Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННОЙ ЭДС И ПОСТОЯННОГО ТОКА
Электрические цепи являются схемами замещения реальных электротехнических устройств. В линейных электрических цепях с источниками постоянной ЭДС и источниками постоянного тока в установившемся режиме протекают постоянные токи. В рассматриваемом режиме отсутствует влияние на токи индуктивных и емкостных элементов, поэтому указанные цепи содержат только источники и резисторы. Состояние электрической цепи определяется законами Кирхгофа.
Рассмотрим основные методы анализа электрических цепей при постоянных токах с использованием численных решений.
1.1. Использование метода свёртки
Метод свёртки используется при определении значений неизвестных токов в электрических цепях с одним источником электрической энергии или при определении частичных составляющих неизвестных токов методом наложения. Операция свёртки пассивной части электрической цепи позволяет найти эквивалентное сопротивление цепи, которое является потребителем электрической энергии источника, а затем определить ток через источник ЭДС. После этого находят все остальные неизвестные токи в ветвях электрической цепи, постепенно разворачивая её к исходной схеме.
При свёртке используют эквивалентные преобразования пассивной цепи. Например, замена последовательного соединения резисторов одним эквивалентным; замена параллельного соединения резисторов одним эквивалентным; эквивалентные замены треугольника трёхлучевой звездой и трёхлучевой звезды треугольником.
1.1.1. Преобразования пассивных электрических цепей
Пример 1.1
На рис. 1.1 показана ветвь с последовательным соединением резисторов. Через все резисторы течёт один и тот же электрический ток. Это следует из принципа непрерывности электрического тока.
Рисунок 1.1
Из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для данной ветви:
следует, что эквивалентное сопротивление ветви равно сумме сопротивлений резисторов. Определение эквивалентного сопротивления ветви, например с тремя известными резисторами, в среде MathCAD оформляется следующим образом:
Индексация резисторов заставляет программу формировать массив данных в виде столбцовой матрицы. По умолчанию первый член массива имеет нулевой индекс (). В этом случае в столбце R появится первый член, равный нулю (смотри следующий пример). Его можно исключить, изменив индекс первого члена массива указанным выше образом. Использование массива данных позволяет оформить описание операции суммирования компактным образом.
Пример 1.2
На рис. 1.2 показано параллельное соединение резисторов между двумя узлами. Напряжение на всех резисторах одинаковое.
Рисунок 1.2
Из уравнения, составленного по первому и второму законам Кирхгофа для данной цепи:
следует, что эквивалентная проводимость всех ветвей равна сумме проводимостей отдельных ветвей. Определение эквивалентного сопротивления данного участка цепи, например с четырьмя заданными резисторами (360, 410, 530, 430), оформляется следующим образом:
Отсутствующему в массиве исходных данных элементу G0 программой присвоено значение ноль.
Пример 1.3
На рис. 1.3 показано эквивалентное преобразование соединения резисторов треугольником в соединение трёхлучевой звездой и наоборот. Условие эквивалентности цепей требует неизменности токов, подтекающих к узлам и неизменности напряжений между узлами. Чтобы выполнить условие эквивалентности необходимо пересчитывать сопротивления резисторов [1, 3].
Рисунок 1.3
Во многих случаях без данного преобразования нельзя выполнить свёртку сложной пассивной электрической цепи к одному эквивалентному резистору.
Определение сопротивлений резисторов после преобразования осуществляется по известным формулам. Например, даны сопротивления ветвей треугольника. Определим сопротивления ветвей эквивалентной звезды. Это оформляется следующим образом:
Если даны сопротивления ветвей звезды, то расчёт сопротивлений ветвей треугольника оформляется следующим образом:
В последних примерах формирование массивов данных не требуется, поэтому для обозначения резисторов используются строчные цифры.
1.1.2. Численный анализ электрической цепи с одним источником
электрической энергии
Для определения неизвестных токов в электрической цепи с одним источником электрической энергии используется метод свёртки [1, 3]. Для определения токов в параллельных ветвях используют формулу разброса токов (токи в параллельных ветвях обратно пропорциональны сопротивлениям ветвей). Далее находят остальные неизвестные токи по мере разворачивания цепи к исходной схеме.
Пример 1.4
Определим неизвестные токи в заданной электрической цепи (рис. 1.4).
Для свёртки пассивного двухполюсника, который подключен к источнику, необходимо выполнить преобразование звезды в треугольник (рис. 1.5).
