Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1
1)векторный способ
.
2) координатный
X=X(t), y=y(t), z=z(t) – ур-я движения в пространстве
X=X(t), y=y(t)- в плоскости
, ,
3)естественный
S=S(t)
an=n⋅V2/ρ- нормальное ускорение; aτ=τ⋅dV/dt- касательное ускорение
2. Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.
Вращательным движением твердого тела наз-ся движение прикотором все точки этого тела движутся по окружностям лежащим в параллельных плоскостях и центры которых лежат на одной фиксированной прямой(ось вращения)
или
или
3.
или
или окончательно:
, .
или
6.
Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил..
Материальной точкой называют материальное тело (тело, имеющее массу), размерами которого при изучении его движения можно пренебречь.
Точку будем называть изолированной, если на точку не оказывается никакого влияния, никакого действия со стороны других тел и среды, в которой точка движется. Конечно, трудно привести пример подобного состояния. Но представить такое можно.
Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных. Тело это механическая система (система материальных точек) непрерывным образом заполняющие некоторый объём пространства.
Первый закон (закон инерции) Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.
Второй закон (основной закон динамики) гласит: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.
Математически этот закон выражается векторным равенством .
Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между мате риальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две ма териальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.
Четвертый закон (закон независимого действия сил). При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.
;
Аксиома освобождаемости от связи.
Действие связи на материальную точку можно заменить силой называемой реакцией связи.
5.Сложное движение точки называется такое движение точки относительно нескольких систем отсчёта, причём эти системы могут двигаться относительно друг другу произвольным образом.
Teopeмa сложения скоростей. Переносной называется скорость точки пространства жёстко связанного с данной системой отсчёта(подвижной)в которой в данный момент находиться в точке В. (Vа=Vr+Vl ).
Теорема сложения ускорения. Движение произвольной системы -сумма поступательного с полюсом и мгновенная вокруг оси.
Ускорение Кориолиса , направлено перпен дикулярно этим двум векторам, по правилу направления вектора век торного произведения.
4. Плоскопараллельным называется такое движение твердого тела при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных одной и той же неподвижной плоскости.
7.
Векторная форма (2-й закон Ньютона):
Координатная форма (2-й закон Ньютона в проекциях на оси декартовых координат):
Естественная (эйлерова) форма (2-й закон Ньютона в проекциях на оси естественных координат):
где х, у, z - координаты точки массой m; X, Y, Z - проекции действующей на точку силы (или равнодействующей действующих на точку сил) на оси декартовых координат; - проекции силы на оси естественных координат: касательную Т, главную нормаль N и бинормаль В (см. рис. 1).
Рисунок 1.
Если точка является несвободной (на движение точки наложены связи), в число действующих на точку сил включаются реакции связей.
Силы, входящие в правую часть дифференциальных уравнений движения, в общем случае могут являться функциями от времени t, скорости v и координат х, у, z точки.
8.
Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки имеют вид
где φ – широта места; g – ускорение силы тяжести на широте ϕ.
Дифференциальные уравнения нужно проинтегрировать при начальных
условиях: при t = 0, x = y = 0, z = h, x& = y& = z& = .0
Из второго и третьего уравнений с учётом начальных условий получаем
Силы являются причиной любого изменения состояния движения, т.е. любого ускорения. Ускорение возникает в направлении действия силы. Кроме того, существуют так называемые силы инерции, которые возникают как следствие ускорений. Они направлены в сторону, противоположную ускорению. Силы инерции возникают только в системе отсчета, движущейся с ускорением, т. е. это кажущиеся силы. Силы, вызывающие ускорение данного тела, и силы инерции, возникающие вследствие ускорения, всегда равны по величине и противоположно направлены.
Здесь:
F — сила, сообщающая телу ускорение (Ньютон),
Fи — сила инерции (Ньютон),
m — масса тела (кг),
a — ускорение (м/с2),
9.
Механическая система - совокупность материальных точек:
- движущихся согласно законам классической механики; и
- взаимодействующих друг с другом и с телами, не включенными в эту совокупность.
Механическими системами являются:
- материальная точка;
- математический маятник;
- абсолютно твердое тело;
- деформируемое тело;
- сплошная среда.
Внешние и внутренние силы.
Внешние силы—это силы, действующие на тело извне. Под влиянием внешних сил тело или начинает двигаться, если оно находилось в состоянии покоя, или изменяется скорость его движения, или направление движения. Внешние силы в большинстве случаев уравновешены другими силами и их влияние незаметно, только знание законов механики позволяет утверждать о действии внешних сил на тело, находящееся в покое.
Внешние силы, действуя на твердое тело, вызывают изменения его формы, обуславливаемые перемещением частиц. Внутренними силами являются силы, действующие между частицами, эти силы оказывают сопротивление изменению формы.
Изменение формы тела под действием силы называют деформацией, а тело, претерпевшее деформацию, называют деформированным.
Равновесие внутренних сил с момента приложения внешней силы нарушается, частицы тела перемещаются одна относительно другой до такого состояния и положения, когда возникающие между ними внутренние силы уравновешивают внешние силы и тело сохраняет приобретенную деформацию.
Если внутренние силы малы и окажутся неспособными уравновесить внешние силы, то тело разрушается, разъединяясь на части.
Свойство:
Свойство 1. Главный вектор всех внутренних сил системы в любой момент времени равен нулю.
Свойство 2. Главный момент всех внутренних сил системы (относительно всякого выбранного центра О) в любой момент времени равен нулю.
Для каждой точки механической системы можно составить дифференциальные уравнения движения по правилам динамики точки. Составляя дифференциальные уравнения в векторной форме, получаем
Эти уравнения называются векторными дифференциальными уравнениями движения механической системы.
Проектируя эти уравнения на координатные оси Oxyz, обычных (скалярных) дифференциальных уравнения движения
Если все действующие силы поделены на активные силы и реакции связей, то правые части векторных уравнений (равнодействующие сил, приложенных к отдельным точкам системы), имеют вид
где Fk — равнодействующая всех активных сил, приложенных к материальной точке системы, — то же самое для реакций связей. При делении сил на внешние и внутренние эти же силы выражаются так:
Как реакции , так и внутренние силы наперед неизвестны, и с этим связаны большие трудности в определении движения системы посредством интегрирования ее дифференциальных уравнений движения. Лишь если эти силы удается исключить из уравнений движения, появляется возможность сформулировать некоторые общие закономерности, которым подчиняется движение системы.
10.
Центр масс, центр инерции, геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе. Координаты Ц. м. определяются формулами
, ,
или для тела при непрерывном распределении масс
, ,
где
mк — массы материальных точек, образующих систему,
xk, ук, zk — координаты этих точек,
М =Smк —масса системы,
r — плотность,
V — объём.
Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:
где
— радиус-вектор центра масс,
— радиус-вектор i-й точки системы,
— масса i-й точки.
Для случая непрерывного распределения масс:
где:
— суммарная масса системы,
— объём,
— плотность.
Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
где:
Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело. Момент инерции элементарной (точечной) массы mi, отстоящей от оси на расстоянии ri, равен:
Момент инерции всего тела относительно оси равен:
или, для непрерывно распределенной массы:
Основная статья: Теорема Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласнотеореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
где m— полная масса тела.
Вопрос 11
Теорема об изменении количества движения:
- Материальной точки
Количество движения материальной точки – векторная величина Q, равная произведению массы m и скорости V
Q=mV
F=ma=m(dV/dt)=dmV/dt=dQ/dt
dQ=Fdt – импульс силы
Теорема:
(в дифференциальной форме): Производная за временем от количества движения материальной точки равняется геометрической сумме действующих на точки сил
(в интегральной форме): Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.
