Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університет
імені Івана Франка
УДК 517.95
ЗАДАЧІ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛІЧНИХ СИСТЕМ
ТА ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ
В НЕОБМЕЖЕНИХ ОБЛАСТЯХ
01.01.02 –диференціальні рівняння
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Львів –
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,
професор Лавренюк Сергій Павлович,
професор кафедри диференціальних рівнянь Львівського
національного університет імені Івана Франка
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
професор Гладков Олександр Львович,
завідувач кафедри геометрії і математичного аналізу
Вітебського державного університету, Білорусь;
кандидат фізико-математичних наук,
доцент Нитребич Зіновій Миколайович,
доцент кафедри обчислювальної математики і програмування
Національного університету “Львівська політехніка”
Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
кафедра математичної фізики
Захист відбудеться 18 квітня 2002 року
о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02
у Львівському національному університеті імені Івана Франка
за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377
З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці
Львівського національного університету імені Івана Франка
(м. Львів, вул. Драгоманова, 5).
Автореферат розісланий 14 березня 2002 року
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Бокало М.М.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Багато явищ у природі, науці та техніці моделюють псевдопараболічними рівняннями. Прикладами цього є процеси фільтрації рідини в середовищах з подвійною пористістю, передачі тепла в гетерогенному середовищі, перенесення вологи в грунті. Також псевдопараболічні рівняння в частинних похідних третього порядку описують дифузію у тріщинуватому середовищі з поглинанням або частковим насиченням, процес застигання клею. Ці рівняння з’являються при вивченні двофазної задачі Стефана, у механіці флюїдів і механіці суцільного середовища та інших задачах.
Активне вивчення псевдопараболічних рівнянь та їх систем почалося в 50-х роках 20-го століття. На сучасному етапі для псевдопараболічних систем достатньо повно досліджені мішані задачі в обмежених областях та задачі Коші. Дослідженню класів єдиності розв’язків цих задач присвячені праці Рандела В. (Rundell W.), Коснера К. (Cosner C.), Гладкова О.Л. та ін. Однозначну розв’язність задачі Коші доведено в працях Кожанова О.І., Гладкова О.Л., Бакієвич Н.І., Атаманова Е.Р., Гопала Рао В.Р. (Gopala Rao V.R.), Тінга Т.В. (Ting T.W.), Ліу Яченга (Liu Yacheng). Для псевдопараболічних операторних рівнянь Брілл Х. (Brill H.) довів локальну розв’язність задачі Коші, а Цуцумі Масайоші (Tsutsumi Masayoshi) та Матахаші Томомі (Matahashi Tomomi) –достатні умови існування та єдиності сильного розв’язку.
Дієвими методами дослідження псевдопараболічних рівнянь та систем є апріорні оцінки розв’язку та оцінки типу принципу Сен-Венана, які одержано в працях Хількевич Г.І., Іскендерова І.Т., Намазова Г.К., та аналог методу Гальоркіна для рівнянь зазначеного типу, описаний у працях Ляшка С.І., Ляшка І.І., Форда В. (Ford W.), Ягодзіньського Т. (Jagodzinski T.). Необмеженість області задання рівняння чи системи накладає відбиток на методику дослідження. Гілберт Р. (Gilbert R.), Колтон Д. (Colton D.), Вімп Й. (Wimp J.), Абдрахманов М.А., Малаховська Р.М. вивчали фундаментальні розв’язки псевдопараболічних рівнянь та їх асимптотичну поведінку в півпросторі. Задачі Фур’є в обмежених за просторовими змінними областях розглянуто в працях Лавренюка С.П., Колінько М.О., Пташник М.Б.
Актуальним напрямком у теорії псевдопараболічних рівнянь є варіаційні нерівності, які для рівнянь вказаного типу вперше розглянув Скарпіні Ф. (Scarpini F.).
Задачі для псевдопараболічних рівнянь, їх систем та варіаційних нерівностей в необмежених областях мало досліджені, а в деяких випадках їх теоретичні дослідження відсутні взагалі. Вивченню таких задач присвячена ця робота.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках науково-дослідної роботи “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь і випадкових еволюцій” (номер держреєстрації 0100U001411).
Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у дослідженні коректності задач для деяких класів псевдопараболічних систем рівнянь і варіаційних нерівностей в необмежених областях та вивченні поведінки розв’язків цих задач.
Задачі дослідження:
Об’єкт дослідження: псевдопараболічні системи рівнянь і варіаційних нерівностей.
Предмет дослідження: розв’язність та якісна поведінка розв’язків задач для псевдопараболічних систем рівнянь і варіаційних нерівностей в необмежених областях.
Методи дослідження: аналог методу Гальоркіна, методи штрафу, регуляризації, монотонності та компактності.
Наукова новизна одержаних результатів.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть використовуватись при подальших дослідженнях однозначної розв’язності псевдопараболічних систем рівнянь та варіаційних нерівностей. Їх також можна використати в прикладних дослідженнях, зокрема, при визначенні швидкості перенесення вологи в грунті, у дослідженні процесів теплопровідності з урахуванням термодинамічної температури та температури провідності, а також у механіці флюїдів.
Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником працях [2, 5, 8, 10] Лавренюку С.П. належать формулювання задач та аналіз одержаних результатів.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, які включені до дисертації, доповідалися та обговорювались на:
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 12 працях, з них 6 –у наукових математичних журналах, 6 –у тезах конференцій. Серед публікацій 6 праць у виданнях з переліку ВАК України.
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел (91 найменування, 9 сторінок) та викладена на 158 сторінках машинописного тексту.
У вступі подано короткий огляд результатів, які мають безпосереднє відношення до теми роботи, обгрунтовано її актуальність, вказано мету і задачі дослідження, наукову новизну, практичне значення, апробацію одержаних результатів, кількість публікацій та структуру роботи.
У першому розділі подано огляд праць щодо задач для псевдопараболічних рівнянь, систем рівнянь та варіаційних нерівностей в необмежених областях. Також сформульовано основні результати дисертаційної роботи.
У другому розділі досліджено задачі для лінійних псевдопараболічних систем рівнянь в необмежених за просторовими змінними областях вигляду Q=(0,T), де –необмежена область в Rn з кусково-гладкою межею Г, 0<T<+.
Підрозділ 2.1 присвячено знаходженню класів однозначної розв’язності мішаної задачі
H(x)ut –+D(x,t)u=F(x,t) (x,t)Q, (1)
ut=0=u(x) x, (2)
u(0,T)=0. (3)
Тут і надалі Aij, Bij, Ci, D, H –функції, які визначені на Q і приймають значення в просторі матриць розміру mm, m –довільне натуральне число, {i, j}{1,…, n}, u=col(u,K,um), F(x,t)=col(F(x,t),K,Fm(x,t)).
Припустимо, що для функцій Aij, Bij, D, H виконуються відповідно такі умови:
(A): (Aij(x,t)ij)a(x), a0, aC(); Aij = Aji, Aij =;
(B): (Bij(x,t)ij)b(x), b0, bC(); Bij = Bji, Bij =;
(D): (D(x,t),)d(x), d>0, dC(); D=;
(H): h(x) (H(x),) h(x), h>0, hC(); θ>1; H=HT
для довільних (x,t)Q, {ξ, ξi, ξj}Rm (=col(,...,m), =+...+m).
Нехай ψ –додатна, визначена на функція, що належить до простору C(). Означимо простори Va,b,λ(Q) (λ>0) та Vψ(Q) як замикання множини функцій C( [0,T];((Ω))m)відповідно за нормами
,
,
а Ua,b,λ(Ω), Uψ(Ω) –як замикання множини ((Ω))m відповідно за нормами
[(d(x)+h(x))w+(b(x)+a(x))wx] e-xdx
.
Дослідження в другому розділі йде в двох напрямках, залежно від поведінки коефіцієнтів Aij(x,t) та Bij(x,t). У випадку, коли Aij(x,t) та Bij(x,t) є додатно визначеними, тобто a(x)a>0, b(x)b>0, доведено однозначну розв’язність задачі (1) –(3) в просторі Vψ(Q). Якщо ж ці коефіцієнти вироджуються, тобто для довільних {ξi, ξj}Rm та для всіх (x,t)Q виконуються умови
(Aθ): (Aij(x,t)ij)a(x), a0, θ>1,
(Bθ): (Bij(x,t)ij)b(x), b0, θ>1,
в роботі доведено існування та єдиність узагальненого розв’язку задачі (1) –(3) з простору Va,b,λ(Q).
