Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 25
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. .
Проверка: .
Ответ: .
2. . Интегрируем по частям: . . Проверка: .
Ответ: .
3. .
Проверка:
.
Ответ: .
4. . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на простые дроби.
. Полагаем , получим . Из равенства следует . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом,
Проверка: .
Ответ: .
5. . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. : . Полагая , получим . Приравняем коэффициенты при : . Приравняем коэффициенты при : . Таким образом, .
Проверка:
.
Ответ: .
6. . Сначала делаем замену переменной, затем разлагаем дробь на простые дроби. .. Из равенства следует , из равенства следует . Приравнивая коэффициенты при , получим . Приравнивая коэффициенты при , получим . Таким образом,
Проверка: . Ответ: .
7. . Интегрируем по частям. .
Проверка:
. Ответ: .
8. . Интегрируем после предварительных преобразований.
.
Проверка: .
Ответ: .
9. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
10. . Интеграл сходится. Ответ: . Интеграл сходится.
11. . Интеграл сходится.
Ответ: . Интеграл сходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
12. . Найдём точки пересечения линий: .
Тогда . Ответ: .
13. . Это часть эллипса. Найдём точки пересечения линий: . . Ответ: .
14. Вычислите длину дуги кривой (L): (кардиоида).
.
Ответ: .
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) (эллипс) вокруг оси OY.
. Ответ: .
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) вокруг оси OX.
Площадь поверхности внешней части
. Площадь поверхности внутренней части
. Вся площадь равна: Ответ: .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. . По справочнику находим: . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)
Ответ: .
18. . По справочнику находим: .
Ответ: .
19. Какую работу нужно совершить, чтобы остановить железный шар массы M с радиусом R, вращающийся с угловой скоростью ω вокруг своего диаметра.
Количество необходимой работы равно запасу кинетической энергии. Найдём её. Найдём плотность массы шара: . Разобъём весь шар на слои плоскостями, перпендикулярными оси вращения. Вычислим кинетическую энергию для элементарного слоя. Разобъём элементарный слой на концентрические кольца. В качестве элементарной массы dmk будем понимать массу концентрического кольца радиуса r, шириной dr и толщиной Δy: . Кинетическая энергия этого кольца равна . Найдём пределы изменения величины r. Уравнение центрального сечения шара . Тогда для фиксированного y получим: .Следовательно, кинетическая энергия элементарного слоя будет равна
. Дифференциал всей кинетической энергии будет равен . Интегрируя по y, получим кинетическую энергию всего шара: .
Ответ: .
20. Вычислите работу, необходимую для выкачивания жидкости удельного веса γ из конического резервуара, обращённого вершиной кверху, если радиус его основания R, а высота H.
Уравнение образующей конуса: . Объём элементарного слоя жидкости на уровне y будет равен . Если плотность жидкости равна γ, то вес элементарного слоя жидкости будет . Работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту H-y, равна . Следовательно, .
Ответ: .
x
y
H
R