Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задача 6.3.
Задача комівояжера. В економічному регіоні розміщено 6 пунктів (міст). Комівояжер, який виїжджає з міста 1, має побувати в кожному місті один раз і повернутися до вихідного пункту. Знайти найкоротший маршрут, якщо відстані між містами відомі (рис. 6.2).
Рис. 6.2
Записати загальну і числову економіко-математичну модель.
Розв’язування. Нехай маємо n пунктів, де має побувати комівояжер.
Позначимо:
Отже, хij — бульові (цілочислові) змінні. Цільовою функцією цієї задачі є мінімізація всього маршруту комівояжера:
де сij — відстань між містами і та j.
Обмеження щодо одноразового в’їзду в кожне місто:
.
Обмеження щодо одноразового виїзду з кожного міста:
.
Ці обмеження не повністю описують допустимі маршрути і не виключають можливості розриву маршруту. Щоб усунути цей недолік, введемо додаткові змінні ui(uj) , які набувають невід’ємних цілих значень. Запишемо обмеження, які виключають можливість існування підмаршрутів:
,
де ui (uj) — порядковий номер міста за маршрутом прямування комівояжера.
Запишемо числову економіко-математичну модель комівояжера за розглядуваних умов.
Критерій оптимальності:
;
а) обмеження щодо одноразового в’їзду в кожне місто:
,
,
,
,
,
;
б) обмеження щодо одноразового виїзду з кожного міста:
,
,
,
,
,
;
в) обмеження щодо виключення підмаршрутів:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
,
ui(uj) — цілі числа .
Такі задачі розв’язуються спеціальними методами [1; 10].
Зауважимо, що аналогічні задачі нерідко постають на практиці, наприклад, у дрібному бізнесі.
Фірма у місті має 25 кіосків, які торгують безалкогольними напоями. Щоденно з бази автомобілем розвозять до них товар. Як оптимально організувати розвезення відповідної кількості товару?
Задача 6.4.
Фермер планує виробляти три види продукції — озиму пшеницю, цукрові буряки та молоко. Сумарні витрати складаються з двох частин: постійних — kj, які не залежать від обсягу виробництва, і поточних cj на виробництво одиниці продукції, де j — номер продукції. Відповідні дані наведено в таблиці:
|
Показник |
Вид продукції |
||
|
Озима пшениця, т |
Цукровий буряк, т |
Молоко, т |
|
|
Постійні витрати, тис. грн. |
40 |
70 |
20 |
|
Поточні витрати на одиницю продукції, грн. |
400 |
150 |
500 |
|
Норма витрат ріллі, га |
0,2 |
0,02 |
0,25 |
|
Ціна одиниці продукції, грн. |
800 |
300 |
1000 |
Визначити оптимальний план виробництва продукції кожного виду, якщо з цією метою використовується 100 га ріллі.
Розв’язування. Нехай xj — обсяг виробництва j-го виду продукції, . Функція сумарних витрат на виробництво j-ї продукції набуває вигляду:
Як цільову функцію беремо максимізацію валового прибутку:
де yj — ціна одиниці j-ї продукції.
Обмеження щодо ріллі:
де аj — норма витрат ріллі на одиницю j-ї продукції; А — ресурс ріллі.
Цільова функція цієї задачі не є лінійною, оскільки має розрив у початку координат. Отже, ця задача не може бути розв’язана симплексним методом.
Щоб розв’язати цю задачу, скористаємося штучним прийомом. Введемо бульові змінні такою умовою:
її можна записати у вигляді лінійної нерівності
,
де М — досить велике число, за якого умова виконується для всіх допустимих обсягів виробництва продукції.
У результаті маємо таку економіко-математичну модель:
за умов
,
,
, .
Запишемо числову економіко-математичну модель. Очевидно, що максимум пшениці становить 500 т, цукрових буряків — 5000 т, молока — 400 т. Отже, М може дорівнювати 5000. Звідси маємо:
за умов
,
,
,
,
.
Пропонуємо розв’язати аналогічну задачу, оцінивши ефективність нового бізнесу.
Звичайно, у реальній ситуації існує більший набір можливих видів продукції, а також багато обмежень щодо ресурсів.
Задача 6.5.
Задача планування виробничої лінії.
