Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Решение упражнений контрольной работы № 02
Вариант 1
Решение. Т.к. и , то неравенство можно записать в виде . Отметим нули числителя и нули знаменателя на числовой прямой и расставим знаки каждого из полученных интервалов так, как показано на рисунке.
Ответ: .
Решение. Введем новую переменную . Получим уравнение . Умножим на и получим уравнение . Корни этого уравнения и . Вернемся к переменной . Получим уравнения и . Первое уравнение будет иметь корни и , второе уравнение корней не имеет.
Ответ: 0; ; .
Решение. Для того, чтобы существовали оба корня одновременно, необходимо выполнение двух условий одновременно: и , т.е. задача сводится к решению системы неравенств . Решением первого неравенства является числовой луч . Для решения квадратного неравенства воспользуемся свойством параболы, ветви которой направлены вверх и пересекают ось абсцисс в точках и 5. Значения этой квадратичной функции будут положительны при и при . Пересечением решений первого и второго неравенств является открытый луч .
Ответ: .
Решение. Очевидно, делители свободного члена () не являются корням этого уравнения. Поэтому понизить степень уравнения делением левой части на двучлен вида , где – корень уравнения, не удастся. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Пусть . Раскрыв скобки в левой части и сгруппировав слагаемые с одинаковой степенью переменной , получим равенство
.
Из этого равенства следует, что если четыре неопределенных коэффициента , , , – целые числа, то справедлива система . Рассматривая целочисленные решения последнего уравнения, получим четыре варианта: , , , . Если , то система решений не имеет. Если , то система имеет решения . Остальные пары значений неопределенных коэффициентов и не проверяем, т.к. , откуда находим корни квадратных уравнений и , которые равны и соответственно.
Ответ: , .
Решение. Введем замену переменной , тогда и неравенство примет вид или . Поскольку знаменатель , то знак неравенства зависит только от числителя, т.е. данное неравенство равносильно неравенству . Решением этого неравенства является объединение двух числовых лучей и . Вернемся к переменной . Тогда неравенство равносильно двойному неравенству (или системе ), решением которой будет отрезок . Неравенство равносильно совокупности , решением которой является объединение числовых лучей и .
Ответ: .
Решение. Квадратное уравнение при любых значениях имеет два корня. Нужно, чтобы один из корней совпал с «запрещенным» корнем, обращающим знаменатель в нуль. Т.к. знаменатель обращается в нуль при , то, подставив поочередно эти значения переменной в числитель, найдем те значения , при которых один из корней будет равен 3 или , т.е. станет «посторонним корнем» дробно-рационального уравнения. Легко найти, что при , а при . Далее нужно проверить, действительно ли при каждом из четырех найденных значений уравнение имеет ровно один корень (другой будет «посторонним»). Не произойдет ли того, что оба корня окажутся «посторонними».
Ответ: при и .