Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

. Определённый интеграл

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 10.5.2024

ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Определённый интеграл. Его свойства

1. Определение определённого интеграла

Рассмотрим некоторую функцию , определённую на промежутке , рис 1.

Выполним 5 операций.

1. Разобьём промежуток точками

произвольным образом на частей. Обозначим , а наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через , т.е. будем называть рангом дробления.

2. На каждом частичном участке возьмём произвольную точку и вычислим в ней значение функции .

3. Составим произведение

4. Составим сумму

Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана.

5. Измельчая дробление (за счёт увеличения числа точек дробления ) и устремления при этом ранг дробления к нулю , т.е. увеличивая число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков ), будем находить предел последовательности интегральных сумм

Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек , то он называется определённым интегралом от функции по промежутку и обозначается так:

Итак, мы привели ни что иное, как развёрнутое определение определённого интеграла от функции по промежутку . Принимая во внимание сказанное выше, можем дать определение определённого интеграла более компактно так:

где -нижний предел интегрирования, - верхний предел. В этом случае, когда для функции существует определённый интеграл , функция называется интегрируемой на промежутке . Заметим, что в приведённом определении предполагается, что

Теорема 2. (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру)

Если функция непрерывна по переменной для и имеет непрерывную по обеим переменным производную , интеграл сходится, а интеграл сходится равномерно относительно из , то имеет место соотношение

(2)

Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.

Приведённые выше формулы (1) и (2) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру и интегрирования по переменной (для определённых или несобственных интегралов, то говорят, что функции и можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов.

Пример 3. Вычислить интеграл с помощью интеграла, зависящего от параметра .

Решение. Заметим, что интеграл представляет собою функцию переменной , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная функция и её частная производная по

непрерывны при всех и любом значении . Следовательно, функцию можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим

, т.е. .

Интегрируя получим:

Для определения значения постоянной положим в этом тождестве ; т.к. , то получаем . Итак, получим

При , в частности, имеем .

Пример 4 (Интеграл Дирихле).

Вычислить .

Решение. Будем считать, что данным интегралом является функция параметра :

и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейбница.

1. Подынтегральная функция и её частная производная непрерывны для всех и любом .

2. Данный интеграл сходится (абсолютно).

Действительно, принимая во внимание, что , получим

3. Интеграл от функции мажорируется сходящимся интегралом:

Таким образом имеем:

Откуда

Учитывая, что и полагая , находим , следовательно

В частности

Положим здесь , тогда получим часто встречающийся интеграл Дирихле

§8 Гамма функция (интеграл Эйлера 2го рода)

1. Определение гамма-функции.

Не элементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных равенством

(1)

называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2го рода. Эта функция относится к числу так называемых специальных функций, с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статики и пр.. имеет две особые точки и . Представим интеграл (1) в виде суммы двух интегралов

Оба интеграла сходятся равномерно по параметру на любом конечном отрезке . Действительно, пусть и . Тогда при и , и, следовательно интеграл сходится равномерно на .

Аналогично при , сходится, а сходится равномерно на .

Кроме того оба интеграла непрерывны по параметру на произвольном отрезке , а поэтому функция непрерывна .

Значит при функция непрерывно дифференцируема, причём

Применяя метод математической индукции можно доказать, что имеет производную nго проядка при , причём

в частности

Замечание. Сделаем подстановку в интеграле (1), тогда получим

Заменяя здесь переменную интегрирования на , получим выражение для гамма-функции в виде

2. Свойства гамма-функции

Попробуем взять по частям интеграл, представляющий

т.е. .

Получили формулу приведения для гамма-функции.

Вычислим значения

Имеем

, т.е. .

, т.е.

В частности , следовательно .

Т.к. функция определена для любого положительного , то с помощью гамма-функции можно распространить понятие факториала на любое положительное число функций .

4. Если , где , то будет

т.е. вычисление гамма-функции от любого аргумента можно свести к вычислению её от аргумента можно свести к вычислению её от аргумента, заключённого между и .

3. Исследование гамма-функции.

Ранее мы установили, что гамма-функция непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для , кроме того , следовательно в силу теоремы Ролля

такая, что .

можно показать, что и в этой точке гамма-функция имеет минимум, причём . Учитывая, что , нетрудно заметить, что .

Принимая во внимание проведённое исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для (рис 1).

рис 1

Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для отрицательных . Окончательно график имеет вид (рис 1).

рис 10

рис 9

рис 8

рис 6

рис 5

рис 4

рис 3

EMBED Equation.DSMT4

рис 11

EMBED Equation.DSMT4

рис 12

EMBED Equation.DSMT4

рис 13

EMBED Equation.DSMT4

рис 14

EMBED Equation.DSMT4

если

EMBED Equation.DSMT4

рис 1

EMBED Equation.DSMT4

рис 3

EMBED Equation.DSMT4

рис 4

EMBED Equation.DSMT4

рис 5

EMBED Equation.DSMT4

рис 6

EMBED Equation.DSMT4

рис 1

EMBED Equation.DSMT4

рис 7

EMBED Equation.DSMT4

т.е.

если

EMBED Equation.DSMT4

рис 2

EMBED Equation.DSMT4

рис 3а

EMBED Equation.DSMT4

рис 2

EMBED Equation.DSMT4

рис 1

EMBED Equation.DSMT4

рис 3б

EMBED Equation.DSMT4

1. Тема- Ліна Костенко
2. Тема- Законодательное регулирование бухгалтерского учета.
3. Тема- Приватизация объектов государственной и муниципальной собственности 1
4. I. Понимая свою ответственность за огромную державу молодой монарх счел целесообразным на первых порах не пр.
5. Операторы цикла
6. Право нанимателя на сдачу жилого помещения в поднаем и на вселение временных жильцов
7. ОРГАНИЗАЦИЯ КРЕДИТОВАНИЯ В КОММЕРЧЕСКИХ БАНКАХ.html
8. ВНЕШНЯЯ ОБОРОННАЯ ПОЛИТИКА РФ ДИПЛОМАТИЧЕСКАЯ СЛУЖБА Ю
9. Ще до цього часу на сході села простягається так званий Гулецький ліс який через видолинки сіножатей тягнет
10. Статья 43. Обязанности и ответственность обучающихся 1
11. 2005 N 1319 от 23.12.2005 N 1522 от 15
12. передавать сообщать ~ это то в чем каждый из нас участвует ежедневно но лишь немногие делают это согласо
13. Лабораторна робота ’ 1 Обробка отворів та розробка управляючих програм для вертикальносвердлувального ве
14. тематических платежей mortiztion pyments в течение всего периода займа
15. Реферат- Понятие судебно-бухгалтерской экспертизы
16. Вещество с наиболее выраженными окислительными свойствами 1 HNO3 2 N2O3 3 NO
17. Соціальна педагогіка освітньокваліфікаційний рівень
18. Керування географічно-розподіленими проектами у Web-середовищі
19. О службе в органах местного самоуправления
20. Государственное регулирование экономики Нормативная литература Конституция Российской Федерац

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе