Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глава 2. СПЕЦИФИКА Механизмов электрИЧЕСКОЙ
проводимости наноразмерных структур
2.1. Элементы теории электропроводности конденсированных
сред
2.1.1. Проблематика и актуальность процессов транспорта
носителей заряда в наноразмерных структурах
Значительный фронт современных научных и прикладных работ в направлении наноинженерии прямым или косвенным образом связаны с проблематикой создания перспективных высокопроизводительных (быстродействие, объем памяти, массово-габаритные параметры) вычислительных систем, обладающих чрезвычайно высокой степенью интеграции элементов (степень интеграции элементов – количество элементов конструкций, содержащихся в единице объема изделия). В табл. 2.1 представлены сведения о реальной и прогнозируемой динамике повышения степени интеграции элементов в вычислительных системах.
Т а б л и ц а 2.1. Динамика уменьшения размеров элементов конструкций
электронных устройств в вычислительных системах
|
Год выпуска изделия |
Степень интеграции Элемент / мм3 |
Минимальный размер элемента, мкм |
Допуск на изготовление, мкм |
|
1960 |
10-2 (биполярный транзистор) |
3∙103 |
> 10 |
|
1970 |
0.1 – 1.0 (микросборка элементов) |
103 |
5 – 10 |
|
1980 |
103 (ИС на биполярных структурах) |
102 |
2 – 5 |
|
1990 |
106 (ИС на МОП структурах) |
2 – 10 |
0.2 – 1.0 |
|
2000 |
109 (СБИС – 1е поколение) |
0.5 – 1.0 |
0.05 |
|
2010 |
1012 (СБИС – 2е поколение) |
10-1 |
10-2 |
|
2020-2030 |
1014 – 1015 (прогноз) |
10-2 |
10-3 |
|
Технология атомной сборки |
1019 – 1020 (без учета элементов коммутации) |
10-4 |
Теоретический предел атомных технологий |
Примечание: ИС – «интегральная схема»; СБИС – «сверхбольшая интегральная схема»; МОП – структура типа «металл – окисел – полупроводник».
Согласно данным табл. 2.1, в этом научно-техническом направлении можно говорить о вхождении в область наноразмерных масштабов уже с 2000 г., по крайней мере в части обеспечения необходимых допусков на изготовление индивидуальных элементов конструкций вычислительных систем.
Столь малые размеры элементов конструкций современных и перспективных устройств электронной техники накладывают определенную специфику на процессы электропроводности в конструкционных материалах, применяемых при создании этих устройств. В частности, представляется весьма проблематичным использование в физико-технической практике традиционных и широко используемых теоретических моделей и подходов, основанных на макроскопических представлениях физики сплошных сред (термодинамика, статистическая и молекулярная физика).
Такое пристальное внимание к вопросам электропроводности указанных конструкционных материалов обусловлено их ключевой ролью при рассмотрении проблематики обеспечения функционального назначения изделий электронной техники. В общем случае при анализе электрической проводимости конструкционных материалов (в рамках макроскопического подхода) принято оперировать уравнением электропроводности вида
|
, |
(2.1) |
где i – индекс, характеризующий вклад в общую электропроводимость материала носителей зарядов iго типа; ni – концентрация носителей зарядов iго типа; – подвижность носителей заряда iго типа; qi – модуль значения электрического заряда для индивидуального носителя заряда iго типа.
В случае макроскопических систем установление типа и величины qi индивидуальных носителей заряда, участвующих в процессе формирования электрического тока, не вызывает особых затруднений, поскольку они, как правило, известны для большинства используемых на практике конструкционных материалов. Для случая наноразмерных (хотя бы по одной пространственной координате) элементов конструкции, выполненных на основе материалов с электронным типом проводимости, этот аспект может существенно усложниться. Это связано со спецификой рассмотренных выше зонных энергетических диаграмм наноструктур, обусловленной наличием размерных ограничений на процессы движения микрочастиц и порой недостаточным (для реализации процесса векторизации энергии поступательного движения с помощью электрического поля) количеством свободных энергетических состояний. Вопрос о том, какие именно электроны из их общего количества в материале в этом случае можно отнести к носителям заряда, будет рассмотрен ниже. Этот важный для практики создания электронных устройств аспект самым непосредственным образом связан и с вопросами установления концентрации носителей заряда ni.
Более прозрачной представляется взаимосвязь подвижности носителей заряда с пространственными ограничениями наноразмерных структур. Очевидным следствием ограничительных факторов является появление ярко выраженной анизотропии, т.е. зависимости свойств конструкционных материалов от рассматриваемого пространственного направления. Следует отметить, что фактор анизотропии наблюдается и у макроскопических материалов, однако в этих средах он проявляется, как правило, в весьма незначительных масштабах (за исключением узкого круга конструкционных материалов специального назначения: сегнетоэлектрики; ферромагнетики; композиты).
В разд. 1 показано определяющее влияние вида потенциальной функции электронов (т.е. конфигурация барьеров на пути следования микрочастиц) в атомных и регулярных (кристаллических) структурах на характер движения последних, которая (функция) формирует специфику процессов квантования элементарных энергетических состояний электронов. В рассматриваемых наноразмерных структурах потенциальная функция электронов может кардинально отличаться для различных пространственных направлений (в особенности для структур типа (1D) и (2D)), что, собственно, и составляет их главное отличие от макроскопических кристаллических структур. С учетом вышеизложенного фактора резкой анизотропии потенциальной функции электронов в наноразмерных структурах представляет интерес рассмотрение двух специфических вариантов процесса переноса носителей заряда:
Первый, более простой вариант соответствует случаю практически свободного движения электрона (при большой длине цепочки атомов образующих наноразмерную структуру в направлении движения), при реализации которого волновой вектор k пробегает непрерывный ряд значений в диапазоне величин { – } (см. разд. 1.2.2, пункты д; е), где L – длина атомной цепочки. В этом варианте движение индивидуального электрона происходит путем последовательного чередования этапов свободного пролета на длине свободного пробега по пути следования электрона (обратить внимание на факт перекрытия волновых функций электрона согласно рис. 1.9) с этапами ее неупругого взаимодействия с атомами среды (электропроводимость по механизму «пролетного типа»). Этот тип движения аналогичен поведению индивидуального электрона в совершенных макроскопических кристаллических структурах, в которых процессы рассеяния векторизованного движения электронов происходят на дефектах точечного (вакансии, атомы внедрения и замещения) или линейного (краевые и винтовые дислокации) типа и на фононах (совокупности взаимосвязанных элементарных колебательных движений атомов, образующих кристаллическую структуру).
Второй, более сложный для анализа вариант соответствует случаю жесткой локализации местонахождения электрона в ограниченной области пространства, которому можно поставить в соответствие дискретный набор волновых векторов k , т.е. дискретный спектр энергетических состояний (см. разд. 1.2.2, пункт г). В этом случае движение индивидуального электрона происходит в виде последовательности дискретных «прыжков» («переходов»), которые могут быть реализованы путем:
Приведенная классификация в определенной мере, в общих чертах, прослеживает основополагающие принципы и методы анализа процессов электронного и ионного транспорта в наноразмерных кристаллических структурах.
2.1.2. Элементы теории подвижности носителей заряда
а) Подвижность носителей заряда в атомно-молекулярных
системах
В отсутствие внешнего электрического поля микрочастицы, находящиеся в атомно-молекулярных системах, совершают хаотическое (броуновское) движение, обусловленное наличием у них тепловой энергии на каждую степень свободы движению [1]. Наложение на систему внешнего электрического поля приводит к тому, что микрочастицы, обладающие электрическим зарядом, приобретают на пути своего движения дополнительную энергетическую составляющую, имеющую векторизованный характер. Именно благодаря этому фактору векторизации движения микрочастиц имеет место появление электрического тока в макроскопических атомно-молекулярных системах.
В качестве количественной меры векторизации движения микрочастицы в электрическом поле общепринято использовать специальный параметр – подвижность носителя заряда, который определяется в виде
|
, |
(2.2) |
где – изменение средней скорости движения носителя заряда при изменении напряженности электрического поля на величину .
По своей физической сути численное значение подвижности носителя заряда характеризует среднюю скорость векторизованного движения микрочастицы в электрическом поле со значением напряженности, равным 1 В/м. В общем случае параметр является нетривиальной функцией от напряженности электрического поля. Однако для подавляющего числа практических случаев, в которых, как правило, выполняется условие Е < 103 В/м, его принято считать постоянной величиной.
Практическая целесообразность введения параметра состоит в том, что с его помощью можно определить среднюю скорость направленного движения носителя заряда при любом (с учетом оговоренного выше условия) значении напряженности электрического поля Е с помощью выражения
|
(2.3) |
Интересно оценить масштабный фактор процесса векторизации движения микрочастицы в электрическом поле. Для этого проведем сравнительный анализ броуновской и векторизованной составляющих скоростей движения микрочастицы. Для упрощения анализа примем, что векторизованная составляющая скорости движения микрочастицы соответствует механизму электропроводности пролетного типа при длине свободного пробега микрочастицы = 10-8 м (типичное, по порядку величины, значение для монокристаллических структур металлического типа). Оценка величины векторизованной и броуновской (тепловой) составляющих скорости движения микрочастицы производится на основе очевидных энергетических соотношений (использован подход классической физики):
|
; |
(2.4) |
|
|
, |
(2.5) |
где – значения кинетической энергии движения микро частицы соответственно для случая векторизованной и броуновской форм ее движения; q – величина электрического заряда носителя заряда; k – постоянная Больцмана. В табл. 2.2 приведены данные сравнительного анализа параметров векторизованной и броуновской (тепловой) форм движения микрочастицы.
Т а б л и ц а 2.2. Зависимость отношения скоростей
и кинетической энергии от напряженности электрического поля E
(T = 300 К (3kT/2 = 0.039 эВ); = 10-8 м)
|
Параметр |
Напряженность электрического поля E , В/м |
|||||
|
10 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
|
|
, эВ |
10-7 |
10-6 |
10-5 |
10-4 |
10-3 |
10-2 |
|
≈∙10-6 |
≈∙10-5 |
≈∙10-4 |
≈∙10-3 |
≈∙10-2 |
≈∙10-1 |
Из данных табл. 2.2 следует, что для большинства практических случаев (E < 105 В/м; T = 300 К) векторизованная составляющая скорости движения микрочастиц не превышает одного процента от значения броуновской составляющей скорости. В этой связи зачастую принято считать, что процесс токопрохождения не нарушает равновесную функцию распределения микрочастиц по энергиям (скоростям), а приводит лишь к появлению весьма незначительного дрейфа всего ансамбля микрочастиц в пространстве в направлении воздействия на носители заряда внешнего электрического поля.
В общем случае подвижность носителей заряда в материалах является достаточно сложной функцией от температуры и концентрации дефектов (точечного, линейного и поверхностного типов), имеющихся в кристаллической структуре. Характерный вид этой функции для случая материалов металлического и полупроводникового типа представлен на рис. 2.1.
Рис.2.1. Температурная зависимость подвижности носителей заряда
для случая материалов металлического и полупроводникового типа
В температурной зависимости подвижности носителей заряда достаточно четко просматриваются два характерных участка:
Следует отметить, что из всех типов точечных дефектов (вакансии, атомы внедрения и замещения), которые имеются в кристаллических структурах, наибольшее рассеивающее воздействие оказывают ионизированные примеси. Столь сильное влияние на процессы рассеивания со стороны ионизированных примесей обусловлено тем обстоятельством, что активная (с точки зрения возможности реализации неблагоприятного воздействия на векторизованное движение электрона, принимающего участие в процессе образования электрического тока проводимости) область электрического поля точечного заряда имеет значительную пространственную протяженность (радиус экранирования электрического поля – более 10 ангстрем). Отсюда следует, что электрическое возмущение параметров состояния среды, обусловленное присутствием всего лишь одного зарядового центра атомного масштаба, может быть распространено на элемент объема кристалла, содержащего более 103 атомов, образующих рассматриваемую кристаллическую структуру.
В случае макроскопических сред (объектов) негативное проявление рассмотренного выше момента в определенной мере нивелируется (с позиции критериев обеспечения функционального назначения материала или устройства) наличием в системе весьма значительного количества «нужных» атомов. В случае же наноразмерных объектов столь значительная величина радиуса экранирования может привести к губительным последствиям уже при наличии единичных зарядовых центров (ионов) примесного характера. Последнее обстоятельство налагает весьма строгие требования к технологическим аспектам производства наноразмерных устройств электронной техники.
б) Подвижность носителей заряда при механизме движения
пролетного типа
Как уже отмечалось выше, пролетная модель подвижности носителей заряда может быть применима для проводящих сред, для которых уместно ввести в рассмотрение понятие длины свободного пробега носителей заряда . Типичными представителями таких сред являются:
В свете рассматриваемой проблематики электропроводности кристаллических наноразмерных структур наибольший интерес представляет второй случай. В этих конденсированных средах длина свободного пробега носителей заряда может достигать величин порядка 100 – 300 ангстрем. Из этого следует тот факт, что носители заряда этих сред могут практически беспрепятственно преодолевать указанное выше значительное расстояние между очередными этапами рассеяния векторизованного движения носителя заряда на дефектах кристаллической структуры и фононах (т.е. колебательных движениях отдельных атомов, образующих кристаллическую структуру).
Проведем анализ характерных моментов модели подвижности носителей заряда, перемещающихся в проводящих средах по механизму (модели) пролетного типа на основе общих принципов и подходов, принятых в классической физике.
В целях упрощения анализа будем считать, что напряженность электрического поля достаточно мала с точки зрения выполне ния условия >> (см. табл. 2.2), где и – соответственно скоро сти движения носителя заряда хаотического (теплового) и векторизованного (дрейфового, обусловленного наличием внешнего электрического поля) типа. Считается, что носитель заряда (с величиной
электрического заряда, равной q) совершает хаотическое движение
в проводящей среде со скоростью , на которое накладывается
век торизованная составляющая движения со средней скоростью
(рис. 2.2.).
Рис 2.2. Схематическое отображение броуновского (E = 0)
и векторно-броуновского (E > 0) движения носителя заряда
В общем случае векторизованная составляющая движения может быть определена в виде
|
, |
(2.6) |
где – ускорение, испытываемое носителем заряда при значении напряженности электрического поля, равном ; m – эффективная масса носителя заряда; – средняя продолжительность движения носителя заряда между очередными соударениями (рассеянием) с атомами среды.
Значение средней продолжительности движения носителя заряда (между соударениями) можно определить исходя из выражения
|
(2.7) |
при выводе которого было использовано сформулированное выше допущение о малости векторизованной скорости движения носителя заряда относительно хаотической составляющей движения.
Из выражений (2.6) и (2.7) нетрудно определить, что векторизованная составляющая движения носителя заряда определяется выражением
|
(2.8) |
С учетом выражения (2.3), для подвижности носителей заряда при механизме движения пролетного типа имеем
|
(2.9) |
Выражение (2.9) с учетом того обстоятельства, что скорость хаотического движения , можно представить в более удобном для расчетной практики виде:
|
(2.10) |
Определим область применимости выражения (2.10) исходя из принятого ранее допущения: >> . Для этого определим область значений критической напряженности электрического поля Eкр, при которых это допущение выполняется. Принятое допущение эквивалентно выполнению условия WT >> WE , где WT и WE – кинетическая энергия соответственно для хаотического и векторизованного типа движения носителей заряда. Полагая и , искомую напряженность электрического поля Eкр определяем согласно выражению
|
Eкр = |
(2.11) |
В табл. 2.3 представлена зависимость критической напряженности электрического поля Eкр (по порядку величины) от длины свободного пробега носителей заряда , основанная на выражении (2.11).
