Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Функція — одна з головних математичних і загальнонаукових понять. Воно зіграла свою роль понині грає великій ролі розуміння реального світу.
>Пропедевтический період (давніх часів до 17 століття)
Ідея функціональної залежності перегукується з давнини. Її зміст можна знайти у перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах перебування площі й обсягу тих чи інших постатей. Так, вавилонські вчені (4 – 5 тис. років тому вони) хоча й несвідомо, встановили, що загальна площа кола є функцією з його радіуса у вигляді перебування грубо наближеною формули:S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть бути астрономічні таблиці вавилонян, античних греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції — теорема про сталості відносини площ кола і квадрата з його діаметрі чи античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричних образів відповідної залежності.
Запровадження поняття функції через механічне і геометричне уявлення (17 століття)
Починаючи лише з 17 століття зв'язки й з проникненням в математику ідеї змінних поняття функції явно і геть свідомо застосовується.
Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені ФрансуаВиет і Рене Декарт; вони розробили єдинубуквенную математичну символіку, що отримала загальне визнання. Введено було єдине позначення: невідомих — останніми літерами латинського алфавіту: x, y,z, відомих — початковими літерами тієї самої алфавіту: a, b, з,... тощо. буд. Під кожною літерою можна було розуміти як конкретні дані, а й багатьох інших; в математику прийшла ідея зміни. Тим самим було з'явилася можливість записувати загальні формули.
З іншого боку, у Декарта і Ферма (1601 – 1665) в геометричних роботах з'являється чітке уявлення перемінної розміру й прямокутної системи координат. У своїй ">Геометрии" в 1637 року Декарт дає поняття функції, за зміну ординати точки залежно через зміну їїабсцисси; він систематично розглядав лише ті криві, які не складно уявити з допомогою рівнянь, притому переважно алгебраїчних. Поступово поняття функції стало ототожнюватися, в такий спосіб, з визначенням аналітичного висловлювання — формули. У 1671 року Ньютон під функцією став розуміти зміну величину, котру змінюють з часом (він називав її ">флюентой").
У ">Геометрии" Декарта і роботах Ферма, Ньютона і Лейбніца поняття функції мало, сутнісно, інтуїтивний характері і була пов'язана або з геометричними, або з механічними уявленнями: ординати точок кривих — функція від абсцис (x); шлях збереження та швидкість — функція від часу (>t) тощо. п.
>Аналитическое визначення функції (17 – початок 19 століття)
Саме поняття "функція" (від латинськогоfunctio — вчинення, виконання) було вперше вжито німецьким математиком Лейбніцем в 1673 р. у листі доГюйгенсу (під функцією розумів відрізок, довжина якого змінюється по якомусь певному закону), у пресі він його ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року Ляйбніц ввів також терміни "змінна" і "константа". О 18-й столітті з'являється новий погляд на функцію як у формулу, яка б пов'язала одну зміну з іншого. Це правда звана аналітична думка на поняття функції. Підхід до такого визначенню вперше зробив швейцарський математик Йоганн Бернуллі (1667 – 1748), що у 1718 року визначив функцію так: "функцією перемінної величини називають кількість, освічене яким завгодно способом з цього перемінної розміру й постійних". Для позначення довільній функції від x Бернуллі застосував знакj(x), називаючи характеристикою функції, і навіть літери x чи e; Ляйбніц вживавx1,x2 замість сучаснихf1(x),f2(x).Эйлер позначив черезf: y,f: (x + y) те, що ми нині позначаємо черезf(x),f(x+y).
Поруч ізЭйлер пропонує використовувати літери F, Y та інші. Даламбер зробив крок уперед шляху до сучасним позначенням, відкидаючи двокрапкаЭйлера; він пише, наприклад,jt, j (>t+s).
Остаточну формулювання визначення функції з аналітичної погляду зробив у 1748 року учень БернулліЭйлер (у "Запровадження в аналіз нескінченного"): "Функція змінного кількості є аналітичне вираз, складене якимось чином із цієї кількості і чисел чи постійних кількостей". Так розуміли функцію протягом всього 18 століття Даламбер (1717 – 1783),Лагранж (1736 – 1813), Фур'є (1768 – 1830) та інші видатні математики. Що ж доЭйлера, він який завжди дотримувався вищевказаного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшого розвитку відповідно до запитами математичного аналізу.
У ">Дифференциальном обчисленні", що на світ в 1755 року,Эйлер дає загальне визначення функції: "Коли кількості залежать друг від друга в такий спосіб, що з зміні останніх й існують самі вони піддаються зміни, то перші називають функцією других". "Це найменування, — продовжує даліЭйлер, — має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі засоби, якими така кількість визначається за допомогою інших".
Як очевидно з представлених визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки у розвитку природознавства і математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.
Однією з невирішених питань, пов'язаних із поняттями функції, на що велася жорстка боротьба думок, був такий: чи можна одну функцію поставити кількома аналітичними висловлюваннями?
