Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
63) Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного .
Для того чтобы функция , определённая в некоторой области комплексной плоскости, была дифференцируема в точке как функция комплексного переменного , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:
Компактная запись:
Если условия Коши — Римана выполнены, то производная представима в любой из следующих форм:
По условию теоремы существует предел
,
не зависящий от способа стремления к нулю. Положим и рассмотрим выражение
.
Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула
Полагая , находим
.
Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.
По определению дифференцируемости, приращения функций и в окрестности точки могут быть записаны в виде
,
,
где функции и стремятся к нулю при , быстрее, чем и , , . Составим теперь разностное соотношение , где и преобразуем его к виду
.
Заметим, что при стремлении к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел , что и доказывает дифференцируемость функции в точке .
В полярной системе координат условия Коши-Римана выглядят так:
Компактная запись:
Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:
Тогда условия Коши-Римана связывают модуль и аргумент функции следующим образом:
Пусть функция дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости два семейства кривых (линии уровня).
Первое семейство:
Второе семейство:
Тогда условия Коши-Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.
Если рассматривать множество комплексных чисел как векторное пространство над , то значение производной функции в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства в себя (-линейность). Если же рассматривать как одномерное векторное пространство над , то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства в себя (-линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число . Очевидно, всякое -линейное отображение -линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) изоморфмно полю вещественных матриц вида с обычными матричными операциями, условия Коши-Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения в точке (точнее, отображения в точке ), являются условиями -линейности , т.е. .