Рисунок 1.4 Рисунок 1.5
Затем выполним последовательно преобразования, необходимые для свёртки цепи к одной ветви (рис. 1.6, 1.7, 1.8).
Выполним численный анализ цепи. Введём в листинг решения параметры цепи:
Рассчитаем сопротивления ветвей на этапах преобразования цепи:
Рисунок 1.6 Рисунок 1.7 Рисунок 1.8
Рассчитаем соответствующие токи в ветвях, используя промежуточные схемы и формулу разброса токов:
Из результатов вычислений видно, что реальное направление тока противоположно направлению, выбранному предварительно.
Для проверки правильности вычислений составим уравнение баланса мощностей. Определим мощность, отдаваемую источником, и суммарную мощность, потребляемую резисторами:
Из равенства мощностей источника и потребителей можно сделать вывод о верности найденных значений токов и их направлений.
1.1.3. Численный анализ электрической цепи методом наложения
В основе метода наложения лежит принцип суперпозиции, поэтому его можно использовать только для анализа линейных электрических цепей. Реальные токи в ветвях находят как суперпозицию частичных токов. Частичные токи определяются как результат действия в электрической цепи каждого источника в отдельности, при этом остальные источники замещаются их внутренним сопротивлением. Внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю, а у источника тока внутреннее сопротивление равно бесконечности. Частичные токи находят методом свёртки.
Пример 1.5
Определим все неизвестные токи в электрической цепи (рис. 1.9). Подготовим необходимые схемы замещения (рис. 1.10, 1.11, 1.12) для определения частичных токов.
Рисунок 1.9 Рисунок 1.10
Рисунок 1.11 Рисунок 1.12
Выполним численный анализ цепи. Введём параметры цепи:
Определим частичные токи от действия источника ЭДС по первой схеме замещения (рис. 1.10).
Определим частичные токи от действия источника тока по соответствующим схемам замещения (рис. 1.11, 1.12). Для этого вначале выполним преобразование треугольника в звезду и определим сопротивления ветвей звезды, которая замещает треугольник:
Определим реальные токи в ветвях схемы как сумму частичных токов.
Видно, что реальные направления первого и пятого токов противоположны направлениям, выбранным предварительно.
Для проверки правильности решения составим уравнение баланса мощностей. Сравним мощность, отдаваемую источниками и мощность, потребляемую резисторами. Предварительно найдём напряжение на источнике тока.
Условие равенства мощностей выполнено, следовательно, результаты анализа цепи методом наложения верны.
В данном примере программой сформированы массив сопротивлений ветвей и три массива значений токов. Массивы частичных токов обозначены строчными цифрами, соответствующим штрихам на схемах замещения. Промежуточные значения сопротивлений также обозначены строчными цифрами, чтобы они не попали в массив сопротивлений ветвей исходной электрической цепи.
1.1.4. Расчёт и оформление потенциальной диаграммы
Потенциальная диаграмма является графиком, отражающим зависимость значений потенциала заданных точек цепи от сопротивления цепи, начиная от некоторой точки, обычно с нулевым потенциалом, но не обязательно.
Приведём пример оформления потенциальной диаграммы для одного контура (рис. 1.13), вырванного из сложной цепи, параметры элементов которой известны, а токи найдены.
Рассчитаем потенциалы всех пронумерованных точек. Направление обхода выбираем по часовой стрелке.
Рисунок 1.13
Введём в листинг исходные данные:
Определим координаты точек учитывая, что внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю.
Построим график в декартовой системе координат (рис. 1.14).
Рисунок 1.14
Нумерация точек наложена после переноса графика в программу Word.
1.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СистемЫ уравнений, составленнОЙ
по законам Кирхгофа
Состояние любой электрической цепи в любой момент времени определяется системой уравнений, составленной по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов, падений напряжений и ЭДС. В цепи с постоянными источниками мгновенные значения совпадают с постоянными значениями.
При составлении уравнений используют следующие правила. Число уравнений в системе должно быть равно числу неизвестных токов. Уравнения по первому закону Кирхгофа составляются для всех узлов электрической цепи, исключая один любой узел. Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых контуров.
Для составления уравнений вводят условно положительные направления неизвестных токов, которыми задаются произвольно. В уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, втекающие в узел токи и вытекающие токи должны быть разного знака. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в независимых контурах задаются направлениями обхода. Условно положительные направления падений напряжений на пассивных участках электрической цепи совпадают с условно положительными направлениями токов. Знаки слагаемых определяют, сравнивая направления падений напряжений и ЭДС с направлением обхода. При совпадении направлений берут плюс, в противном случае берут минус.
