Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Сборник задач
по термодинамике и теплотехнике
БИРСК 2008
Содержание
|
[1] Глава 1. ТЕПЛОТА [1.1] Основные понятия, законы и формулы [1.2] Решение задач. Примеры [1.3] Задачи к главе 1. [2] Глава 2. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ ТВЕРДЫХ И ЖИДКИХ ТЕЛ [2.1] Основные понятия, законы и формулы [2.2] Решение задач. Примеры [2.3] Задачи к главе 2 [3] Глава 3. ГАЗЫ [3.1] Основные понятия, законы и формулы [3.2] Решение задач. Примеры [3.3] Задачи к главе 3 [4] Глава 4. НАСЫЩАЮЩИЕ И НЕНАСЫЩАЮЩИЕ ПАРЫ. ВЛАЖНОСТЬ [4.1] Основные понятия, законы и формулы [4.2] Решение задач. Примеры [4.3] Задачи к главе 4 |
1. Все тела состоят из атомов и молекул, находящихся в непрерывном беспорядочном движении. Хаотическое движение молекул тела называют тепловым движением. Каждая молекула вещества обладает кинетической и потенциальной энергией, поэтому всякое тело, наряду с механической энергией направленного движения частиц, обладает внутренней энергией.
В молекулярной физике под внутренней энергией подразумевают часть ее: кинетическую энергию хаотического движения микрочастиц (молекул, атомов, ионов, свободных электронов) и потенциальную энергию их взаимодействия друг с другом. Все другие виды внутренней энергии тел (энергия электромагнитного излучения, электронных оболочек, внутриядерная) считаются неизменными и не влияющими на рассматриваемые процессы:
Изменение внутренней энергии и передача ее от одного тела к другому происходит в процессе взаимодействия тел. Есть два способа, две формы такого взаимодействия. При первом способе внутренняя энергия одного тела изменяется за счет изменения энергии упорядоченного (механического) движения частиц другого тела (механической работы, электризации, перемагничивания, облучения).
Мерой изменения энергии упорядоченного движения частиц вещества в процессе макроскопического взаимодействия тел служит работа А. Во втором случае изменение внутренней энергии происходит вследствие соударения хаотически движущихся молекул соприкасающихся тел.
Процесс изменения внутренней энергии тела, обусловленный передачей теплового движения молекул без совершения работы внешней средой, называют тепловым процессом или процессом теплопередачи.
Мерой взаимодействия тел, приводящего к изменению энергии хаотического движения и взаимодействия молекул (мерой энергии хаотического движения, переданной от одного тела к другому в процессе теплообмена), служит величина Q, называемая количеством теплоты.
2. Количество теплоты, подведенное к телу (системе тел) идет в общем случае на изменение внутренней энергии тела и на совершение телом работы над внешними телами (первое начало термодинамики – закон сохранения и превращения энергии с учетом тепловых явлений):
(1.1)
Количество теплоты Q, сообщенное телу, считают при этом положительным, отданное телом – отрицательным. Работу считают положительной, если тело за счет своей внутренней энергии совершает работу над внешней средой, и отрицательной, если работа совершается над телом и за счет работы увеличивается внутренняя энергия.
Количество теплоты и работа являются мерами изменения внутренней энергии, количество теплоты – в процессе теплопередачи, работа – в процессе превращения механической энергии в теплоту.
3. Если при подведении к телу количества теплоты Q температура тела повышается на , то теплоемкость тела в рассматриваемом процессе равна:
(1.2)
Удельная теплоемкость тела массой m:
(1.3)
Если суммарная кинетическая энергия теплового движения молекул изменяется при неизменной потенциальной энергии, то изменение внутренней энергии тела массой m, равно:
(1.3’)
где – изменение температуры тела, cV – удельная теплоемкость и CV – теплоемкость тела, взятые при постоянном объеме (А=0).
4. Тела могут находиться в одном из трех агрегатных состояний – твердом, жидком или газообразном – и при определенных условиях могут переходить из одного состояния в другое. Эти превращения происходят или в процессе теплообмена тела с окружающими телами, или вследствие перераспределения внутренней энергии в самом теле.
а) При плавлении кристаллических тел за счет теплоты, подводимой к телу (при А=0), потенциальная энергия атомов или молекул вещества, имеющего массу m, возрастает на величину
(1.4)
где - удельная теплота плавления.
В процессе кристаллизации потенциальная энергия уменьшается на такую же величину, и соответствующее количество теплоты отводится к окружающим телам. Кинетическая энергия атомов при этом почти не меняется.
б) Если при испарении жидкости образуется пар массой m, то потенциальная энергия молекул пара увеличивается, а кинетическая энергия молекул, остающихся в жидкости, уменьшается на величину
(1.5)
где R — удельная теплота испарения. Внутренняя энергия системы пар — жидкость при этом остается неизменной. Если процессу испарения сопутствует теплообмен с окружающей средой, в результате которого температура жидкости остается постоянной, то количество подводимой к ней теплоты определяется той же формулой (1.5).
При образовании пара массой m в процессе кипения жидкости внутренняя энергия молекул возрастает на величину
где Rk – удельная теплота кипения, являющаяся частным значением удельной теплоты испарения жидкости для температуры кипения. Внутренняя энергия системы в процессе кипения (при А=0) увеличивается за счет подвода к жидкости соответствующего количества теплоты извне.
в) В процессе химического соединения у ряда веществ перестраивается структура молекул, в результате чего резко увеличивается их кинетическая энергия. Такие процессы называют процессами горения, а участвующие в них тела – топливом и окислителем.
При полном сгорании топлива массой m внутренняя энергия теплового движения молекул возрастает на величину
(1.6)
где q – удельная теплота сгорания топлива при данном окислителе.
1. Решение задач этой главы основано на уравнении закона сохранения и превращения энергии с учетом формул изменения внутренней энергии тел и некоторых уравнений механики. Умение правильно применять закон сохранения энергии к конкретным физическим процессам представляет основную трудность при решении задач на теплоту. Особое внимание здесь нужно обратить на различие между количеством теплоты и изменением внутренней энергии и на выбор системы тел (или тела), для которой составляется основное уравнение. Нередко возникают затруднения при числовых расчетах в задачах, связанных с превращением одного вида энергии в другой. Здесь нужно помнить, что в уравнении (1.1) закона сохранения и превращения энергии все три величины Q, ΔU и А должны быть выражены в одних единицах.
2. Задачи об изменении внутренней энергии тел можно разделить на три группы. В задачах первой группы рассматривают такие явления, где в изолированной системе при взаимодействии тел, изменяется лишь их внутренняя энергия без совершения работы над внешней средой. Одни из тел, участвующих в теплообмене, при этом охлаждаются, другие – нагреваются. Согласно закону сохранения и превращения энергии (1.1) для тел, внутренняя энергия которых уменьшается, можно записать:
(1.7)
поскольку ни сами тела, ни над телами работу не совершают (A=0).
Аналогично для тел, энергия которых возрастает, мы получим:
(1.7´)
Из определения понятия количества теплоты и закона сохранения энергии как следствие вытекает:
(1.8)
Перенеся все члены в левую часть равенства, уравнение (7.8) представим в ином виде:
(1.8´)
Последнее уравнение является очевидным следствием первого начала термодинамики – в изолированной системе тел, где происходят только процессы теплопередачи, внутренняя энергия системы не изменяется и, следовательно, алгебраическая сумма изменений энергии отдельных тел равна нулю.
Уравнение (1.8) называют уравнением теплового баланса, оно обычно служит основным расчетным соотношением для всех задач первой группы.
Правила их решения состоят в следующем:
а) Прочитав условие задачи, нужно установить, у каких тел внутренняя энергия уменьшается, у каких – возрастает. Особое внимание следует обращать на то, происходят ли в процессе теплообмена агрегатные превращения или нет.
б) Составить уравнения (1.7) для тел, энергия которых уменьшается, (1.7´)–для тел, энергия которых возрастает, и приравнять полученные суммы.
При записи уравнения теплового баланса в виде (1.8) нужно в выражении для изменения внутренней энергии всегда вычитать из большей температуры тела меньшую и суммировать все члены арифметически, если же уравнение записывается в виде (1.8), необходимо вычитать из конечной температуры тела начальную и суммировать члены с учетом получающегося знака.
В ряде задач задается к.п.д. теплообмена; в этом случае его всегда нужно ставить сомножителем перед .
При определенном навыке можно составлять уравнение (1.8) или (1.8´) теплового баланса сразу, не прибегая к промежуточным выкладкам. Практически при решении задач удобнее пользоваться первым из этих уравнений.
3. В задачах второй группы рассматривают явления, связанные с превращением одного вида энергии в другой при взаимодействии двух тел. Результат такого взаимодействия – изменение внутренней энергии одного тела вследствие совершенной им или над ним работы. Теплообмен между телами здесь, как правило, не учитывают.
Уравнение закона сохранения и превращения энергии в этом случае имеет вид:
(1.9)
Решение таких задач удобно проводить по следующей схеме.
а) Анализируя условие задачи, нужно прежде всего установить, у какого из двух взаимодействующих тел изменяется внутренняя энергия и что является причиной этого изменения – работа, совершенная самим телом, или работа, совершенная над телом. Кроме того, следует убедиться, что в процессе взаимодействия тел теплота извне к ним не подводится, т. е. действительно ли Q=0.
б) Записать уравнение (1.9) для тела, у которого изменяется внутренняя энергия, учтя знак перед А и к.п.д. рассматриваемого процесса. При записи уравнения (1.9) с учетом к.п.д. удобно поступать так. Если по смыслу задачи работа совершается за счет уменьшения внутренней, энергии одного из тел и по каким-либо причинам лишь часть ее идет на совершение работы A, то
(1.9´)
Если же из условия видно, что внутренняя энергия тела увеличивается за счет работы, совершенной над телом, и по каким-либо причинам лишь часть ее идет на увеличение U, то
(1.9´´)
в) Составив уравнение (1.9) или (1.9´´), нужно найти выражение для А и ΔU.
