Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
В задачах 6.1-6.17 найти и изобразить графически область определения следующих функций:
6.1 . 6.2 .
6.3 . 6.4 .
6.5 . 6.6 .
6.7 . 6.8 .
6.9 . 6.10 .
6.11 . 6.12 .
6.13 . 6.14 .
6.15 . 6.16 . 6.17 . 6.18 .
6.19. Построить линии уровня следующих функций:
а) ; б) ; в) ; г) .
Число называется пределом функции при (или в точке ), и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Для функции пишут .
Вычисление предела функции нескольких переменных часто сводят к вычислению предела функции одной переменной с помощью замены переменных.
Функция называется непрерывной в точке , если . Функция непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Если в точке нарушено хотя бы одно из следующих условий: 1) функция определена в точке ; 2) существует конечный предел ; 3) , то называется точкой разрыва функции . Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва.
6.20 Найти следующие двойные пределы:
а) ; б) ;
в) ; г) .
6.21 Найти точки разрыва следующих функций:
а) ; б) ;
в) ; г) .
§2. Частные производные
Частной производной (1-ого порядка) функции в точке по переменной называется предел , если этот предел существует. Частную производную обозначают или .
Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.
Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:
, ().
Производные () называются смешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:
, , , , , ,… или ,….
Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.
В задачах 6.22-6.32 найти частные производные от следующих функций:
6.22 . 6.23 .
6.24 . 6.25 . 6.26 . 6.27 . 6.28 . 6.29 . 6.30 . 6.31 . 6.32 .
В задачах 6.33-6.34 найти частные производные от следующих функций:
6.33 . 6.34 .
6.35 Проверить равенство , если
а) ; б) .
6.36 Проверить равенство , если
В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:
6.37 , если . 6.38, если . 6.39,если .6.40,если .
§3 Дифференциал.
Полным приращением функции в точке, соответствующим приращениям аргументов называется разность .
Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение может быть представлено в виде , где при , - числа, не зависящие от .
Полным дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть полного приращения функции, равная , где .
Функция, обладающая в точке непрерывными частными производными, всегда имеет в этой точке полный дифференциал . Для функции дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала.
Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменные являются функциями новых, независимых переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).
Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .
Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива символическая формула , формально раскрываемая по биномиальному закону. Например, для функции справедливы формулы: , ,
а для функции - формулы: ,
.
Для функции -кратная дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала -ого порядка .
Если функция раз дифференцируема в точке , то в этой точке значение любой смешанной частной производной -ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.
В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:
6.41 . 6.42 . 6.43 .
6.44 . 6.45 . 6.46 .
6.47 Найти значение полного дифференциала функции при
6.48 Найти значение полного дифференциала функции при
Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:.
В частности, для функции по формуле: , где , . Чем меньше значение , тем точнее формула.
6.49 Вычислить приближенно:
а) ; б) ; в); г); д) ; е) ;
ж) ; з) .
6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами , , если первая сторона увеличится на , а вторая уменьшится на ?
6.51 Центральный угол сектора увеличился на . На сколько следует приближённо уменьшить радиус сектора , чтобы площадь сектора осталась без изменения?
6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если увеличится на , увеличится на , уменьшится на .
6.53 Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R=2.5 м, высоту Н=4м и толщину стенок l=1дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.
6.54 В усеченном конусе радиусы оснований R=20 см, r=10 см и высота h=30 см. Как приближенно изменится объем конуса , если R увеличить на 2мм, r увеличить на 3мм, а h уменьшить на 1 мм?
6.55 Найти в указанной точке второй дифференциал функций:
а) ; б) .
§4. Дифференцирование сложных и неявных функций.
Производная по направлению и градиент.
Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимой переменной : , то производная сложной функции вычисляется по формуле . Если совпадает с одним из аргументов, например , то производная , называемая «полной» производной функции по , вычисляется по формуле
.
Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимыx переменных : ,…,, то частные производные сложной функции вычисляются по формулам:
,
………………………….………………..,
.
В частности, для функции справедливы формулы:
, где ;
, где ;
, , где , .
6.56 Найти если
а) , где ;
б) , где ;
в) , где ;
г) , где .