Наиболее просто научиться составлять и использовать рассматриваемую систему уравнений на готовых примерах, которые приведены ниже.
Пример 1.6
На рис. 1.15 приведена электрическая цепь постоянного тока, которая содержит 8 ветвей с неизвестными токами, одну ветвь с источником тока и шесть узлов.
Рисунок 1.15
Для определения значений неизвестных токов надо составить систему из восьми уравнений, из них пять уравнений составляются по первому закону Кирхгофа, а три уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. Направления неизвестных токов и направления обхода контуров выбраны произвольно.
Исключим нижний средний узел. В результате получим следующую систему уравнений.
(1.1)
Систему уравнений (1.1) запишем в матричной форме
, (1.2)
где в левой части уравнения первый сомножитель – квадратная матрица коэффициентов, второй сомножитель – столбцовая матрица неизвестных токов, а в правой части – столбцовая матрица соответствующих источников.
Указанные матрицы имеют следующий вид:
, , .
Оформим листинг численного решения. Вначале зададимся исходными данными.
Оператор ORIGIN определяет значение индекса первого члена формируемых массивов. Для решения системы уравнений надо подготовить в листинге только матрицы А и В используя панель matrix.
Решение линейной системы уравнений находим с помощью следующего оператора:
Ответом является столбцовая матрица токов. Для компактности записи перейдём к строковой матрице с помощью оператора транспонирования.
Решение линейной системы уравнений может быть найдено и с помощью следующего матричного уравнения:
Ответом задачи определения неизвестных токов является величина и направление всех искомых токов. Так как направлениями токов мы задались произвольно, то минус в ответе говорит об ошибке в выборе направления. В данном примере направления первого и шестого токов надо изменить на противоположные.
Убедимся в достоверности полученных значений токов. Для этого проверим баланс мощностей источников и приёмников в рассматриваемой электрической цепи.
Найдём значение мощности, отдаваемой источниками. Уравнение составим по исходной схеме цепи с произвольно выбранными направлениями токов, а токи возьмём с полученными выше знаками.
Сумма в круглых скобках даёт напряжение на зажимах источника тока.
Найдём значение суммарной мощности, рассеиваемой резисторами.
Баланс мощностей выполняется. Последнее уравнение получилось компактным, так как использовались массивы сопротивлений и токов с согласованными индексами. В предыдущем уравнении индексы не согласованы, поэтому потребовалась развёрнутая запись.
При анализе сложных электрических цепей возникают трудности на этапе выбора независимых контуров. Устранить их можно, если использовать для составления уравнений направленный граф цепи. В этом случае система уравнений в матричной форме принимает следующий вид.
, (1.3)
где А – прямоугольная матрица соединений, В – прямоугольная матрица контуров, R – диагональная матрица сопротивлений ветвей, Е – матрица столбец ЭДС ветвей, J – матрица столбец источников тока, О – матрица столбец нулей.
Матричное уравнение объединяет уравнения, составленные по первому и второму законам Кирхгофа. Знаки элементов матриц определяются исходя из условно положительных направлений, указанных на обобщённой ветви (рис. 1.16), и направлений ветвей графа. Предварительно из электрической цепи исключаются вырожденные ветви с помощью соответствующих эквивалентных преобразований (расщепление узлов и расщепление ветвей).
Рисунок 1.16
Рассмотрим методику составления и решения матричного уравнения (1.3) на следующем примере.
Пример 1.7
На рис. 1.17 приведена исследуемая электрическая цепь.
Рисунок 1.17
На рис. 1.18 приведён направленный граф данной цепи с произвольно выбранными направлениями ветвей. На рис. 1.19 приведено одно из возможных деревьев графа.
Рисунок 1.18 Рисунок 1.19
Подготовим листинг для решения данной задачи. Составим матрицы соединений и контуров, используя следующие правила.
Строки матрицы соединений соответствуют узлам графа за исключением нулевого узла. Столбцы соответствуют ветвям графа. Элементы матрицы равны: нулю, если данная ветвь не соединена с данным узлом; единице, если данная ветвь соединена с данным узлом и направлена от узла; минус единице, если данная ветвь соединена с данным узлом и направлена к узлу.