Для А возможно одно из следующих соотношений:
Для ΔU чаще всего достаточно использовать одну из формул:
(сжигание топлива);
(нагрев и плавление тела);
(нагрев и испарение).
Подставляя в исходное уравнение вместо А и ΔU их выражения, получим окончательное соотношение для определения искомой величины. Если в условиях задачи даются дополнительные условия, то к основному уравнению следует, как обычно добавить вспомогательные.
г) Далее нужно выписать числовые значения известных величин, проверить число неизвестных в уравнениях и решить систему уравнений относительно искомой величины.
4. Задачи третьей группы объединяют в себе две предыдущие. В этих задачах рассматривают взаимодействие трех и более тел. В процессе такого взаимодействия к одному из тел подводится некоторое количество теплоты Q, в результате чего изменяется его внутренняя энергия и совершается работа.
Для решения этих задач надо составить полное уравнение закона сохранения и превращения энергии (1.1). Составление такого уравнения включает в себя приемы, описанные в п. 2 и 3.
Пример 1. В закрытом медном калориметре массой mM=200 г находится лед массой =1 кг при температуре = -10°С. В калориметр впускают пар массой =200 г, имеющий температуру =110°С. Какая температура установится в калориметре? Удельную теплоемкость паров воды в интервале от 100 до 110°С считать равной =1.7·103 дж/(кг град).
Решение. а) Примем систему пар – лед — калориметр за изолированную и будем считать, что с окружающей средой ее теплообмен ничтожно мал и им можно пренебречь. В такой системе полная внутренняя энергия остается неизменной, так как Q=0 и А=0.
Основным уравнением, описывающим процесс теплового взаимодействия между телами системы, здесь является уравнение теплового баланса с учетом агрегатных превращений. Поскольку в данном примере произведение , нетрудно заметить, что при установившейся температуре в калориметре будет находиться вода при температуре, большей 0°С.
б) При тепловом взаимодействии со льдом и калориметром внутренняя энергия молекул пара уменьшается: при охлаждении от начальной температуры до температуры конденсации =100°С на величину , при конденсации пара в воду – на величину , при дальнейшем охлаждении образовавшейся воды от температуры до окончательно установившейся температуры – на величину . В результате внутренняя энергия горячего тела – пара уменьшится на
За счет этой энергии калориметр нагревается от начальной температуры, равной температуре льда , до окончательной его внутренняя энергия увеличивается на величину . Кроме того, часть энергии пара переходит ко льду. Энергия молекул льда возрастает: при нагревании от начальной температуры до температуры плавления =0°С на величину , в процессе плавления – на величину и при дальнейшем нагревании образовавшейся воды – на величину .
В результате внутренняя энергия холодных тел возрастает на
Так как , то уравнение теплового баланса для данного процесса будет иметь вид:
Решая это уравнение относительно и подставляя числовые данные, взятые из условия задачи и из таблиц, находим:
.
Анализируя полученное выражение, можно заметить, что при достаточно большой массе пара температура может оказаться больше начальной температуры пара , чего в действительности быть не может. Такой результат объясняется тем, что после теплообмена при установившейся температуре одновременно могут существовать две фазы вещества: жидкость и пар, если при охлаждении пар не полностью конденсируется в воду. Уравнение теплового баланса в этом случае будет отличаться от того, которое мы составили. Чтобы не делать лишних вычислений, во всех сомнительных случаях, когда трудно определить, окажется ли вещество в одном или двух агрегатных состояниях, рекомендуется сделать предварительную числовую прикидку – сколько теплоты требуется для нагревания холодного тела до температуры соответствующего превращения (плавления или кипения) и сколько теплоты может выделиться горячим телом при остывании или при полной конденсации (кристаллизации). Сразу в общем виде такие задачи решать нельзя. Если окажется, что , то после перераспределения энергии получится одна фаза вещества, если же будет , то при установившейся температуре будут находиться две фазы – пар и жидкость (жидкость и лед).
Пример 2. При соблюдении необходимых предосторожностей вода может быть переохлаждена до T1=–10°С. Сколько льда образуется из такой воды массой m0=1 кг, если в нее бросить кусочек льда и этим вызвать замерзание воды? Какую температуру должна иметь переохлажденная вода, чтобы она целиком превратилась в лед? Удельная теплоемкость переохлажденной воды =4.19·103дж/(кг град), льда =2.1·103 дж/(кг град). Удельная теплота плавления льда λ=3.3·105 дж/кг.
Решение. Для того чтобы при охлаждении вода замерзла, в ней должны находиться неоднородные включения, около которых начинается рост кристалликов льда. При отсутствии центров кристаллизации воду можно охладить до температуры значительно ниже 0°С. Такая вода называется переохлажденной.
Если в переохлажденной воде искусственно создать центры кристаллизации, в ней начнет образовываться лед. Молекулы станут переходить в состояние, соответствующее минимуму их потенциальной энергии. Уменьшение потенциальной энергии одной части молекул, образующих лед, вызывает увеличение теплового движения остальных молекул, которое регистрируется нами как нагревание воды. Так как взаимодействием переохлажденной воды с окружающей средой по условию задачи можно пренебречь, то в результате частичной кристаллизации воды в ней произойдет только перераспределение энергии. Полная внутренняя энергия останется неизменной, и, следовательно, уменьшение потенциальной энергии молекул будет равно увеличению их кинетической энергии.
Задача сводится к составлению уравнения теплового баланса при условии, что Q=0, А=0 с учетом агрегатного превращения.
При образовании из переохлажденной воды льда массой m2 потенциальная энергия молекул уменьшится на величину
.
Эта энергия пойдет на нагревание образовавшегося льда от начальной температуры T1 до температуры T0=0°С и нагревание оставшейся после кристаллизации воды массой m1 на T0-T1 градусов (дальнейшее нагревание невозможно, так как при 0°С кристаллизация льда прекратится). Таким образом, вследствие нагревания внутренняя энергия теплового движения молекул увеличится на
По закону сохранения энергии , поэтому уравнение теплового баланса будет иметь вид:
(1)
Кроме того,
. (2)
Из соотношений (1)–(2) находим массу образовавшегося льда:
.
Чтобы замерзла вся переохлажденная вода, энергия, выделившаяся при кристаллизации, должна полностью пойти на нагревание образовавшегося льда, т. е.
(3)
где Tх — начальная температура переохлажденной воды. Из последнего уравнения находим:
Пример 3. В колбе находилась вода при T=0°С. Выкачиванием из колбы воздуха заморозили всю воду в сосуде. Какая часть воды при этом испарилась, если притока теплоты извне не было? Удельная теплота испарения воды при 0°С R=24.8·105 дж/кг. Удельная теплота плавления льда =3.3·105 дж/кг.
Решение. При испарении воды вылетают наиболее быстрые молекулы, вследствие чего суммарная кинетическая энергия оставшихся молекул уменьшается и температура воды понижается. Если из сосуда, в котором происходит испарение, откачивать пары воды и свести до минимума теплообмен с окружающей средой, то кинетическая энергия оставшихся молекул может уменьшиться настолько, что они образуют твердую фазу воды – лед. Поскольку в данном процессе тепло извне не подводится (Q=0) и работа не совершается (А=0), то внутренняя энергия всех молекул остается, постоянной, изменение потенциальной энергии вылетающих молекул воды равно изменению потенциальной энергии оставшихся, так как температура жидкости не изменяется.
При образовании пара массой потенциальная энергия молекул пара возрастает на величину
В процессе образования льда массой потенциальная энергия молекул уменьшается на
Поскольку , то
(1)
причем (2)
По условию задачи дам нужно определить отношение
Из соотношений (1)–(2) находим:
Пример 4. В дьюаровском сосуде, содержащем жидкий азот при температуре =195°С, за время =24 ч испаряется азот объемом =1 дм3 при температуре окружающего воздуха =20°С. Определите удельную теплоту парообразования азота, если известно, что при температуре =00C в том же сосуде за время ==22.5 ч тает лед массой =40 г. Считать, что скорость подвода теплоты внутрь сосуда пропорциональна разности температур снаружи и внутри сосуда. Плотность жидкого азота =0.8 г/см3, удельная теплота плавления льда =3.3·105 дж/кг.
Решение. Вследствие того, то дьюаровский сосуд не является идеальным теплоизолятором, между телами, находящимися в сосуде, и окружающей средой происходит теплообмен. Так как работа при этом не совершается, то ОСНОВБЫМ уравнением, описывающим процесс теплопередачи при испарении азота и плавлении льда, служит уравнение теплового баланса:
В результате теплообмена хранящиеся в сосуде холодные тела нагреваются и могут переходить из одного агрегатного состояния в другое. Теплота, подводимая извне, идет на увеличение внутренней энергии этих тел, причем согласно условию задачи
где – время в течение которого к сосуду подводится количество теплоты Q (– скорость подвода теплоты); k – коэффициент пропорциональности, зависящий от устройства и материала сосуда; – разность температур снаружи и внутри сосуда.
К. жидкому азоту за время подводится количество теплоты, равное
.
За счет этой теплоты внутренняя энергия молекул азота возрастает на величину
где – масса испарившегося азота; R – удельная теплота парообразования.
Согласно, закону сохранения и превращения энергии
. (1)
Проводя аналогичные рассуждения для льда, получим:
. (2)
Дополнительные условия позволяют записать:
(3)
Исключая из уравнений (I)–(3) неизвестные k и находим:
дж/кг.
Пример 5. Лед массой М = 1 кг при температуре 0°С заключен в теплонепроницаемый сосуд и подвергнут давлению р=6.9·107 н/м2. Сколько льда расплавится, если при. увеличении давления на =3.8·107н/м2 температура плавления льда понижается на =10С? Понижение температуры плавления от 0°С считать пропорциональным увеличению давления сверх атмосферного.
Решение. Если лед подвергнуть давлению больше атмосферного, температура его плавления понизится и такой, лед, находясь при =0°С, плавится, поглощая тепло из окружающей среды.