6.57 Найти , если
а) , где ;
б) , где .
6.58 Найти и , если
а) , где ;
б) , где ;
в) , где ; г) , где .
6.59 Найти и , если
а) , где ;
б) где .
6.60 Найти , если
а) где ;
б) где .
6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям: а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , .
6.62 Предполагая, что произвольная функция дифференцируема достаточное число раз, проверить следующие равенства:
а) , если ;
б) , если ;
в) , если ;
г) , если .
Если уравнение , где - дифференцируемая функция по переменным , определяет как функцию независимых переменных , то частные производные этой неявной функции вычисляются по формулам: ,,…, при условии, что .
В частности, для функции , заданной неявно уравнением справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением
справедливы формулы:,, при условии.
Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.
6.63 Найти производную для функций , заданных неявно:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:
а) если ;
б) если .
6.65 Найти частные производные для функций заданных неявно:
а) ; б) ;
в) ; г)
6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке , если:
а) ; б) .
6.67 Найти дифференциал и производную функции заданной неявно, если:
а) ; б) ;
в) ; г)
Если - дифференцируемая функция переменных , то производная по направлению вектора в точке вычисляется по формуле , где - координаты единичного вектора , .
Градиентом дифференцируемой функции называется вектор и обозначается .
Скорость наибольшего изменения функции по направлению в точке достигает наибольшего значения, если направление совпадает с направлением , т.е. .
В частности, для функции производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам: , , где - направляющие косинусы вектора .
6.68 Найти производную по направлению вектора , градиент и его величину || в заданной точке для следующих функций:
а) , , ;
б) , , ;
в) , , ;
г) , , .
6.69 Найти угол между градиентами функции в точках и .
6.70 Найти угол между градиентами функций и в точке .
6.71 Найти в точке , если:
а) , ; б) , .
§5. Некоторые приложения частных производных.
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид
,
а уравнение нормали – вид .
В случае задания поверхности неявным уравнением : - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке и
- уравнение нормали.
6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:
а) ; б) ;
в) ;
г)
6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:
а) ;
б) ; в) ;
г) .
6.74 Для поверхности найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости
6.75 Для поверхности найти уравнение нормали, параллельной прямой
Множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками и , оно содержит и отрезок .
Функция , определённая на выпуклом множестве называется выпуклой вверх, если для всех точек , где , и для любого выполняется неравенство и выпуклой вниз, если .
Матрица называется матрицей Гессе функции в точке .
Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве функция является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если при всех ; 2) выпуклой вверх, если при всех . Если на множестве матрица Гессе функции знакопеременна, то на этом множестве выпуклой не является.
Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.
6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Частные эластичности функции вычисляются по формулам: , . Частные эластичности , являются мерами реагирования переменной на изменение переменных и , и показывают приближённый процентный прирост при изменении и на один процент, соответственно.
Под производственной функцией понимается функция , независимые переменные которой имеют смысл объёмов используемых ресурсов, а зависимая переменная – объёма выпускаемой продукции.
Предельной по переменной для называется величина , средней– величина . Буква - сокращение от слова (предельный), буква - сокращение от слова (средний).
Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов, - объём трудовых ресурсов, - объём выпускаемой продукции.
6.77. Найти частные эластичности и функций в указанных точках :
а) , ; б) , .
6.78 Для заданных значений и найти: а) среднюю и предельную производительности труда; б) среднюю и предельную фондоотдачу; в) эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
1) , , ;
2) , , .
§6 Формула Тейлора.
Если функция дифференцируема раз в точке , то при имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано
,
где при . Частный случай формулы Тейлора в точке называется формулой Маклорена.
6.79 Разложить по формуле Тейлора следующие функции в окрестности указанных точек:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
6.80 Выписать члены до второго порядка включительно формулы Тейлора для функции в окрестности точки :
а); б) ;
в).
6.81 Разложить функции по формуле Маклорена до членов третьего порядка включительно:
а) ; б) .
§7 Экстремумы функций нескольких переменных
Точка , принадлежащая области определения функции , называется стационарной точкой функции, если в этой точке каждая из её частных производных равна нулю, т.е. ,…, или .
Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство ().