Строки матрицы контуров соответствуют связям дерева графа. Столбцы соответствуют ветвям графа. Элементы матрицы равны нулю, если данная ветвь не входит в контур, образованный данной связью; равны единице, если данная ветвь входит в контур, образованный данной связью, и направление её совпадает с направлением обхода контура, который берётся по направлению связи; равны минус единице, если данная ветвь входит в контур, образованный данной связью, а направление её не совпадает с направлением обхода контура.
Для графа (рис. 1.18) матрицы соединейний и контуров имеют следующий вид:
Зададимся параметрами элементов электрической цепи.
Подготовим диагональную матрицу сопротивлений ветвей.
Подготовим матрицы источников и матрицу нулей.
В системе уравнений используются столбцовые матрицы. Для компактности записи использовались строковые матрицы и оператор транспонирования.
Левую и правую части матричного уравнения (1.3) получим с помощью оператора слияния матриц по вертикали.
Найдём решение полученной системы линейных уравнений.
Чтобы убедиться, что токи найдены правильно, проверим баланс мощностей источников и приёмников электрической энергии в заданной цепи. Предварительно найдём токи в ветвях, содержащих резисторы, и напряжения на обобщённых ветвях.
При определении напряжений использован оператор векторизации. Этот оператор предназначен для работы с массивами. Он берётся с панели Matrix и позволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива.
Найдём отдельно мощности источников ЭДС и источников тока, и суммарную мощность всех источников.
Найдём мощность, рассеиваемую резисторами электрической цепи.
Баланс мощностей выполняется.
Токи в резисторах R11 и R12 обратно пропорциональны их сопротивлению. Найдём их по формулам разброса подтекающего к узлу тока.
Остальные токи в ветвях с резисторами найдены выше и имеют следующие значения:
Знаки полученных токов позволяют указать на схеме электрической цепи их реальное направление. Погрешность суммы токов в резисторах R11 и R12 по сравнению с током Ir9 объясняется ограниченным количеством разрядов числа, выводимого на экран монитора. Точные значения можно получить следующим образом:
Необходимый оператор (стрелка) берётся с панели Symbolic.
В задачах анализа линейных электрических цепей система уравнений, составленная по законам Кирхгофа, используется редко из-за её громоздкости. В основном используют метод контурных токов или метод узловых потенциалов, которые позволяют составить более компактные системы уравнений. Рассмотрим использование этих методов в следующих разделах.
Результаты вычислений можно выводить в виде таблиц и в виде матриц. Для этого надо по траектории Format, Result Format, Display Options, Matrix display style установить Table либо Matrix. В противном случае программа выбирает стиль самостоятельно.
1.3. Использование метода контурных токов
В основе метода контурных токов лежит принцип суперпозиции. Задача анализа электрической цепи решается в два этапа. На первом этапе находят условные контурные токи, которые протекают в независимых контурах цепи. На втором этапе находят реальные токи в ветвях как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов, протекающих в этих ветвях.
1.3.1. Использование системы уравнений, составленной по схеме
электрической цепи
Число неизвестных контурных токов равно числу независимых контуров. Выбирают произвольное направление неизвестных контурных токов. Источники тока создают известные контурные токи, для которых выбирают произвольные контуры, включающий только одну ветвь с источником тока.
Система уравнений, позволяющая найти n неизвестных контурных токов, имеет вид:
, (1.4)
где Im m – неизвестные контурные токи; Jp – известные контурные токи; Rm m – сумма сопротивлений ветвей, образующих контур m; Rk m – сумма сопротивлений ветвей, по которым течёт контурный ток k и контурный ток m (берётся со знаком плюс, если направления контурных токов в ветвях одинаковые, в противном случае берётся со знаком минус); Em m – алгебраическая сумма ЭДС, входящих в данный контур.
Рассмотрим примеры составления системы уравнений для контурных токов и определения токов в ветвях электрической цепи.
Пример 1.8
На рис. 1.20 приведена схема электрической цепи, в которой надо найти неизвестные токи. Электрическая цепь содержит три независимых контура. В этих контурах выбраны произвольные направления неизвестных контурных токов. Выбран контур с известным контурным током, равным току источника тока. По методу контурных токов на первом этапе надо составить и решить систему из трёх уравнений относительно контурных токов. Запишем её в общем виде:
. (1.5)
Оформим листинг решения задачи. Зададимся исходными данными.
Рассчитаем коэффициенты уравнений системы (1.5).
Рисунок 1.20
Составим матрицу коэффициентов левой части системы (1.5) и матрицу правой части.