При достаточной теплоизоляции льда средой, отдающей тепло, служит сам лед. Работа, совершаемая внешними силами, идет в этом случае на перераспределение энергии между молекулами воды. Часть исходного количества льда растает, часть охладится до новой температуры плавления и система придет в равновесное состояние:
При отсутствии тепловых потерь количество- теплоты, выделенной при охлаждении не растаявшего льда от 0°С до температуры плавления , равно количеству теплоты, пошедшей на его частичное плавление
Температура плавления при давлении определяется из условия, что ее понижение пропорционально увеличению давления , т. е.
(1)
где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств вещества.
Вместе с уравнением теплового баланса это уравнение является основным соотношением для решения данной задачи.
При сжатии льда и понижении температуры плавления от до внутренняя энергия теплового движения молекул льда массой М уменьшится на
где с – удельная теплоемкость льда.
Так как система изолирована, то вся теплота, выделяющаяся при сжатии, идет на плавление льда массой m:
Согласно закону сохранения энергии
(2)
Кроме того, дополнительное условие позволяет записать
(3)
Решая уравнения (1)–(3) совместно относительно т и подставляя числовые значения, получим:
Пример 6. Некоторая установка, развивающая мощность N=30квт, охлаждается проточной водой, текущей по спиральной трубке сечением S =1 см2. При установившемся режиме проточная вода нагревается на =150С. Определите скорость воды , предполагая, что на нагревание воды идет =0.3 мощности.
Решение. В процессе работы установки часть механической энергии расходуется на нагревание проточной воды, охлаждающей установку. Так как теплообмен с окружающей средой не учитывается (Q=0), то указанная часть мощности установки идет на увеличение внутренней энергии воды и, согласно закону сохранения и превращения энергии, должно быть
Если за время в трубках нагревается вода массой m на градусов, то работа, совершенная за это время (при мощности N), и изменение внутренней энергии воды будут равны соответственно
и
где с – удельная теплоемкость воды.
Подставляя выражения для А и в исходное уравнение энергетического баланса, получим:
При течении потока по трубе сечением S масса жидкости , прошедшей через это сечение за время , равна:
где – плотность жидкости; — скорость течения.
С учетом этого выражения уравнение закона сохранения и превращения энергии в окончательном виде можно записать так:
откуда
м/с.
Пример 7. Санки массой m=5 кг скатываются с горы, которая образует с горизонтом угол =30°. Пройдя расстояние l=50 м, санки развивают скорость =4.1 м/сек. Вычислите количество теплоты, выделенное при трении полозьев о снег.
Решение. При движении одного тела по поверхности другого часть механической энергии идет из-за трения на увеличение внутренней энергии соприкасающихся тел. Мерой изменения энергии здесь могут служить и работа А, и количество теплоты Q. Как А, так и Q показывают, на сколько возрастет внутренняя энергия беспорядочного движения молекул при изменении энергии направленного движения, вызванном трением санок о снег. Следует заметить, что работа силы трения скольжения всегда связана с нагреванием тел. Поскольку изменение внутренней энергии тел в процессе движения санок по условию задачи не рассматривается (=0), то согласно (1.1) исходной формулой для решения задачи может служить уравнение
При его записи мы учли, что тепло отводится от системы (Q < 0) и работа совершается санками (А > 0).
Работу А, совершаемую внешними силами в системе санки – Земля, можно вычислить двумя способами: или с помощью закона сохранения энергии, или с помощью второго закона Ньютона. Проще воспользоваться первым способом. В системе санки — Земля на санки действуют две внешние силы: сила трения Fтр и нормальная реакция опоры N. Так как N, то работа этой силы равна нулю и изменение механической энергии происходит лишь под действием силы трения, т. е. А= Fтр.
Выбрав первое положение системы в начале движения санок, второе – в конце перемещения, можно записать:
Так как полная механическая энергия санок в первом и втором положениях соответственно равна:
то
и исходное уравнение можно переписать так:
Пример 8. Свинцовая пуля, летящая со скоростью =400 м/сек, попадает в стальную плиту и отскакивает от нее со скоростью =300 м/сек. Какая часть пули расплавится, если ее температура в момент удара была равна =107°С и на нагревание пули пошло =0.8 всей работы, совершаемой при ударе? Удельная теплоемкость и удельная теплота плавления свинца равны соответственно с=0.126·103 дж/(кг град), =25·103дж/кг.
Решение. В процессе удара пули о плиту происходит уменьшение кинетической энергии пули, вследствие чего увеличивается ее внутренняя энергия. Пуля нагревается до температуры плавления и частично плавится без теплообмена с окружающей средой (Q=0). Согласно закону сохранения и превращения энергии
где – коэффициент, показывающий, какая часть механической энергии пошла на нагревание и агрегатное превращение свинца.
Если в момент удара пуля обладала кинетической энергией , а после удара (считаем, что расплавленный свинец находится внутри пули и отлетает вместе с ней), то работа силы сопротивления плиты при ударе равна:
При нагревании пули массой т от начальной температуры до температуры плавления =327°С и плавлении свинца массой внутренняя энергия пули возрастает на величину
Подставляя выражения для А и в исходное уравнение, получим уравнение энергетического баланса в окончательном виде:
Отношение , показывающее, какая часть пули расплавилась, отсюда равно:
1. Для большинства тел вблизи 0°С существует температурный интервал, в пределах которого любой линейный размер тел изменяется по закону
, (2.1)
где l – длина или какой-либо линейный размер тела при температуре t, l0 – при 0°С, а – коэффициент линейного расширения при начальной температуре.
2. Если линейные размеры тела изменяются по закону (2.1), то для каждого сечения тела
, (2.2)
где S – площадь данного сечения при температуре t; S0 – при 0°С, ' – средний коэффициент увеличения площади. При небольших температурах с достаточной степенью точности можно считать, что '=2.
3. При увеличении линейных размеров по закону (2.1) объем тела меняется вследствие нагревания по закону
, (2.3)
где β – средний коэффициент объемного расширения. При небольших температурах β =3.
4. В случае теплового расширения тел их плотность изменяется по закону
(2.4)
где — плотность тела при температуре t; 0—плотность при 0°С.
1. Решение задач о тепловом расширении тел целиком основано на применении одной из формул (2.1)—(2.4) к каждому состоянию нагреваемого тела. Если в задаче рассматривается не одно, а несколько тел, эти формулы записываются для каждого тела отдельно. Все вместе они образуют полную систему уравнений, решение которых позволяет найти искомую величину. В комбинированных задачах формулы теплового расширения являются лишь частью системы уравнений, описывающих данное явление; вторую часть, как правило, составляют формулы калориметрии и гидростатики. При составлении уравнений теплового расширения тел особое внимание нужно обратить на следующее.
а) В формулах (2.1)—(2.4) под l0, S0 и V0 подразумевают значения длины, площади и объема при 0°С, а не при начальной температуре тела, отличной от нуля; это связано с тем, что табличные коэффициенты линейного и объемного расширения определяются как изменения единицы длины или объема тела, взятого при 0°С, при нагревании на 1 град. Если за начальную температуру принять не 0°С, а произвольную температуру, относительное удлинение, рассчитанное на один градус, – коэффициент линейного расширения (а также и коэффициент объемного расширения) – в каждом случае будет разным и не таким, как при 0°С.
Чтобы найти связь между длинами (площадями, объемами) при температурах t1 и t2. нужно из уравнений
исключить t0. В результате получим:
или приближенно:
(2.5)
если пренебречь членами, содержащими в более высокой степени, чем первой. Практически такое приближение вполне оправдано, так как для большинства твердых тел очень мало.
Проводя вычисления в задачах на тепловое расширение тел, нужно иметь в виду, что и если х<<1 и y<<1 использование этих формул значительно облегчает вычисления и упрощает математические выкладки. В частности, при небольших температурах t, таких, что βt <<1, можно с достаточной степенью точности считать, что плотность тел ≈ 0(1- βt).
б) Формулы (2.2) и (2.3) справедливы как для сплошных тел, так и для тел, в которых имеется полость или отверстие.
2. Задачи на тепловое расширение тел удобнее решать по следующей схеме:
а) Для каждого теплового состояния каждого тела записать соответствующую формулу теплового расширения.
б) Если в задаче наряду с расширением тел рассматриваются другие процессы, сопутствующие расширению, – теплообмен, изменение гидростатического давления жидкости или выталкивающей силы, то к уравнениям теплового расширения надо добавить формулы калориметрии и гидростатики.
в) Выписать значения заданных величин и, проверив число неизвестных в полученной системе уравнений, решить ее относительно искомой величины.
Пример 1. Какую длину l0c и l0М при температуре 0°С должны иметь стальной и медный стержни, чтобы при любой температуре разность их длин составляла Δl=10 см? Коэффициент линейного расширения стали с=1.2·10-5 град-1, меди м=1.7·10-5 град-1.
Решение. Рассмотрим два тепловых состояния стального и медного стержней: при начальной температуре t0=0°С и при некоторой произвольной температуре t. Обозначим длину стального стержня при температуре t через lс, медного — через lм, тогда
(1)
(2)
Дополнительное условие позволяет записать:
в частности,
(3)
Вычитая из второго уравнения первое и раскрывая скобки, получим:
откуда с учетом соотношений (3) имеем:
Из этого и второго равенства (3) для искомых длин получаем:
Пример 2. Стальная и латунная полоски толщиной H=0.2 см каждая склепаны на концах так, что при температуре t1=20°С они образуют плоскую биметаллическую пластинку. Каков будет средний радиус изгиба биметаллической пластинки при t2=100°С? Коэффициенты линейного расширения стали и латуни равны с=1.2·10-5 град-1; л=1.9·10-5 град-1.
Решение. Так как коэффициенты линейного расширения латуни и стали неодинаковы (л>с), то при нагревании биметаллической пластинки латунная полоска удлинится больше стальной и вся пластинка изогнется.
Если при температуре t1 длина средней линии латунной пластинки была равна t1л, при температуре t2- t2л, то, пользуясь приближенной формулой (2.5), можно записать:
(1)
где Δt= t2- t1 – приращение температуры.
Для стальной пластинки аналогично предыдущему получим:
поскольку приращение температуры здесь то же самое.
