103 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
106 |
106 |
1.488*109 |
1.614*10-5 |
5.74*10-4 |
9.85*10-6 |
6.50*107 |
|
109 |
109 |
1.488*109 |
4.314*10-5 |
1.61*10-1 |
4.36*10-6 |
6.50*107 |
|
1012 |
1012 |
1.488*109 |
2.076*10-5 |
1.61*102 |
3.89*10-6 |
6.50*107 |
|
1015 |
1015 |
1.488*109 |
1.331*10-4 |
1.61*105 |
3.04*10-4 |
6.50*107 |
|
1018 |
1018 |
1.527*109 |
2.346*10-1 |
1.66*108 |
3.52*10-1 |
6.50*107 |
Вывод: При внесении возмущения только kEpsB (или одновременно kEpsA и kEpsB) в плохо обусловленную матрицу, реальная ошибка и её оценка по числу обусловленности примерно равны при степени неопределённости исходных данных меньше, чем 109. При внесении только возмущения kEpsA реальная ошибка и её оценка по числу обусловленности примерно равны при неопределённости исходных данных меньше, чем 1015. Плохо обусловленная матрица менее подвержена возмущению, чем хорошо обусловленная.
Задание №8
Выполняя п. 6 и 7 , исследовать работоспособность различных методов оценки ошибок решения (выражения (7), (12), (13)) при наличии возмущения левой части системы.
Вывод: При внесении возмущения типа P в матрицу системы оценка ErrEst([P]) даёт точную оценку реальной ошибки (при любых возмущении), чем ErrEst([M]). ErrEst(cond) даёт точную оценку ошибки только при малых возмущениях (103 - 106). При больших возмущениях ErrEst(cond) отличается от реальной ошибки на несколько порядков. ErrEst([M]) при любом возмущении P даёт оценку, не соответствующую реальной ошибке. Так как каждый из способов оценки ошибки решения лучше “работает” со своим типом возмущения.
Задание №9
Применить для решения нескольких систем из пунктов 2-4 итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя; проверить реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра матрицы В проверить выполнение теоремы сходимости стационарного метода; выявить взаимосвязь скорости сходимости итерационного процесса с величиной спектрального радиуса матрицы В.
|
Тип |
Обусловл. |
Метод решения |
Спектральный радиус |
Количество итераций |
|
1 |
1.175*101 |
Якоби |
0 |
4 |
|
1.175*101 |
Гаусса-Зейделя |
0 |
4 |
|
|
4 |
1.307*101 |
Якоби |
6.454*10-1 |
63 |
|
1.307*101 |
Гаусса-Зейделя |
9.424*10-1 |
424 |
|
|
6 |
5.756*101 |
Якоби |
0 |
2 |
|
5.756*101 |
Гаусса-Зейделя |
0 |
2 |
|
|
13 |
1.191*107 |
Якоби |
5.21 |
- |
|
1.191*107 |
Гаусса-Зейделя |
2.58 |
- |
Вывод: У хорошо обусловленных матриц количество итераций ограничено. А решение с плохо обусловленными матрицами не сходится. Теорема о сходимости стационарного метода выполняется: метод Якоби сходится тогда и только тогда, когда спектральный радиус меньше единицы. Чем больше спектральный радиус, тем меньше радиус сходимости.
Задание №10
Провести исследование влияния вида доминирования матрицы задачи на сходимость процедур Якоби и Гаусса-Зейделя.
|
Тип матрицы |
Метод решения |
Спектральный радиус |
Количество итераций |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Якоби |
0 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Гаусса-Зейделя |
0 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Якоби |
0 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Гаусса-Зейделя |
0 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Якоби |
3.260 |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Гаусса-Зейделя |
1.390 |
- |
Вывод: Для произвольной матрицы (без явного доминирования) метод Якоби и Гаусса-Зейделя не даёт результата (т.к. спектральный радиус больше единицы). Для нижней треугольной матрицы метод Гаусса-Зейделя находит решение за меньшее количество итераций, чем метод Якоби. Так как метод Гаусса-Зейделя представляет матрицу в виде суммы нижней, верхней и диагональной треугольной матрицы.