Следствия:
Если сумма внешних сил=0 то Q=const
Также и с проекциями на x y z
- Механической системы
Q=mVc Vc-скорость центра масс
Теорема:
центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равняется массе системы, и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему
Следствия:
Если сумма внешних сил=0 то mVc=const
Также и с проекциями на x y z
Вопрос 12
Момент количества движения
- точки
L= r x Q векторное произведение, где Q=mV
L0=Lx(Q)+Ly(Q)+Lz(Q)
Lx(Q)….- моменты количества движения относительно x y z
dL0(Q)/dt=M0(F) M0(F)= r x F
- мех системы
L0=Lxi+Lyj+Lzk
Lx=ΣLx(Qv) также для y z
- тела
dL0= r x dQ dm=ƍdV
L0=предел по элементам dm, dQ=>0(Σ r x dQ)=тройной интеграл по объему(r x ƍVdV)
Кинетический момент при поступательном движении
L0=rc x Q
Вращающегося тела
Lось=Iосьwось
Вопрос 13
Теорема об изменении кинетического момента мех системы
Производная кинетического момента по времени равна геометрической сумме момента относительно центра приложенных всех внешних сил
dL0/dt=ΣM0(Fv(e))
следствие:
если сумма момента внешних сил=0 то Lo=const
также и для x y z
Вопрос 14
ДУ поступательного движения:
– проекция внешней силы
Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо: =0.
ДУ вращательного движения:
, Jz – момент инерции тела относительно оси вращения z, – момент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент)
15 БИЛЕТ.
Работа силыМерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения являетсяработа силы.
Работа постоянной по модулю и направлению силы F на прямолинейном перемещении s ее точки приложения равна
Если угол α острый, то работа силы положительна, если тупой – отрицательна.
Если направления силы и перемещения совпадают (α=0), то A = Fs;
Если направление силы перпендикулярно направлению перемещения (α=90◦), то А = 0;
Если направление силы противоположно направлению перемещения (α=180◦), то A = -Fs.
Мощность
Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени.
Средняя мощность Рср силы F за время Δt на перемещении Δs, с которым сила образует угол α, определяется по формуле
Переходя к пределу при стремлении рассматриваемого промежутка времени к нулю, получаем истинную мощность:
Мощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени.
За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду
,
Потенциальная энергия
Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого
тела или точки совершать работу при опускании с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня).
Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного положения.
Обозначив потенциальную энергию получим
где G — сила тяжести точки (или тела); Н — высота центра тяжести от нулевого уровня.
Элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся
относительно неподвижной оси вращения на элементарный угол поворота тела:
δA =Mz dϕ
Если M z = const, то
A1−2= Mz (ϕ1 –ϕ)
N= δ A/dt= FV
т.е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости
точки ее приложения. Единица измерения мощности – ватт ( I Вт = I Дж/c).
N = M z ω.
16 Билет .
Величина
Называется Кинетической энергией матери альной точки,
а произведение — работой силы на перемеще нии .
Изменение кинетической энергии материальной точки рав но работе действующей на нее силы.
Если элементарная работа силы является дифференциалом некоторой функции
1. Поступательное движение тела.
Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки,
у которой масса равна массе этого тела., - скорость любой точки твердого тела
2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.
Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения
момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.
, - угловая скорость вращения твердого тела.
3. Плоское движение тела.
Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии тела вместе
с центром масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и
перпендикулярной плоскости движения..
, - скорость центра масс твердого тела, - угловая скорость вращения твердого тела.
Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Оz (см. рис.46),
то скорость
любой его точки , где - расстояние точки от оси вращения, а - угло вая скорость тела.
Подставляя это значение и вынося общие множители за скобку, получим:
Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z.
Таким образом, окончательно найдем:
т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине
произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой
скорости. От направления вращения значение Т не зависит.
Рис.46
При вращении тела вокруг неподвижной точки кинетическая энергия определяется как (рис.47)
или, окончательно,
,
где Ix, Iy, Iz – моменты инерции тела относительно главных осей инерции x1, y1, z1 в неподвижной
точке О ; , , – проекции вектора мгновенной угловой скорости на эти оси.
Рис.47
Плоскопараллельное движение. При этом движе нии скорости всех точек тела в каждый
момент
времени распреде лены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к
плоскости движения и проходящей через мгновенный центр ско ростей Р (рис.46).