Вагомий внесок у вирішення споруЭйлера,Даламбера, Бернуллі та інших вчених 18 століття до іронічних нарікань, що розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батіст Жозеф Фур'є (1768 – 1830), який займався основному математичної фізикою. У експонованих їм у Паризьку АН в 1807 – 1811 рр. "Мемуарах з теорії поширення тепла в твердому тілі", Фур'є навів і перші приклади функцій, які задано в різних ділянках різними аналітичними висловлюваннями.
З праць Фур'є слід було, будь-яка крива, незалежно від цього, з скількох і яких різнорідних частин плані вона складається, то, можливо представленій у вигляді єдиного аналітичного висловлювання й що є такожпреривние криві, зображувані аналітичним вираженням. У його ">Курсеалгебраического аналізу", опублікованій у 1721 р., французький математик Про. Коші обгрунтував висновки Фур'є. Отже, на відомому етапі розвитку фізиків і математиків зрозуміли, що доводиться користуватися й такими функціями, визначення яких складно і навіть неможливо обмежитись однією лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідну математикою і природознавством розширення поняття функції.
Ідея відповідності (19 століття)
У 1834 року у роботі "Происчезаниитригонометрических рядків" М. І. Лобачевський, розвиваючи вищезгаданеЭйлеровское визначення функції в 1755 р., писав: "Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, яке давалася кожному за x разом із x поступово змінюється. Значення функції можна буде говорити і аналітичним вираженням, чи умовою, яке подає засіб відчувати все числа й вибирати нам одне з яких; чи, нарешті, залежність може існувати, чи залишатися невідомої... Великий погляд теорії допускає існування залежності в тому сенсі, щоб числа, одні коїться з іншими у зв'язку з, сприймати як б даними разом".
Ще Лобачевського аналогічна думка на поняття функції пролунала чеським математиком Б.Больцано. Отже, сучасне визначення функції, вільний від згадки про аналітичному завданні, зазвичай приписувануДирихле, неодноразово пропонувалося до нього. У 1837 року німецький математик П. Л.Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: "y є функція перемінної x (на відрізку a < x < b), якщо кожному значенням x у цьому відрізку відповідає цілком певне значення y, причому байдуже, як встановлено це відповідність — аналітичної формулою, графіком, таблицею чи навіть просто словами".
Прикладом, відповідним цьому загальному визначенню, може бути так звана "функціяДирихле"j(x).
Ця функція задана двома формулами і словесно. Вона відому роль аналізі.Аналитически яку можна визначити лише з допомогою важкою формули, не сприяє успішному вивченню її властивостей. Отже, приблизно середині 19 століття після тривалої змагань думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного висловлювання, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний наголос переважно загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.
У другій половині 19 століття після створення теорії множин в поняття функції, крім ідеї відповідності було включено і в ідеї безлічі. Отже, у його своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється так: якщо кожному елементу x безлічі А поставлене відповідність певний певний елемент y з багатьох У, то кажуть, що у безлічі А задана функція y =f(x), або що безліч А відображене силою-силенною У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їх безлічі У — значеннями функції; у другий випадок x — прообрази, y — образи. У сучасному сенсі розглядають функції, певні для безлічі значень x, які, можливо, і заповнюють відрізка a < x < b, про який ідеться у визначенніДирихле. Досить зазначити, наприклад, нафункцию-факториал y = n, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовно, звісно, як до величинам і числам, до іншим математичним об'єктах. Наприклад, до геометричних постатям. При будь-якому геометричному перетворення ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна "функція" у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал та інших.
Подальший розвиток математичної науки о 19-й столітті грунтувалося спільною для визначенні функціїДирихле, який став класичним
Подальший розвиток поняття функції (20 століття – ...)
Вже від початку 20 століття визначенняДирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків,натолкнувшихся на явища, які потребують ширшого погляду фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу друком в 1930 року книжки "Основи квантової механіки" Поля Дірака, найвидатнішого англійського фізика, однієї з засновників квантової механіки. Дірак ввів так званудельта-функцию, що виходила далеко далеко за межі класичного визначення функції. У зв'язку з цим радянський математик М. М. Гюнтер й інші вчені було опубліковане у 30 – в 40-ві роки нашого століття роботи, у яких невідомими не є функції точки, а "функції області", краще відповідає фізичної сутності явищ. Приміром, температуру тіла у точці практично визначити не можна, тоді як температура у певній області тіла має конкретний фізичний сенс.
Загалом вигляді поняття узагальненої функції було запроваджено французомЛораномШварцем. У 1936 році 28-річний радянський математик і механік З. Л. Соболєв першим розглянув окреме питання узагальненої функції, яка охоплює ідельта-функцию, і застосував створену теорію до вирішення низки завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні і послідовники Шварца — І. М.Гельфант, Р. Є. Шилов та інших.