Чтобы определить средний радиус изгиба R, будем считать, что концы пластинок при деформации не смещаются относительно друг друга и толщина их настолько мала, что ее изменением при нагревании можно пренебречь по сравнению с изменением длины.
Как видно из чертежа (рис. 2.1), l2л и l2с связаны с радиусом изгиба R уравнениями:
(3)
(4)
где φ — угол между торцевыми поверхностями биметаллической пластинки.
Составленная система уравнений полностью отражает все условия задачи и позволяет определить искомую величину.
Решая уравнения (1)—(4) совместно относительно среднего радиуса R кривизны
биметаллической пластинки, получим:
Пример 3. Латунная шкала ртутного барометра выверена при 0°С. При температуре t1=20 °С барометр показывает давление р6=760 мм рт. ст. Каково истинное атмосферное давление ра при этой температуре? Расширением стекла пренебречь. Коэффициенты линейного расширения латуни и объемного расширения ртути соответственно равны α= 1.9∙10-5 град-1 и β=1.8∙10-4 град-1
Решение. Если шкалу барометра выверить при какой-либо температуре, например при 00С, то при всякой другой температуре его показания не будут соответствовать наружному давлению. Объясняется это тем, что с повышением температуры плотность ртути уменьшается и при неизменном атмосферном давлении высота столба ртути в барометрической трубке возрастает. Кроме того, шкала, по которой отсчитывают высоту столба, удлиняется и цена одного деления становится больше значения, указанного на шкале. Чтобы определить истинное давление, показание барометра нужно привести к той температуре, при которой его шкала выверена, — в данном случае к 0°С. Делается это сравнительно просто: находят число делений шкалы, в которые укладывается высота измеряемого ртутного столба, рассчитывают по формуле теплового расширения новую цену деления и по этим данным определяют действительную длину ртутного столба. Зная эту длину и плотность ртути при температуре измерений, можно вычислить и само атмосферное давление.
Если при температуре t 1= 20 °С ртуть в барометрической трубке достигла высоты h1 (n-го деления шкалы), то показания барометра равны:
(1)
где ρ1 – плотность ртути при температуре t1; l1 - цена одного деления шкалы. Так как расстояние l0 между двумя соседними рисками на шкале выверено и равно единице (1 мм) лишь при 0°С, то l1 будет больше цены деления l0, указанной на шкале.
Если коэффициент линейного расширения латуни равен α, то
и в единицах длины l0 высота ртутного столба при температуре t равна:
(2)
Так как по условию задачи атмосферное давление не изменяется, то и в то же время , откуда
(3)
где ρ0 – плотность ртути при 0°С; H0 – высота, на которую поднялся бы столб ртути при температуре 0°С, Плотность ртути
(4)
Из уравнений (1)—(4) получим:
Пример 4. При температуре t1=10 °С железная канистра вмещает V1=20 л бензина и оказывается наполненной целиком. На сколько изменится масса канистры с бензином, если ее внести в помещение, где температура равна t 2=30 °С? Коэффициенты объемного расширения железа и бензина βж=3.6∙10-5 град-1 и βб==10-3 град-1, плотность бензина ρ0=0.8 г/см3.
Решение. Вследствие теплового расширения канистры и бензина объем их при нагревании увеличивается. Коэффициент объемного расширения жидкостей всегда больше коэффициента объемного расширения твердых тел, поэтому при нагревании на одинаковое число градусов приращение объема бензина будет больше приращения объема сосуда и часть бензина из него выльется. Чтобы определить искомое изменение массы канистры с бензином, нужно вычислить массу бензина в канистре при начальной и комнатной температурах и из первого результата вычесть второй. Масса самой канистры при этом не изменится. Для нахождения массы бензина при указанных температурах необходимо найти его плотность при этих температурах, а также объем канистры.
Если при температуре t1 канистра и, следовательно, бензин имеют объем V1, а при температуре t 2 – объем V2, то
(1)
Плотность бензина при температурах t 1 и t2 соответственно равна:
(2)
(3)
Массы бензина в канистре при этих температурах равны:
(4)
Решая уравнения (1)–(4) совместно и пренебрегая членами, содержащими коэффициенты объемного расширения в степени выше первой, из-за их малости, получим:
Пример 5. В жидкости взвешивают стальной шарик. Первое взвешивание проводилось при температуре t1 и вес вытесненной жидкости оказался равным Р1; второе взвешивание провели при температуре t2 и вес вытесненной жидкости был равен Р2. Определите коэффициент объемного расширения жидкости, если коэффициент объемного расширения стали равен β.
Решение. Вследствие теплового расширения тел, взвешиваемых в жидкости, вес вытесненной жидкости при разных температурах будет разным. Он будет определяться плотностью жидкости при данных температурах и объемом тел, погруженных в жидкость. Если при температуре t1 в жидкость полностью погрузить шарик объемом V1, то вес вытесненной жидкости будет равен:
(1)
Плотность жидкости ρ1 и объем стального шарика V1 при температуре t1 могут быть выражены через их значения при 0°С:
(2)
(3)
где βж – коэффициент объемного расширения жидкости. Для температуры t2 мы имеем соответственно:
(4)
(5)
(6)
Решая уравнения (1)—(6) относительно βж, находим:
Члены, содержащие коэффициенты теплового расширения в степени выше первой, здесь отброшены из-за их малости.
1. Состояние любого тела характеризуют совокупностью нескольких физических величин, называемых параметрами состояния. Важнейшими параметрами состояния газа являются его объем V, давление р и температура Т.
Состояние газа, при котором все его параметры при неизменных внешних условиях остаются постоянными сколь угодно долго, называют равновесным. Процессы, состоящие из непрерывной последовательности равновесных состояний, называют равновесными. Параметры состояния газов, находящихся в равновесных состояниях, связаны между собой уравнением состояния F (р, V, Т) = 0.
Самый простой вид уравнение состояния имеет для идеальных газов. Идеальными называют газы, молекулы которых взаимодействуют друг с другом лишь при соударениях (отсутствует межмолекулярное притяжение и отталкивание) и объем молекул ничтожно мал по сравнению с объемом, занимаемым газом. Кроме того, предполагают, что соударение молекул происходит по законам абсолютно упругого удара. Реальные газы тем точнее подчиняются законам идеальных газов, чем меньше их давление и выше температура.
2. Для идеальных газов имеют место следующие экспериментальные законы.
Закон Бойля — Мариотта:
(3.1)
Из этого закона вытекает, что для двух произвольных состояний газа при указанных условиях справедливо равенство:
(3.1’)
Закон Гей-Люссака:
(3.2)
если и m= const.
Согласно выражению (3.2) при соблюдении указанных ограничений для двух произвольных состояний
(3.2’)
Закон Шарля:
(3.3)
если и m= const.
Согласно закону Шарля для двух произвольных состояний:
(3.3’)
Соотношения (3.1), (3.2) и (3.3) можно рассматривать как уравнения состояния идеального газа соответственно при изотермическом, изобарическом и изохорическом процессах, когда из трех параметров газа изменяются два.
3. Из опытных законов (любых двух) для идеальных газов вытекает объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона):
(3.4)
откуда следует, что при переходе газа из одного состояния в другое, когда меняются все три его параметра, должно быть:
(3.4’)
4. Молекулярной массой М данного вещества называют массу mх молекулы этого вещества, выраженную в углеродных единицах массы (у.е.м.). За углеродную единицу массы принята 1/12 часть массы mС самого легкого изотопа углерода:
Так же определяют и атомную массу А, но только под mх тогда подразумевают массу атома.
Киломолем называют такое количество вещества, масса которого μ, в килограммах численно равна молекулярной массе (μ =М) этого вещества.
Согласно закону Авогадро в одном киломоле (килоатоме) любого вещества содержится NА=6.02∙1026 молекул (атомов).
При нормальных условиях (р=1.01∙105 н/м2; Т=273 К) один киломоль идеального газа занимает объем υ0=22.4 м3/кмоль.
Если газ с киломолекулярной массой μ имеет массу m и содержит N молекул, то в нем содержится число киломолей ν, равное
(3.5)
Согласно (3.5) масса одной молекулы
При нормальных условиях объем идеального газа равен
(3.6)
Если в сосуде находится смесь нескольких газов, не вступающих друг с другом в химические реакции, давление смеси газов равно сумме давлений, производимых каждым газом в отдельности, если бы он один занимал весь сосуд (закон Дальтона):
Если за первое состояние принять состояние идеального газа с параметрами р, V, Т, а за второе – его состояние при нормальных условиях, то согласно уравнению (3.4'):
Отсюда с учетом соотношений (3.6) и (3.5):
или
(3.7)
где величина имеет для всех идеальных газов одинаковое значение и называется универсальной газовой постоянной. Числовое значение газовой постоянной равно:
Уравнение (3.7) называют уравнением Менделеева – Клапейрона. Его можно представить в виде:
где ρ – плотность газа при данной температуре Т, а также
где – концентрация молекул; – постоянная Больцмана.
5. Если температура идеального газа массой m изменяется на ΔT, внутренняя энергия газа изменяется на величину
(3.8)
где cv – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме и сμV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме – теплоемкость, рассчитанная на киломоль газа.
Если при постоянном давлении р газ нагревается от температуры T1 до температуры T2, то его объем возрастает от V1 до V2 и газ совершает работу
(3.9)
Применяя уравнение (3.7) для каждого из двух состояний газа, формулу работы можно представить в виде:
(3.10)
Если в процессе расширения к газу подводится некоторое количество теплоты Q, то согласно закону сохранения и превращения энергии для изобарического процесса
(3.11)
Учитывая (3.8), (3.10) и (3.11) и что
(3.12)
можно записать:
(3.13)
6. Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, равен:
(3.14)
где Q1 и Q2 – соответственно тепло, полученное от нагревателя и отданное холодильнику, T1 и Т2 – температуры нагревателя и холодильника.