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то - стационарная точка функции.
Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка дважды дифференцируемой в точке функции . Тогда, если при всевозможных наборах значений , не равных одновременно нулю:
1) , то в точке функция имеет максимум; 2) , то в точке функция имеет минимум; 3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке функция не имеет экстремума.
Исследование знака сводится к исследованию знакоопределённости второго дифференциала, как квадратичной формы относительно переменных (например, с помощью критерия Сильвестра).
В частности, функция в стационарной точке , при условии , где ,, : 1) имеет максимум, если и ; 2) имеет минимум, если и ; 3) не имеет экстремума, если .
В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:
6.82 . 6.83. 6.84 . 6.85 .
6.86 . 6.87 .
6.88().6.89
6.90 . 6.91 .
6.92 . 6.93 .
6.94. 6.95 .
6.96 .
6.97 .
6.98 .
6.99 . 6.100 .
Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи () выполняется неравенство (). Точки условного минимума и максимума функции называются точками условного экстремума, а значения функции в этих точках – условными экстремумами функции.
Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа ,
где () –постоянные множители Лагранжа.
Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции при наличии уравнений связи () , то в точке выполняются условия
.
Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа в точке при значениях , рассматриваемого как квадратичная форма относительно переменных при условии, что они связаны соотношениями: ().
В частности, для функции исследуется знак при условии.
Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:
1) , то в точке функция имеет условный максимум; 2) , то в точке функция имеет условный минимум; 3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке функция не имеет условного экстремума.
В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:
6.101 при .
6.102 при .
6.103 при .
6.104 при .
6.105 при .
6.106 при .
6.107 при .
6.108 при .
Если функция дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.
В задачах 6.109-6.111 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях:
6.109 а) ;
б) ;
в) .
6.110 а) ;
б) ;
в) .
6.111 а) ;
б) ;
в) .
6.112 Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:
а) площадь его поверхности равна S;
б) сумма длин его ребер равна a;
в) длина его диагонали равна ;
г) он вписан в полусферу радиуса R..
6.113 Найти наименьшую площадь поверхности, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен V.
6.114 Определить наибольшую вместимость цилиндрического ведра, площадь поверхность которого (без крышки) равна S.
6.115 Определить наибольшую вместимость конической воронки, площадь поверхности которой равна S.
6.116. Найти точку , для которой сумма квадратов расстояний от прямых , , наименьшая.
6.117 В плоскости с вершинами , , найти точку сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника является наименьшей.
6.118 Цены двух видов товара и равны соответственно и ден.ед. за 1ед. товара Найти при каких объёмах и продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет следующий вид:
а) , , ;
б) , , .
6.119 Найти величины спроса и на два вида товара при ценах на них соответственно и , если потребитель при бюджете стремится максимизировать функцию полезности, которая имеет вид: .
6.120 Цены двух видов ресурсов и , используемых для производства некоторой продукции равны соответственно и ден.ед. в расчёте на 1ед. ресурса. Найти оптимальное распределение объёмов ресурсов , если производитель при бюджете стремится максимизировать функцию выпуска продукции, которая имеет вид .
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
§1. Неопределённый интеграл.
Функция называется первообразной для функции на промежутке, если для всех . Функция может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для содержатся в выражении , где - произвольная постоянная, которое и называется неопределённым интегралом от функции и обозначается . Таким образом, по определению .
Операция нахождения первообразной или неопределённого интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Функция для которой на промежутке существует первообразная или неопределённый интеграл называется интегрируемой на этом промежутке. Первообразная и неопределённый интеграл на промежутке существуют у любой непрерывной на этом промежутке функции. Нахождение неопределённого интеграла состоит в таком преобразовании подынтегрального выражения, чтобы получить интегралы из таблицы основных интегралов (приложение №4).
Основные свойства неопределённого интеграла:
1. . 2. .
3. ().
4. .
5. Если , то , .
Основными методами интегрирования являются: непосредственное интегрирование, интегрирование заменой переменной и по частям.
Непосредственным интегрированием (интегрированием методом разложения) функции называют отыскание неопределённого интеграла с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции , свойств 3-4 неопределённого интеграла и таблицы основных интегралов.
136