Следовательно
,
где - момент инерции тела относительно названной выше оси, - угловая скорость тела.
Величина в формуле будет перемен ной, так как положение центра Р при движе нии тела
все время меняется. Введем вместо постоянный момент инерции , относительно оси,
проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса , где d=PC.
Подставим это выражение для . Учитывая, что точка Р -мгновенный центр скоростей, и,
следовательно, , где - скорость центра масс С, окончательно найдем:
.
Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетиче ская энергия тела равна энергии
поступательного движения со скоростью центра масс, сло женной с кинетической энергией
вращательного движения вокруг центра масс.
4) Для самого общего случая движения материальной системы кинетическую энергию помогает
вычислить теорема Кенига.
Рассмотрим движение материальной системы как сумму двух движений (рис.48).
Переносного – поступательного движения вместе с центром масс С и относительного – движения
относительно поступательно движущихся вместе с центром масс осей x1, y1, z1.
Тогда скорость точек . Но переносное движение – поступательное.
Поэтому переносные скорости всех точек равны, равны . Значит, и кинетическая энергия
будет
Рис.48
По определению центра масс его радиус-вектор в подвижной системе
(центр масс находится в начале координат), значит, и .
Производная по времени от этой суммы также равна нулю:
.
Поэтому, окончательно, кинетическая энергия системы
(1)
Кинетическая энергия материальной системы равна сумме кинетической энергии при
поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии ее при движении
относительно координатных осей, поступательно движущихся вместе с центром масс.
В общем случае движения тела, которое можно рассматривать как сумму двух движений
(переносного – поступательного вместе с центром масс С и относительного – вращения вокруг
точки С), по теореме Кенига (1) получим
или ,
где Ix, Iy, Iz – главные центральные оси инерции тела.
17 билет.
Закон сохранения механической энергии.
Пусть все силы, действующие на систему, будут потенциальными. Тогда для каждой точки
k системы работа равна
Тогда для всех сил, как внешних, так и внутренних будет
где - потенциальная энергия всей системы.
Подставляем эти суммы в выражение для кинетической энергии (19.2.3):
или окончательно:
При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной
энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. Это закон
сохранения механической энергии.
Теорема об изменении кинетической энергии мех. сис.
Установим зависимость между изменением кинет. энергии мех. сис. и работой приложенных к её точкам сил.
Для этого разделим силы .действующие на точки М1, М2, М3, …, Мn, на внешние силы P1E, Р2Е, …, РiE, …, РnЕ и
внутрение силы P1J, P2J, PiJ, …, PnJ. Применим к движению каждой точки Мi теорему об изменении кинетической
энергии. Предположим, что при перемещении механической системы из первого положения во второе каждая точка
Мiперемещается из Мi(1) в Mi(2), причём скорость её изменяется от υi(1) до vi(2) (рис.).
Тогда по уравнению mυ22/2 — mυ12/2 = ∑ Ai для каждой материальной точки
(miυi2 (2) / 2) — (miυi2 (2) / 2) = AiE + AiJ , (i = 1, 2, …, n),
где AiE - работа силы РiE и AiJ - работа силы PiJ на перемещении Мi(1) Mi(2). Просумируем левые и правые части
составленных n равенства: (∑(miυ2i / 2))2 — (∑(mi υi2 / 2))1 = ∑AiE + ∑AiJ.
Согласно T = ∑Ti, (∑(miυi2 / 2)) = T1 — кинетическая энергия системы в первом её положении; (∑(miυi2 / 2))2 = T2 —
кинетическая энергия системы во втором положении. Таким образом,
T2 - T1 = ∑AiE + ∑AiJ. (a)
Уравнение (a) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение
кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и
внутрених сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещение.
Cумма работ внутрених сил твёрдого тела на любом перемещении равна нулю, т.е. ∑AiJ = 0.
Для твёрдого тела уравнение (a) принимает вид
T2 - T1 = ∑AiE,
т.е. изменение кинетической энергии твёрдого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил,
действующих на тело на этом перемещении.