1. Основным уравнением, характеризующим состояние идеального газа, является уравнение Менделеева — Клапейрона. Составив это уравнение для каждого из рассматриваемых состояний газа и записав дополнительные условия в виде формул, можно сравнительно легко решить почти любую задачу на газы элементарного курса физики. Однако этот метод решения в ряде случаев усложняет решение и приводит к лишним математическим выкладкам, мало поясняющим физическую сущность явления.
Учитывая это, задачи на расчет параметров состояния газов можно разделить на две основные группы. К первой следует отнести такие задачи, где даны два или несколько состоянии газа, в которых его масса остается неизменной и к которым, следовательно, применимо уравнение объединенного газового закона (3.4).
Вторую группу составляют задали, в условии которых дана масса газа или рассматриваются такие процессы, в которых масса газа изменяется. При решении этих задач пользоваться объединенным газовым законом нецелесообразно, более удобно применять уравнение Менделеева — Клапейрона.
Решение задач на нагревание и работу газа при изохорическом и изобарическом процессе основано на первом начале термодинамики и формулах (3.9)—(3.10).
2. Если по условию задачи даны два состояния газа и при переходе газа из одного состояния в другое его масса не меняется, то для решения задачи можно рекомендовать следующую последовательность.
а) Прочитав условие задачи, нужно ясно представить, какой газ участвует в том или ином процессе, и убедиться, что при изменении параметров состояния газа его масса не меняется.
б) Сделать, если это возможно, схематический чертеж и, отметив каждое состояние газа, указать параметры р, V, Т, характеризующие эти состояния. Определить из условия задачи, какой из этих трех параметров не меняется, и какому газовому закону подчиняются переменные параметры.
В общем случае могут изменяться все три параметра р, V и Т.
в) Записать уравнение объединенного газового закона Клапейрона для данных двух состояний. Если какой-либо параметр остается неизменным, уравнение автоматически переходит в одно из трех уравнений: закон Бойля — Мариотта, Гей-Люссака или Шарля.
В тех случаях, когда газ заключен в цилиндрический сосуд и объем газа меняется только за счет изменения высоты его столба, но не сечения, уравнение Клапейрона нужно сразу записывать в виде:
г) Представить в развернутом виде параметры P1, V1, P2, р2, V2 выразив их через заданные величины. Вполне естественно, что расшифровывать нужно только те параметры, которые заданы косвенно, но не те, что даны явно. Особое внимание здесь следует обратить на определение давления. Чтобы его найти, часто приходится использовать закон Паскаля: провести нулевой уровень через границу, отделяющую газ от жидкости, и записать уравнение равновесия жидкости.
д) Записать математически все вспомогательные условия и решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
Если в задаче рассматривают процессы, связанные с изменением состояния двух или трех газов, отделенных друг от друга поршнями или входящих в состав смеси, то все указанные действия нужно проделать для каждого газа отдельно.
В задачах на газовые законы рекомендуется пользоваться только абсолютной температурой и сразу же переводить значения температуры по шкале Цельсия в значения по шкале Кельвина.
3. Если по условию задачи дано только одно состояние газа и требуется определить какой-либо параметр этого состояния или же даны два состояния с разной массой газа, то рекомендуется поступать так:
а) Установить, какие газы участвуют в рассматриваемых процессах.
б) Для каждого состояния каждого газа (если их несколько) составить уравнение Менделеева – Клапейрона. Если дана смесь газов, то это уравнение записывают для каждого компонента. Связь между значениями давлений отдельных газов и результирующим давлением смеси устанавливается законом Дальтона.
в) Записать математически дополнительные условия задачи и решить полученную систему уравнений относительно искомой величины.
В комбинированных задачах, где рассматривается движение сосуда с газом, уравнение газового состояния добавляют к уравнениям механики.
Пример 1. Для погружения и всплытия подводной лодки в ней имеются два сообщающихся между собой резервуара. В погруженном состоянии один из резервуаров емкостью V заполнен водой, во втором, емкостью V1, находится сжатый воздух. Каково должно быть минимальное давление сжатого воздуха, чтобы при всплытии лодки с глубины Н сжатый воздух полностью вытеснил воду из балластной цистерны? Атмосферное давление нормальное, изменением температуры воздуха при расширении пренебречь.
Решение. Если соединить резервуары между собой, то при достаточной степени сжатия воздух, заключенный во втором сосуде, начнет расширяться и вытеснит воду из балластной цистерны наружу. Так как по условию задачи масса и температура сжатого воздуха не меняются, то увеличение его объема вызовет понижение давления. Учитывая сделанные выше рекомендации, решение задачи следует построить на законе Бойля — Мариотта.
Пусть Pl и V1 – давление и объем сжатого воздуха до расширения, P2 и V2 – давление и объем воздуха в тот момент, когда он, вытеснив воду, займет оба резервуара, тогда
Обратимся теперь к каждому из параметров и посмотрим, какие из них нужно представить в развернутом виде. Давление Pl требуется определить по условию задачи, объем V1 задан — он равен объему резервуара со сжатым воздухом, давление P2 можно найти, исходя из следующего. Чтобы вытеснить воду из балластного резервуара, воздух во втором состоянии должен находиться под давлением, большим или равным гидростатическому давлению на глубине Н, т. е.
где ρ – плотность морской воды. Остается выразить объем V2, он, как нетрудно заметить, равен суммарной емкости обоих резервуаров:
Подставляя выражения для P2 и V2 в формулу закона Бойля — Мариотта, мы получим уравнение газового состояния в окончательном виде:
откуда начальное давление в резервуаре со сжатым воздухом
Пример 2. Посредине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки находится столбик ртути длиной h=19.6 мм. Если трубку поставить под углом =30° к горизонту, то столбик ртути переместится на ∆l1=20 мм; если поставить вертикально — на ∆l2=30 мм. До какого давления откачан воздух из трубки?
Решение. В задаче говорится о трех состояниях двух газов одинаковой массы, разделенных столбиком ртути (рис.3.1). В процессе перемещения трубки из горизонтального положения в вертикальное, вследствие смещения столбика ртути, газ, находящийся в правой части трубки будет расширяться, в левой — сжиматься.
Так как по условию задачи масса и температура не меняются, то для каждой пары состояний каждого газа должно иметь место уравнение закона Бойля – Мариотта. Совокупность этих уравнений полностью характеризует изотермический процесс, описываемый в данной задаче.
Состояние газа при горизонтальном положении трубки примем за первое состояние. Вторым состоянием будем считать состояние газа в наклонной трубке, третьим — состояние газа при вертикальном положении трубки.
Обозначим давление газа в левой части трубки в каждом из этих состояний через pl, p2, p3, длину столбов воздуха через ll, l2, l3, тогда, применяя закон Бойля – Мариотта для каждой пары состояний и учитывая, что площадь поперечного сечения трубки всюду одинакова, получим:
Аналогично для газа, заключенного в правой части трубки:
так как в первом состоянии давления и объемы газа в обеих частях трубки были одинаковы.
Если при отклонении трубки от горизонтального положения на угол α столбик ртути сместится на расстояние Δl1 ( при отклонении на угол 90°— на расстояние Δl2, то, как видно из чертежа,
Кроме того, при равновесии столбика ртути должно быть
где ρ – плотность ртути.
Подставляя в уравнения закона Бойля — Мариотта вместо l2, l3, , , p2 и p3 их выражения, получим:
Решая полученные уравнения относительно pl, найдем:
Пример 3. В стеклянную манометрическую трубку, запаянную с одного конца, налита ртуть. Высота столба воздуха в запаянном колене равна 2Н, причем уровень - ртути в открытом колене стоит на Н выше, чем в закрытом. Манометр установлен в ракете, которая начинает подниматься вертикально вверх с ускорением а=g. Какова будет разность уровней ртути в коленах манометра при подъеме ракеты, если в кабине ракеты поддерживается нормальное атмосферное давление?
Решение. При ускоренном движении тел в вертикальном направлении на эти тела со стороны опоры действует сила нормального давления, сообщающая им ускорение g + а. Такая же по величине, но противоположная по направлению сила действует и на опору со стороны расположенных на ней тел. Эффект получается такой, как если бы ускорение свободного падения g возросло на величину а. В результате вес тел, а следовательно, и удельный вес в движущейся системе возрастает и становится равным не pg, a Р (g + a).
Аналогичное явление происходит и при подъеме манометра в ракете. Перед стартом ракеты воздух в закрытом колене манометра был сжат до такой степени, что уравновешивал атмосферное давление и давление столбика ртути в открытом колене. Как только ракета начнет подниматься вверх с ускорением а, давление столба ртути на поверхность 1–1 (рис. 3.2) возрастет, ртуть начнет переливаться в закрытое колено, сжимая находящийся там воздух. Разность уровней ртути будет уменьшаться до тех пор, пока упругость воздуха не достигнет величины, необходимой для равновесия.
Таким образом, при ускоренном движении ракеты происходит изотермическое сжатие воздуха в закрытом колене, вызванное увеличением удельного веса ртути.
Так как в процессе сжатия температура и масса воздуха остаются неизменными, то в этом случае справедлив закон Бойля – Мариотта.
Если в неподвижной ракете давление и высота столба воздуха в закрытом колене были равны р1 и 2H, а при ускоренном подъеме – р2 и H2, то
По условию задачи исходная высота воздушного столба задана, поэтому дальнейшее решение задачи состоит в том, чтобы представить в развернутом виде p1и р2.
Выбрав поверхность нулевого уровня по границе 1–1, согласно закону Паскаля запишем:
где ра – атмосферное давление; Н – разность уровней ртути в сосудах в неподвижной ракете; ρg – удельный вес ртути.
Выбирая поверхность одного уровня по границе 2–2 для каких-нибудь двух произвольных точек, лежащих на этой поверхности, при относительном равновесии жидкости в сосудах будем иметь:
где р (g + а) — удельный вес ртути, поднимающейся вертикально вверх с ускорением а; х– разность уровней ртути в сосудах во время движения ракеты.
Высоту столба воздуха во втором состоянии можно выразить через ее начальное значение 2H, начальную разность уровней ртути H и конечную разность x. Как видно из чертежа,
(Второй член правой части равенства численно равен смещению уровней ртути от начального положения.)