Оптимізувати режим функціонування виробничої лінії, яка охоплює 11 операцій з виготовлення двох виробів. Лінію обладнано одним багатоопераційним верстатом. Послідовність і тривалість (у хвилинах) виконання операцій відбиває рис. 6.3.
Рис. 6.3
Установлено термін виготовлення кожного з виробів А та В як проміжок часу від деякого початкового моменту. Нехай це буде відповідно 120 і 150 хв. Передбачається, що в кожний момент часу на верстаті може виконуватися одна операція.
Визначити оптимальний термін початку кожної операції.
Розв’язування. Розглянемо спочатку задачу в загальному вигляді, скориставшись позначеннями:
aj(k) — час виконання j-ї операції ; dj — момент часу (термін) для j-го виробу, до якого необхідно завершити операцію j; хj — час (термін) початку j-ї операції; t — сумарний час виконання всіх операцій. Економіко-математична модель містить три типи обмежень.
1. Послідовність виконання i-ї операції записується для всіх пар операцій якщо i-та операція передує в часі j-й операції.
2. Обмеження нерозгалуженості виробничого процесу для операцій і та j, які не виконуються одночасно (i ≠ j), має вигляд:
або xi – хj ≥ aj, якщо операція j передує в часі операції і;
або xj – хi ≥ ai, якщо операція і передує в часі операції j.
Зауважимо, що логічні обмеження виду «або-або» не можуть входити до економіко-математичної моделі задачі лінійного програмування, оскільки породжують неопуклу множину допустимих розв’язків. Тому необхідно ввести допоміжні змінні, які дозволяють записати наведені щойно логічні умови у вигляді лінійних обмежень. Це такі бульові змінні:
Увівши змінні yij, запишемо шукані обмеження:
,
,
де М — досить велике число.
3. Обмеження щодо термінів виготовлення кожного виробу:
,
де j — остання операція для k-го виробу.
4. Усі операції мають бути виконанні до моменту часу t:
.
Критерій оптимальності:
тобто ставиться задача, щоб обидва вироби були виготовлені за мінімальний час.
Запишемо числову економіко-математичну модель:
за наведених далі умов.
1. Послідовність виконання операцій:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
2. Обмеження щодо нерозгалуженості виробничого процесу:
,
,
,
,
,
,
,
.
3. Обмеження щодо термінів виготовлення виробів:
,
.
4. Усі операції мають бути виконані до моменту часу t:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
5. Обмеження на змінні:
, ;
, .
Отже, маємо частково цілочислову задачу з бульовими змінними.
Задача 6.6.
Задача оптимального призначення.
Розподілити чотирьох робітників за чотирма видами устаткування так, щоб їх загальна продуктивність праці була максимальною. Дані стосовно продуктивності праці кожного робітника на устаткуванні кожного виду наведено в таблиці:
|
Робітник |
Продуктивність праці, грн./год, на устаткуванні |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
12 |
9 |
8 |
7 |
|
2 |
10 |
7 |
6 |
5 |
|
3 |
9 |
6 |
4 |
4 |
|
4 |
8 |
5 |
3 |
2 |
Розв’язування. Дану задачу можна розглядати як транспортну, в якій робітники ототожнюються з постачальниками вантажів, а види устаткування — зі споживачами цих вантажів. Обсяги пропозиції та попиту в кожному випадку дорівнюють одиниці. Отже, змінні будуть бульовими:
Якщо cij — продуктивність праці і-го робітника на j-му устаткуванні, то економіко-математичну модель про призначення у загальному вигляді можна записати так:
за умов
,
,
,
.
Числова модель набирає вигляду:
за умов
,
,
,
,
,
,
,
,
,
— цілі числа .
З огляду на особливу структуру цієї задачі, зокрема її «транспортний» характер та рівність правих частин обмежень, для розв’язування можна застосувати ефективніший алгоритм, ніж для звичайної задачі цілочислового програмування з бульовими змінними. Пропонуємо читачеві ознайомитися з такими алгоритмами самостійно [9; 38].
6.1.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
Задача 6.7.
Методом Гоморі розв’язати задачу цілочислового програмування.
|
1. ,
|
2. ,
|
|
3. ,
|
4. ,
|
|
5. ,
|
6.
|
|
7. ,
|
8. ,
|
|
9. ,
|
10. ,
|
|
11. ,
|
12. ,
|
|
13. ,
|
14. ,
|
|
15. ,
|
16. ,
|
|
17. ,
|
18. ,
|
|
19. ,
|
20. ,
|
Задача 6.8.