Т а б л и ц а 2.3. Зависимость критической напряженности электрического поля Eкр
от длины свободного пробега носителя заряда
|
, м |
10-10 (1 ангстрем) |
10-9 (10 ангстрем) |
10-8 (102 ангстрем) |
10-7 (103 ангстрем) |
|
Eкр , В / м |
108 |
107 |
106 |
105 |
Согласно представленным данным, пролетная модель подвижности носителей заряда может быть использована в практических приложениях для случая макроскопических монокристаллических структур с электронным типом проводимости, при значениях напряженностей внешнего электрического поля не более 105 Вм-1.
Использование пролетной модели подвижности для случая наноразмерных кристаллических структур в большинстве случаев представляется проблематичным. Причиной этого является не столько недостаточность величины относительно размеров структуры в направлении пространственных ограничений, сколько сильное негативное влияние поверхности раздела сред (ввиду появления нарушений в периодичности (регулярности) атомной потенциальной диаграммы) на характеристики материала, ответственные за процессы рассеяния векторизованной составляющей движения носителей заряда. По той же причине с большой осторожностью эту модель можно использовать на практике и при проведении качественного (а уж тем более – количественного) анализа процессов токопрохождения в пространственных направлениях, в которых отсутствуют размерные ограничения кристаллических структур.
в) Подвижность носителей заряда при механизме движения
прыжкового типа
При механизме движения прыжкового типа, в отличие от рассмотренного выше пролетного типа, элементарный акт перемещения носителя заряда имеет атомарные масштабы. Сам процесс движения носителя заряда можно представить в виде последовательности прыжков (переходов) из одного положения равновесия в другое, пространственное расположение которых совпадает с расположением минимумов на функции потенциальной энергии носителя заряда. Носитель заряда может изменить свое местоположение (совершить прыжок) только лишь в том случае, если его кинетическая энергия в форме колебательного движения превосходит некоторое пороговое значение Wa, получившее название энергии активации процесса перехода [2].
Схематическое отображение потенциальной функции кристаллической структуры и диффузионного механизма пространственного перемещения носителя заряда в условиях отсутствия внешнего электрического поля представлено на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Потенциальная диаграмма регулярной структуры
в условиях отсутствия внешнего электрического поля
Для дальнейшего рассмотрения модели энергетической диаграммы, представленной на рис. 2.3, уместно привести следующие комментарии:
Характерной особенностью представленной на рис. 2.3 потенциальной диаграммы является то обстоятельство, что она симметрична по отношению к возможности реализации прыжка носителя заряда как вправо, так и влево, относительно начального местоположения носителя заряда. Из этого следует, что вероятности реализации прыжка вправо и влево будут равны, что исключает возможность проявления движения носителя заряда в векторизованной форме. Для определения указанных вероятностей реализации прыжков можно воспользоваться статистикой Максвелла-Больцмана (в этом случае речь идет о носителях заряда, обладающих целочисленными значениями спина (собственный момент импульса элементарных частиц)). В этом случае для вероятностей индивидуальных прыжков носителя заряда имеем [3]
|
(2.12) |
где – напряженность внешнего электрического поля; и – вероятности прыжка носителя заряда соответственно вправо и влево относительно начального расположения.
Таким образом, ввиду равенства вероятностей переходов можно заключить, что при отсутствии внешнего электрического поля носитель заряда будет совершать хаотическое движение (в форме индивидуальных прыжков), что исключает возможность появления электрического тока.
В условиях наличия внешнего электрического поля потенциальная диаграмма кристаллической структуры претерпевает принципиальное изменение (появление наклона), которое отображено на рис. 2.4 (тепловое колебательное движение атомов кристаллической структуры исключено из рассмотрения с целью повышения наглядности при отображении фактора сдвига максимумов потенциальной энергии). Фрагмент (где U ― разность потенциалов, приложенная к проводнику от внешнего источника) характеризует степень наклона потенциальной диаграммы под воздействием внешнего электрического поля.
В электрическом поле рассматриваемая регулярная кристаллическая структура теряет симметрию относительно возможности перемещения (прыжка) носителя заряда вправо и влево. В частности, для прыжка по направлению вправо потребуется несколько меньшая энергия (на величину () относительно начального значения энергии активации Wa), чем для прыжка по направлению влево (). Следовательно, прыжки по направлению вправо будут происходить несколько чаще, чем прыжки по направлению влево, а значит, появляется возможность реализации векторизованной формы движения носителя заряда в рассматриваемой регулярной структуре.
Рис. 2.4. Потенциальная диаграмма регулярной структуры
в условиях внешнего электрического поля
Проведем оценку величины разности вероятностей реализации прыжков носителя заряда по направлениям вправо и влево. Для этого обратим внимание на тот факт, что энергетические барьеры, препятствующие прыжку носителя заряда по направлениям вправо и влево, стали разными:
|
; |
(2.13а) |
|
|
(2.13б) |
где – напряженность внешнего электрического поля; q – величина электрического заряда носителя заряда.
Зная вероятности прыжков и , можно определить частоту переходов носителя заряда по направлениям вправо и влево:
|
; |
(2.14а) |
|
|
(2.14б) |
где – частота тепловых колебаний носителя заряда в потенциальной яме (параметр по порядку величины равен: 1015 Гц – электроны;
1010 – 1012 Гц – атомы; 106 – 108 Гц – молекулы).
(В выражениях (2.14а) и (2.14б) использовано то представление, что каждый носитель заряда ежесекундно совершает попыток преодолеть потенциальный барьер, из которых удачными являются те из них, при которых он обладает необходимой для реализации перехода кинетической энергией).
Из выражений (2.14а) и (2.14б) следует, что >
> , и эту разницу частот перехода (прыжков) =
= – можно определить в виде
|
. |
(2.15) |
В целях упрощения анализа выражения (2.15) примем допущение, что выполняется условие << . В этом случае с помощью представления аналитических функций в виде степенного ряда можно получить выражения:
|
; . |
(2.16) |
Подставляя выражение (2.16) в выражение (2.15) для определения разности частот перехода носителя заряда, получим
|
(2.17) |
С помощью выражения (2.17) можно определить среднюю скорость движения носителя заряда в электрическом поле:
|
(2.18) |
Согласно определению понятия подвижности носителя заряда (см. выражение(2.3)), среднюю скорость движения носителя заряда в рамках прыжкового механизма перемещения микрочастиц можно определить в виде
|
. |
(2.19) |
Сравнивая выражения (2.18) и (2.19), для прыжковой подвижности носителя заряда имеем
|
(2.20) |
При выводе выражения (2.20) было использовано допущение, что << . Исходя из этого обстоятельства, определим область применимости выражения (2.20). Для этого определим область значений критической напряженности электрического поля Eкр согласно выражению
|
= |
(2.21) |
В табл. 2.4 представлена зависимость критической напряженности электрического поля Eкр от температуры среды , в которой происходит движение носителя заряда по прыжковому механизму (использовано выражение (2.21)).
Т а б л и ц а 2.4. Зависимость критической напряженности электрического поля Eкр
от температуры проводящей среды (q = 1.6∙10-19 Кл; a = 10-10 м)
|
Т, K |
3 |
30 |
300 |
600 |
900 |
1200 |
|
Eкр, В / м |
5·106 |
5·107 |
5·108 |
109 |
1.5·109 |
2·109 |
Согласно представленным данным, прыжковая модель подвижности носителей заряда может быть использована для случая макроскопических монокристаллических структур (с ионным механизмом электропроводности) при значениях напряженностей внешнего электрического поля не более 106 Вм-1. Это условие выполняется для большинства практических приложений, связанных с созданием элементов конструкций устройств электронной техники.
г) Механизм движения носителей заряда туннельного типа
При механизме движения туннельного типа элементарный акт перемещения носителя заряда в определенной мере сходен с рассмотренным выше механизмом прыжкового типа, но протяженность элементарного прыжка имеет пространственную протяженность более чем атомного масштаба. Сам процесс движения носителя заряда можно представить в виде своеобразного «просачивания» носителя заряда сквозь потенциальный барьер, минуя необходимость его преодоления по рассмотренному выше активационному механизму. Иными словами, для этого механизма движения свойственно то обстоятельство, что носителю заряда не требуется для реализации процесса перехода обладать энергией, большей чем максимальная высота потенциального барьера.
Следует отметить тот факт, что туннельный принцип преодоления носителем заряда потенциального барьера, стоящего на пути движения микрочастицы, имеет исключительно квантовую природу. Согласно основным принципам классической физики, микрочастица может находиться лишь в тех областях пространства, в которых ее потенциальная энергия не превышает полную энергию. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы не может быть отрицательной, т.к. в этом случае импульс частицы становится мнимой величиной. Исходя из этого обстоятельства следует, что если две области пространства разделены потенциальным барьером конечной протяженности (таким, что выполняется условие > ), то просачивание частицы сквозь него в рамках представлений классической теории оказывается невозможным.
С физической точки зрения туннельный эффект можно объяснить как своеобразное проявление принципа неопределенностей В. Гейзенберга (см. выражение 1.21). Согласно этому принципу следует, что при ограничении местоположения квантовой частицы по некоторой координате (например х), т.е. увеличении степени определённости ее нахождения по указанной координате x, её импульс px становится все менее определённым. Неопределённость импульса Δp (что приводит также
к появлению неопределенности кинетической энергии ) может добавить частице недостающую для преодоления барьера часть энергии. Таким образом, можно сделать вывод о том, что квантовая микрочастица с некоторой вероятностью может проникнуть через потенциальный барьер, обладая энергией, значительно меньшей чем высота преодолеваемого потенциального барьера Wa.
Рассмотрим в одномерном приближении процесс прохождения микрочастицы через потенциальный барьер на основании вероятностных волновых представлений, представленных в разд. 1.1. Допустим, что микрочастица движется вдоль оси x в области пространства,
в которой потенциальная диаграмма претерпевает изменения согласно рис. 2.5. Характерной особенностью потенциальной диаграммы является следующее обстоятельство:
В общем случае, процесс движения квантовой микрочастицы
описывается одномерным амплитудным уравнением Шредингера (см. разд. 1):
|
, |
(2.22) |
которое для рассматриваемых областей пространства (1) и (2) трансформируется в амплитудные уравнения вида
|
; |
(2.23) |
|
|
, |
(2.24) |
где ; ; – кинетическая энергия движения микрочастицы в рассматриваемом силовом
поле.
Рис.2.5. Схематическое отображение потенциальной диаграммы
бесконечно протяженного энергетического барьера
Согласно материалам разд. 1, общие решения уравнений (2.23) и (2.24) имеют следующий вид:
|
при x < 0 ; |
(2.25) |
|
|
при x > 0 . |
(2.26) |
Фрагмент характеризует волну де Бройля, распространяющуюся в области (1) в положительном направлении оси , где – амплитуда волны вероятности местоположения микрочастицы. Соответственно, фрагмент характеризует волну вероятности, распространяющуюся в области (1) в отрицательном направлении оси , где – амплитуда волны, отраженной от потенциального барьера.
Поскольку квадрат амплитуды волны де Бройля равен вероятности нахождения микрочастицы в определенной точке пространства, то отношение
|
(2.27) |
характеризует отражательную способность барьера, а параметр R получил название коэффициента отражения движения микрочастицы от потенциального барьера (ранее, при рассмотрении движения частицы в потенциальной яме, по умолчанию считалось, что R = 1).
Фрагмент характеризует волну де Бройля, распространяющуюся в области (2) в положительном направлении оси . Квадрат амплитуды этой волны характеризует вероятность проникновения микрочастицы в область пространства (2). Отношение вида
|
(2.28) |
характеризует проникающую способность барьера, а параметр D получил название коэффициента прозрачности движения микрочастицы. Параметр получил название показателя преломления вероятностных волн де Бройля.
Фрагмент характеризует волну вероятности, распространяющуюся в области (2) в отрицательном направлении
оси . Поскольку в области (2) отсутствует как таковая отражающая граница, а следовательно, нет отраженной волны, то следует принять, что амплитуда волны B2 = 0.
Для низких потенциальных барьеров, для которых справедливо выполнение условия W > U0, коэффициент отражения R равен [4]
|
. |
(2.29) |
Выражение (2.29) представляется весьма примечательным в том плане, что оно свидетельствует о принципиальном расхождении подходов классической и квантовой физики. Согласно классической физике, при выполнении условия W > U0 коэффициент отражения R должен быть тождественно равен нулю. Согласно квантовой физике, при
выполнении этого же условия коэффициент отражения R > 0, даже если W значительно превосходит U0. Для иллюстрации этого момента в
табл. 2.5 приведены значения коэффициента отражения R для различных значений отношения .
Т а б л и ц а 2.5. Зависимость коэффициента отражения R
от значения отношения [4]
|
1.0 |
1.11 |
1.25 |
2.0 |
10 |
|
|
R |
1.0 |
0.27 |
0.146 |
0.03 |
0.0007 |
Для высоких потенциальных барьеров, для которых справедливо выполнение условия W < U0, волновое число k2 в выражении (2.26) является мнимым числом: , где – действительное число. В этом случае для волновой функции в области (2) имеем (обратить внимание на тот факт, что волновая функция уже не является ПМВ, как это имело место выше) выражение: .
Для потенциального барьера конечной толщины d (в области (2) появляется задняя стенка, отображенная на рис. 2.5 в виде утолщенной вертикальной пунктирной линии) вероятность обнаружения микрочастицы (прошедшей сквозь переднюю стенку барьера) у задней стенки барьера равна
|
. |
(2.30) |
Отличие вероятности от нуля свидетельствует о возможности прохождения (просачивания) микрочастицы сквозь потенциальный барьер конечной толщины d даже при выполнении условия W < U0.
Этот неожиданный (для классической физики) квантовый феномен получил название туннельного эффекта.
Рассмотренный выше коэффициент прозрачности D для случая потенциального барьера конечной толщины равен [4]
|
, |
(2.31) |
где D0 – постоянный коэффициент, близкий по порядку величины единице.
Выражение (2.31) может быть обобщено и для потенциальных барьеров произвольной геометрической конфигурации:
|
. |
(2.32) |
В табл. 2.6 в качестве примера, характеризующего масштабы проявления туннельного механизма преодоления потенциального барьера, представлены значения коэффициента прозрачности D (рассчитанные согласно выражению (2.31)), соответствующие различным значениям толщины барьера d и разности между значениями максимума потенциальной энергии (см. рис. 2.5) и кинетической энергии поступательного движения микрочастицы – .
Т а б л и ц а 2.6. Зависимость коэффициента прозрачности D
потенциального барьера от толщины барьера d и разности энергий
|
D, ∙10-10 м |
1.0 |
1.5 |
2.0 |
5.0 |
10 |
|
D |
0.49 |
0.34 |
0.24 |
0.027 |
7∙10-4 |
|
D |
0.36 |
0.22 |
0.13 |
6∙10-3 |
4∙10-5 |
|
D |
0.20 |
0.089 |
0.04 |
3∙10-4 |
1∙10-7 |
|
D |
0.10 |
0.032 |
0.01 |
1∙10-5 |
1∙10-10 |
Исходя из данных табл. 2.6, можно сделать ряд выводов, представляющих практический интерес:
Еще один примечательный фактор квантового подхода (расходящийся с классическим подходом) состоит в том, что при туннельном механизме прохождения сквозь потенциальный барьер энергия микрочастицы не претерпевает изменения, т.е. квантовая микрочастица покидает потенциальный барьер с тем же значением энергии, с какой она изначально входила в него.
