Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
ЗАЛІЗКО Василь Дмитрович
УДК 517.5
ОЦІНКИ КООПУКЛОГО НАБЛИЖЕННЯ
01.01.01 — математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ — 2008
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Національному педагогічному університеті
імені М. П. Драгоманова МОН України.
Науковий керівник
кандидат фізико-математичних наук
ДЗЮБЕНКО Герман Анатолійович,
Міжнародний математичний центр НАН України,
старший науковий співробітник
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук
старший науковий співробітник
ЗЕЛІНСЬКИЙ Юрій Борисович, завідувач відділу
комплексного аналізу і теорії потенціалу Інституту математики НАН України;
кандидат фізико-математичних наук
ПОПОВ Петро Аркадійович,
Київський національний університет технологій
дизайну, доцент кафедри вищої математики
Захист відбудеться “15” квітня 2008р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3. З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України. Автореферат розісланий “12”квітня 2008 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради А. С. Романюк
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Ще П. Л. Чебишов для кожного n ≥ 2, побудував два зростаючі на
I:=[-1,1] многочлени з найменшою на I рівномірною нормою серед усіх зростаючих на I многочленів Pn (x)± =±xn+a1xn-1 +…+ an відповідно. С. Н. Бернштейн розв’язував таку ж задачу для многочленів P (q)n (x)≥0, xОI, q=2, 3,....
Сучасний етап розвитку формозберігаючого наближення (далі ФЗН) почався в 1960-і роки з робіт Г. Г. Лоренца, К. Л. Целлера, Д. Ньюмена, О. Шиша і Ж. Рульє, в яких було встановлено аналог теореми Вейєрштраса про наближення многочленами для ФЗН q-монотонних функцій (q=1 — монотонних, q=2 — опуклих,...), і зокрема, для q=1 було отримано перші оцінки, схожі на оцінку Джексона і доведено неможливість зведення ФЗН до наближення без обмежень. На сьогоднішній день в роботах Бітсона, ДеВора, Дзюбенка, Ілієва, Коновалова, Копотуна, Левіатана, Шведова, Шевчука, Цу, Ю та інших майже повністю досліджено питання: в яких випадках ФЗН класичні оцінки наближення без обмежень многочленами і сплайнами неперервних на відрізку функцій зберігаються, а в яких — ні. Нагадаємо, мова іде про поточкову оцінку типу Нікольського
|f(x)-Pn(x)|≤ c(k)ωk(f;1/n2+(1-x2)1/2/n), xО I,~kОN,~n≥ k-1,
де ωk (f;t) — k-й модуль неперервності функції fОC(I), Pn — деякий многочлен степеня ≤ n. Цю оцінку було доведено А.Ф. Тіманом (випадок k =1), В. К. Дзядиком (k =2 ), Г. Фройдом
(k =2), Ю. А. Брудним (k>2); і як її наслідок — нерівність
||f(x)-Pn(x) ||C≤ c(k)ωk(f;1/n),
яку в періодичному випадку було доведено Д. Джексоном (k=1), А. Зігмундом (k=2),
С. Б. Стєчкіним (k>2).
На відміну від наближення на відрізку, ФЗН періодичних функцій лише починає досліджуватись. В більшості випадків точних порядків наближень, описаних нерівностями типу Джексона, ще не було досягнуто. Тому в даній дисертаційній роботі побудовано кусково-опуклі тригонометричні поліноми (далі коопуклі, тобто такі, що змінюють свою опуклість лише в наперед заданих 2s точках перегину), які ці точні порядки забезпечують (побудовано відповідний контрпиклад). Така ж задача розв’язана і на відрізку у випадках, де не були відомі відповідні поточкові оцінки.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дана дисертаційна робота проводилась в Національному педагогічному університеті імені М. П. Драгоманова згідно загального плану навчання в аспірантурі та в рамках держбюджетної дослідницької теми "Асимптотичне інтегрування систем диференціально-функціональних рівнянь з вирод-женнями" (номер державної реєстрації № 0198U001677).
Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є:
• Встановити нерівність Джексона-Стєчкіна, що включає третій модуль неперервності для коопуклого наближення неперервних на дійсній осі періодичних функцій тригонометричними поліномами і сплайнами. Побудувати контрприклад про неможливість заміни ω3 на ωk,, k>3 в цій нерівності.
• Встановити точні за порядком поточкові оцінки для коопуклого наближення неперервних, а також диференційовних на відрізку функцій алгебраїчними многочленами і сплайнами у випадках, де такі оцінки не були відомі.
Об’єкт дослідження — коопукле наближення поліномами та сплайнами.
Предмет дослідження — конструкції коопуклих поліномів та сплайнів; приклад кусково-опуклої функції, що "погано" наближається зі збереженням форми.
Методи дослідження. Для побудови вказаних поліномів та сплайнів у роботі вико-ристовуються класичні і сучасні методи наближень і інтерполяції, що ґрунтуються на: проміжному наближенні; властивостях поліноміальних ядер типу Джексона, Дзядика, Шевчука; ідеї ДеВора і Ю монотонного "розбиття" одиниці; представленнях сплайнів січними степеневими функціями; властивостях скінченних і розділених різниць; ідеї ДеВора представлення похідної сумою "малої" і "великої" функції; теоремах про одночасне наближення функції і її похідної; нерівностях Уітні, Маркова, Дзядика; деяких спеціальних конструкціях.
Наукова новизна одержаних результатів. Результати дисертації є новими. Їх зміст полягає в наступному:
• доведено, що класична нерівність Джексона-Стєчкіна, яка пов’язує величину найкращого рівномірного наближення будь-якої неперервної на дійсній осі періодичної функції тригонометричними поліномами порядку ≤ n-1 з її k-м модулем неперервності, зберігається і для коопуклого наближення з k=3;
• доведено, що ця нерівність є хибною для коопуклого наближення з k≥4;
• доведено, що класична оцінка типу Нікольського поточкового наближення многочленами неперервних на відрізку функцій зберігається і для коопуклого наближення, якщо функція має більше однієї точки перегину, а її гладкість характеризується третім модулем неперервності;
• отримано поточкові оцінки коопуклого наближення многочленами функцій з класу Wr, r>3, (тобто таких, що мають (r-1)-у абсолютно неперервну похідну на I і обмежену r-у похідну), які мають більш ніж одну точку перегину;
• такі ж задачі розв’язано і для коопуклого наближення сплайнами.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Всі наближаючі поліноми та сплайни побудовано конструктивно, що дозволяє розробити відповідні алгоритми для комп’ютерного моделювання.
Особистий внесок здобувача. Результати другого розділу отримано автором особисто. Результати третього і четвертого розділів — спільно з Г. А. Дзюбенко. Внески обох авторів є рівнозначними: в розділі 3 Г. А. Дзюбенку належить теорема 3, автору — теорема 4; в розділі 4 Г. А. Дзюбенку — леми 4.5 і 4.6, автору — леми 4.2 і 4.4.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на:
• міжнародній конференції пам’яті В. Я. Буняковського,
м. Київ (16 – 21 серпня 2004р.);
• конференції “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стоха-стичному аналізі та статистиці II”, присвяченій пам’яті професора А. Я. Дороговцева (1935 – 2004),
м. Київ (1 – 5 жовтня 2004р.);
• міжнародній конференції пам’яті А. М. Ляпунонова,
м. Харків (24 – 30 червня 2007р.);
• міжнародній науковій конференції " Комплексний аналіз та хвильові процеси в механіці", м. Житомир (19 – 26 серпня 2007р.),
а також на семінарах з теорії наближень та теорії функцій Інституту математики НАН України (керівник семінару — член-кореспондент НАН України О. І. Степанець), механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка ( керівники семінару — професор І. О. Шевчук і д. ф. - м. н.
В. М. Коновалов) та семінарі фрактального аналізу фізико - математичного факультету Національного педагогічного університету імені М.П. Драгоманова МОН України (керівник семінару — професор М.В. Працьовитий).
Публікації. Результати дисертації опубліковані в 4 наукових статтях: [1, 2, 4] (в Українському математичному журналі) і [3] (в Науковому часописі Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова), а також у 4 тезах доповідей міжнародних конференцій [5 – 8]. Зокрема, статті [1, 2] є спільними з Г. А. Дзюбенко (вклад рівнозначний).
Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота загальним обсягом 123 сторінок машинописного тексту складається зі вступу, чотирьох розділів викладу отриманих результатів, висновків і списку використаних джерел, що містить 73 найменування.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено предмет дослідження, перелічено методи, використані при проведенні досліджень, висвітлено наукову новизну отриманих результатів, їх теоретичне значення, подано інформацію про особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації та публікації, описано структуру та зміст роботи.
Перший розділ присвячено історії досліджень та огляду літеретури з питань, пов’язаних з темою дисертації. Наведемо зміст розділів 2 – 4.
Нагадаємо, що класична нерівність Джексона-Стєчкіна
En (f)≤ c(k)ωk(f;π/n) (1)
пов’язує величину En (f) найкращого рівномірного наближення неперервної 2p-періодичної функції f:R®R тригонометричними поліномами порядку ≤ n-1 з її k-м модулем неперервності ωk(f;t) (k, nОN, c(k)>0). Ця нерівність для випадку k=1 була доведена Д. Джексоном (1911), для k=2 — А. Зігмундом (1945), а в загальному випадку — С. Б. Стєчкіним (1951).
Розділ 2 присвячено розповсюдженню нерівності (1) при k=3 на випадок коопуклого наближення. Нехай sОN:={1,2,...}, Y={yi}iОZ — впорядкована за спаданням послідовність дійсних чисел:-π ≤ y2s <…<y1 <π; якщо i=2sp+q, де pОZ, qО{1,...,2s}, то yi =yq -2π. Як завжди, Ĉ — простір 2p-періодичних неперервних дійсно значних функцій з рівномірною нормою, ∆̃ (2)(Y) — множина тих функцій fО Ĉ, які є опуклими донизу на відрізку для парного індексу і, та опуклі догори на для непарних і (ці функції називають коопуклими). Для функції fО Ĉ і числа nОN позначимо через En (f)Y величину найкращого рівномірного наближення функції f тригонометричними поліномами порядку ≤ n-1, що належать множині ∆̃ (2)(Y). Надалі вирази вигляду c(a,b), c=c(a,b) позначатимуть додатні величини, які залежать лише від a, b. Причому вирази c(a,b) і c=c(a,b) в різних формулах, взагалі кажучи, відрізняються між собою. Основним результатом розділу 2 є така теорема.
Теорема 1. Існує таке додатнє c(Y), що для кожної функції fО ∆̃ (2)(Y) для всіх nОN виконується нерівність
En (f)Y≤ c(Y)ω3(f;π/n). (2)
З доведення теореми 1 випливає існування такого N(Y), яке залежить лише від Y, що для кожної функції fО ∆̃ (2)(Y) нерівність (2) має місце для всіх натуральних n≥N(Y) зі сталою c(s), яка залежить тільки від s. Тобто справедлива теорема.
Теорема 2. Існує таке додатнє c(s), що для кожної функції fО ∆̃ (2)(Y) і для всіх натуральних n≥N(Y) виконується нерівність
En (f)Y≤ c(s)ω3(f;π/n).
Нерівність (2) є точною за порядком про що свідчить приклад.
Приклад 1. Для довільних натуральних n та k, k>3, існує функція fО ∆̃ (2)(Y) така, що
En (f)Y≥ BY,k n2(k/3-1) ωk (f;1/n),
де BY,k =const, що залежить тільки від Y і k.
Зауважимо, Г. Г. Лоренц і К. Л. Целлер (1968) довели нерівність Джексона (з першим модулем неперервності) для наближення неперервних 2p-періодичних "дзвоноподібних" (парних та незростаючих на [0, p]) функцій "дзвоноподібними" поліномами. Нерівність (2), в якій замість третього модуля неперервності присутній другий, встановлено П. А. Поповим (2001). Подібні нерівності, але для так званих копозитивного і комонотонного наближень доводяться в роботах П. А. Попова, М. Г. Плешакова, Г. А. Дзюбенка і Я. Гілєвіча.