Найдём контурные токи.
Найдём неизвестные токи в ветвях электрической цепи, как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов.
На рис. 1.20 направления токов в ветвях проставлены после выполнения вычислений, поэтому шестой ток направлен против контурных токов, так как он получился отрицательным.
Проверим равенство мощностей источников и потребителей электрической энергии.
Баланс мощностей выполняется.
1.3.2. Использование графа электрической цепи
При анализе сложных электрических цепей возникают трудности на этапе выбора независимых контуров. Устранить их можно, если использовать для составления контурных уравнений направленный граф цепи. В этом случае система контурных уравнений в матричной форме принимает следующий вид:
, (1.6)
где В – матрица контуров, правила составления которой с помощью направленного графа цепи рассматривались ранее; Ik – матрица столбец неизвестных контурных токов; R – диагональная матрица сопротивлений ветвей; Е – матрица столбец ЭДС ветвей, J – матрица столбец источников тока.
Рассмотрим методику использования уравнения (1.6) на следующем примере.
Пример 1.9
На рис. 1.21 приведена электрическая цепь постоянного тока, которая содержит вырожденные ветви. Это Е3 и J1.
Рисунок 1.21
На рис. 1.22 приведена электрическая цепь после её эквивалентного преобразования с целью исключения вырожденных ветвей. Для этого использовались операции расщепление узла и расщепление ветви. На рис. 1.23 приведён направленный граф данной цепи с произвольно выбранными направлениями ветвей. На рис. 1.24 приведено одно из возможных деревьев графа.
Подготовим листинг решения данной задачи. Зададимся исходными данными. При определении знаков источников в соответствующих матрицах используем условно положительные направления токов и ЭДС в обобщённой ветви (рис. 1.25).
Рисунок 1.22
Рисунок 1.23 Рисунок 1.24
Рисунок 1.25
Составим матрицы источников и сопротивлений ветвей, затем перейдём к диагональной матрице сопротивлений ветвей.
Составим матрицу контуров, используя дерево графа и его связи (см. Пример 1.7).
Рассчитаем левую и правую части матричного уравнения и найдём контурные токи.
Определим неизвестные токи в ветвях заданной цепи, как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов.
Ток в вырожденной ветви с источником ЭДС Е3 найдём с помощью первого закона Кирхгофа:
Определим напряжения на ветвях цепи и убедимся в балансе мощностей источников и приёмников.
Баланс мощностей выполняется.
При определении напряжений на резисторах использовался оператор векторизации. Показанное оформление вычислений позволяет сделать листинг компактным.
На последнем этапе необходимо показать на схеме электрической цепи реальные направления токов. Если токи положительные, то необходимо взять направления ветвей графа, а если токи отрицательные, то берут противоположные направления.
Для исключения вырожденной ветви с источником ЭДС необходимо параллельно источнику подключить столько таких же источников, сколько ветвей подключено к нему. Затем узел расщепляетсяи исчезает из схемы.
Для исключения вырожденной ветви с источником тока необходимо последовательно с ним включить столько таких же источников, сколько ветвей охватывает источник тока. Точки соединения источников соединяются с ближайшими узлами. Затем вырожденная ветвь расщепляется и исчезает из схемы.
Пример 1.10
Выполним исследование электрической цепи (рис. 1.26) при вариации тока источника тока. Для определения контурных токов используем способ решения системы уравнений методом последовательных приближений (вычислительный блок Given / Find).
Введём в листинг параметры элементов цепи:
Определим коэффициенты системы уравнений. Четвёртый контурный ток известен и равен току источника тока. Для него уравнение не составляется, но он учитывается в уравнениях для неизвестных контурных токов.
Рисунок 1.26
Зададимся рядом значений тока источника и нулевыми начальными значениями искомых токов. Решение оформляется следующим образом:
Знак равенства в уравнениях берётся с панели Boolean.
Определим реальные токи в ветвях как суперпозицию контурных токов при всех значениях тока источника тока.
Видно, что некоторые токи в ветвях будут менять направление в зависимости от величины тока источника.
Для проверки правильности анализа составим уравнение баланса мощностей. Сравним мощность, отдаваемую источниками и мощность, потребляемую резисторами схемы при всех значениях тока источника тока. Предварительно найдём напряжения на источнике тока для всех значений тока источника тока.
Равенство мощностей источников и приёмников выполняется во всех случаях, следовательно, результаты анализа верны.