2.1.3. Концентрация носителей заряда в проводниках
электронного типа
а) Механизм электропроводности кристаллических структур
с позиции зонных энергетических диаграмм
В общем случае в конструкционных материалах с электронным
типом проводимости общая концентрация электронов превышает величину 1022 – 1023 электронов/см3 (в том числе и в диэлектрических материалах). Если все эти электроны будут задействованы в процессе электропроводности, то электрическая проводимость всех типов материалов будет достигать чрезвычайно высоких значений, что не наблюдается в реальной научно-технической практике.
В этой связи возникает вопрос, какие из оговоренных выше электронов следует считать непосредственными участниками процесса электрической проводимости? Ответ на этот вопрос позволит сформировать механизмы электропроводности кристаллических структур, обладающих электронным типом проводимости. Этот вопрос тем более важен, если учесть то обстоятельство, что без ответа на него невозможно поставить на научную основу методы проектирования современных электронных устройств.
В настоящем разделе анализ вышеизложенного вопроса представлен на качественном уровне рассмотрения и в дальнейшем его результаты будут перекрыты более корректным количественным анализом, основанном на использовании статистики заполнения электронами энергетических уровней зонной диаграммы.
Рассмотренные выше (см. разд. 1, рис. 1.10) зонные энергетические диаграммы кристаллических структур позволяют ответить на этот вопрос. Для определения (на качественном уровне анализа) понятия о концентрации носителей заряда в кристаллических структурах, обладающих электронным типом проводимости, обратимся к более детальному рассмотрению зонной энергетической диаграммы собственного полупроводника (т.е. в отсутствие легирующей примеси донорного или акцепторного типа).
На рис. 2.6 представлен характерный вид энергетической диа граммы собственного полупроводника при температуре окружающей среды T ≈ 0 K и в условиях отсутствия внешнего электрического поля (E = 0 В/м).
Для уяснения физической сути рассматриваемого вопроса прокомментируем некоторые позиции рис. 2.6:
Рис. 2.6. Зонная энергетическая диаграмма собственного полупроводника
при температуре T ≈ 0 K
Согласно модельному представлению (см. рис. 2.6) состояния электрона в кристаллической структуре необходимо отметить следующие моменты:
Поместим полупроводник в электрическое поле c напряженностью E. В этом случае на каждый электрон, расположенный в валентной зоне, будет действовать механическая сила F = q·E, под воздействием которой он, следуя логике представлений классической физики, должен получить ускорение . Следствием подобного рода ускоренного движения электрона в электрическом поле будет нарушение вышеупомянутой симметрии макроскопического переноса носителей заряда по направлениям «вправо» и «влево» (к примеру, все стрелки на рис. 2.6 по направлению «вправо» должны удлиниться, а по направлению «влево» – укоротиться»).
Однако возможна ли такая ситуация в рассматриваемой системе? Ведь если электроны изменят скорость своего движения, то они тем самым изменят свою кинетическую, а следовательно, и полную энергию (она отложена по оси ординат зонной энергетической диаграммы). В этом случае они уже не могут оставаться на прежних энергетических уровнях и должны перейти на другие свободные энергетические уровни (с большей или меньшей энергией, в зависимости от того, увеличилась или уменьшилась скорость движения электрона под воздействием электрического поля). Фактор отсутствия свободных энергетических уровней в валентной зоне в принципе исключает возможность изменения скорости находящегося в ней электрона и в этой связи возникает парадоксальная ситуация, при которой электрон «игнорирует» факт наличия внешнего электрического поля (принято считать, что при отсутствии свободных энергетических уровней эффективная масса электрона стремится к бесконечности).
Ситуация меняется коренным образом, если часть электронов перемещается из валентной зоны в зону проводимости полупроводника. Такое перемещение электронов вполне возможно, если часть электронов валентной зоны получит дополнительную энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны полупроводника (в рассматриваемом случае запрещенная зона выступает в качестве потенциального барьера, имеющего высоту (см. рис. 2.6)). В этом случае в собственном полупроводнике появятся две, частично заполненные электронами энергетические зоны (валентная и проводимости). Сам факт частичного заполнения энергетических зон электронами открывает возможность изменения энергетического состояния этих электронов под воздействием внешнего электрического поля.
Это обстоятельство нашло свое отражение на рис. 2.7, иллюстрирующем механизм процессов ускорения (и замедления) движения электрона, находящегося в пределах отдельной энергетической зоны.
Рис. 2.7. Схематическое отображение эволюции энергетического состояния
электронов при их движении во внешнем электрическом поле
Обращаясь к рис. 2.7, следует заострить внимание на трех принципиальных моментах, отражающих специфику процесса электронной проводимости в кристаллических структурах полупроводникового и металлического типа:
На основании вышеизложенных моментов можно сформулировать итоговый вывод: электропроводность кристаллических тел с электронным типом проводимости возможна лишь в том случае, когда реализуется частичное заполнение электронами энергетических уровней в разрешенной энергетической зоне.
С этой точки зрения в качестве носителей заряда следует рассматривать не все электроны, которые содержатся в кристаллической структуре, а лишь часть из них, а именно:
А) для собственных полупроводников это:
Б) для легированных (примесного типа) полупроводников это:
В материалах металлического типа ситуация незаполненной энергетической зоны возникает автоматически, поскольку у них имеет место пересечение (смыкание) зоны проводимости и валентной зоны (т.е. запрещенная зона отсутствует как таковая). Именно поэтому в этих материалах не наблюдается недостатка в носителях заряда, что, собственно, и обуславливает достаточно высокие показатели электропроводности конструкционных материалов металлического типа.
В материалах полупроводникового типа ситуация незаполненной энергетической зоны создается искусственно, путем [5]:
Рассмотрим еще одну точку зрения на возможный механизм токопрохождения, не приводящую к необходимости наличия незаполненных энергетических зон (при всей ее ошибочности, она, тем не менее, полезна в той части, что позволяет высветить ряд полезных количественных представлений и аргументов в пользу рассмотренной выше позиции). В принципе, можно допустить гипотетический механизм «обменного» способа перемещения, при котором одна группа носителей заряда будет перескакивать вниз, на соседние энергетические уровни (уменьшая тем самым скорость своего движения под воздействием электрического поля), на смену ушедших синхронно с ними вверх (увеличивая тем самым скорость своего движения) другой группы носителей заряда. В этом случае не возникает необходимости в наличии свободных уровней в энергетической зоне. Рассмотрим вопрос об оговоренной выше синхронности процесса обмена местоположениями электронов с конструктивной точки зрения. Примем, что длина свободного пробега электронов в материале равна м (типичное значение). В этом случае значение дополнительной энергии, приобретаемой электроном от электрического поля с напряженностью E = 102 В/м, составит Эв. Учитывая тот факт, что расстояние между соседними энергетическими уровнями равно (по порядку величины) Эв, получим, что для обеспечения длины свободного пробега Эв электрону необходимо осуществить 1018 (!) синхронизированных обменных перемещений (процессов). Столь грандиозное количество необходимых обменных процессов ставит под сомнение правомерность использования гипотезы об «обменном» характере механизма электропроводности для случая кристаллических структур.
б) Функция плотности и количества квантовых состояний
Определим число индивидуальных квантовых состояний, которые может занимать микрочастица, обладающая энергией в интервале значений W – (W+dW).
Рассмотрение этого вопроса удобно начать с позиции представлений классической физики, в которой энергетическое состояние микрочастиц однозначно определяется заданием ее трех координат {x, y, z} и трех проекций импульса {px, py, pz}. Действительно, задание координат микрочастицы позволяет однозначно определить ее потенциальную энергию Wп, а проекций импульса – ее кинетическую энергию Wк, а следовательно, и полную энергию микрочастицы W = Wп + Wк. Именно в связи с последним обстоятельством принято отображать энергетическое состояние микрочастицы в виде местоположения фазовой точки в воображаемом шестимерном пространстве {x, y, z, px, py, pz}, получившем название фазового пространства состояния системы. Дальнейшая эволюция системы может быть отображена в этом фазовом пространстве посредством перемещения указанной фазовой точки по однозначно определенной фазовой траектории.
Введем в рассмотрение понятие об элементарном объеме фазового пространства состояния микрочастицы:
|
, |
(2.33) |
где – элемент объема в координатном подпростран стве; – элемент объема в импульсном подпространстве.
Поскольку в классической физике не накладывается никаких ограничений на допустимые энергетические состояния микрочастицы, то элементы объемов и , а следовательно и , могут быть бесконечно малыми величинами. Что, собственно, и отражает фактор однозначности определения состояния микрочастицы.
Для упрощения дальнейшего анализа остановимся на случае свободных частиц, для которого характерно отсутствие внешних потенциальных (силовых) полей. В этом случае энергетическое состояние микрочастицы становится не зависимым от местоположения микрочастицы в физическом объеме V (однако предполагается, что заведомо известно о нахождении микрочастицы в пределах этого объема). Исходя из сделанного допущения, можно принять, что элементарный фазовый объем и в связи с этим выражение (2.33) можно преобразовать к
виду
|
. |
(2.34) |
Следуя материалам разд. 1, движение микрочастиц описывается в рамках волновых (вероятностных) представлений, согласно которым их состояние подчиняется принципу неопределенностей Гейзенберга (см. выражение (1.25)). Принципиальное отличие квантово-механического подхода от классического состоит в том, что в этом случае состояние микрочастицы отображается в фазовом объеме не в виде точки (классический подход), а посредством конечной области фазового пространства объемом h3. С учетом этого обстоятельства элементарный фазовый объем можно представить в виде
|
. |
(2.35) |
Из выражения (2.35) можно определить объем элементарного фазового импульсного подпространства , приходящегося на одну микрочастицу:
|
(2.36) |
Процедура деления общего фазового пространства на индивидуальные фазовые ячейки (объемом или в общем случае – ), определяющие возможные квантовые состояния микрочастицы, называется квантованием фазового пространства. На рис. 2.8 приведено схематическое представление импульсного фазового подпространства энергетического состояния микрочастицы с учетом фактора сферической симметрии при отображении импульса микрочастицы в части выполнения соотношения:
.
Рис. 2.8. Импульсное фазовое подпространство
энергетического состояния микрочастицы
Определим число квантовых состояний, которые может иметь микрочастица, имеющая энергию, заключенную в интервале значений
W – (W+dW). Для этого выделим в фазовом пространстве (см. рис. 2.8) две сферические поверхности, соответствующие значениям импульса p (энергии W) и (p+dp) (энергии (W+dW)). Между указанными сфери ческими поверхностями заключен шаровой слой объемом . Общее количество квантовых состояний dGc (т.е. фазовых ячеек объемом , см. выражение (2.36)), заключенных в этом шаровом слое, будет равно
|
(2.37) |
Введем в рассмотрение функцию плотности квантовых состояний в импульсном пространстве, такую, чтобы выполнялось условие
|
(2.38) |
Для перехода от параметра p к параметру W воспользуемся очевидными выражениями (с учетом того обстоятельства, что микрочастица является свободной, а следовательно, ее кинетическая энергия равна полной энергии): ; Переходя к энергетическому представлению функции плотности квантовых состояний, имеем
|
(2.39) |
Из выражения (2.39) следует, что плотность квантовых состояний , выражающая число состояний микрочастицы, приходящееся на единичный интервал энергий, определяется выражением
|
(2.40) |
Интегрируя выражение (2.40) в пределах от W1 до W2 (W1 < W2), можно получить количество квантовых состояний электронов, содержащихся в указанном интервале энергий:
|
(2.41) |
Из выражения (2.40) следует, что с ростом массы микрочастицы плотность квантовых состояний возрастает. Именно с учетом этого обстоятельства считается, что макроскопические тела имеют практически непрерывный (а не дискретный, как это имеет место для случая единичного атома или наноразмерных структур) спектр энергетических состояний и в их поведении, как правило, не наблюдается проявлений квантово-механического характера. Именно благодаря фактору этой непрерывности спектра энергетических состояний, макроскопические объекты становятся предметом рассмотрения методами классической физики. Этот переход от случая дискретного спектра энергетических состояний (объект – единичный атом) к случаю непрерывного спектра (объект – макроскопическое тело объемом в 1 см3, с количеством атомов порядка 1023) условно отображен на рис. 2.9. На рисунке отражен акцент на величину масштабного фактора расхождения количества квантовых состояний единичного атома и макроскопического объекта, приходящихся на определенный (достаточно малый) энергетический интервал.
Рис.2.9. Плотность и количество квантовых состояний
для атомных и макроскопических объектов
В случае рассмотрения электронов в качестве микрочастиц каждой фазовой ячейке отвечает не одно, а два состояния, отличающихся друг от друга направлением спина (принцип Паули). С учетом этого для плотности квантовых состояний электронов имеем
Весьма важным и удобным для практических целей является то обстоятельство, что вид функции плотности квантовых состояний (см. выражение (2.40)) является одинаковым для всех типов микрочастиц (электроны, фотоны, атомы). Однако эта функция может отслеживать специфику ограничений на вид энергетического спектра разрешенных состояний кристаллических структур.
В частности, для случая собственного полупроводника, зонная диаграмма которого содержит запрещенную зону, функция плотности квантовых состояний имеет вид, представленный на рис. 2.10.
Рис. 2.10. Функция плотности квантовых состояний
для случая собственного полупроводника
Для общности рассмотрения и в силу их большой практической значимости на рис. 2.11 представлены функции плотности квантовых состояний для случая примесных полупроводников донорного и акцепторного типа.
|
а) |
б) |
Рис. 2.11. Функции плотности квантовых состояний
для случая донорного (а) и акцепторного (б) полупроводника
На рис. 2.11 использованы следующие условные обозначения:
А – акцепторный уровень; Д – донорный уровень (под понятием «уровень» следует понимать очень узкую энергетическую зону с количеством энергетических уровней, соизмеримым с количеством внесенных в полупроводник атомов легирующей примеси).
в) Вероятность заполнения квантовых состояний
в кристаллических структурах
В предыдущем разделе рассматривался вопрос о плотности и количестве квантовых состояний, рассматриваемых в качестве своеобразных энергетических «квартир», которые заселяются микрочастицами. В настоящем разделе рассматривается вопрос о вероятностях заселения этих «квартир» в зависимости от энергии квантового состояния. Общим физическим принципом, используемым при анализе данного вопроса, является «принцип минимальной энергии», согласно которому считается, что ансамбль микрочастиц в целом выбирает из всей совокупности энергетических состояний такое состояние (или группу состояний), при котором его энергия будет иметь минимальное значение. Особенно наглядно этот принцип проявляется при температуре системы Т = 0 К, при которой микрочастицы занимают только нижние (малоэнергетические) квантовые состояния.
С учетом специфики своего поведения в ансамбле все микрочастицы принято подразделять на два класса:
При рассмотрении вероятностных характеристик фактора заселенности энергетических состояний (при Т > 0 К) большое значение имеет величина отношения количества микрочастиц N, имеющихся в системе, к количеству квантовых состояний в системе G. С этой точки зрения ансамбли микрочастиц подразделяются на два типа:
Деление ансамблей микрочастиц на вырожденные и невырожденные случаи может содержать элемент некоторой неоднозначности. Например, ансамбль электронов в кристаллических структурах (металлы, полупроводники) является вырожденным при низких температурах и невырожденным при высоких температурах.
