У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Задание 1 Сравнить между собой естественное и стандартное числа обусловленности матрицы а также точное з

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 29.12.2024

Отчёт по лабораторной работе:

“Линейные системы уравнений”

Студента группы 2097/2

Потапова Григория Сергеевича

14.03.2013

Задание №1

Сравнить между собой естественное и стандартное числа обусловленности матрицы а также - точное значение стандартного числа обусловленности с его оценкой, вычисленной процедурой DECOMP.

Для 1 типа матрицы, 3 порядка.

Естественное число обусловленности (muj1): 1.733*101

Стандартное число обусловленности (muj2): 2.000*101

Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.175*101

(muj2-cond)/muj2 = 41%

Для 2 типа матрицы, 3 порядка.

Естественное число обусловленности (muj1): 1.867*101

Стандартное число обусловленности (muj2): 2.400*101 

Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.933*101

(muj2-cond)/muj2 = 19%

Для 4 типа матрицы, 3 порядка.

Естественное число обусловленности (muj1): 1.753*101

Стандартное число обусловленности (muj2): 2.347*101 

Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.266*101

(muj2-cond)/muj2 = 46%

Вывод: Оценка стандартного числа обусловленности позволяет грубо оценить норму обратной матрицы A. Стандартное число обусловленности из процедуры DECOMP достаточно удобна для использования.


Задание №2

Вывод: С увеличением порядка матрицы растёт и ошибка решения. Это связано с большим количеством округлений и математических операций. Порядок реальной ошибки и оценки ошибки по числу обусловленности, вычисленной процедурой DECOMP, совпадают. С ростом порядка матрицы растёт Ч.О.

Оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем с одинаково хорошо обусловленными матрицами порядка от 3 до 15; провести анализ точности, как функции порядка матрицы; сравнить фактически получаемую ошибку с ее оценками.

Для хорошо обусловленной матрицы 3 типа.

Порядок

матрицы

Ошибка

решения

Оценка ошибки

Ч.О.

3

3.638*10-12

5.80*10-12

4.074

6

1.152*10-11

2.25*10-11

13.58

9

1.698*10-11

4.42*10-11

27.26

12

1.789*10-11

5.29*10-11

44.06

15

3.298*10-11

1.29*10-11

63.94

Задание №3

Порядок

матрицы

Ошибка

решения

Оценка

ошибки

Ч.О.

3

2.547*10-11

3.44*10-11

680.8

6

5.458*10-6

7.60*10-6

2.262*107

9

3.543*10-3

2.43*10-1

8.130*1011

12

1.163*101

8.46*101

7.553*1013

15

7.233

2.63*101

5.783*1013

Выполнить задания п.2 для систем с одинаково плохо обусловленными матрицами.

Вывод: С увеличением порядка матрицы растёт и ошибка решения. Оценка ошибки по числу обусловленности завышена по сравнению с реальной ошибкой решения. С ростом порядка матрицы растёт Ч.О.

Для плохо обусловленной матрицы 5 типа.

Задание №4

Оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем одного порядка, но различной обусловленности (от «очень хороших» до «очень плохих»). Результаты анализа представить в виде зависимости относительной точности решения от числа обусловленности. Обратить внимание на величину нормы вектора невязки и проследить ее зависимость от обусловленности системы и связь с фактической ошибкой решения.

Вывод: С увеличением числа обусловленности ошибка решения растёт. Норма вектора невязки и ошибка решения  не зависят друг от друга. Норма вектора невязки не зависит от числа обусловленности матрицы системы.

Матрица 5 порядка.

Тип

Ст. число обусловленности

Норма вектора навязки

Ошибка решения

1

5.860*101

0

0

2

5.382*101

0

0

3

1.000*101

1.348*10-10

7.276*10-13

4

6.864

1.194*10-11

1.637*10-12

5

6.941*105

1.258*10-12

8.069*10-8

6

1.352*1010

6.022*10-11

1.158*10-5

7

4.944*106

3.316*10-13

9.040*10-9

8

1.066*107

2.347*10-11

3.188*10-6

Задание №5

Исследовать возможность улучшения обусловленности задачи посредством внесения малого случайного возмущения в матрицу системы.                                                         

Порядок матриц: 7; Тип возмущения: M

Матрица 8 типа

Матрица 3 типа

kEpsA

kEpsB

Ст. число обусловл.

kEpsA

kEpsB

Ст. число обусловл.