При определении мощности, отдаваемой источником тока, использовалась операция векторизации, которая берётся с панели Matrix.
1.4. Использование метода УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Метод узловых потенциалов используется в тех случаях, когда в исследуемой электрической цепи количество узлов равно или меньше количества независимых контуров. На первом этапе определения неизвестных токов ищут значения потенциалов узлов, считая, что один из узлов имеет нулевой потенциал. В этом случае количество уравнений в системе на единицу меньше количества узлов в исследуемой электрической цепи. На втором этапе по найденным потенциалам узлов находят напряжения на ветвях, а затем и неизвестные токи.
1.4.1. Использование системы уравнений, составленной по схеме
электрической цепи
Если электрическая цепь не содержит вырожденных ветвей с источниками ЭДС, то система уравнений относительно n неизвестных потенциалов имеет вид:
, (1.7)
где - неизвестный потенциал узла m; Gm m – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле m; Gp m – сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы p и m; Im m – узловой ток узла m, который равен алгебраической сумме токов короткого замыкания ветвей, сходящихся в узле m. Ток короткого замыкания берётся с плюсом, если источник в ветви направлен к узлу, в противном случае берётся с минусом.
Рассмотрим примеры использования системы уравнений (1.7) для определения неизвестных токов.
Пример 1.11
На рис.1.27 приведена электрическая цепь, в которой надо найти неизвестные токи.
Электрическая цепь содержит четыре узла. Выберем нулевой узел и составим в общем виде систему уравнений относительно потенциалов оставшихся узлов.
. (1.8)
Оформим листинг решения задачи. Зададимся исходными данными.
Определим коэффициенты и правую часть системы уравнений (1.8).
Рисунок 1.27
Составим матрицу коэффициентов левой части системы (1.6) и матрицу правой части.
Найдём потенциалы узлов.
На втором этапе анализа найдём неизвестные токи в ветвях с помощью напряжений на ветвях и уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для каждой ветви.
Проверим баланс мощностей источников электрической энергии и приёмников.
Баланс мощностей выполняется.
Пример 1.12
Рассмотрим пример использования метода узловых потенциалов, когда в электрической цепи есть вырожденная ветвь с источником ЭДС. В этом случае число узлов с неизвестными потенциалами уменьшается, так как разность потенциалов на вырожденной ветви известна и равна ЭДС ветви.
На рис. 1.28 приведена электрическая цепь, в которой надо найти неизвестные токи.
Потенциал одного из узлов вырожденной ветви приравняем к нулю. В цепи останутся два узла с неизвестными потенциалами. Потенциал третьего узла равен ЭДС вырожденной ветви. Система уравнений по методу узловых потенциалов будет иметь следующий вид:
, (1.9)
где .
Оформим листинг решения задачи. Зададимся исходными данными.
Определим коэффициенты и правую часть уравнений (1.9).
Рисунок 1.28
Составим матрицу коэффициентов левой части системы (1.9) и матрицу правой части.
Найдём потенциалы узлов.
На втором этапе анализа найдём неизвестные токи в ветвях с помощью напряжений на ветвях и уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для каждой ветви. Ток в вырожденной ветви найдём по первому закону Кирхгофа.
Проверим баланс мощностей источников электрической энергии и приёмников.
Баланс мощностей выполняется.
1.4.2. Использование графа электрической цепи
При анализе сложных электрических цепей следует использовать направленный граф цепи. В этом случае система узловых уравнений в матричной форме принимает следующий вид.
, (1.10)
где А – матрица соединений, правила составления которой с помощью направленного графа цепи рассматривались ранее; Ф – матрица столбец неизвестных потенциалов; Y – диагональная матрица проводимостей ветвей; Е – матрица столбец ЭДС ветвей, J – матрица столбец источников тока ветвей.
Рассмотрим пример использования матричного уравнения (1.10).
Пример 1.13
На рис. 1.29 приведена электрическая цепь, в которой надо найти неизвестные токи методом узловых потенциалов. На рис. 1.30 приведён направленный граф данной цепи.
Оформим листинг решения задачи. Зададимся исходными данными.
Составим столбцовые матрицы ЭДС ветвей, источников тока ветвей и диагональную матрицу проводимостей ветвей. Для этого вначале составим столбцовую матрицу сопротивлений ветвей. Для определения знаков используем понятие условно-положительных направлений в обобщённой ветви, которое рассматривалось выше.