Розділи 3 та 4 присвячено поточковому коопуклому наближенню на відрізку, тобто скрізь надалі Y:={yi}i=1s, sОN, позначає набір з s різних фіксованих точок :
ys+1:=-1 ≤ ys <…<y1 <1=:yo,
C:=C[-1,1], ||f||:=||f||[-1,1],
I:=[-1,1], C (r) := { f: f (r)ОC}, rО N,
ρ n (x):=n-2 + n-1(1-x2) 1/2
і нехай
Π(x):= Π(x;Y):=(x-y1)(x-y2) … (x-ys).
Нагадаємо, що через ∆ (2)(Y) позначаємо множину неперервних на I функцій f таких, що f є опуклою донизу на відрізку [yi+1, yi], якщо i – парне і f є опуклою догори, на тому ж самому відрізку, якщо i – непарне. Помітимо, що Cякщо f: f ʹʹОC, то f О∆ (2)(Y)⟺ f ʹʹ(x) Π(x) ≥ 0, xОI.
Основним результатом третього розділу є теорема.
Теорема 3. Якщо s>0, s№1 і f О ∆ (2)(Y), то існує стала c(Y), яка залежить тільки від Y така, що для кожного n і 2 існує алгебраїчний многочлен Pn О ∆ (2)(Y) степеня Ј n, який задовольняє такі нерівності:
|f(x)-Pn(x)|≤ c(Y)ω3(f; ρ n (x)), x О I. (3)
Якщо f О C (1), то |f ʹ(x)-Pʹn(x)|≤ c(Y)ω2(f ʹ; ρ n (x)), x О I.
Якщо f О C (2), то |f ʹʹ(x)-Pʹʹn(x)|≤ c(Y)ω1(f ʹʹ; ρ n (x)), x О I.
Для доведення теореми 3 побудовано кусково-опуклий сплайн степеня Ј 2, властивості якого наведені в теоремі 4. Щоб сформулювати цю теорему введемо деякі позначення.
Нехай точки
xj:=xj,n :=Cos(jp/n), j=0,…n,
Складають чебишовське розбиття відрізку I. Для кожного j=1,…n позначимо Ij := Ij,n :=
:=[xj, xj-1]. Для фіксованих n О N і Y:={yi}i=1s позначимо
Oi := Oi,n := Oi,n (Y):=( xj+2, xj-3), якщо yi О [xj, xj-1),
де
xn+2 = xn+1 :=1, x-1 = x-2= x-3 :=1,
O:= O(n,Y):=O1 ∪ O2 … Os.
Будемо писати jОH, якщо Ij ∩O=∅, j=1,…n.
Теорема 4. Якщо s>1 і f О ∆ (2)(Y), то існують сталі N(Y) і c(Y), які залежать тільки від розташування точок в наборі Y, такі, що для кожного nіN(Y) існує сплайн L О ∆ (2)(Y) степеня Ј 2 з вузлами лише в точках xj, jОH, такий, що
|f(x)-L(x)|≤ c(Y)ω3(f; ρ n (x)), x О I.
Для випадку s=0, тобто для чисто опуклого наближення (без точок перегину)
К. А. Копотун (1994) довів оцінку
|f(x)- Pn (x)|≤ cω3(f; ρ n (x)), x О I, (4)
де c — абсолютна стала. З цієї оцінки випливає нерівність
||f- Pn ||≤ cω3(f;1/n),
яку незалежно довели також Й. К. Ху, Д. Левіатан, К. М. Ю (1994).
Для випадку s>0 Г. А. Дзюбенко, Я. Гілевич, І. О. Шевчук (2002), для кожного nіN(Y), доведели оцінку
|f(x)- Pn (x)|≤ c(s)ω2(f; n-1(1-x2)1/2), x О I,
де N(Y) — стала, що залежить тільки від Y, c(s) - стала, що залежить лише від s.
Також, вони побудували контрприклад, з якого випливає, що при s=1 оцінка (3) не виконується. При цьому вони висловили припущення, що для випадку s>0, s№1, оцінка (3) може виконуватись. К. А. Копотун, Д. Левіатан, І. О. Шевчук (1999) довели рівномірну оцінку коопуклого наближення з третім модулем неперервності Дітціана-Тотіка , тобто для всіх nіN(Y) побудовано многочлен Pn степеня ≤ n такий, що
||f- Pn ||≤ c(s) ωφ3 (f;1/n),
і тому, зокрема,
||f- Pn ||≤ c(s) ω3 (f;1/n), (5)
Крім того, Д. Левіатан та І. О. Шевчук (2002), зокрема, довели, що в (3) сталу c(Y) неможливо замінити на сталу c(s), коли s>0. А. С. Шведов (1981) та Х. Ву, С. П. Цу (1993) довели, що в оцінках (3) – (5) неможливо ω3 замінити на ωk з kі4, навіть для s=0.
Д. Левіатаном, І. О. Шевчуком (2002) і Г. А. Дзюбенком, Я. Гілевичем (2006) отримано відповідні рівномірну і поточкову оцінки з k=4, але для так званого майже кусково-опуклого наближення, коли многочлен не зберігає кускову опуклість функції в маленьких околах точок перегину.
Нехай Wr, rОN, позначає множину функцій fОC, які мають (r-1)-у абсолютно неперервну похідну на I і для яких, при майже всіх xОI виконується нерівність
|f(r)(x)|≤1.
Основним результатом четвертого розділу є теорема.
Теорема 5. Якщо r>3, s≥2 і fОWr∩∆ (2)(Y), то для кожного натурального n>N(Y,r) існує алгебраїчний многочлен Pn О ∆ (2)(Y) степеня Ј n такий, що
|f(x)- Pn (x)|≤ c(Y,r)ρrn(x), x О I,
де N(Y,r) і c(Y,r) — сталі, які залежить тільки від Y і r.
Для r=1,2,3 теорема 5 теж є вірною. Для r=1,2 вона є наслідком з роботи Г. А. Дзюбенка, Я. Гілевича, І. О. Шевчука (2002) (далі ДГШ), а для r=3 - теореми 3. Для s=1, r>2 твердження теореми 5, взагалі кажучи, невірне (див. ДГШ, теорема 2).
З ДГШ, теореми 3, теореми 5 і роботи М. Г. Плешакова та А. В. Шаталіної (2000) (для "малих" n) виплаває теорема 6.
Теорема 6. Якщо rОN, s≥2 і fОWr∩∆ (2)(Y), то для кожного натурального nі r-1 існує алгебраїчний многочлен Pn О ∆ (2)(Y) степеня Ј n такий, що
|f(x)- Pn (x)|≤ c(Y,r)ρrn(x), x О I,
де c(Y,r) — стала, яка залежить тільки від Y і r.
Наведемо чотири результати, які стосуються коопуклого наближення диференційовних функцій. Для випадку s=0 поточкова оцінка в класичній формі
|f(x)- Pn (x)|≤ c(r,k)ρrn(x) ωk(f (r); ρ n (x)), x О I, n≥k+r-1, (6)
де ωk(.) — k-й модуль неперервності і c(r,k) — стала, була доведена К. А. Копотуном (1994) для r=0, k=3 і С. Манія (див. книгу І. О. Шевчука, «Приближения многочленами…», К. -1992. - с. 148) для r >1, kОN. А. С. Шведов (1981) довів, що (6) не виконується для r=0, kі4 (навіть з 1/n замість ). Для sі1, аналогічний негативний результат отримали Х. Ву і С. П. Цу (1993). К.А. Копотун, Д. Левіатан, І.О. Шевчук люб’язно повідомили, що ними доведено рівномірний аналог оцінки (6) (sі1, rі3, kОN), який включає модуль неперервності Дітціана-Тотіка.
ВИСНОВКИ
Дисертація присвячена рівномірному і поточковому коопуклому наближенню дійснозначних функцій тригонометричними і алгебраїчними поліномами та сплайнами. Основними результатами дисертації є:
· доведено, що класична нерівність Джексона-Стєчкіна, яка пов’язує величину найкращого рівномірного наближення будь-якої неперервної на дійсній осі періодичної функції тригонометричними поліномами порядку ≤ n-1 з її k-м модулем неперервності, зберігається і для коопуклого наближення з k=3;
· доведено, що ця нерівність є хибною для коопуклого наближення з k≥4;
· доведено, що класична оцінка типу Нікольського поточкового наближення многочленами неперервних на відрізку функцій зберігається і для коопуклого наближення, якщо функція має більше однієї точки перегину, а її гладкість характеризується третім модулем неперервності;
· отримано проточкові оцінки коопуклого наближення многочленами функцій з класу Wr r>3 (тобто таких, що мають (r-1)-у абсолютно неперервну похідну на I і обмежену r-у похідну), які мають більш ніж одну точку перегину;
· такі ж задачі розв’язано і для коопуклого наближення сплайнами.
Всі наближаючі поліноми і сплайни побудовано конструктивно.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Дзюбенко Г.А., Залізко В. Д. Коопукле наближення функцій, які мають більше однієї точки перегину // Укр. матем. журн. - 2004. — № 3. — С. 352 — 365.
2. Дзюбенко Г.А., Залізко В. Д. Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій // Укр. матем. журн. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 47 — 59.
3. Залізко В. Д. Контрприклад для коопуклого наближення періодичних функцій // Науковий часопис Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. 2006. — №6.— С. 91 — 96.
4. Залізко В. Д. Коопукле наближення періодичних функцій // Укр. матем. журн. — 2007.— Т. 59, № 1. — С. 29 — 42.
5. Залізко В. Д. Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій // Міжнародна конференція пам’яті В. Я. Буняковського (1804 – 1889): Тези доповідей. — Київ. — 2004. — С. 68.
6. Залізко В. Д. Оцінка типу Нікольського для коопуклого наближення функцій, які мають більше однієї точки перегину // Конференція “Функціональні методи в теорії наближень, терії операторів, стохастичному аналізі та статистиці II”, присвячена пам’яті професора А. Я. Дороговцева (1935 – 2004): Тези доповідей. — Київ. — 2004. — С. 47.
7. Zalizko V. D. A Countrexample in coconvex approximation // LYAPUNOV MEMORIAL CONFERENCE. International Conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov: Book of abstracts. — Kharkiv: Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NAS of Ukraine. — 2007. — P. 177.
8. Zalizko V. D. Jackson inequality for coconvex approximation of periodic functions //Bogolyubov Readings 2007: Program and Abstracts. — Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. — 2007. — P. 58.
АНОТАЦІЇ
Залізко В. Д. Оцінки коопуклого наближення. – Рукопис
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2008.
В дисертації проведено дослідження рівномірного і поточкового коопуклого наближення дійснозначних функцій тригонометричними і алгебраїчними поліномами та сплайнами. Доведено, що класична нерівність Джексона-Стєчкіна залишається вірною для коопуклого наближення з k=3 і буде неневірна для k=4. Доведено, що класична оцінка типу Нікольського поточкового наближення многочленами неперервних на відрізку функцій зберігається і для коопуклого наближення, якщо функція має більше однієї точки перегину, а її гладкість характеризується третім модулем неперервності. Отримано поточкові оцінки коопуклого наближення многочленами функцій з класу Wr, r>3, які мають більш ніж одну точку перегину. Такі ж задачі розв’язано і для коопуклого наближення сплайнами. Причому, всі наближаючі поліноми і сплайни побудовано конструктивно.
Ключові слова: коопукле наближення поліномами і сплайнами, порядок наближення, нерівності типу Джексона-Стєчкіна та Нікольського.
Зализко В. Д. Оценки ковыпулого приближения. — Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.