1

0

4.415*107

1

0

1.785*101

103

0

4.415*107

103

0

1.785*101

106

0

4.415*107

106

0

1.785*101

109

0

4.415*107

109

0

1.785*101

1012

0

4.872*107

1012

0

1.785*101

1015

0

9.540*105

1015

0

1.785*101

1018

0

1.190*104

1018

0

2.082*101

1021

0

2.031*10

1021

0

9.997*101

0

1

4.415*107

0

1

1.785*101

0

103

4.415*107

0

103

1.785*101

0

106

4.415*107

0

106

1.785*101

0

109

4.415*107

0

109

1.785*101

0

1012

4.415*107

0

1012

1.785*101

0

1015

4.415*107

0

1015

1.785*101

0

1018

4.415*107

0

1018

1.785*101

0

1021

4.415*107

0

1021

1.785*101

1

1

4.415*107

1

1

1.785*101

103

103

4.415*107

103

103

1.785*101

106

106

4.415*107

106

106

1.785*101

109

109

4.417*107

109

109

1.785*101

1012

1012

4.737*107

1012

1012

1.785*101

1015

1015

1.730*107

1015

1015

1.785*101

1018

1018

4.609*102

1018

1018

2.060*101

1021

1021

6.671*102

1021

1021

3.994*101

Вывод: При возмущениях, вносимых в матрицу системы, меньших, чем 1015 – обусловленность матрицы не изменяется. При любых возмущениях kEpsB, обусловленность матрицы не меняется.  

I: Плохо обусловленная матрица: при больших возмущениях kEpsA (>1015) обусловленность матрицы резко улучшается (на несколько порядков).

II: Хорошо обусловленная матрица: при больших возмущениях kEpsA (>1018)  обусловленность матрицы немного ухудшается (в несколько раз).

Задание №6

Для задач с «хорошей» матрицей  (m =  102 - 104) посредством внесения в матрицу системы возмущений различной величины сделать заключение о приемлемой для получения требуемой (наперед заданной) точности решения степени неопределенности в задании исходных данных.

Матрица 2 типа, 7 порядка. Тип возмущения P.

kEpsA

kEpsB

Ст. число обусл.

Ошибка решения

ErrEst

(cond)

ErrEst

([P])

ErrEst

([M])

0

0

1.353*102

0

0

1.08*10-19

1

103

0

1.353*102

0

0

2.98*10-16

1

106

0

1.353*102

0

0

2.50*10-13

1

109

0

1.353*102

1.492*10-10

1.71*10-10

3.00*10-10

1

1012

0

1.353*102

2.263*10-7

4.78*10-11

2.88*10-7

1

0

103

1.353*102

0

0

1.08*10-16

1

0

106

1.353*102

0

0

1.08*10-13

1

0

109

1.353*102

1.455*10-10

1.47*10-8

2.54*10-10

1

0

1012

1.353*102

1.085*10-7

1.47*10-5

2.17*10-7

1

103

103

1.353*102

0

0

3.77*10-16

1

106

106

1.353*102

0

0

4.59*10-13

1

109

109

1.353*102

3.074*10-10

1.47*10-8

5.66*10-10

1

1012

1012

1.353*102

1.334*10-7

1.47*10-5

5.10*10-7

1

Матрица 5 типа 3 порядка. Тип возмущения P.

kEpsA

kEpsB

Ст. число обусл.

Ошибка решения

ErrEst

(cond)

ErrEst

([P])

ErrEst

([M])

0

0

6.808*102

2.365*10-11

6.19*10-11

7.28*10-12

3*101

103

0

6.808*102

2.365*10-11

6.19*10-11

7.28*10-12

3*101

106

0

6.808*102

2.365*10-11

6.19*10-11

7.38*10-12

3*101

109

0

6.808*102

9.277*10-11

1.24*10-10

1.45*10-10

3*101

1012

0

6.808*102

5.256*10-8

5.72*10-11

9.86*10-8

3*101

0

103

6.808*102

2.365*10-11

6.19*10-11

7.28*10-12

3*101

0

106

6.808*102

2.365*10-11

6.19*10-11

7.38*10-12

3*101

0

109

6.808*102

3.747*10-10

7.40*10-8

4.53*10-10

3*101

0

1012

6.808*102

1.085*10-7

7.38*10-5

2.17*10-7

3*101

103

103

6.808*102

2.365*10-11

6.19*10-11

7.28*10-12

3*101

106

106

6.808*102

2.365*10-11

6.19*10-11

7.47*10-12

3*101

109

109

6.808*102

3.474*10-10

7.38*10-8

5.72*10-10

3*101

1012

1012

6.808*102

1.984*10-7

7.38*10-5

3.07*10-7

3*101

Вывод: Требуемая (наперёд заданная) точность решения достигается при степени неопределённости исходных данных (kEpsA и/или kEpsB) меньшей, чем 109. Если степень неопределённости исходных данных выше, то оценка ошибки решения и реальная ошибка не совпадают.

Задание №7

Повторить эксперимент п.6 для задач с плохо обусловленной матрицей.