В соответствии с приведенной выше классификацией ансамблей микрочастиц проводится и классификация физических статистик (подробнее смотри в источнике [3]):
Следует отметить, что квантовая статистика применима только к квантовым системам, в то время как в классической статистике могут рассматриваться как классические, так и квантовые системы. Последнее обстоятельство находит свое наглядное проявление для случая ансамбля электронов, находящегося в кристаллической структуре (металлы, полупроводники), который, в зависимости от температуры, может менять степень своего вырождения (подробнее условие снятия вырождения рассмотрено ниже).
Введем в рассмотрение понятие о функции распределения частиц по энергии . Физический смысл указанной функции состоит в том, что произведение вида равно вероятности заполнения микрочастицами квантовых состояний с энергиями, заключенными в интервале значений W – . Отметим, что речь идет о вероятности заполнения квантовых состояний, если они действительно содержатся в интервале энергий . Последнее наблюдается не всегда. Например, если интервал энергий расположен в запрещенной зоне собственного полупроводника, то определенная вероятность нахождения электронов в этом интервале энергий теоретически существует, а фактически электронов в этом интервале быть не может.
В классической (Максвелла-Больцмана) статистике функция распределения микрочастиц по энергиям имеет вид
|
, |
(2.42) |
где k – постоянная Больцмана; – химический потенциал.
Физический смысл химического потенциала системы состоит в том, что он отражает энергию, которую микрочастица вносит (выносит) в систему при ее вхождении (выходе) в состав системы. Для случая невырожденного ансамбля микрочастиц химический потенциал равен
|
(2.43) |
Подставив (2.43) в выражение (2.42), получим
|
. |
(2.44) |
Согласно выражению (2.44) функция распределения частиц по энергиям является монотонно убывающей функцией от энергии микрочастиц, имеющей максимальное значение при значении энергии микрочастицы .
В квантовой (Ферми-Дирака) статистике функция распределения микрочастиц по энергиям имеет вид
|
. |
(2.45) |
В выражении (2.45) символом , как и для рассмотренного выше случая, обозначен химический потенциал системы, который для вырожденного газа принято называть энергией (или уровнем) Ферми (WF). Применительно к кристаллическим структурам металлического и полупроводникового типа энергия Ферми имеет вполне определенный физический смысл, а именно – работы выхода электронов из указанных материалов. Следует отметить, что энергия Ферми и, как следствие, работа выхода электронов в несобственных полупроводниках зависит от величины концентрации и типа (донорная, акцепторная) легирующей примеси. В частности, в полупроводниках донорного типа энергия Ферми меньше, чем в собственных полупроводниках, а в полупроводниках акцепторного типа – больше. Этот фактор положен в основу проектирования полупроводниковых приборов (структур диодного и транзисторного типа) и современных интегральных схем.
Характерный вид функции распределения частиц по энергиям легко просматривается при обращении к частному случаю: . Нетрудно видеть, что в этом случае выражение (2.45) можно заменить аналитическим представлением вида
|
1 |
при < ; |
|||
|
0 |
при > ; |
(2.45а) |
||
|
1/2 |
при = . |
Из выражения (2.45а) следует, что при выполнении условия вероятность заполнения квантовых состояний равна единице при всех значениях энергии микрочастиц, не превосходящих энергию Ферми (случай полного вырождения энергетического состояния ансамбля микрочастиц).
Вид функций распределения частиц по энергиям и представлен на рис. 2.12.
Рис. 2.12. Схематическое отображение функций распределения частиц
по энергиям и
Проведем сопоставительный анализ функций распределения частиц по энергиям (невырожденный ансамбль микрочастиц) и (вырожденный ансамбль микрочастиц). Нетрудно заметить, что при выполнении условия
|
>> 1 |
(2.46) |
обе функции распределения частиц по энергиям и приобретают тождественный вид. Отсюда следует, что выполнение условия >> kT приводит к снятию вырождения по распределению микрочастиц по энергиям. Это обстоятельство представляет определенное удобство в практическом плане, поскольку из него следует, что при больших значениях энергий микрочастиц W можно использовать (ввиду устранения фактора вырожденности ансамбля микрочастиц) статистику Максвелла-Больцмана.
Относительно фактора вырождения ансамбля микрочастиц в кристаллических структурах можно сделать ряд общих заключений:
Характерные моменты в различии поведения идеального невырожденного (статистика Максвелла-Больцмана) и вырожденного (статистика Ферми-Дирака) ансамблей микрочастиц представлены в табл. 2.7.
Т а б л и ц а 2.7. Средняя кинетическая энергия и среднеквадратичная скорость движения в вырожденном и невырожденном ансамбле микрочастиц [4]
|
Параметр |
Тип ансамбля микрочастиц |
||
|
невырожденный |
вырожденный |
||
|
W |
T = 0 K |
0 |
|
|
T > 0 K |
|||
|
T = 0 K |
0 |
||
|
T > 0 K |
Примечание: типичные значения энергии Ферми () приведены в приложении
№ 2 (см. пункт «Г»).
На основании данных, приведенных в табл. 2.7, можно сделать ряд выводов, представляющих практический интерес:
г) Полная функция распределения ансамбля микрочастиц
по энергиям
В приведенных выше разделах рассмотрены функции плотности и вероятностей заполнения микрочастицами квантовых состояний, но ни в коей мере не рассмотрен вопрос о фактическом заселении микрочастицами индивидуальных энергетических состояний зонной диаграммы. Представляется очевидным, что количество микрочастиц , находящихся на энергетических уровнях, расположенных в пределах энергетического интервала , будет пропорционально:
|
. |
(2.47) |
Функция вида получила название полной функции распределения микрочастиц по энергиям
|
(2.48) |
и характеризует фактическую плотность распределения микрочастиц по энергиям.
В классической (Максвелла-Больцмана) невырожденной статистике для полной функции распределения микрочастиц по энергиям на основании выражений (2.40) и (2.42), имеем
|
. |
(2.49) |
Следует отметить, что на вид полной функции распределения микрочастиц по энергиям оказывают влияние два конкурирующих фактора:
Практическая значимость полной функции распределения микрочастиц по энергиям состоит в том, что с ее помощью можно определить количество микрочастиц , энергия которых находится в определенном энергетическом интервале ( – ):
|
(2.50) |
Графическое отображение полной функции распределения микрочастиц по энергиям представлено на рис. 2.13.
Рис. 2.13. Полная функция распределения микрочастиц по энергиям
для невырожденного ансамбля частиц (T2 > T1)
Относительно некоторых фрагментов рис. 2.13 уместно привести ряд замечаний, имеющих практическую значимость:
В прикладных задачах довольно часто встречаются случаи, когда энергия активации элементарных физико-химических процессов Wa существенно превышает среднюю тепловую энергию микрочастиц в ансамбле – . Это следует из того, что на практике параметр Wa , как правило, соизмерим со значением 1 эВ, в то время как = 0,025 эВ (при T = 300° C). Такой уровень расхождения (Wa / = 40) позволяет считать определяющим фактором функцию (полагая при этом, что функция = const), что способствует существенному упрощению выражения (2.49). В этом случае для проведения оценочных расчетов концентрации активных (в энергетическом плане) микрочастиц вместо выражения (2.50) можно использовать более простое аналитическое выражение:
|
(2.51) |
где C – постоянная величина.
Наибольший практический интерес представляет случай, когда , а . Для этого случая на основании выражения (2.51), можно определить концентрацию активных микрочастиц NМБ(W>Wa), энергия которых больше Wa, а следовательно, эти микрочастицы способны реализовать рассматриваемый элементарный физико-химичес кий процесс посредством механизма термической активации:
|
NМБ (W>Wa) = N0, |
(2.52) |
где N0 – полная концентрация микрочастиц в ансамбле.
Некоторое представление о масштабе величин параметра
NМБ (W > Wa) можно составить на основании данных, приведенных в табл. 2.8.
Т а б л и ц а 2.8. Зависимость относительной концентрации
активных микрочастиц от энергии активации Wa и температуры Т
|
Wa, эВ |
Температура, К |
|||||
|
50 |
100 |
300 |
600 |
900 |
||
|
0.5 |
≈ 10-51 |
9.36 ∙ 10-14 |
2.06 ∙ 10-9 |
4.54 ∙ 10-5 |
1.27 ∙ 10-3 |
|
|
1.0 |
0 |
≈ 10-51 |
≈ 10-17 |
2.06 ∙ 10-9 |
1.62 ∙ 10-6 |
|
|
1.5 |
0 |
0 |
≈ 10-26 |
9.36 ∙ 10-14 |
2.06 ∙ 10-9 |
В квантовой (Ферми-Дирака) вырожденной статистике для полной функции распределения электронов (с учетом их спиновых состояний) по энергиям на основании выражений (2.40) и (2.45) имеем
|
. |
(2.53) |
При очень низких температурах (T ≈ 0) вероятность заполнения квантовых состояний практически равна единице для совокупности малоэнергетических уровней и в этой связи выражение (2.53) приобретает более простой вид:
|
(2.54) |
Интегрируя выражение (2.54) в энергетическом интервале {0 – WF}, определяем общее количество электронов, имеющих энергию в указанном энергетическом интервале:
|
(2.55) |
Из выражения (2.55) можно определить энергию Ферми WF:
|
, |
(2.56) |
где – концентрация электронного газа в системе.
Любопытно сравнить родственные понятия химического потенциала (невырожденная статистика, см. выражение (2.43)) и энергии Ферми WF (вырожденная статистика, см. выражение (2.56)). Оба эти понятия имеют одинаковый физический смысл, а именно – это энергия, которую микрочастица вносит (выносит) в систему при ее вхождении (выходе) в состав системы. Однако в первом случае параметр является функцией температуры, а во втором – параметр WF не является функцией температуры. Последнее обстоятельство следует из того, что энергия Ферми, характеризующая поступательное движение электрона в системе, не является энергией теплового движения и имеет исключительно квантовую природу.
Зная значение энергии Ферми WF ,можно определить максимальную скорость поступательного движения электронов , находящихся на верхнем энергетическом уровне в разрешенной зоне:
|
, |
(2.57) |
и температуру Ферми TF (условная величина, которая показывает, при какой температуре невырожденный газ имел бы энергию теплового движения, равную энергии Ферми):
|
(2.58) |
В табл. 2.9 представлены значения энергии Ферми WF, температуры Ферми TF и скорости поступательного движения для некоторых металлов.
Т а б л и ц а 2.9. Квантово-механические характеристики некоторых металлов [4]
|
Металл |
WF, эВ |
TF ∙104 |
∙106 мс-1; () |
|
Li |
4.7 |
5.5 |
1.3 (13.7) |
|
Na |
3.1 |
3.7 |
1.1 (11.1) |
|
Cu |
7.1 |
8.2 |
1.6 (16.9) |
|
Ag |
5.5 |
6.4 |
1.4 (14.8) |
Примечание: Значения соответствуют температуре T = 300 К.
Из данных табл. 2.9 следует, что при температуре T = 300 К скорость поступательного движения микрочастицы превосходит более чем на порядок скорость теплового движения . Очевидно, что величина этого расхождения между скоростями и будет возрастать с уменьшением температуры.
д) Концентрация носителей заряда и электропроводность
в кристаллических структурах металлического
и полупроводникового типа
Анализ вопроса о концентрации носителей заряда в кристаллических структурах с электронным типом проводимости проводится на основе вышеизложенных материалов (см. пункты настоящего раздела: а, б, в, г). С методической точки зрения целесообразно начать рассмотрение этого вопроса с материалов металлического типа.
В материалах металлического типа зонная энергетическая диаграмма не имеет запрещенной зоны, а следовательно, в них зона проводимости непосредственно примыкает к валентной зоне. При температуре T = 0 К зона проводимости металла полностью свободна от электронов, а валентная зона, напротив, полностью заполнена. С повышением температуры металла (T > 0 К) часть электронов, находящихся в верхней части валентной зоны, подвергаются тепловому возбуждению (т.е. электроны увеличивают свою энергию) и под действием этого фактора переходят на более высоко расположенные энергетические уровни, находящиеся в нижней части зоны проводимости. Поскольку тепловому возбуждению подвергаются не все электроны валентной зоны, а только часть из них (которые и являются носителями заряда при реализации процесса электропроводимости), то вопрос об их количестве приобретает исключительно практический интерес.
Энергетическому воздействию подвергаются электроны, находящиеся на энергетических уровнях валентной зоны в интервале энергий протяженностью kT, непосредственно примыкающем к уровню Ферми. Электроны, находящиеся на более глубоких энергетических уровнях валентной зоны, практически не подвергаются тепловому возбуждению. Проведем оценку количества этих возбужденных (т.е. перешедших в зону проводимости) электронов. Примем, что в валентной зоне изначально находится N электронов, расположенных на N/2 энергетических уровнях (на каждом уровне может находиться, согласно принципу Паули, не более двух электронов). Протяженность валентной зоны определяется интервалом энергий {0 – WF}. В целях упрощения примем допущение, что энергетические уровни расположены в валентной зоне на одинаковом расстоянии друг от друга, равном :
|
эВ. |
(2.59) |
(Столь малое значение интервала позволяет считать, что энергетические зоны являются не дискретными, а непрерывными.)
Как отмечалось выше, тепловому возбуждению подвергаются электроны в энергетическом интервале с протяженностью kT, расположенном ниже уровня Ферми WF. В этом энергетическом интервале валентной зоны изначально находится количество энергетических уровней , равное
|
(2.60) |
На этих энергетических уровнях валентной зоны располагается термически возбужденных электронов, количество которых можно оценить с помощью выражения (принимая во внимание принцип Паули):
|
(2.61) |
Термически возбужденные электроны валентной зоны переходят на нижние уровни зоны проводимости, которые по определению расположены выше уровня Ферми. Эти перешедшие электроны находятся в состоянии динамического равновесия с оставшимися в валентной зоне дырками. Последнее означает, что термически возбужденные электроны, перешедшие в зону проводимости, могут потерять свою избыточную (тепловую) энергию путем ее передачи атомам кристаллической решетки и вернуться в валентную зону. В этой связи их равновесное количество будет меньше общего количества возбужденных электронов в валентной зоне . Полагая, что за уровень Ферми переходит не более половины возбужденных электронов , для оценки количества носителей заряда в проводниках металлического типа получим
|
(2.62) |
В табл. 2.10 представлена зависимость относительной концентрации носителей заряда в металлах от температуры, полученная на основании выражения (2.62).
Т а б л и ц а 2.10. Зависимость от температуры в проводниках
металлического типа (при значении энергии Ферми WF = 5 эВ)
|
T, K |
10 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
|
8∙10-5 |
4∙10-4 |
8∙10-4 |
1.2∙10-3 |
1.6∙10-3 |
2∙10-3 |
|
|
T, K |
300 |
350 |
400 |
450 |
500 |
600 |
|
2.4∙10-3 |
2.8∙10-3 |
3.2∙10-3 |
3.6∙10-3 |
4∙10-3 |
4.8∙10-3 |
|
|
T, K |
800 |
1000 |
1200 |
1400 |
1600 |
2000 |
|
6.4∙10-3 |
8∙10-3 |
9.6∙10-3 |
1.1∙10-2 |
1.3∙10-2 |
1.6∙10-2 |
Согласно данным табл. 2.10 можно сформулировать ряд важных, с практической точки зрения, выводов:
С учетом вышеизложенного можно считать, что концентрация носителей заряда в проводниках металлического типа весьма слабо зависит от температуры, а температурная зависимость электропроводности этих конструкционных материалов всецело определяется вариацией подвижности носителей заряда (см. выражение (2.1)).