Згідно з умовно-оптимальним планом задачі цілочислового програмування побудувати допоміжне обмеження Гоморі і приєднати його до останньої симплексної таблиці. Знайти цілочислові розв’язки задачі або довести, що вони не існують.
|
1. |
Базис |
Сбаз. |
–3 |
–4 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
7/11 |
5/11 |
9/11 |
0 |
0 |
1 |
||
|
0 |
10/11 |
2/11 |
3/11 |
1 |
0 |
0 |
||
|
0 |
3/11 |
15/11 |
–4/11 |
0 |
1 |
0 |
||
|
0 |
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
|
2. |
Базис |
Сбаз. |
5 |
10 |
2 |
0 |
0 |
|
|
2 |
1/6 |
0 |
0 |
1 |
–7/3 |
5/6 |
||
|
5 |
1/2 |
1 |
0 |
0 |
–1/6 |
–2/3 |
||
|
10 |
5/6 |
0 |
1 |
0 |
2/3 |
1/3 |
||
|
67/6 |
0 |
0 |
0 |
7/6 |
5/3 |
|
3. |
Базис |
Сбаз. |
0 |
–4 |
0 |
–3 |
0 |
|
|
–3 |
13/7 |
0 |
–2/7 |
–1 |
1 |
–6/7 |
||
|
0 |
4/7 |
1 |
8/7 |
2 |
0 |
3/7 |
||
|
–39/7 |
0 |
34/7 |
3 |
0 |
18/7 |
Задача 6.9.
Методом «віток і меж» розв’язати задачу цілочислового програмування
|
1. ,
|
2. ,
|
|
3. ,
|
4. ,
|
|
5. ,
|
6. ,
|
Задача 6.10.
Побудувати модель задачі розподілу капіталовкладень, які можуть спрямовуватися на втілення чотирьох проектів протягом трьох послідовних років.
Очікувані розміри прибутку від реалізації кожного проекту та розподіл необхідних капіталовкладень, млн грн., за роками відбиває таблиця:
|
Проект |
Розподіл |
Прибуток |
||
|
1-м |
2-м |
3-м |
||
|
1 |
6 |
2 |
8 |
40 |
|
2 |
5 |
7 |
6 |
50 |
|
3 |
4 |
6 |
9 |
45 |
|
4 |
8 |
3 |
7 |
52 |
|
Максимальний обсяг |
20 |
25 |
18 |
— |
Передбачається, що кожний затверджений проект має бути реалізовано за трирічний період. Вибрати сукупність проектів, яка забезпечить отримання максимального сумарного при бутку.
● Вказівка. Для побудови моделі задачі користуватися бульовими змінними.
Задача 6.11.
Побудувати модель задачі планування виробничої лінії, що охоплює виконання шести операцій для виготовлення двох різних виробів на одному верстаті. Послідовність і тривалість операцій відбиває рисунок. Строки виготовлення виробів А і В становлять відповідно 58 і 46 днів.
● Зауваження. У кожний момент часу на верстаті може виконуватися лише одна операція.
Задача 6.11.
Побудувати модель задачі цілочислового програмування для вибору варіанта розміщення чотирьох різних видів технологічного устаткування на двох виробничих дільницях цеху. Витрати на підготовку та встановлення устаткування відбиває таблиця:
|
Дільниця |
Витрати на встановлення устаткування |
Витрати |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
1 |
4 |
2 |
7 |
9 |
10 |
|
2 |
6 |
5 |
3 |
6 |
14 |
Визначити такий порядок розміщення устаткування на дільницях, за якого сумарні витрати на його встановлення та підготовку є мінімальними.
Задача 6.11.
Розв’язати задачу оптимального розкрою двох заготівок завдовжки 15 і 12 м на деталі трьох типів завдовжки 3, 4 і 2 м. Відомо, що запас заготівок становить відповідно 100 і 80 одиниць, а попит на деталі — 30, 20, 15 одиниць.
Знайти план оптимального розкрою заготівок за двома варіантами:
1) мінімізації відходів від розкрою;
2) максимізації комплектів, до яких деталі входять відповідно в кількості 4, 2 і 3.
173