Подставив выражения для pl, р2 и H2 в формулу закона Бойля – Мариотта, мы и получим окончательное уравнение для определения неизвестной величины х:
Или, если учесть, что ра=pgH0 и а=g, после сокращений получим:
откуда
Пример 4. Компрессор захватывает при каждом качании воздух объемом Vк=1 л при нормальном атмосферном давлении и температуре Т1=273 К и нагнетает его в автомобильный баллон,· объем которого V=0.5 м3; температура воздуха в баллоне Т2=290 К. Сколько качаний должен сделать компрессор, чтобы площадь соприкосновения покрышки с полотном дороги уменьшилась на ΔS =100 см2, если до этого она равнялась S =450 см2 и на колесо приходится нагрузка в F=4.9 кн?
Решение. В процессе работы компрессора воздух, нагнетаемый в баллон, сжимается от объема, занимаемого им в атмосфере, до объема в автопокрышке. В результате упругость баллона возрастает и площадь его соприкосновения с дорогой уменьшается. Следует заметить, что в баллоне и до этого мог находиться воздух, именно поэтому в условиях задачи и говорится об уменьшении площади соприкосновения покрышки с дорогой, вызванном увеличением давления, но не о самой площади соприкосновения, величина которой, помимо прочего, зависит от полного давления в баллоне.
Так как при переходе воздуха из свободного состояния в сжатое изменяются его давление, объем и температура, то основным уравнением, характеризующим процесс, служит уравнение объединенного газового закона Клапейрона.
В первом состоянии (в атмосфере) параметры состояния воздуха равны соответственно pl, V1, T1. Во втором состоянии (в баллоне) этот же воздух после n качаний компрессора будет сжат до давления p2, займет объем баллона V2 и нагреется до температуры Т2. Объем баллона считается при этом неизменным. Параметры первого и второго состояний воздуха связаны между собой уравнением
По условию задачи нам даны pl = р0, V2= V1, T1 и T2, поэтому нужно расшифровать V1 и p2.
Если при одном качании компрессор захватывает воздух в объеме Vк, то весь воздух, содержащийся в объеме V1 ( будет перекачан из атмосферы в баллон за n качаний, т. е.
Чтобы определить давление р2, нужно учесть следующее. Если до того, как автопокрышку стали накачивать, в ней было создано начальное избыточное давление ри и площадь соприкосновения покрышки с дорогой равнялась S, то
где F – нагрузка, приходящаяся на колесо. После того как баллон подкачали, избыточное давление в нем возросло на p2 и стало равным ри + р2; площадь соприкосновения с полотном дороги уменьшилась на ΔS и стала равной S–ΔS. Так как нагрузка на колесо осталась прежней, то
Исключая из последних двух равенств начальное давление ри и подставляя в исходное уравнение вместо параметров V1 и р2 их выражения, мы получим уравнение объединенного газового закона в окончательном виде:
откуда
Пример 5. Поршни двух одинаковых цилиндров связаны между собой жесткой тягой так, что объемы под поршнями равны. Под поршнями находится одинаковое количество газа при температуре Т0. Каково будет давление в цилиндрах, если один из них нагреть до температуры Т1, а второй охладить до температуры Т2 Чему будет равно при этом относительное изменение объема газа в каждом цилиндре? Весом поршней и тяги пренебречь, трение не учитывать, атмосферное давление ра.
Решение. В задаче рассматривают два состояния двух одинаковых газов, заключенных в разные цилиндры (рис. 3.3). Поршни этих цилиндров связаны между собой жесткой тягой и могут скользить без трения. В такой системе изменение давления или объема одного из газов вызывает изменение параметров состояния другого газа. Причем изменения объемов газа под поршнями будут всегда равны между собой, так как по условию задачи сами цилиндры и объемы под поршнями одинаковые, а поршни связаны друг с другом жестко. Что касается давлений газов, то они могут быть разными. На них накладывается лишь единственное ограничение: в сумме эти давления должны уравновесить давление, производимое на поршни снаружи.
При нагревании одного газа и охлаждении другого у каждого из них изменяются все три параметра состояния: давление, объем и температура.
Рассмотрим газ в левом сосуде. До нагревания он находился под давлением р1, занимал объем V1 и имел температуру Т0; после нагревания эти параметры имеют значения р2, V2 и Т1. Поскольку масса газа не менялась, то
(1)
До охлаждения газа в правом сосуде его давление, объем и температура имели значения р1, Vl, Т0; после охлаждения р3, V2, Т2. Масса газа при нагревании не менялась, поэтому
(2)
Поскольку в обоих состояниях газов поршни находятся в равновесии, то должно быть в первом случае:
во втором: (3)
Относительное изменение объема газа в цилиндре равно:
(4)
Из уравнений (1)– (4) находим:
Пример 6. Сосуд емкостью 2V=2·10-3 м3 разделен пополам полупроницаемой перегородкой. В одну половину сосуда введен водород массой mв=2 г и азот массой mа=28 г, в другой половине вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород. Во время процесса поддерживается температура Т=373 К. Какие давления установятся в обеих частях сосуда?
Решение. При заполнении одной половины сосуда смесью газов молекулы водорода будут диффундировать через перегородку в другую половину сосуда до тех пор, пока давления водорода по обе стороны перегородки не сравняются. Так как перегородка делит сосуд на равные объемы и температура в них одна и та же, во вторую половину сосуда про диффундирует ровно половина начального количества водорода. После этого в одной части сосуда окажется смесь азота с водородом, в другой – про диффундировавший водород.
Для решения задачи нужно составить уравнение Менделеева – Клапейрона для каждого компонента газа: отдельно для азота и отдельно для водорода. Эти уравнения позволят определить давление каждого газа, после чего, используя закон Дальтона, легко найти давление смеси азота с водородом.
Если объем сосуда равен 2V, то в половине этого объема азот массой mа при температуре Т будет производить давление ра и
(1)
где μа — киломолекулярная масса азота.
В том же объеме, при той же температуре после диффузии водород массой — будет производить давление рв, причем
(2)
Согласно закону Дальтона полное давление газа в этой части сосуда станет равным
(3)
По другую сторону перегородки давление водорода будет равно рв.
При проведении числовых расчетов в задачах с применением уравнения Менделеева – Клапейрона приходится использовать киломолекулярные массы газов. В таблицах же даются значения атомных масс элементов. Поэтому, чтобы найти молекулярную и киломолекулярную массу того или иного газа, нужно прежде всего установить, сколько атомов входит в состав его молекулы. В нашей задаче, например, дается азот и водород. В свободном состоянии молекулы азота и водорода содержат не один, а два атома. Поэтому киломолекулярные массы этих газов будут равны соответственно μа=28 кг/кмоль и μв=2 кг/кмоль. Эти значения мы и должны взять при расчете.
Из уравнений (1)–(3)находим:
Пример 7. В откачанной ампуле объемом V=3 см3 содержится радий массой m=5 г в течение времени τ=1 год. В результате радиоактивного распада из радия массой m0 = 1 г в τ0=1 сек вылетает n0=3.7·1010 альфа-частиц, представляющих собой ядра гелия. Какое давление будет производить гелий при температуре Т=300 К?
Решение. Нам задано одно состояние гелия и дается ряд дополнительных условии, позволяющих определить массу газа. Для решения задачи нужно использовать основное уравнение газового состояния.
Если в закрытой ампуле объемом V находится v киломолей гелия под давлением р при температуре Т, то согласно уравнению Менделеева – Клапейрона
Число киломолей гелия, образовавшегося в результате рекомбинации альфа-частиц, вылетающих из радия, можно найти двумя путями: используя дополнительные условия задачи, определить массу гелия и, найдя в таблицах его молекулярную массу, разделить m на μ или по тем же дополнительным данным найти число атомов гелия N, образовавшихся в ампуле к интересующему нас моменту времени, и, зная число Авогадро NA, определить v из формулы
Воспользуемся вторым способом.
Если из радия массой m0 за время τ0 вылетает n0 альфа-частиц, то из радия массой m за время τ вылетит число частиц, равное
Число киломолей гелия, заключенного в ампуле, в этом случае равно:
и уравнение состояния газа можно представить в окончательном виде так:
Пример 8. По газопроводной трубе идет углекислый газ под давлением р=392 кн/м2 при температуре Т=280 К. Какова средняя скорость движения газа в трубе, если через поперечное сечение трубы, равное S=5 см2, за τ=10 мин протекает газ массой m=20 кг?
Решение. В задаче рассматривается одно состояние равномерно движущегося газа с известным расходом. Поэтому, какой бы слой газа мы ни выбрали в движущемся потоке, параметры его состояния должны удовлетворить уравнению Менделеева – Клапейрона.
Выделим в трубе некоторый объем V, содержащий газ массой m, который весь проходит через поперечное сечение трубы S за время τ. Если этот газ находится под давлением р и имеет температуру Т, то
(1)
где μ=44 кг/кмоль – киломолекулярная масса углекислого газа С02.
Объем газа можно выразить через сечение S и высоту выделенного цилиндра: V=Sl. За время τ через сечение трубы проходит весь газ, заключенный в объеме этого цилиндра, поэтому при скорости υ движения газа должно быть l= υτ и
(2)
Решение уравнений (1)–(2) относительно скорости движения газа дает:
Пример 9. Сколько гелия потребуется для наполнения воздушного шара диаметром d=10 м, чтобы шар мог поднять груз весом Q=9.8 кн при нормальном атмосферном давлении и температуре Т=290 К? Объемом груза пренебречь.
Решение. Для подъема воздушного шара необходимо, чтобы вес вытесненного им воздуха mвg был больше или в крайнем случае равен весу газа mгg, наполняющего оболочку шара, и весу Q его оснастки, т. е.
(1)
где mв – масса воздуха, вытесненного шаром; mг – масса газа (гелия), наполняющего оболочку.
Если бы масса воздуха mв была известна, то из этого уравнения можно было бы определить массу гелия. Чтобы найти mв, воспользуемся уравнением Менделеева — Клапейрона.
Воздух, окружающий шар, находится под атмосферным давлением рй и имеет температуру Т, поэтому для воздуха, занимающего объем оболочки Уш> уравнение газового состояния дает:
(2)
где μв=29 кг/кмоль.
И наконец, последним соотношением, которое нужно использовать в решении, является формула:
(3)
поскольку нам известен диаметр воздушного шара d, а не его объем. Из уравнений (1)–(3) находим массу гелия:
Пример 10. В цилиндре с площадью основания S =100 см2 находится воздух при температуре Т=290 К. На высоте Н=0.60 м от основания цилиндра расположен легкий поршень, на котором лежит гиря массой m=100 кг. Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на ΔT=50°C? Атмосферное давление ра = 105 н/м2.
Решение. В процессе нагревания газ расширяется и совершает работу по преодолению силы тяжести груза и силы атмосферного давления, действующих на поршень. Так как эти силы постоянные, то при достаточно медленном нагревании газ будет расширяться изобарически и его работу можно вычислить по формулам;
По условию задачи нам задан объем газа в исходном состоянии, но не указано, что это за газ. Поэтому нужно воспользоваться второй формулой.
Если при температуре Т1 газ занимал объем V1, а после нагревания до температуры Т2 стал занимать объем V2, то работа расширения равна:
где р – давление, производимое газом на поршень.
При равновесии поршня это давление в каждый момент времени уравновешено атмосферным давлением ра, и давлением (mg/S) создаваемым гирей:
(2)
Поскольку газ расширяется изобарически, параметры начального и конечного состояний газа связаны равенством
(3)
или
(3')
так как по условию задачи известны площадь и начальная высота цилиндра H.
Решая уравнения (1)—(3) совместно, получим:
Пример 11. Какое количество теплоты необходимо для нагревания на ΔT =16 град кислорода массой m=7·10-3 кг, находящегося в цилиндре под поршнем, некотором лежит груз, если теплоемкость одного киломоля кислорода при нагревании его при постоянном объеме равна сμV=21 дж/(кмоль·град)?
Решение. При изобарическом нагревании кислорода под поршнем цилиндра часть теплоты, подводимой к газу, идет на увеличение его внутренней энергии, часть – на совершение работы по перемещению поршня. Вследствие большого теплового расширения газов количество теплоты, расходуемое на совершение работы по преодолению внешних сопротивлений, соизмеримо с количеством теплоты, идущим на увеличение внутренней энергии газа. Процесс теплопередачи при изобарическом расширении кислорода в цилиндре описывается уравнением первого закона термодинамики:
которое нам необходимо записать в развернутом виде.
Если v киломолей кислорода нагреть на ΔT градусов, то внутренняя энергия газа увеличится на
Эту формулу можно представить иначе, выразив v через массу кислорода m и киломолекулярную массу μ:
Так как масса, киломолекулярная масса и изменение температуры газа известны, работу газа при изобарическом процессе нужно рассчитать по формуле:
Подставляя вместо ΔU и А их выражения в исходное уравнение энергетического баланса, получим окончательную формулу для подсчета количества теплоты, необходимого для нагревания кислорода:
Пример 12. Сечение поршня паровой машины равно S=100 см2, ход поршня l=50 см. Пар поступает в цилиндр под давлением pl=196 кн/м2, которое в процессе смещения поршня на Δl=1 см равномерно понижается на Δр=1.96 кн/м2. Какую мощность развивает машина, когда вал ее делает f=240 об/мин?
Решение. Если в цилиндр ввести пар при избыточном давлении р, поршень начнет перемещаться и приведет во вращение вал. Полагая, что работа расширения пара целиком идет на создание мощности машины, эту мощность можно вычислить по формуле:
(1)
где А1 – работа пара за один ход поршня; t– продолжительность хода.
В данном случае в отличие от ранее разобранных примеров пар расширяется не изобарически. Чтобы вычислить работу расширения газа при переменном давлении с помощью формулы A=p(V2-V1), нужно знать среднее давление рср. Тогда
Если давление изменяется пропорционально смещению поршня, то
где р1 и р2 – давления в начале и в конце рассматриваемого перемещения.
Допустим, что в крайних положениях поршня (в начале и в конце процесса расширения пара) давление и объем пара в цилиндре были равны соответственно р1, V1 и р2, V2, тогда при одном ходе поршня пар совершит работу:
По условию задачи при перемещении поршня на единицу длины (Δl=1 см) давление пара уменьшается на величину Δр, поэтому в конце хода поршня, когда смещение достигнет величины l,давление понизится на (Δр/Δl)l и станет равным
Если сечение цилиндра равно S и ход поршня l, то максимальное приращение объема пара равно:
С учетом двух последних равенств формулу работы пара за один ход можно представить в виде:
(2)
Продолжительность одного хода поршня легко определить, зная скорость вращения вала f. За один ход поршня вал делает пол оборота, поэтому в формуле
(3)
нужно взять число оборотов n= 0.5.
Подставляя выражения (2) и (3) в формулу мощности (1) и проводя вычисления, получим:
1. При испарении жидкости может наступить такое состояние, при котором число молекул, вылетающих в единицу времени с открытой поверхности жидкости, будет равно числу молекул, влетающих в нее обратно. Между паром и жидкостью устанавливается подвижное — динамическое равновесие. Плотность пара над жидкостью и давление, производимое паром на стенки сосуда (упругость пара), при динамическом равновесии не меняются и имеют для данной жидкости при данной температуре максимальное значение.
Пар, давление и плотность которого имеют наибольшее значение при данной температуре, называют насыщающим. Иначе, насыщающим называют пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью.
Пар, давление и плотность которого меньше давления и плотности насыщающего пара при данной температуре, называют не насыщающим.
2. Пары, отделенные от жидкости (при неизменной массе), обладают следующими свойствами:
а) При изотермическом увеличении объема, занимаемого насыщающим паром, или при его изохорическом нагревании насыщающий пар переходит в ненасыщающий.
б) При изотермическом сжатии ненасыщающего пара или при его изохорическом охлаждении ненасыщающий пар становится насыщающим.
Температуру, при которой пар становится насыщающим в результате изохорического охлаждения, называют точкой росы. При охлаждении пара ниже точки росы начинается конденсация пара в жидкость.
в) С достаточно хорошим приближением можно считать, что ненасыщающие пары подчиняются всем основным законам идеальных газов (3.1)–(3.4).
г) Параметры каждого состояния насыщающего пара связаны между собой уравнением Менделеева — Клапейрона.
Масса насыщающего пара mн.п, входящая в это уравнение, зависит от температуры и для двух различных состояний не может иметь одинакового значения.
Для определения давления насыщающих паров при данной температуре, если неизвестна их плотность, или же, наоборот, для определения плотности пара, если известно его давление, пользуются таблицами давления (упругости) насыщающих паров.
д) Так как в двух различных состояниях насыщающий пар имеет различную массу, параметры этих состояний законам идеальных газов (3.1)–(3.4) не подчиняются. Если же насыщающий пар переходит в ненасыщающий и его масса при этом не изменяется, то параметры состояний подчиняются всем законам идеальных газов.
е) Согласно закону Дальтона давление воздуха, содержащего водяной пар, складывается из давления сухого воздуха рс и давления паров воды рп, т. е. атмосферное давление равно:
3. Воздух содержащий водяной пар, называют влажным. О влажности воздуха можно судить или по величине давления, производимого паром, или по его плотности п. Количество водяных паров (в граммах), содержащихся в 1 м3 воздуха, называют абсолютной влажностью. Отношение плотности п водяного пара при данной температуре к плотности насыщенного пара н.п. при этой же температуре называют относительной влажностью. Относительную влажность воздуха выражают обычно в процентах.
так как при одинаковой температуре
1. Задачи на пары и влажность по своему решению принципиально почти не отличаются от задач на идеальные газы. Тем не менее они вызывают серьезные затруднения, связанные с неумением пользоваться уравнением газового состояния и попыткой искать решение путем логических рассуждений, что во многих случаях требует большой сообразительности. Особенно это относится к тем задачам, где вместо плотности насыщенного пара дается его давление.
Новым при решении задач на влажность является широкое использование таблиц упругости и плотности водяных паров и применение формулы относительной влажности. Из таблиц можно взять дополнительные данные к тем, которые известны по условию задачи, и составить вспомогательные уравнения, позволяющие вместе с основным уравнением газового состояния и законом Дальтона определить искомую величину.
Анализируя условие задачи на пары и влажность, всегда полезно иметь в виду следующее. Если задана температура насыщающего пара, то его давление и плотность при этой температуре можно найти в таблицах. Если же заданы температура и давление (плотность) насыщающего пара, то его плотность (давление) определяют из уравнения Менделеева – Клапейрона.
Давление насыщающих паров при температуре кипения жидкости равно атмосферному. Например, при температуре кипения воды (373 К) давление ее насыщающих паров равно нормальному атмосферному давлению (1.01·105 н/м2).
Если известна температура насыщающего пара Т1 и его точка росы Тр, то с помощью таблиц можно определить абсолютную и относительную влажность воздуха при температуре Т1, так как при температуре Тр это же количество пара будет полностью насыщать данное пространство. Порядок решения задач на влажность можно рекомендовать такой:
а) Установить число состояний газа, рассматриваемых в условии задачи, обратив особое внимание на то, дается ли чистый пар жидкости или смесь пара с сухим воздухом.
б) Для каждого состояния пара записать уравнение Менделеева – Клапейрона и формулу относительной влажности, если о. последней что-либо сказано в условии. Составить уравнение Менделеева – Клапейрона для каждого состояния сухого воздуха (если дается смесь пара с воздухом). В тех случаях, когда при переходах из одного состояния в другое масса пара не меняется, вместо уравнения Менделеева – Клапейрона можно использовать сразу объединенный газовый закон.
С учетом формулы влажности уравнение Менделеева – Клапейрона для пара можно записать в виде:
где рн.п. – давление, которое создавал бы пар, если бы при температуре Т он был насыщающим; ρп – плотность пара.