Диссертация посвящена равномерному и поточечному ковыпуклому приближению действительнозначных функций тригонометрическими и алгебраическими полиномами и сплайнами. Получены следующие результаты.
Доказано наилучшую по порядку равномерную оценку ковыпуклого приближения непрерывных 2p-периодических функций тригонометрическими полиномами; построен соответствующий контрпример. То есть для любой функции, которая на периоде меняет свою выпуклость в 2s, sОN, разных точках, построен полином порядка ≤(n-1), который меняет свою выпуклость в тех же самых точках, что и функция, при этом приближает ее со скоростью третьего модуля непрерывности функции. Упомянутая выше оценка записана в форме оценки Джексона-Стечкина классической теории приближений без ограничений.
Аналогичный результат получен для коопуклого приближения непрерывных 2p-периодических функций сплайнами с равномерными узлами, степени ≤ 2.
Доказано, что классическая оценка типа Никольского поточечного приближения многочленами непрерывных на отрезке функций сохраняется и для ковыпуклого приближения, если функция имеет больше одной точки перегиба, а ее гладкость характеризируется третьим модулем непрерывности. Эта оценка перестает быть правильной для функций, гладкость которых характеризуется модулями непрерывности выше третьего порядка (см. работы А. С. Шведова (1981), Х. Ву и С. П. Цу (1993)).
Для любой ковыпуклой функции, имеющей больше одной точки перегиба построен ковыпуклый с нею сплайн с чебышевскими узлами степени ≤ 2, который поточечно приближает ее со скоростью третьего модуля непрерывности.
Получены поточечные оценки ковыпуклого приближения многочленами функций из класса Wr, r>3 (т.е. таких, что имеют (r-1)-ю абсолютно непрерывную производную на отрезке и ограниченную r-ю производную), которые имеют больше чем одну точку перегиба. Причем эти оценки совпадают с классическими оценками приближений без ограничений по порядку. Заметим, что полученные оценки верны для всех натуральных r, т.к. для r=1,2 они являются следствием из работы Г. А. Дзюбенка, Я. Гилевича, И. О. Шевчука (2002), а случай r=3 вытекает из упомянутой выше оценки типа Никольского, а именно, из
|f(x)-Pn(x)|≤ c(Y)ω3(f; ρ n (x)), x О I, nОN.
Во всех полученных оценках постоянные c(Y) зависят от размещения точек перегиба и эта зависимость является существенной. Все приближающие полиномы и сплайны построены конструктивно, что позволяет разработать соответствующие алгоритмы для компьютерного моделирования.
Ключевые слова: коопуклое приближение полиномами и сплайнами, порядок приближения, неравенства типа Джексона-Стечкина и Никольського.
Zalizko V. D. Estimates coconvex approximation. — Manuscript.
Thesis for Candidate of Science (Ph.D.) degree in Physics and Mathematics specialization 01.01.01 — mathematical analysis. Institute of mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2008.
The maine results of the thesis is the following:
· it is proved that the classic Jeckson-Stechkin inequality connecting a value of the best uniforme approximation of any continious on the real axe periodic function by trigonometric polynomials of order ≤ n-1 with its k-th modules of continuity, is thrue for coconvexe approximation with k=3 as well;
· it is proved that this ineguality is invalide for coconvex approximation with k≥4;
· it is proved that the clasic estimate of Nikolskii type of pointwise approximation by algebraic polynomyals on an interval holds for coconvex approximation if a function has more than one inflaction points and its smoothness is carecterized by third modulus of continuity;
· the pointwiese estimates of coconvex approximation of functions from class Wr, r>3, with more them one inflaction points is obtained;
the same problems are investigated for spline coconvex approximation as well.
Key words: coconvex approximation by polynomials and splines, degree of approximation, Jackson-Stechkin and Nikolskii type inequalities.
Підписано до друку 7.03.2008 Формат 60ґ84/16. Папір офс. Офс. друк. Фіз. друк. арк. 1,25. Ум. друк. арк. 1,16. Тираж 100 прим.
Зам. № 41 Інститут математики НАН України,
01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3