Матрица 12 типа, 3 порядка; Тип возмущения P.

kEpsA

kEpsB

Ст. число обусловл.

Ошибка решения

ErrEst

(cond)

ErrEst

([P])

ErrEst

([M])

1

0

9.986*105

3.021*10-8

3.02*10-7

5.62*10-9

1.26*106

103

0

9.986*105

3.021*10-8

3.02*10-7

5.62*10-9

1.26*106

106

0

9.986*105

3.080*10-8

8.32*10-8

6.13*10-9

1.26*106

109

0

9.986*105

3.293*10-8

3.57*10-7

1.19*10-8

1.26*106

1012

0

9.986*105

3.617*10-8

6.16*10-8

1.30*10-7

1.26*106

1015

0

9.986*105

3.381*10-5

3.04*10-7

7.21*10-5

1.26*106

1018

0

1.128*106

1.087*10-1

5.12*10-7

1.34*10-1

1.26*106

0

1

9.986*105

3.021*10-8

3.02*10-7

5.62*10-9

1.26*106

0

103

9.986*105

3.021*10-8

3.02*10-7

5.62*10-9

1.26*106

0

106

9.986*105

3.021*10-8

3.02*10-7

5.62*10-9

1.26*106

0

109

9.986*105

1.986*10-8

1.08*10-4

4.85*10-9

1.26*106

0

1012

9.986*105

9.873*10-8

1.08*10-1

2.32*10-7

1.26*106

0

1015

9.986*105

1.084*10-4

1.08*102

2.17*10-4

1.26*106

0

1018

9.986*105

1.084*10-1

1.08*105

1.96*10-1

1.26*106

1

1

9.986*105

3.021*10-8

3.02*10-7

5.62*10-9

1.26*106

103

103

9.986*105

3.021*10-8

3.02*10-7

5.62*10-9

1.26*106

106

106

9.986*105

3.021*10-8

3.02*10-7

5.62*10-9

1.26*106

109

109

9.986*105

2.591*10-8

1.08*10-4

5.50*10-9

1.26*106

1012

1012

9.986*105

1.356*10-7

1.08*10-1

3.86*10-7

1.26*106

1015

1015

9.986*105

1.445*10-4

1.08*102

3.15*10-4

1.26*106

1018

1018

1.070*106

1.129*10-1

1.08*105

3.06*10-1

1.26*106

Матрица 12 типа, 4 порядка; Тип возмущения P.

kEpsA

kEpsB

Ст. число обусловл.

Ошибка решения

ErrEst

(cond)

ErrEst

([P])

ErrEst

([M])

1

0

1.488*109

1.579*10-5

5.40*10-4

1.04*10-5

6.50*107

103

0

1.488*109

1.579*10-5

5.40*10-4

1.04*10-5

6.50*107

106

0

1.488*109

1.579*10-5

5.44*10-4

1.03*10-5

6.50*107

109

0

1.488*109

3.265*10-5

1.93*10-4

4.04*10-6

6.50*107

1012

0

1.488*109

4.293*10-5

1.03*10-4

6.70*10-6

6.50*107

1015

0

1.488*109

4.579*10-5

2.09*10-4

1.31*10-4

6.50*107

1018

0

1.605*109

6.833*10-2

2.43*10-4

1.15*10-1

6.50*107

0

1

1.488*109

1.579*10-5

5.40*10-4

1.04*10-5

6.50*107

0

103

1.488*109

1.579*10-5

5.40*10-4

1.04*10-5

6.50*107

0

106

1.488*109

1.579*10-5

5.40*10-4

1.04*10-5

6.50*107

0

109

1.488*109

1.971*10-5

1.60*10-1

6.45*10-6

6.50*107

0

1012

1.488*109

1.717*10-5

1.61*102

9.11*10-6

6.50*107

0

1015

1.488*109

1.017*10-5

1.61*102

2.20*10-4

6.50*107

0

1018

1.488*109

1.084*10-1

1.61*108

1.96*10-1

6.50*107

1

1

1.488*109

1.579*10-5

5.40*10-4

1.04*10-5

6.50*107

103

103

1.488*109

1.579*10-5

5.40*10-4

1.04*10-5

6.50*107

106

106

1.488*109

1.614*10-5

5.74*10-4

9.85*10-6

6.50*107

109

109

1.488*109

4.314*10-5

1.61*10-1

4.36*10-6

6.50*107

1012

1012

1.488*109

2.076*10-5

1.61*102

3.89*10-6

6.50*107

1015

1015

1.488*109

1.331*10-4

1.61*105

3.04*10-4

6.50*107

1018

1018

1.527*109

2.346*10-1

1.66*108

3.52*10-1

6.50*107

Вывод: При внесении возмущения только kEpsB (или одновременно kEpsA и kEpsB) в плохо обусловленную матрицу, реальная ошибка и её оценка по числу обусловленности примерно равны при степени неопределённости исходных данных меньше, чем 109. При внесении только возмущения kEpsA реальная ошибка и её оценка по числу обусловленности примерно равны при неопределённости исходных данных меньше, чем 1015. Плохо обусловленная матрица менее подвержена возмущению, чем хорошо обусловленная.