В собственных полупроводниках зонная энергетическая диаграмма имеет запрещенную зону, а следовательно, у них нижний уровень зоны проводимости отстоит от верхнего уровня валентной зоны на расстоянии, равном ширине запрещенной зоны . При температуре T = 0 К зона проводимости полупроводника полностью свободна от электронов (как и у металла), а валентная зона, напротив, полностью заполнена. С повышением температуры полупроводника (T > 0 К) часть электронов, находящихся в верхней части валентной зоны, подвергаются тепловому возбуждению и под действием этого фактора переходят на более высоко расположенные энергетические уровни, находящиеся в нижней части зоны проводимости. Однако в случае собственных полупроводников эти переходы связаны с необходимостью преодоления энергетического барьера , поэтому количество перешедших электронов будет гораздо меньше, чем в случае металлов (т.е. при отсутствии энергетического интервала ).
В результате перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости полупроводника на зонной диаграмме последнего образуется две частично заполненные энергетические зоны (в определенной мере аналогичные рассмотренному выше случаю металлов). В обеих этих частично заполненных энергетических зонах носителями заряда являются электроны, однако ввиду разной подвижности носителей заряда (в зоне проводимости она больше) механизмы проводимости в этих зонах получили различное название: электронный (в зоне проводимости) и дырочный (в валентной зоне). Последним отмечается тот факт, что концентрация носителей заряда соизмерима с концентрацией пустых мест (дырок) на энергетических уровнях валентной зоны. Представляется очевидным, что в собственных полупроводниках концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне одинаковы (с учетом фактора их происхождения):
|
= , |
(2.63) |
где i – индекс, обозначающий, что рассматривается случай собственных полупроводников.
В собственных полупроводниках для энергетических уровней зоны проводимости, как правило, выполняется условие >> kT (), что приводит к снятию вырождения по распределению микрочастиц по энергиям (см. выражение (2.46)). Таким образом, электронный газ, находящийся в зоне проводимости, можно считать невырожденным и в этой связи использовать (ввиду устранения фактора
вырожденности ансамбля микрочастиц) статистику Максвелла-Больцмана. С учетом этого обстоятельства для концентрации электронов (в зоне проводимости) и дырок (в валентной зоне) имеем [4]
|
= =, |
(2.64) |
где и – эффективная масса соответственно для электрона (в зоне проводимости) и дырки (в валентной зоне); Wi – ширина запрещенной зоны собственного полупроводника.
При выводе выражения (2.64) использовано то обстоятельство, что температурное смещение уровня Ферми столь незначительно, что им можно пренебречь и считать . Для большинства собственных полупроводников это допущение является правомерным. Однако следует иметь в виду, что для полупроводников с малой шириной запрещенной зоны этим смещением нельзя пренебрегать уже при комнатной температуре (например, у полупроводника типа InSb, у которого Wi = 0.17 эВ).
Поскольку в собственном полупроводнике имеется два типа носителей заряда (электроны и дырки), то выражение для электропроводности (2.1) этого типа конструкционных материалов приобретает вид
|
, |
(2.65) |
где q – заряд электрона (дырки); и – подвижность соответственно для электрона (в зоне проводимости) и дырки (в валентной зоне).
С учетом выражений (2.64) и (2.65) в первом приближении можно считать, что температурная зависимость электропроводности собственных полупроводников определяется выражением
|
, |
(2.66) |
где – постоянная, равная электропроводности собственного полупроводника при температуре .
Температурную зависимость электропроводности собственных полупроводников удобно представлять в полулогарифмических координатах вида :
|
(2.67) |
Типичный вид температурной зависимости собственных полупроводников представлен на рис. 2.14.
Рис.2.14. Температурная зависимость собственных полупроводников
С помощью экспериментальной зависимости, отображенной на рис. 2.14, можно определить основные характеристические параметры электропроводности собственных полупроводников и .
Из выражения (2.66) следует, что концентрация носителей заряда (выражение (2.64)), а следовательно, и электропроводность (выражение (2.67)) собственных полупроводников должны существенно зависеть
от ширины запрещенной зоны полупроводника и температуры T (табл. 2.11).
Т а б л и ц а 2.11. Зависимость концентрации носителей заряда
от параметров Wi и Т
|
, эВ |
Концентрация носителей заряда , см-3 |
||
|
0.5 |
1.0 |
1.5 |
|
|
T = 100 K |
8.7∙10-4 |
0 |
0 |
|
T = 300 K |
2.1∙1014 |
4.2∙105 |
8.7∙10-4 |
|
T = 600 K |
4.5∙1018 |
2.1∙1014 |
9.4∙109 |
Данные табл. 2.11 позволяют оценить масштабный фактор в изменении концентрации носителей заряда (и электропроводности) при вариациях ширины запрещенной зоны собственного полупроводника () и его температуры (T). В частности, следует отметить тот немаловажный факт, что при изменении ширины запрещенной зоны собственного полупроводника или его температуры всего в два раза концентрация носителей заряда может измениться на несколько порядков.
В примесных полупроводниках донорного типа зонная энергетическая диаграмма имеет в запрещенной зоне дополнительную узкую донорную зону, изначально заполненную электронами. Протяженность этой дополнительной донорной зоны можно оценить сгласно выражению
|
, |
(2.68) |
где – концентрация донорной примеси в собственном полупроводнике; – среднее расстояние между соседними энергетическими уровнями в пределах зоны. Полагая = 1017 см-3 (достаточно высокий уровень легирования) и = 10-23 эВ, получаем = 10-5 эВ. Отсюда следует, что протяженность в 105 раз меньше, чем протяженность зоны проводимости или валентной зоны, которые равны по порядку величины 1 эВ. Ввиду незначительной протяженности донорной зоны по энергетической шкале ее принято называть донорным уровнем. Другой характерной и важной для практических приложений особенностью донорного уровня является то обстоятельство, что он, как правило, располагается в непосредственной близости от дна зоны проводимости (на расстоянии порядка 0.05 – 0.1 эВ).
Дальнейшее рассмотрение температурной зависимости электропроводности донорных полупроводников проводится на основе схематического отображения зонной энергетической диаграммы, представленной на рис. 2.15.
Рис.2.15. Энергетическая диаграмма донорного полупроводника
В области низких температур, т.е. при выполнении условия
> , переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости можно пренебречь (ввиду того, что ≈ 1 эВ >> ) и считать, что все электроны в зоне проводимости появились там благодаря переходам электронов с донорного уровня. В этой связи в первом приближении можно принять, что равновесная концентрация электронов в зоне проводимости, попавших туда с донорного уровня, определяется выражением (сопоставить с выражением (2.64))
|
. |
(2.69) |
В более корректной постановке равновесная концентрация электронов в зоне проводимости определяется более сложным выражением [5]
|
, |
(2.69а) |
где – эффективное число энергетических состояний в зоне проводимости собственного полупроводника.
В табл. 2.12 представлена зависимость равновесной относительной концентрации электронов в зоне проводимости от фактора , полученная на основании выражения (2.69).
Т а б л и ц а 2.12. Зависимость от параметра
|
15 |
10 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
5.5∙10-4 |
6.7∙10-3 |
0.082 |
0.135 |
0.223 |
0.368 |
0.607 |
Из данных табл. 2.12 следует, что даже при относительно малых значениях температуры в зону проводимости полупроводника переходит с донорного уровня значительное количество электронов от числа имеющихся на данном уровне.
В области высоких температур переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости в общем случае пренебрегать нельзя. Действительно, по мере повышения температуры подавляющее большинство электронов донорного уровня переходит в зону проводимости и наблюдается эффект истощения примесного уровня, с точки зрения его роли в качестве поставщика электронов. В этом случае концентрация электронов в зоне проводимости, обусловленная наличием донорной примеси, достигнет своего предельного значения:
|
. |
(2.70) |
При более высоких температурах начинается процесс перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости. Поскольку концентрация электронов в валентной зоне гораздо выше концентрации донорной примеси, вклад этих электронов в общую концентрацию носителей заряда полупроводника может быть существенным. С учетом этого дополнительного обстоятельства для концентрации носителей заряда в полупроводниках донорного типа имеем выражение вида
|
(2.71) |
С учетом всех вышеизложенных моментов можно построить обобщенную температурную зависимость концентрации носителей заряда в полупроводниках донорного типа в виде, представленном на рис. 2.16.
Рис. 2.16. Температурная зависимость концентрации носителей заряда
в полупроводниках донорного типа
Для пояснения температурной зависимости концентрации носителей заряда в донорном полупроводнике уместно привести следующие комментарии:
|
, |
(2.72а) |
|
|
; |
(2.72б) |
В примесных полупроводниках акцепторного типа зонная энергетическая диаграмма имеет в запрещенной зоне дополнительную узкую акцепторную зону (ее также принято называть «уровнем» – ввиду малой протяженности по энергетической шкале), изначально пустую, т.е. в ней отсутствуют электроны. Характерной и важной для практических приложений особенностью акцепторного уровня является то обстоятельство, что он, как правило, располагается в непосредственной близости от потолка валентной зоны (на расстоянии порядка 0.05 – 0.1 эВ).
Относительно этого случая легирования собственных полупроводников можно повторить все выкладки, изложенные для донорных полупроводников, с тем принципиальным отличием, что ситуация частично занятой энергетической зоны образуется в валентной зоне, в результате перехода части электронов валентной зоны на акцепторный уровень.
В области низких температур концентрация носителей заряда
(дырок) в валентной зоне полупроводника в первом приближении равна
|
, |
(2.73) |
где – расстояние от потолка валентной зоны до акцепторного уровня; – концентрация акцепторной примеси в полупроводнике.
В области высоких температур концентрация носителей заряда (дырок) в валентной зоне полупроводника равна
|
(2.74) |
Температурная зависимость концентрации носителей заряда (дырок) в валентной зоне полупроводника отображается графиком, аналогичным графику, представленному на рис. 2.16 (с заменой соответствующих индексов: «n» на «p» и «д» на «а»). Более подробное рассмотрение вопросов электропроводности полупроводниковых материалов донорного и акцепторного типов в статических и динамических электрических полях представлено в литературных источниках [4,5].
2.2. Элементы теории электропроводности наноразмерных
структур
2.2.1. Общие ограничения применимости статистических
методов анализа для случая наноразмерных структур
а) Статистические флуктуации характеристических
параметров макро- и микросистем
В вышеизложенных материалах широко использовались статистические методы анализа, свойственные макроскопическим системам, содержащим чрезвычайно большое количество микрочастиц. Из общих принципов статистической физики с неизбежностью вытекает возможность проявления в системе флуктуаций, в результате которых система может самопроизвольно перейти из наиболее вероятного равновесного состояния (с максимальной энтропией) в одно из менее вероятных состояний. При этом ход этого флуктуационного процесса будет обратным тому, при котором происходит возрастание энтропии системы.
На практике явление флуктуации параметров системы может наблюдаться в явном виде в двух полярных случаях:
Пусть имеется замкнутая система, находящаяся в состоянии статистического равновесия и имеющая в этом состоянии равновесную энтропию . Система считается замкнутой, если она не обменивается с окружающей средой энергией и веществом (в более широкой трактовке сюда же можно отнести и обмен информацией). Будем считать, что текущее состояние системы может быть охарактеризовано с помощью некоторого внутреннего параметра , который в состоянии термодинамического равновесия принимает значение . В этом случае энтропия системы будет некоторой функцией параметра и можно принять . Вероятность того, что рассматриваемая замкнутая система находится в состоянии, характеризуемом значением параметра , находящимся в интервале значений { – ()}, можно определить на основании формулы Больцмана [6]:
|
, |
(2.75) |
где С – постоянная величина, удовлетворяющая условию нормировки вероятностей состояния системы: . Поскольку представление о полной замкнутости системы является весьма сильной абстракцией реальных систем, этот случай представляет довольно ограниченный практический интерес.
Более реалистичным представляется случай квазизамкнутой системы, являющейся некоторой малой подсистемой, погруженной в большой термостат с постоянной температурой. Принято считать, что флуктуации происходят только в рассматриваемой подсистеме (учитывая ее малый объем относительно термостата) и не затрагивают сам термостат. Ввиду имеющего место обмена энергией и микрочастицами между подсистемой и термостатом состояние подсистемы будет функцией некоторого внешнего макроскопического параметра . Предполагается, что изменение (флуктуация) макроскопического параметра происходит столь медленно, что подсистема постоянно находится в состоянии текущего статистического равновесия. Поскольку подсистема вместе с термостатом составляют (по определению) рассмотренную выше замкнутую систему, то к ним в целом применимо выражение (2.75). Однако в этом случае суммарное изменение энтропии рассматриваемой объединенной системы можно представить в виде
|
, |
(2.76) |
где и – изменение термодинамической энтропии соответственно у термостата и подсистемы.
Опуская нетривиальные математические преобразования, для статистического распределения флуктуации макроскопического параметра имеем [6]
|
(2.77) |
где – величина среднеквадратического отклонения внешнего параметра , оказывающего влияние на состояние подсистемы и определяемого согласно выражению
|
(2.78) |
где – потенциальная энергия при перемещении системы в некотором воображаемом (а в ряде случаев реальном) поле сил.
Из выражения (2.77) следует, что вероятность флуктуации резко уменьшается с ростом ее абсолютной величины и уменьшением параметра . Последняя величина пропорциональна концентрации микрочастиц и абсолютной температуре объединенной системы «термостат – подсистема». В этой связи можно ожидать, что интенсивность флуктуационных процессов будет уменьшаться с уменьшением температуры системы. Это важное обстоятельство составляет физическую основу большинства практических методов подавления шумовой составляющей информационных сигналов в современных устройствах электронной техники.
Важность параметра требует более пристального внимания к нему с позиции ожидаемых флуктуаций характеристических (в макроскопических системах – термодинамических, таких как концентрация, давление, химический потенциал и т.д.) параметров наноразмерных структур. Действительно, в этих структурах, физические объемы которых чрезвычайно малы, содержится весьма малое количество атомов, реализующих их функциональное назначение. Поэтому незначительные изменения в наноразмерных структурах количества и типа микрочастиц или их местоположения, происшедшие в результате проявления факторов флуктуационной природы, приводит к значительному нарушению исходного атомно-молекулярного порядка, необходимого для обеспечения требуемого функционального назначения (качества) изделия.
Здесь уместно отметить, что ключевой особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер, позволяющий предсказать степень ожидания (вероятность) наступления определенного события из совокупности возможных событий, составляющих полную группу. В этой связи достоверность вероятностных прогнозов будет тем выше, чем большее количество микрочастиц составляет статистический ансамбль. Для системы, состоящей из N микрочастиц, относительное отклонение наблюдаемого физического параметра А, являющегося функцией N, определяется выражением [6]
|
, |
(2.79) |
где – среднеквадратическое отклонение от математического ожидания А0.
В табл. 2.13 приведена зависимость от числа индивидуальных атомов, входящих в состав физической системы. Эта зависимость представляет практический интерес с точки зрения возможности использования и установления границ применимости статистических методов при проведении анализа наноразмерных структур.
Согласно данным табл. 2.13 видно, что с увеличением числа микрочастиц физические параметры испытывают все меньшие относительные отклонения, и таким образом при очень больших значениях N эти параметры могут считаться постоянными величинами во времени.
Т а б л и ц а 2.13. Зависимость
|
Параметр |
Физический объем системы, нм3 (по порядку величины) |
|||||||
|
0.03 |
0.09 |
1.0 |
10 |
100 |
103 |
104 |
109 (1 мкм3) |
|
|
10 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
109 |
1012 |
|
|
0.32 |
0.10 |
0.03 |
0.01 |
0.003 |
0.001 |
3∙10-5 |
10-6 |
К примеру, оценка погрешности (обусловленной факторами флуктуационной природы) при определении концентрации газовых молекул в стандартной атмосфере (при нормальных условиях N ≈ 1019 см-3) приводит к величине порядка 10-11 %. Измерение этой величины произвести практически невозможно, поскольку этот показатель намного превышает метрологические возможности современных измерительных средств. В этой связи можно утверждать, что для макроскопических систем результаты статистического анализа имеют практически достоверный характер. Однако эта ситуация изменяется радикальным образом, если наноразмерная структура содержит весьма незначительное количество частиц (см. столбцы со значениями N, заключенными в интервале величин 10 – 104 микрочастиц).
В литературных источниках довольно часто встречаются сообщения о попытках создания наноразмерных конструкций, состоящих всего из 10 – 100 атомов (в ряде случаев речь идет об изделиях, состоящих всего из одного атома!). В свете данных табл. 2.13, успешность реализации функционального назначения (качества) подобного рода устройств представляется довольно проблематичной, если речь идет о температурах эксплуатации этих изделий, превышающих несколько градусов Кельвина.
б) Статистическая энтропия наноразмерных структур
Характерной особенностью развития технических изделий как на современном этапе их создания, так и в историческом разрезе, является повышение их сложности в структурном и материальном плане. Эта сложность, в первую очередь, ассоциируется в конструкторско-техно логической практике с необходимостью использования все более упорядоченных, с атомно-молекулярной точки зрения, материальных сред.
В максимальной мере фактор упорядоченности материальных сред проявляется в изделиях современной электронной техники, для конструкционных материалов которых допустимый уровень примесных включений (в настоящее время) не превышает 10-4 % (подробнее этот вопрос рассмотрен в разд. 3). Следует также отметить, что характерный объем элементов конструкций современных электронных приборов приближается к значению 10-3 мкм3 (в промышленной практике), из чего следует, что эти элементы содержат в своем составе не более 109 атомов. В опытно-конструкторских разработках, основанных на использовании традиционной планарной технологии, эти показатели соответственно равны 10-6 мкм3; 106. В настоящее время на этапе становления находится революционно новая технология атомной сборки изделий наноразмерного масштаба, охватывающих широкую отраслевую направленность (электроника, химия, биология, робототехника и т.д.). В этих наноразмерных элементах конструкций и изделий количество индивидуальных атомов исчисляется значениями 102 – 104. В этой связи представляется очевидным, что проблематика обеспечения порядка в пространственном расположении и избирательности атомов определенного типа при создании изделий приобретает исключительный интерес.
В свете вышеизложенных моментов следует отметить, что наиболее близко к представлениям о мере порядка в атомно-молекулярных средах подошла современная статистическая физика. Именно ее подходы позволили сформировать конструктивные представления, необходимые для введения в рассмотрение меры упорядоченности физических сред. В качестве такой меры упорядоченности материальных сред выступает статистическая энтропия физических систем (понятие энтропии ранее было сформировано в рамках равновесной термодинамики, но ввиду ее формального (феноменологического) характера и применимости исключительно к макроскопическим системам оно представляется малопригодным для рассматриваемого круга вопросов).
Составить представление о физической сущности статистической энтропии можно на основе конкретного примера, в котором рассматривается достаточно простая физическая система – «идеальный газ». Пусть имеется замкнутый объем газа с общим количеством одинаковых микрочастиц , который перегорожен проницаемой для микрочастиц мембраной на два одинаковых объема /2. В принципе, эти два объема могут поделить между собой общее количество микрочастиц в любой пропорции (в том числе теоретически допустимо, но маловероятно, что все микрочастицы соберутся в одном из указанных объемов).
Для определенности обозначим условно эти объемы соответственно индексами А и Б и определим вероятность Pn события, состоящего в том, что микрочастиц из будет обнаружено в объеме А и микрочастиц – в объеме Б. Общее количество вариантов , с помощью которых можно реализовать ситуацию и , определяется выражением [7]
|
(2.80) |
В табл. 2.14 представлены значения функции , рассчитанные с помощью выражения (2.80) для случая .
Т а б л и ц а 2.14. Значения функции , вероятности макросостояний Pi
и частной энтропии макросостояний Si для случая
|
(i) – № макросостояния системы |
Тип макросостояния |
Количество вариантов |
Вероятность Pi |
Энтропия макросост. Si, Дж/К |
|
|
1 |
0 |
20 |
1 |
0 |
|
|
2 |
1 |
19 |
20 |
4.1∙10-23 |
|
|
3 |
2 |
18 |
190 |
7.2∙10-23 |
|
|
4 |
3 |
17 |
1.14∙103 |
0.001 |
9.7∙10-23 |
|
5 |
4 |
16 |
4.85∙103 |
0.005 |
1.2∙10-22 |
|
6 |
5 |
15 |
1.55∙104 |
0.015 |
1.3∙10-22 |
|
7 |
6 |
14 |
3.88∙104 |
0.037 |
1.5∙10-22 |
|
8 |
7 |
13 |
7.75∙104 |
0.074 |
1.6∙10-22 |
|
9 |
8 |
12 |
1.26∙105 |
0.120 |
1.7∙10-22 |
|
10 |
9 |
11 |
1.68∙105 |
0.160 |
1.8∙10-22 |
|
«11» |
10 |
10 |
1.85∙105 |
0.176 |
1.9∙10-22 |
|
Далее результаты повторяются в убывающем порядке |
|||||
|
- |
- |
- |
S=2.0∙10-22 |
Для дальнейшего рассмотрения уместно привести ряд комментариев относительно отдельных позиций данных табл. 2.14:
|
; |
(2.81) |
|
(2.82) |
где k – постоянная Больцмана;
|
(2.83) |
Следует отметить, что большие значения вероятностей обнаружения центральных макросостояний имеют место не потому, что природа «любит» эти равновесные макросостояния по каким-то дополнительным признакам, а по той простой причине, что эти макросостояния реализуются с помощью огромного количества микросостояний (вариантов). При этом каждое микросостояние, независимо от его принадлежности к каждому конкретному макросостоянию, имеет одинаковую вероятность своего проявления. Для рассмотренного примера эта вероятность проявления индивидуального микросостояния имеет значение весьма близкое к нулю:
|
(2.84) |
В реальной физико-технической практике оперируют с минимальным объемом физических сред порядка 10-9 мкм3 (содержащих в своем составе не 20 атомов, как это было в рассмотренном примере, а атомов), и в этом случае, согласно выражениям (2.80) и (2.84), вероятность проявления индивидуального микросостояния можно считать практически равной нулю.
Довольно близкие значения вероятностей появления макросостояний с номерами № 9, 10, 11 (близких к равновесному состоянию) обусловлены достаточно малым количеством атомов в системе. С ростом количества атомов в системе это различие будет проявляться в более отчетливой форме. Это обстоятельство представлено в табл. 2.15, в которой приведены значения отношения вероятности равновесного макросостояния (количество атомов в ящиках А и Б одинаково) к вероятности макросостояния (т.е. при 10% отклонении от равновесного макросостояния) при различных значениях общего количества атомов в системе N.
Из данных табл. 2.15 следует, что при значениях параметра
N > 1000 можно считать, что вероятность появления равновесного макросостояния становится практически равной единице, а появление остальных макросостояний становится весьма маловероятным событием.
Т а б л и ц а 2.15. Зависимость отношения от значения параметра N
|
N |
20 |
100 |
200 |
500 |
1000 |
|
1.10 |
1.64 |
2.71 |
12.2 |
149 |
Интересно применить результаты, представленные в табл. 2.14 и 2.15, к процессу создания технических изделий (конструкций). Характерной особенностью этих изделий является ярко выраженный неравновесный характер физических сред, используемых для обеспечения функционального качества изделия.
Например, в диодной структуре, основанной на базе резкого (p-n) перехода, с одной стороны от границы раздела находится донорная примесь, а с другой – акцепторная примесь, что свидетельствует о ярко выраженном неравновесном состоянии структуры в целом. Этому неравновесному состоянию структуры, обеспечивающему эффект выпрямления электрических сигналов, можно, с некоторой долей условности, поставить в соответствие макросостояние №1 табл. 2.14. Представляется очевидным, что ожидать от «природы» спонтанного возникновения указанной диодной структуры, реализуемой с помощью всего лишь одного микросостояния, не представляется возможным ввиду чрезвычайно малой вероятности ее проявления. Именно по этой причине в производственно-технической практике приходится использовать различного рода технологии по преобразованию рабочих сред из равновесного состояния, характерного для сырьевых ресурсов, в требуемое неравновесное состояние, характерное для изделия (подробнее этот вопрос с учетом аспектов производственного характера рассмотрен в разд. 3).
В процессе эксплуатации изделия указанная начальная неравновесность состояния физических сред изделия является причиной активизации процессов диффузионного перехода примесей в соседние области, что в итоге приводит к перемешиванию донарной и акцепторной примесей. Конечным итогом этого процесса перемешивания примеси является образование однородной (равновесной) рабочей среды (с полной потерей функционального назначения диодной структуры), которой можно поставить в соответствие равновесное макросостояние позиции №11 табл. 2.14, с учетом фактора головизны этого равновесного состояния, зависимость вероятности которого от количества микрочастиц в системе представлена в табл. 2.15.
2.2.2. Носители заряда для случая наноразмерных структур
кристаллического типа
а) Специфика формализма зонных энергетических диаграмм
для случая наноразмерных структур
В разд. 2.1.3 (пункт а) рассмотрен механизм изменения скорости электрона при его движении в кристаллических структурах электронного типа под воздействием внешнего электрического поля. Показано, что ключевым моментом при реализации векторизованной формы движения (а следовательно, и образования электрического тока), обеспечивающим возможность изменения скорости электрона под воздействием электрического поля, является фактор частичного заполнения электронами разрешенной энергетической зоны (проводимости и валентной). Указанное частичное заполнение энергетических зон позволяет практически непрерывное изменение энергии электрона при его нахождении в пределах рассматриваемой энергетической зоны (с учетом того обстоятельства, что расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне имеет очень малую величину и составляет по порядку 10-23 эВ). Именно в этой связи можно утверждать о квазинепрерывном характере динамики векторизованного движения электрона проводимости в веществе.
Для макроскопических кристаллических структур характерным фактором является чрезвычайно большое количество энергетических состояний в разрешенных энергетических зонах, а следовательно, и значительная их протяженность по энергетической шкале. В этой связи частичное заполнение энергетических зон электронами оставляет определенную возможность (благодаря наличию большого количества
свободных энергетических уровней) для изменения энергетических
состояний указанных электронов под воздействием внешнего электрического поля, что и приводит в конечном счете, к реализации векто ризованной формы движения электронов (т.е. электрического тока).
Распространим рассмотренное выше модельное представление зонного механизма электронной проводимости на случай наноразмерных структур кристаллического типа. Сразу же необходимо отметить, что дискретный (а не квазинепрерывный) характер распределения энергетических уровней, свойственный наноструктурам с ограничениями размерного характера, не позволяет в полной мере воспользоваться формализмом зонных энергетических диаграмм, свойственным макроскопическим структурам. Поэтому речь может идти только о ряде качественных аспектов зонных диаграмм наноструктур, представляющих практический интерес при рассмотрении вопроса электрической проводимости в наноразмерных кристаллических структурах.
В упрощенном (примитивном) виде зонное энергетическое представление возможных состояний наноразмерной структуры отображено на рис. 2.17 (на примере наноструктуры типа «квантовой пленки» – (2D)).
Рис. 2.17. Схематическое «координатное» представление
зонной энергетической диаграммы наноразмерной кристаллической структуры
На рисунке каждому координатному направлению поставлен в соответствие фрагмент зонной энергетической диаграммы, ответственный за реализацию векторизованной формы движения по данному
координатному направлению. Количество энергетических уровней, содержащихся в каждой энергетической «зоне», соизмеримо с количеством атомов в линейной цепочке атомов по рассматриваемому координатному направлению. Жирными линиями условно отражены узкие зоны в координатном направлении с пространственным ограничением наноразмерной кристаллической структуры, характерным для квантовой точки.
Согласно схематическому представлению рис. 2.17, элементарный процесс векторизованного изменения скорости носителя заряда, сопровождаемый переходами электрона (под воздействием внешнего электрического поля) на соседние энергетические уровни, имеет:
(Под понятием «активационный» подразумевается такой механизм протекания элементарного физико-химического процесса, при котором успешная реализация этого процесса становится возможной лишь в том случае, если энергия микрочастиц превышает некоторое пороговое значение (потенциальный барьер) Waxy, называемое энергией активации рассматриваемого физико-химического процесса.)
Интересно оценить масштабы значений вероятности реализации энергетических переходов, стимулированных влиянием внешнего электрического поля, для рассмотренных выше частных случаев. Полагая, что электронный газ в энергетических зонах является невырожденным (фактор частичного заполнения зон), воспользуемся классической статистикой Максвелла-Больцмана, согласно которой вероятности переходов (а следовательно, и изменения скорости носителя заряда) можно в первом приближении оценить с помощью выражения
|
= |
(2.85) |
где – длина свободного пробега электрона в проводящей среде; – электрический заряд носителя; – напряженность электрического
поля.
В выражении (2.85) находит свое отражение тот томент, что энергетическая составляющая от движения электрона в электрическом поле способствует снижению (преодолению) потенциального барьера Wa, стоящего на пути процесса изменения энергетического состояния электрона в рамках зонной диаграммы.
Для случаев координатных направлений x и y (т.е. в условиях полного отсутствия ограничений размерного характера) вероятность перехода , ввиду чрезвычайной малости параметра Waxy (соответственно нет никакой необходимости принимать меры для уменьшения энергии активации Waxy), составит (при T = 300 К):
|
≈ . |
(2.86) |
Именно исходя из полученного выше результата, можно утверждать о безактивационном характере механизма электропроводности (переходов) для случая координатных направлений, не имеющих ограничений размерного характера.
Проведем аналогичную оценку вероятностей переходов по координатному направлению z, имеющему ограничения размерного характера. В этом случае значительные изменения скорости могут иметь место при реализации перехода на соседний энергетический уровень, отстоящий от исходного уровня на значительном (по сравнению с Waxy) расстоянии (см. рис. 2.17). Вероятность подобного перехода в соответствии с выражением (2.86) определяется в виде
|
= |
(2.87) |
В табл. 2.16 представлена зависимость вероятности перехода от величины энергетического интервала и напряженности электрического поля E при длине свободного пробега микрочастиц (типичное значение для твердотельных кристаллических структур).