Рисунок 1.29
Рисунок 1.30
Составим матрицу соединений по правилам, которые рассматривались выше (см. Пример 1.7). Найдём левую и правую части матричного уравнения (1.8), а затем и неизвестные потенциалы.
Составим матрицу напряжений на ветвях. Учитывая большую длину, разделим её на две матрицы, а затем составим одну матрицу с помощью оператора слияния строковых матриц.
Найдём неизвестные токи, решая систему уравнений в матричной форме, составленную по второму закону Кирхгофа для ветвей схемы.
Используя прокрутку, можно увидеть в таблице значения всех найденных токов. Пятый, девятый и одиннадцатый токи отрицательные, следовательно, реальные направления данных токов противоположны направлениям соответствующих ветвей графа, которые были выбраны произвольно. Реальные направления токов наносятся на исследуемую электрическую цепь (рис. 1.29).
В заключение проверим баланс мощностей источников электрической энергии и приёмников.
Баланс мощностей выполняется.
Построим потенциальную диаграмму для контура, образованного ветвями графа 2-1-6-9-10.
При построении потенциальной диаграммы учтём промежуточные точки между источниками ЭДС и резисторами.
Составим матрицы координат.
Построим потенциальную диаграмму. Узловые точки на графике обозначим после его импортирования.
Рисунок 1.31
1.5. Численное исследование электрической цепи
методом эквивалентного генератора
Численные методы анализа электрических цепей позволяют выполнить исследования состояний цепи любой сложности. Для исследования режимов в одной ветви используют метод эквивалентного генератора. В этом случае пассивная часть исследуемой ветви рассматривается как нагрузка активного двухполюсника, который включает в себя всю остальную электрическую цепь. Объём вычислений уменьшается, так как нет необходимости рассчитывать все неизвестные токи.
Рассмотрим пример использования метода эквивалентного генератора для определения зависимости выделяемой мощности в резисторе заданной ветви сложной электрической цепи от сопротивления этого резистора.
Пример 1.14
На рис. 1.32 приведена исследуемая электрическая цепь.
Рисунок 1.32
Необходимо получить зависимость рассеиваемой мощности в резисторе R5 от значения его сопротивления. Данная зависимость является нелинейной. Найдём её в результате численного исследования цепи при заданных параметрах элементов.
Будем считать зажимы 1 и 2 зажимами активного двухполюсника, схема которого приведена на рис. 1.33. Схема замещения активного двухполюсника содержит элементы Rэ и Еэ, а исследуемая цепь принимает вид, приведённый на рис. 1.34. Эквивалентная ЭДС активного двухполюсника равна напряжению холостого хода на его зажимах, а эквивалентное сопротивление равно входному сопротивлению относительно его зажимов.
Покажем оформление листинга для численного решения поставленной задачи.
Введём заданные параметры исследуемой электрической цепи.
Определим эквивалентное сопротивление, заменив источники их внутренними сопротивлениями (RE = 0, RJ = ∞).
Рисунок 1.33 Рисунок 1.34
Определим напряжение холостого хода из контурного уравнения:
.
Для этого методом наложения найдём токи в резисторах.
Найдём напряжение холостого хода и ток в нагрузке активного двухполюсника при заданном сопротивлении R5.
Рассчитаем и построим зависимость мощности, рассеиваемой резистором R5, от величины его сопротивления. Обозначим сопротивление R5 текущей величиной r.
На рис. 1.35 приведена соответствующая зависимость. Видно, что при заданной величине сопротивления R5, в нём выделяется не максимальная мощность, хотя и близкая к ней.
Легко убедиться, что согласованный режим работы активного двухполюсника соответствует экстремуму полученной зависимости. Найдём его.
Рисунок 1.35
Вначале получим уравнение производной от зависимости (рис. 1.35). Для ограничения количества разрядов чисел, выводимых на рабочий стол, используем оператор float,n, который вводится в знаковое место перед стрелкой (панель Evaluation).
Скопируем выражение после стрелки и найдём его корень.
Решение даёт нам сопротивление, при котором в резисторе R5 выделяется максимальная мощность. Эквивалентное сопротивление активного двухполюсника равно такой же величине:
Полученные результаты подтверждают известный факт, что в согласованном режиме, когда эквивалентное сопротивление активного двухполюсника равно сопротивлению его нагрузки, в нагрузке выделяется максимальная мощность.