в) Записать математически все дополнительные условия, связывающие величины, входящие в составленные ранее уравнения. Проверить число неизвестных в полученной системе уравнений и решить ее относительно искомой величины. Выписывая числовые значения заданных величин, нужно учесть сделанные выше замечания и использовать таблицу давления и плотности насыщающих паров при различных температурах.
Пример 1. Под колоколом насоса находится стакан, содержащий воду массой m=200 г. Насос откачивает воздух из-под колокола со скоростью u=50 л/мин. Через сколько времени вся вода испарится, если установившаяся под колоколом температура равна Т=280 К?
Решение. Если под колокол насоса поместить стакан с водой, то, спустя некоторое время, пространство под колоколом станет насыщенным водяными парами. При заданной температуре давление рн.п. и плотность ρн.п пара можно считать известными, так как их значения могут быть найдены в таблицах.
Когда насос начнет работать, пары из-под колокола будут удаляться и их давление должно уменьшаться. Происходит это, однако, не сразу. Поскольку насыщающий водяной пар находится над водой и между молекулами воды и пара существует подвижное равновесие, уменьшение числа молекул пара, вызванное действием насоса, приводит к тому, что из жидкости начинает вылетать молекул больше, чем влетать в нее. Вследствие непрерывного испарения воды при работе насоса убыль молекул пара все время пополняется, в результате плотность пара, а следовательно, и давление некоторое время почти не изменяются. Само собой разумеется, что температура пара должна при этом поддерживаться постоянной.
Как только вся вода испарится, давление под колоколом начнет падать. Процесс откачки пара из-под колокола насоса до полного испарения воды удобно схематически представить так.
В сосуде находится насыщающий водяной пар, масса которого равна массе воды в стакане и давление которого при работе насоса остается неизменным. Температура пара, а значит, и давление, известны, и требуется определить время, необходимое для его удаления при заданной скорости откачки. Применяя к данному воображаемому состоянию насыщающего пара уравнение Менделеева – Клапейрона, можно определить объем пара, а затем и время, необходимое для его откачки, зная производительность насоса. Нетрудно заметить, что это время и будет равно искомому времени испарения воды под колоколом.
Предположим, водяной пар массой m при температуре Т насыщает пространство объемом V и производит давление рн.п. Тогда
(1)
Если насос, откачивая пар, захватывает объем V0 за время τ0, то производительность насоса (скорость откачки) будет равна:
(2)
и весь пар, находящийся в объеме V, насос откачает за время
(3)
Это и есть время испарения всей воды.
Давление насыщающих паров при Т=280 К находим из таблицы: рн.п.=7.5 мм рт. ст.= 103 н/м2.
Из уравнений (1)– (3) получим искомое время:
Пример 2. В запаянной трубке объемом V=0.4 л находится водяной пар под давлением рп=8.5·103 н/м2 при температуре Тп=423 К. Какое количество росы выпадает на стенках трубки при охлаждении воды до температуры Тн.п.=295 К?
Решение. В задаче рассматривают два состояния пара в запаянной трубке – до и после охлаждения. В первом состоянии при 423 К пар был ненасыщающим, поэтому при его изохорическом охлаждении, начиная с некоторой температуры (точки росы), пар станет насыщающим и дальнейшее понижение температуры до 295 К вызовет его частичную конденсацию.
Происходит ли конденсация пара при изохорическом понижении температуры от значения Т1 до Т2, если об этом не сказано в условии задачи, можно установить самим, зная плотность или давление пара. С помощью таблиц нужно только определить, будет ли температура росы Тр > T2 или нет, В нашем примере это неравенство имеет место, следовательно, пар конденсируется.
Чтобы определить количество росы, выпавшей на стенках трубки, необходимо найти массу пара при каждой из заданных температур и вычесть из первого результата второй. Для нахождения самих масс удобно воспользоваться уравнением Менделеева – Клапейрона, составив его для каждого из двух состояний пара.
Обозначим параметры состояния пара до его охлаждения через pп, V, Тп и будем считать, что его масса равна mп. Тогда
(1)
После охлаждения и конденсации, когда пар в трубке будет насыщающим, его масса станет равной mн.п, а параметры примут значение pн.п, V и Тн.п. Для насыщающего дара
(2)
При составлении этого уравнения мы не учитывали объем, занимаемый каплями, и считали давление насыщенного пара известным, так как температура его Тн.п дана.
Для определения массы росы, выпавшей на стенках трубки, составляем вспомогательное уравнение:
(3)
где m – искомая масса росы. Этим уравнением условие задачи исчерпывается полностью.
Решая уравнения (1)–(3) совместно, находим:
Пример 3. В комнате размером V=10x5x3 м3 поддерживается температура Т1=293 К; а точка росы равна Т2=283 К. Определите относительную влажность воздуха и количество водяных паров, содержащихся в комнате.
Решение. Если воздух в комнате содержит некоторое количество водяных паров, то при понижении температуры до точки росы эти пары становятся насыщающими. В тех случаях, когда задана точка росы, как, например, в нашей задаче, можно рассмотреть два состояния пара в комнате: при данной температуре Т1 и температуре росы Т2. Каждое из этих состояний описывается уравнением Менделеева – Клапейрона и формулой относительной влажности. Давление насыщающих, паров можно считать при этом известным, так как известна их температура (точка росы).
Допустим, что пар находящийся в комнате объемом V, при температуре T1 создает давление p1 и имеет массу mп тогда
(1)
Если при этой температуре давление насыщающих паров равно р1н, то относительная влажность воздуха в комнате
(2)
поскольку истинное давление паров в комнате – p1. В случае понижения температуры до Т2 (точки росы) пар в комнате стал бы насыщающим и его давление было бы равно р2н. Для этого состояния пара мы могли бы записать:
(3)
так как масса пара в комнате остается неизменной.
В уравнениях (1)–(3) содержится три неизвестные величины – В, mп, которые требуется определить, и давление p1. Решая уравнения совместно относительно искомых неизвестных, получим:
Пример 4. 1 м3 влажного воздуха при относительной влажности В=60%, температуре Т=293 К и нормальном атмосферном давлении имеет массу М=1.2004 кг. Определите давление насыщающего водяного пара при температуре Т.
Решение. Влажный воздух представляет смесь сухого воздуха и водяного пара. По условию задачи даются величины, характеризующие эту смесь в целом, и требуется определить параметр одного из газов, входящих в смесь, – давление насыщающего пара.
Для решения задачи нужно рассмотреть каждый компонент газа, составив для каждого из них уравнение состояния. Кроме того, необходимо будет учесть, что масса М и давление влажного воздуха р складываются соответственно из масс и давлений сухого воздуха и пара:
(1)
(2)
Рассмотрим сначала воздух без пара. Обозначим параметры состояния воздуха в заданном объеме через рв, V, Т, тогда
(3)
где μв=29 кг/кмоль—киломолекулярная масса сухого воздуха. Пар, находящийся в этом же пространстве, будет иметь давление рп, объем V и температуру Т. Для него
(4)
и, кроме того,
(5)
где pн.п – искомое давление насыщающих паров при температуре Т. Из уравнений (1)–(5) находим:
Пример 5. В сосуде находится воздух, температура которого Т1=283 К и влажность В=60%. Как изменится влажность воздуха и его давление, если воздух нагреть до T2=373 К и в три раза уменьшить объем? Начальное давление сухого воздуха p1==3.85·104н/м2, давление насыщающих паров воды при 283 К равно рн1=1.2·103 н/м2.
Решение. Нам даны два состояния смеси сухого воздуха с паром при разных температурах. Как видно из условия задачи, в процессе нагревания сосуда меняются все три параметра состояния и воздуха, и пара. Чтобы выбрать исходные уравнения для решения задачи, надо прежде всего установить, изменяется ли масса пара при его переходе во второе состояние или нет. Сделать это можно следующим образом. С помощью объединенного газового закона надо найти давление рп2 пара при температуре Т2=373 К и сравнить его с давлением насыщающего пара при этой температуре рн2=1.01·105 н/м2. Так как большего давления, чем рн2, пар при данной температуре иметь не может, то, если окажется, что рп2 > рн2, это будет означать, что происходила конденсация, если же рп2 < рн2, то при переходе во второе состояние масса пара не менялась — его недостаточно, чтобы создать давление рн2. Расчет показывает (предлагаем его сделать самим читателям), что в нашем примере рп2 < рн2, т. е. пар не конденсируется, и, следовательно, к параметрам пара применимо уравнение объединенного закона, поскольку масса газа остается одной и той же.
При составлении системы уравнений для нахождения изменения относительной влажности достаточно ограничиться (в данной задаче) лишь рассмотрением пара, так как все величины по условию задачи относятся только к нему.
Допустим, что в начальном состоянии при температуре Т1 пар, находящийся во влажном воздухе, имел давление рп1 и объем Vl, а после нагревания сосуда до температуры Т2 — рп2 и V2. Тогда согласно объединенному газовому закону должно быть:
(1)
Относительная влажность воздуха до нагревания:
(2)
после нагревания она станет равной:
(3)
Ее изменение
(4)
Под рн1 и рн2 здесь подразумевается давление насыщающего пара при температурах Т1 и Т2.
Совместное решение уравнений (1)–(4) относительно ΔВ при условии, что 3V2= Vl, дает:
Знак «минус» означает, что В2<Bl т. к. во втором состоянии влажность воздуха уменьшилась.
Изменение Δр полного давления влажного воздуха равно сумма изменений давлений сухого воздуха и пара:
. (5)
Так как масса воздуха не изменялась и воздух занимает тот же объем, что и пар, то
(6)
где p2 — давление сухого воздуха после нагревания сосуда.
Решая совместно уравнения (1), (2), (5) и (6) относительно Δр, получим:
Ответы и решения
А нету! ;)
Рис. 2.1.
Рис. 3.1.
Рис. 3.2.
Рис. 3.3.
Рис. 3.4.
Рис. 3.5.
Рис. 3.6.
Рис. 3.7.
Рис. 3.9.
Рис. 3.8.
Рис.3.10
Рис. 3.11.
ис. 4.1.