Т а б л и ц а 2.16. Зависимость вероятности перехода от величины
энергетического интервала и напряженности электрического поля E (; Т = 300 К)
|
, эВ |
Напряженность электрического поля, В/м |
|||||
|
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
108 |
|
|
0.01 |
0.671 |
0.673 |
0.698 |
1.0 |
1.0 |
1.0 |
|
0.05 |
0.135 |
0.136 |
0.141 |
0.202 |
1.0 |
1.0 |
|
0.10 |
0.018 |
0.018 |
0.019 |
0.027 |
1.0 |
1.0 |
|
0.50 |
2.0∙10-9 |
2.0∙10-9 |
2.1∙10-9 |
3.1∙10-9 |
1.1∙10-7 |
1.0 |
Приведенные в табл. 2.16 данные свидетельствуют о том, что в направлениях с размерными ограничениями кристаллической структуры реализация векторизованной формы движения носителя заряда (по рассматриваемому прямому межзонному механизму процесса электропроводности):
Обращение к межзонному механизму процесса электропроводности обусловлено тем обстоятельством, что в направлениях с размерными ограничениями кристаллической структуры ширина энергетических зон крайне мала (этот факт условно отображен на рис. 2.17 – «жирные» штрихи на оси Wz вместо зон конечной ширины). Протяженность этих энергетических зон можно оценить согласно выражению
|
(2.88) |
где – количество атомов (в цепочке) в направлении с размерными ограничениями кристаллической структуры, эВ.
Для типичных наноразмерных кристаллических структур (Nz < 103) протяженность , согласно выражению (2.88), не превышает
10-19 эВ. Именно в таких незначительных масштабах следует ожидать проявление эффектов векторизации движения электрона, основанных на базе зонных механизмов токопрохождения.
Представленные выше материалы не преследуют цель строгого анализа вопроса, а лишь способствуют его пониманию на качественном уровне рассмотрения. Строгое рассмотрение энергетических состояний и динамики движения электронов в реальных кристаллических структурах предполагает использование более сложных модельных представлений, и в частности, о зонах Бриллюэна [9]. Зона Бриллюэна определяется как область в обратном пространстве кристаллической решетки, окружающей один из узлов обратной решетки и ограниченной совокупностью плоскостей, проходящих через середины векторов, соединяющих эту точку с ее ближайшими соседями в обратной решетке. Подобный подход особенно эффективен для кристаллических структур, в которых поверхности постоянной энергии (см. разд. 1.2.2, в) в формализации «k-пространства» сильно отличаются от сферической формы, характерной только для ряда простых кристаллических структур кубического типа. Детальное рассмотрение этого подхода требует достаточно высокой специальной физико-математической подготовки и в этой связи этот подход вынесен за рамки целевых задач настоящего пособия.
б) Анализ возможных скоростей движения носителя заряда
в электрическом поле
В модели свободных электронов можно было говорить о взаимосвязи энергии и волнового вектора индивидуального электрона (см. разд. 1), не рассматривая ограничений, накладываемых фактором периодического потенциального поля, обусловленного наличием кристаллической структуры. В теории свободных электронов (т.е. при полном отсутствии потенциальных полей) эта взаимосвязь выглядит достаточно просто (дисперсионное уравнение, см. выражение (1.15)):
|
(2.89) |
В рамках модели свободных электронов им разрешено иметь любое значение энергии, отвечающее некоторому вещественному значению волнового вектора k.
Наличие внутреннего периодического потенциального поля, свойственного кристаллическим структурам, усложняет вид зависимости , и в частности:
В этом случае электроны, находящиеся в рамках кристаллической структуры, уже не могут рассматриваться в качестве свободных микрочастиц, с той точки зрения, что на энергию их движения распространяется ограничение (запрещенные энергетические зоны). При этом электроны могут считаться «свободными» в том смысле, что, обладая определенной кинетической энергией в пределах разрешенной зоны, они могут беспрепятственно двигаться по кристаллу сколь угодно долго (практически без рассеяния, в случае отсутствия точечных, линейных и поверхностных дефектов), пока не достигнут границы кристаллической структуры, т.е. нарушения периодичности потенциала.
Если все энергетические состояния в разрешенной зоне заполнены электронами, то принцип запрета Паули не допускает никакого отклика системы на внешнее электрическое поле (см. модельное представление, разд. 2.1.3,а). Последнее означает, что указанные электроны просто «игнорируют» наличие внешнего электрического поля и по этой причине не являются участниками процесса токопрохождения (квантово-механический феномен, не имеющий своего аналога в классической физике).
Для случая энергетической зоны, которая частично заполнена электронами, реакция на внешнее энергетическое воздействие, коим является и электрическое поле, затрагивает преимущественно те электроны, которые обладают максимальной энергией, т.е. занимают энергетические состояния близкие к энергии Ферми (в целях упрощения, рассматриваются кристаллические структуры металлического типа). Последнее объясняется тем, что именно для этих электронов имеется большое количество свободных энергетических уровней в разрешенной зоне, которые могут быть задействованы в процесс изменения энергии (а следовательно, и скорости движения) электронов.
Рассмотрим поведение электронов, находящихся в кристаллической структуре, в условиях воздействия на них внешнего электрического поля. В целях упрощения анализа и не умаляя общности рассмотрения, примем, что в пустой разрешенной зоне находится всего лишь один электрон. Примем также, что этот электрон может, благодаря воздействию внешнего электрического поля, иметь векторизованную форму движения по кристаллической структуре, не испытывая при этом процессов рассеяния.
В одномерном приближении и при использовании допущения, что периодический потенциал имеет такой вид, что энергия электрона
минимальна () в центре разрешенной зоны (при k = 0) и максимальна () на границах зоны (при значениях волнового вектора , где a – параметр решетки), зависимость может быть отображена в виде, представленном на рис. 2.18 [8].
Рис.2.18. Зависимость энергии электрона в разрешенной
энергетической зоне от волнового вектора
Следует обратить внимание на тот факт (см. рис. 2.18), что зависимость весьма сильно отличается от параболического вида (см. выражение (2.89)) на краях энергетической зоны, т.е. при значениях волнового вектора близких k . Это обстоятельство имеет большое значение для последующего рассмотрения.
На дне энергетической зоны (т.е. в области значений k < ) зависимость можно представить в виде
|
(2.90) |
Скорость движения электрона на этом энергетическом интервале линейно зависит от волнового вектора k и может быть определена на основании выражения (2.90) в виде [Блейкмор]
|
(2.91) |
Своего максимального значения скорость электрона достигает не на границе энергетической зоны (как это можно ожидать из модели движения свободного электрона, согласно выражению (2.89)), а при некотором промежуточном значении волнового вектора k, соответствующем середине зоны. Это следует из того, что вблизи потолка энергетической зоны зависимость имеет вид
|
(2.92) |
а, соответственно, скорость электрона описывается выражением
|
(2.93) |
Из выражения (2.93) следует, что по мере приближения волнового вектора k к граничным значениям скорость движения электрона уменьшается и в пределе (т.е. при ) обращается в ноль. Подобное («парадоксальное», с позиций представлений классической физики) поведение скорости электрона объясняется тем обстоятельством, что при значениях состояние электрона описывается бегущей волной де Бройля (при этом символы () характеризуют направление скорости движения), а при значениях состояние электрона описывается стоячей волной [8].
В свете вышеизложенных моментов зависимость скорости движения электрона , находящегося в разрешенной энергетической зоне, от волнового вектора k может быть представлена в виде, приведенном на рис. 2.19.
Рис.2.19. Зависимость скорости движения электрона в разрешенной
энергетической зоне от волнового вектора
Рис. 2.19 демонстрирует следующие принципиальные моменты, важные в части их использования при анализе вопроса электропроводности кристаллических структур, обладающих электронным механизмом проводимости:
Если внешнее электрическое поле приложено в течение длительного периода времени, то электрон будет двигаться по кристаллической структуре (с возрастанием волнового вектора k) до тех пор, пока не будет выполнено условие , при котором . Возможность дальнейшей эволюции скорости движения электрона зависит от того, насколько велико значение напряженности электрического поля.
В том случае, если напряженность внешнего электрического поля E будет слишком велика (конкретизация понятия «велика» дана ниже), то существует конечная вероятность события, что электрон осуществит переход (прыжок) через запрещенную зону в энергетическое состояние с волновым вектором , которое находится в следующей, более высоко расположенной на энергетической диаграмме разрешенной зоне. Вероятность такого (туннельного) перехода электрона через запрещенную зону достаточно велика, если выполняются условия [9]:
|
; , |
(2.94) |
где – ширина запрещенной зоны; – длина волны де Бройля;
– заряд электрона; a – параметр кристаллической решетки.
Вероятность туннельного перехода электрона через запрещенную зону под воздействием внешнего электрического поля (туннелирование Зинера) определяется выражением [9]:
|
(2.95) |
где – эффективная масса электрона.
Характерной особенностью процесса генерации новых носителей заряда по туннельному механизму является независимость вероятности перехода электрона через запрещенную зону от температурного фактора. Этим электростатическая генерация носителей заряда отличается от традиционного термоэлектронного типа.
Согласно выражению (2.95), вероятность туннельного перехода электрона через запрещенную зону при значениях параметров
= 1 эВ и a = 10-10 м (типичные величины для широкого круга конструкционных кристаллических материалов полупроводникового типа) становится пренебрежимо малой величиной, если напряженность электрического поля составляет значение менее E = 107 – 108 В/м (в части преемственности анализа уместно сравнить приведенное значение напряженности поля с аналогичными оценочными данными, представленными выше в табл. 2.15).
Интересно отметить, что, вопреки ожиданиям, при туннельном переходе не происходит скачкообразного повышения энергии перешедшего электрона, несмотря на то что электрон при этом переходит на значительно более высоко расположенный на зонной диаграмме энергетический уровень. Этот момент представлен на рис. 2.20, на котором отображены две соседние энергетические зоны, которые, в отличие от всех предыдущих отображений зонных энергетических диаграмм, имеют наклонный вид. Последнее обстоятельство объясняется проявлением влияния внешнего источника электрического потенциала (подключенного к конечным точкам проводящей среды) на энергетические состояния индивидуальных электронов.
Рис.2.20. Схематическое отображение прямого и туннельного перехода электрона
через запрещенную зону (U – внешний источник напряжения)
Согласно модельному представлению рис. 2.20, у электронов существует две альтернативные возможности преодоления запрещенной
зоны:
Из рисунка следует, что чем больше наклон энергетической диаграммы (т.е. величина приложенного внешнего электрического потенциала), тем меньше длина пути туннельного прохождения , а следовательно, и большей становится вероятность реализации этого механизма преодоления запрещенной зоны.Увеличение концентрации носителей заряда за счет туннельного механизма токопрохождение не носит на первых порах лавинообразного характера, так как этот процесс компенсируется процессом рекомбинации (обратными переходами) носителей заряда. Однако при очень высоких значениях напряженности электрического поля (E = 108 – 109 В/м) процесс генерации носителей заряда по туннельному механизму приобретает лавинообразный характер, что, как правило, приводит к электрическому пробою проводника электричества.
Другим, интересным с практической точки зрения, фактором при туннельном механизме генерации (переходов) носителей заряда является возможность реализации отрицательной дифференциальной проводимости (эффект Гана) в полупроводниках. В обычных резистивных элементах (с положительной проводимостью) векторизованное движение носителя заряда в конечном итоге превращается в броуновское (хаотическое) движение, т.е. имеет место процесс «деградации» энергии от начальной организованной электрической формы в неорганизованную – тепловую. В резистивных элементах с отрицательной дифференциальной проводимостью происходит обратный процесс – повышение степени векторизации энергии в части превращения постоянного тока в переменный ток упорядоченного (в частности, синусоидального) типа.
В общем случае электрический ток в веществе на основании выражения для статической проводимости (2.1) может быть выражен в виде (закон Ома):
|
(2.96) |
где – статическая электропроводность вещества.
В соответствии с выражением (2.96) дифференциальная электропроводимость вещества будет равна
|
(2.97) |
В принципе, выражение, представленное в квадратной скобке, может иметь как положительный, так и отрицательный знак. Второй вариант имеет место в том случае, если с ростом напряженности электрического поля подвижность носителя заряда уменьшается настолько, что выполняется не только условие < 0, но и условие > 1.
С физической точки зрения выполнение этих условий свидетельствует о том, что внешнее электрическое поле «разогревает» электронный газ, вследствие чего его температура может существенно превышать равновесную температуру кристаллической структуры. Это обстоятельство приводит к деформации функции плотности распределения электронов по энергиям, т.е. сдвигу максимума функции распределения электронов в сторону более высоких значений энергии.
в) Влияние поверхности раздела физических сред на вид зонных
энергетических диаграмм наноразмерных структур
В наноразмерных кристаллических структурах доля поверхностных атомов по отношению к количеству атомов, расположенных непосредственно в объеме структуры, может достигать довольно большого значения. В то же время наличие поверхностных атомов как таковых свидетельствует о факторах:
Оба эти фактора вносят свои коррективы на вид зонных энергетических диаграмм в наноразмерных кристаллических структурах. К общим моментам указанных корректив следует отнести факты появления на зонных энергетических диаграммах наноразмерных структур:
Поверхностные состояния Тамма
Этот тип поверхностных состояний характерен для атомарно-чистой поверхности кристаллической структуры, не содержащей дефекты атомного масштаба (вакансии, примесные атомы, выход линейных дислокаций и т.д.).
В разд. 1.2.2,б рассмотрен вопрос о характере движения электрона в периодическом потенциальном поле, образованном линейной цепочкой атомов бесконечной длины, т.е. при отсутствии границ раздела сред (модель Кронига – Пенни). Показано, что в этом случае энергетический спектр разрешенных состояний электрона имеет вид зонной диаграммы, представленной на рис. 1.11.
В рассматриваемом случае речь идет об идеализированной кристаллической структуре, например, линейной цепочке атомов, которая
ограничена с одного конца и простирается по координатному направлению x в область значений x > 0, а в области значений находится вакуумная среда с постоянным значением потенциала . Вакуум-
ная среда необходима для обеспечения условия атомарной чистоты
поверхности. Графическое отображение потенциальной функции такой кристаллической структуры приведено на рис. 2.21.
Анализ спектра энергетических состояний представленной кристаллической структуры, с учетом наличия границы раздела физических сред, впервые проведен российским ученым И.Е. Таммом (1932 г.).
Рис. 2.21. Вид потенциальной функции для ограниченной с одной стороны
кристаллической структуры
В частности, были выявлены следующие характерные моменты трансформации вида зонных диаграмм, обусловленные фактом обрыва (т.е. нарушением периодичности) кристаллической решетки:
Последнее обстоятельство свидетельствует о том, что вероятность обнаружения электрона, находящегося на этих новых энергетических уровнях, вдали от границы раздела сред ничтожно мала. Из чего следует, что эти электроны не могут проникать вглубь кристалла и локализуются у поверхности раздела. В этой связи эти новые энергетические уровни или состояния получили название поверхностных уровней (состояний), или уровней Тамма.
Следует особо отметить, что поверхностные уровни не являются дополнительными уровнями, возникающими сверх того количества, которое может содержать невозмущенная (т.е. без учета наличия границы раздела физических сред) разрешенная зона (напомним, что количество уровней в разрешенной энергетической зоне определяется количеством атомов, образующих кристаллическую структуру). Эти поверхностные уровни с малой пространственной протяженностью отщепляются от соответствующих энергетических зон, согласно модельному представлению, приведенному на рис. 2.22.
Рис. 2.22. Энергетический спектр поверхностных состояний Тамма
Поверхностные уровни Тамма, находящиеся в запрещенной зоне, могут быть как донорного типа (вблизи дна зоны проводимости), так и акцепторного типа (вблизи потолка валентной зоны).
В более общей постановке вопроса образование поверхностных уровней в запрещенной зоне наблюдается во всех случаях нарушения периодичности потенциала решетки, независимо от того обстоятельства, чем вызвано это нарушение: примесными или адсорбированными атомами, дислокациями линейного типа, границами кристаллических зерен, свободной поверхностью (уровни Тамма).
Поверхностные состояния от адсорбированных на поверхности атомов
Искусственно созданная атомарно-чистая поверхность является
таковой недолго, порядка 10-9 с, при давлении окружающих газов
10-8 мм рт. ст. По истечении этого промежутка времени она покрывается частично или полностью слоем адсорбированных атомов или молекул различной химической природы.
Рассмотрим с позиции зонных диаграмм влияние процесса адсорбции атомов на энергетический спектр электронов. Пусть на поверхности кристаллической структуры произошел процесс хемосорбции атома типа А (рис. 2. 23). В результате химического взаимодействия атома А с поверхностными атомами кристаллической структуры их волновые функции перекрываются, что позволяет рассматривать атом А в качестве локальной примеси, нарушающей периодичность потенциального поля кристаллической решетки структуры. В свою очередь, нарушение периодичности потенциального поля приводит к появлению в запрещенной зоне дискретного (т.е. обладающего малой пространственной протяженностью) энергетического уровня В донорного или акцепторного типа.
Рис. 2.23. Поверхностный уровень, инициированный адсорбированным атомом
(Wф – энергия Ферми; Ws – энергия поверхностного уровня)
Для определенности положим, что появившийся поверхностный уровень В имеет акцепторный тип. Положение уровня В на энергетической диаграмме зависит от физической природы атомов структуры и сорбируемой частицы А и расстояния между частицей А и поверхностью структуры. С увеличением этого расстояния уровень В поднимается вверх, и при значительном удалении частицы А от поверхности он «втягивается» в зону проводимости. Волновая функция электрона, находящегося на уровне В, имеет ярко выраженный максимум вблизи положения атома А, причем величина максимума возрастает по мере перемещения уровня В вниз, к валентной зоне. Благодаря близости уровня В к валентной зоне вероятность ее заселения электроном достаточно велика, что приводит к появлению в приповерхностной области кристаллической структуры избыточного отрицательного заряда.
Аналогичное рассмотрение можно провести и для случая, когда в результате хемосорбции атомов на поверхности кристаллической структуры образуются поверхностные состояния донорного типа, с образованием в приповерхностной области избыточного положительного заряда.
В общем случае вероятность того, что поверхностный уровень В будет заполнен электроном, определяется функцией распределения частиц по энергиям Ферми-Дирака (см. разд. 2.1.3,в):
|
(2.98) |
Вероятность противоположного события (т.е. уровень В будет пустым, а адсорбированная частица А будет ионизированной), будет равна
|
(2.99) |
Умножая приведенные вероятности заполнения (2.98) и (2.99) на поверхностную концентрацию Na поверхностных уровней В, получим поверхностную концентрацию заряженных частиц на поверхности раздела сред:
А) для адсорбированных частиц, создающих акцепторные уровни:
|
; |
(2.100а) |
Б) для адсорбированных частиц, создающих донорные уровни:
|
(2.100б) |
Полагая, что каждая заряженная частица (на поверхностном уровне) имеет заряд, численно равный заряду электрона q, можно определить поверхностную плотность заряда на границе раздела сред в виде:
А) для адсорбированных частиц, создающих акцепторные уровни:
|
; |
(2.101а) |
Б) для адсорбированных частиц, создающих донорные уровни:
|
(2.101б) |
Из выражений (2.101а), (2.101б) следует, что в результате хемосорбции атомов на поверхности кристаллической структуры эта поверхность теряет свою электрическую нейтральность и становится электрически заряженной.
Искривление энергетических зон у границы раздела кристаллической структуры
Рассмотренные выше поверхностные заряды или притягивают из толщи материала заряды противоположного знака, нейтрализующего поверхностный заряд, образованный в процессе хемосорбции атомов на поверхности. В результате этого приповерхностный слой материала обедняется носителями заряда, имеющими один знак со знаком поверхностного заряда, и обогащается носителями заряда противоположного знака. Толщина этого обедненного носителями заряда слоя материала находится в обратной зависимости от концентрации основных (для данного типа материала) носителей заряда. В частности, для металлов, у которых концентрация носителей заряда чрезвычайно высока (1022 см-3), толщина обедненного слоя не превышает несколько параметров кристаллической решетки. Для материалов полупроводникового типа (106 – 1018 см-3) толщина обедненного слоя может быть весьма значительной.
В практическом плане принято считать толщину обедненного слоя материала равной дебаевской длине экранирования LД, т.е. расстоянию, на котором электрическое поле в этом материале (в приближении свободных собственных носителей заряда) уменьшается в e раз. В общем случае протяженность дебаевской длины экранирования определяется с помощью выражения [5]
|
(2.102) |
где – концентрация собственных носителей заряда в веществе; – относительная диэлектрическая проницаемость материала кристаллической структуры.
Составить некоторое представление о порядке величин LД в материалах металлического и полупроводникового типа можно на основании данных, приведенных в табл. 2.17.
Т а б л и ц а 2.17. Характерные значения дебаевской длины экранирования LД для материалов металлического и полупроводникового типа (при Т = 300 К; e = 5)
|
Параметр |
Материал кристаллической структуры |
||||
|
Металл |
Полупроводник |
||||
|
, см-3 |
1022 |
1012 |
1014 |
1016 |
1018 |
|
LД, нм |
≈ 0.1 |
104 |
103 |
102 |
10 |
Согласно данным табл. 2.17, в кристаллических структурах полупроводникового типа дебаевская длина экранирования может принимать значения, сопоставимые с пространственной протяженностью наноразмерных структур в направлениях с ограничениями размерного характера.
Имеющие противоположные знаки поверхностный заряд и обедненный слой образуют двойной электрический слой, т.е. своеобразный конденсатор, у которого одна из обкладок может иметь протяженный (объемный) характер. Тип носителей заряда (электроны, дырки), образующих обедненный слой в двойном электрическом слое, всецело определяется типом поверхностных состояний (донор, акцептор), образованных в результате хемосорбции атомов на поверхности кристаллической структуры.
На основании данных табл. 2.17 можно сформулировать ряд выводов (с позиции практических интересов наноразмерных структур) о том, что в конструкционных материалах:
а) металлического типа двойной электрический слой локализован непосредственно у границы раздела сред и поэтому его влияние на объемные параметры наноструктуры может проявиться весьма незначительным образом;
б) полупроводникового типа:
Анализ вида функций напряженности электрического поля и электрического потенциала в пределах толщины обедненного слоя можно провести на основании уравнения Пуассона [10]:
|
(2.103) |
где – функция объемной плотности распределения электрического заряда в пределах обедненного слоя (0 < x < xs); – координатное направление по нормали к плоскости раздела физических сред (рис. 2.24).
Не умаляя общности рассмотрения, а в целях упрощения анализа, примем допущения:
Рис. 2.24. Модельное представление двойного электрического слоя,
образованного ионизированными адсорбированными атомами
Для решения уравнения (2.103) воспользуемся граничными условиями:
|
; . |
(2.104) |
Решениями уравнения (2.103) при граничных условиях (2.104) являются:
|
, |
(2.105) |
|
|
. |
(2.106) |
Согласно выражению (2.106), диапазон изменения (по модулю) электрического потенциала в пределах обедненного слоя 0 < x < xs равен
|
. |
(2.107) |
Для рассматриваемого случая объемная концентрация заряда является функцией поверхностной концентрации хемосорбированных атомов , приводящих к появлению поверхностных состояний, и толщины обедненного слоя :
|
(2.108) |
Подставляя из выражения (2.108) в выражения (2.106) и (2.107), для потенциальной функции и поверхностного потенциала соответственно имеем:
|
; |
(2.109) |
|
|
. |
(2.110) |
В табл. 2. 18 приведены значения поверхностного потенциала , соответствующего различным значениям параметров и xs.
Т а б л и ц а 2.18. Зависимость (В) от параметров и xs (при = 5)
|
, м-2 |
xs, нм |
|||||
|
0.5 |
1.0 |
5.0 |
10 |
50 |
100 |
|
|
1012 |
1.8∙10-6 |
3.6∙10-6 |
1.8∙10-5 |
3.6∙10-5 |
1.8∙10-4 |
3.6∙10-4 |
|
1013 |
1.8∙10-5 |
3.6∙10-5 |
1.8∙10-4 |
3.6∙10-4 |
1.8∙10-3 |
3.6∙10-3 |
|
1014 |
1.8∙10-4 |
3.6∙10-4 |
1.8∙10-3 |
3.6∙10-3 |
1.8∙10-2 |
3.6∙10-2 |
|
1015 |
1.8∙10-3 |
3.6∙10-3 |
1.8∙10-2 |
3.6∙10-2 |
0.18 |
0.36 |
|
1016 |
1.8∙10-2 |
3.6∙10-2 |
0.18 |
0.36 |
1.8 |
3.6 |
|
1017 |
0.18 |
0.36 |
1.8 |
3.6 |
18 |
36 |
При больших значениях концентрации поверхностных состояний (более 1015 м2) значения поверхностного потенциала могут достигать довольно значительных величин (см. табл. 2.18), и в этом рассматриваемом случае объемная концентрация носителей заряда в слое полупроводника xs может существенно отличаться от объемной концентрации невозмущенного материала. Потеря электрической нейтральности материала в слое xs находит свое отражение и на виде зонной энергетической диаграммы в диапазоне координат, находящемся в пределах этого слоя (рис. 2.25).
Появление электрически заряженной приповерхностной области xs может привести к реализации ряда специфических эффектов относительно изменения количества и типа носителей заряда в этой пространственной области полупроводника:
Рис. 2.25. Изгиб энергетических зон у поверхности полупроводника n-типа
при заряжении поверхности отрицательными (а) и положительными (б) зарядами
Таким образом, появляющийся в области xs пространственный заряд может существенно изменить параметры исходного полупроводника относительно его невозмущенного состояния. Это обстоятельство может иметь весьма существенное значение применительно к кристаллическим структурам наноразмерного масштаба, поскольку в них в пространственных направлениях с размерным ограничением следует ожидать значительные отклонения электропроводности от объемных показателей полупроводника.
г) Специфика баллистического транспорта носителей заряда
в наноразмерных структурах
В разд. 2.1.3 рассмотрен вопрос о подвижности носителей заряда для случая макроскопических структур. В частности было отмечено то обстоятельство, что параметр подвижности (пролетного типа) является усредненной характеристикой скорости движения индивидуального носителя заряда в процессе токопрохождения. При этом, прямо или косвенно, предполагалось, что векторизованное движение индивидуального носителя заряда может быть представлено в виде последовательности дискретных элементарных пространственных перемещений на расстояния микроскопического масштаба. Эта дискретность характера перемещения носителя обусловлена элементарными процессами рассеяния векторизованной формы движения на объектах, искажающих фактор периодичности потенциальной энергии кристаллической структуры, к числу которых следует отнести наличие в структуре:
Для макроскопических монокристаллических структур с электронным типом проводимости пространственная протяженность элементарных перемещений (пролетов без рассеяния) характеризуется параметром длины свободного пробега электронов, которая, в силу высокого совершенства современных промышленных полупроводниковых монокристаллов, может достигать значений 50 нм. Находясь в условиях внешнего электрического поля с напряженностью , электроны проводимости могут приобретать дополнительную энергию
|
(2.111) |
а следовательно, и скорость векторизованного движения, равную в классическом приближении
|
(2.112) |
Для реализации этой возможности необходимо, чтобы на зонной энергетической диаграмме имелось достаточно большое количество свободных энергетических уровней (подробнее см. разд. 2.1.3,а; рис. 2.7), находящихся по соседству с энергетическим уровнем, на котором изначально находился ускоряемый электрическим полем электрон:
где эВ – среднее расстояние между соседними энергетическими уровнями, расположенными в пределах разрешенной зоны.
В табл. 2.19 представлены значения количества свободных энергетических уровней , необходимых для полной реализации векторизованной формы движения электрона, в зависимости от значений напряженности внешнего ускоряющего электрического поля .
Т а б л и ц а 2.19. Зависимость параметра от Е (при 10 нм)
|
, В/м |
0.1 |
1.0 |
10 |
100 |
1000 |
|
1014 |
1015 |
1016 |
1017 |
1018 |
Из данных табл. 2.19 следует, что для полной реализации векторизованной формы движения электрона необходимо значительное количество (1014 – 1018) свободных энергетических уровней, расположенных выше начального, для обеспечения возможности ускорения электрона; или расположенных ниже – для замедления его движения.
Распространим приведенную выше методологию анализа на случай кристаллических структур, обладающих ограничениями размерного характера. Пусть в пространственном направлении с размерным ограничением атомная цепочка имеет длину . В первом приближении будем считать, что количество энергетических уровней в разрешенной зоне по данному пространственному направлению сопоставимо с , а расстояние между соседними энергетическими уровнями, как и прежде, составляет эВ. В этом случае максимальная энергия векторизованной формы движения ансамбля электронов будет равна
|
, |
(2.113) |
а, соответственно, максимальная скорость векторизованного движения электрона равна
|
(2.114) |
где a – параметр кристаллической решетки; – протяженность кристаллической структуры в пространственном направлении с размерными ограничениями.
На практике может сложиться такая ситуация, что будет выполняться условие < (характерного значения для данного материала в макроскопическом исполнении). В этом случае движение носителей заряда будет происходить без протекания процессов рассеяния их энергии на расстоянии . Такой процесс переноса носителей заряда принято называть баллистическим транспортом [11]. Следует отметить, что в качестве фактора, лимитирующего скорость векторизованного движения электрона по механизму баллистического транспорта, выступают:
Проведение строгого анализа скорости движения электрона в более корректной постановке вопроса предполагает учет ряда дополнительных немаловажных обстоятельств, а именно:
I
II
E = 0
E > 0
Wa
x
W(x)
a
Wa
x
W(x)
a
U0
W
U(x)
0
x
(1)
(2)
c
Wv
Wc
Wv
p
p+dp
px
py
pz
W
Запрещенная зона
W
Д
W
А
W
WF
W
T = 0
T > 0
1
T1
T2
kT1
kT2
W
Wa
Зона проводимости
Валентная зона
Wi
ДОНОРНЫЙ УРОВЕНЬ (ЗОНА)
Wд ≈ (0.05 — 0.1) эВ
0
>Nд2>Nд1
Энергетические
«уровни»
Wvx
Wcx
Wx
Wy
Wz
10-23 эВ
Энергетическая
«зона»
0
Wmin
Wmax
0
U
«2»
«1»
Запрещенная
зона
ВАКУУМ
U(x)
x
a
0
ВАКУУМ
Валентная зона
Зона
проводимости
Донорный тип
Акцепторный тип
ГАЗ
А
В
Ws
Wф
xs
x
0
КРИСТАЛЛ
Wc
Wv
a)
Wc
Wv
б)