1.6. Диагностика сопротивлений РЕЗИСТОРОВ
В электрических цепЯХ постоянного тока
Задача определения реальных сопротивлений резисторов, включенных в электрическую цепь, относится к задачам диагностики. Это класс обратных задач. При диагностике электрических цепей необходимо по минимально возможному количеству измерений токов и напряжений определить сопротивления всех резисторов электрической цепи. Особенностью диагностики является то, что не ко всем элементам электрической цепи возможен доступ для проведения измерений, особенно это касается измерений токов.
В общем случае измеряются и токи, и напряжения. По измеренным токам необходимо определить остальные токи с помощью первого закона Кирхгофа, а по измеренным напряжениям определяются остальные напряжения с помощью второго закона Кирхгофа. Реальные сопротивления резисторов определяются по закону Ома.
Для диагностики сложных электрических цепей удобно использовать направленный граф цепи. Выбирается дерево графа. Токи измеряются в связях графа, а напряжения измеряются на ветвях дерева графа. Дерево выбирается таким образом, чтобы все измерения были технически возможны. Использование графа цепи позволяет автоматически определить минимально необходимое количество измерений и упростить составление уравнений.
Рассмотрим методику диагностики электрической цепи на следующем примере.
Пример 1.15
На рис. 1.36 приведена диагностируемая электрическая цепь. На рис. 1.37 приведён направленный граф данной цепи, в котором дерево выделено жирными линиями. В результате физического эксперимента были измерены токи в связях 1, 2, 3, 9, 12, 13 и напряжения на ветвях 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 дерева графа.
Покажем оформление листинга для численного определения сопротивлений резисторов. При составлении системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа используем матрицу соединений и матрицу контуров.
Введём известные параметры источников. Для определения токов в резисторах подготовим матрицу соединений (см. Пример 1.7).
Рисунок 1.36
Рисунок 1.37
Для составления матричного уравнения по первому закону Кирхгофа подготовим столбцовые матрицы токов и нулей.
Введём значения измеренных токов.
Составим матричное уравнение для токов. Знак равенства берётся с панели Boolean.
В общем случае резисторы электрической цепи могут быть и нелинейные, поэтому для определения неизвестных токов используем метод последовательных приближений, который реализуется вычеслительным блоком Given / Find. Зададимся нулевыми начальными значениями искомых токов и оформим решение матричного уравнения, скопировав матричное равенство из выражения выше после стрелки.
Так как в скобку оператора Find были внесены все токи электрической цепи, то автоматически был сформирован массив токов всех ветвей. В общем случае все ветви рассматриваются как обобщённые.
Найдём токи в резисторах, исключая токи источников тока.
Найдём напряжения на резисторах. Введём измеренные напряжения.
Подготовим матрицу контуров (см. Пример 1.7).
Для составления матричного уравнения по второму закону Кирхгофа подготовим столбцовые матрицы напряжений и нулей.
Составим матричное уравнение контуров.
Зададимся нулевыми начальными значениями искомых напряжений и оформим решение матричного уравнения, скопировав матричное равенство.
Выведем значения напряжений на обобщённых ветвях.
Через значения напряжений на резисторах определим сопротивления резисторов.
При определении сопротивлений, в матричном уравнении, составленном по закону Ома, использовалась диагональная матрица токов резисторов.
Убедимся, что результаты вычислений верные. Проверим баланс мощностей источников и приёмников электрической энергии.
Баланс мощностей выполняется.
Контрольные вопросы
1. В каких случаях используются преобразования электрических цепей?
2. В каких случаях используются преобразования "расщепление узла" и "расщепление ветви"?
3. Дайте определение понятию "обобщённая ветвь" и поясните её использование.
4. В каких случаях источники электрической энергии являются генераторами, а в каких случаях потребителями?
5. Почему в схеме замещения электрической цепи постоянного тока отсутствуют катушки и конденсаторы?
6. С какой целью составляется уравнение баланса мощностей?
7. Какие положительные стороны использования направленного графа электрической цепи?
8. Какой критерий используется при выборе метода анализа электрической цепи?
9. В каких случаях используется метод эквивалентного генератора?
10. Как сформировать массив данных и зачем?
11. Поясните использование оператора ORIGIN.
12. Поясните использование оператора "векторизировать".
13. Поясните использование оператора " транспонировать".
14. Как ограничить количество разрядов чисел, выводимых программой на рабочий стол?
PAGE 16
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
I
U
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
I I1 I2 In
U
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
0 4
1
3
0
5
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
EMBED CorelDRAW.Graphic.11