Задание №8

Выполняя п. 6 и 7 , исследовать работоспособность различных методов оценки ошибок решения (выражения (7), (12), (13)) при наличии возмущения левой части системы.

Вывод: При внесении возмущения типа P в матрицу системы оценка ErrEst([P]) даёт точную оценку реальной ошибки (при любых возмущении), чем ErrEst([M]). ErrEst(cond) даёт точную оценку ошибки только при малых возмущениях (103 - 106). При больших возмущениях ErrEst(cond) отличается от реальной ошибки на несколько порядков. ErrEst([M]) при любом возмущении P даёт оценку, не соответствующую реальной ошибке. Так как каждый из способов оценки ошибки решения лучше “работает” со своим типом возмущения.

Задание №9

Применить для решения нескольких систем из пунктов 2-4  итерационные методы Якоби  и Гаусса-Зейделя; проверить реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра матрицы В проверить выполнение теоремы сходимости стационарного метода; выявить взаимосвязь скорости сходимости  итерационного процесса с величиной спектрального радиуса матрицы В.

Тип

Обусловл.

Метод решения

Спектральный радиус

Количество итераций

1

1.175*101

Якоби

0

4

1.175*101

Гаусса-Зейделя

0

4

4

1.307*101

Якоби

6.454*10-1

63

1.307*101

Гаусса-Зейделя

9.424*10-1

424

6

5.756*101

Якоби

0

2

5.756*101

Гаусса-Зейделя

0

2

13

1.191*107

Якоби

5.21

-

1.191*107

Гаусса-Зейделя

2.58

-

Вывод: У хорошо обусловленных матриц количество итераций ограничено. А решение с плохо обусловленными матрицами не сходится. Теорема о сходимости стационарного метода выполняется: метод Якоби сходится тогда и только тогда, когда спектральный радиус меньше единицы. Чем больше спектральный радиус, тем меньше радиус сходимости.


Задание №10

Провести исследование влияния вида доминирования матрицы задачи на сходимость процедур Якоби и Гаусса-Зейделя.

Тип матрицы

Метод решения

Спектральный радиус

Количество итераций

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Якоби

0

4

Гаусса-Зейделя

0

2

3

0

0

0

0

5

0

0

0

0

4

0

0

0

0

7

Якоби

0

2

Гаусса-Зейделя

0

2

62

56

34

49

46

39

52

54

57

43

47

41

65

35

61

38

Якоби

3.260

-

Гаусса-Зейделя

1.390

-

Вывод: Для произвольной матрицы (без явного доминирования) метод Якоби и Гаусса-Зейделя не даёт результата (т.к. спектральный радиус больше единицы). Для нижней треугольной  матрицы метод Гаусса-Зейделя находит решение за меньшее количество итераций, чем метод Якоби. Так как метод Гаусса-Зейделя представляет матрицу в виде суммы нижней, верхней и диагональной треугольной матрицы.




1. ВАРИАНТ 4 1 Какой из видов нарушения сознания не существует- 1 Сомнолентность 2 Ступор 3 Афония
2. Время Подарки Помощь Прикосновения Вы стараетесь показать супругу что любите его а он как будто ниче
3. А ПРОБЛЕМЫ ПЧЕЛОВОДСТВА И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЙ
4. Геологія України
5. Область використання
6. Дипломная работа- Бюджет муниципального образования
7. 18 веков ~ Галилей ~ сформулировал основы нового метода экспериментального естествознания
8. тема- понятие и ее взаимосвязь с экономической политикой Руководитель-
9. ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ Единственная радость нашей жизни
10. углеводы и жиры не являются незаменимыми компонентами пищи
11. 12 Затверджую
12. Оценка туристского потенциала Одинцовского района
13. представляется как некоторая последовательность стадий и выполняемых на них процессов
14. Рассмотрение дел в арбитражном суде
15. Об утверждении форм документов необходимых для расследования и учета несчастных случаев на производстве и
16. Реферат- Реклама и паблик рилейшнз
17. біологічна мембрана ~ це подвійний шар фосфоліпідів біліпідний шар із зануреними в нього молекулами білка
18. Влияние бюджетного дефицита на качество жизни населения на примере муниципального образования Пушкинского района
19. Язык разметки гипертекста - HTML
20. Юриспруденция заочная форма обучения Группа ЮЗ61 11ЮРк1081