Умови існування та єдиності розв’язку задачі (1) –(3) визначені в таких теоремах.
Теорема 1. Нехай для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови (A), (B), (D), (H),
(Dθ): (D(x,t),) d(x), θ>1–const,
, νi –const, i{1,2}, (4)
Aij(x,t) Aij(x), a(x)a>0, b(x)b>0, x;
, ,
Aij, H, D, {Ci,Bij,Bijt,Dt}.
Нехай функція C().така, що
(5)
для довільного x, де 0<4n<a. Тоді задача (1) –(3) не матиме більше одного узагальненого розв’язку в просторі Vψ(Q).
Теорема 2. Нехай для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови (A), (Aθ), (B), (Bθ), (D), (Dθ), (H), (4); Aij(x,t) Aij(x);
{Aij,H}, {Bij,D}, {Ci, Bij,Dt};
, , , ;
0<<, νi –const, i{1,2}. (6)
Тоді задача (1) –(3) не може мати більше одного узагальненого розв’язку з простору Va,b,λ(Q), де .
Теорема 3. Нехай для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови теореми 1, , uUψ(Ω). Тоді існує узагальнений розв’язок задачі (1) –(3) в просторі Vψ(Q).
Теорема 4. Нехай для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови теореми 2, , uUa,b,λ(Ω). Тоді існує узагальнений розв’язок задачі (1) –(3) в просторі Va,b,λ(Q).
Треба зазначити, що теореми 1 та 3 стверджують існування розв’язку мішаної задачі з відмінною від експоненціальної поведінкою. Зокрема відомий результат Рандела В. (Rundell W.) про експоненціальну поведінку розв’язку при x випливає з теорем 1 і 3 як наслідок, якщо H(x)I, де I–одинична матриця.
У підрозділі 2.2 розглянуто задачу (1), (2) в смузі Rn(0,T), коли H(x)I –одинична матриця і коефіцієнти системи (1) і початкова функція є періодичними (з періодом 2ν, ν>0) стосовно кожної просторової змінної функціями. Для цієї задачі доведено існування та єдиність узагальненого розв’язку, розв’язку майже скрізь та класичного розв’язку за допомогою методу Гальоркіна та спеціальним чином вибраної бази функціонального простору.
Третій розділ дисертаційної роботи присвячено вивченню в області Q мішаної задачі для нелінійної псевдопараболічної системи рівнянь
G(ut)– +D(x,t,u;p)=F(x,t)– (7)
ut=0=u, (8)
u(0,T)=0. (9)
Тут Fi(x,t)=col(Fi(x,t),...,Fim(x,t)), i{0,...,n}, 2<γ, 2pγ,
G(w)=col(w-2w,..., wm-2wm),
di–скалярні функції.
Відомим є той факт, що класами єдиності розв’язків лінійних параболічних рівнянь в необмежених областях є функції, які зростають не швидше, ніж , де сталі C і λ визначаються коефіцієнтами рівняння. Для лінійних псевдопараболічних рівнянь зі сталими коефіцієнтами подібним результатом є вже згаданий результат Рандела В. (функції, що мають поведінку ). Проте Брезіс Х. та Бокало М.М. навели приклади нелінійних параболічних та еліптичних рівнянь, для яких довели існування та єдиність розв’язків з довільною поведінкою на нескінченності. Аналогом саме цих результатів для систем рівнянь пседопараболічного типу є теореми 5, 6.
Теорема 5. Нехай коефіцієнти системи (7) задовольняють умови (A), (B), (D); p=2; {Aij, Bij, Bijt, D, Dt };2<γ<2n/(n-2) при n>2 і 2<γ при n{1,2}. Якщо існує узагальнений розв’язок задачі (7) –(9), то він єдиний.
Теорема 6. Нехай коефіцієнти системи (7) задовольняють умови (A), (B), (D); {Aij,Bij,Bijt} , {D,Dt} при p=2 і {ds,dst}L(Q)s{1,...,m} при p>2; u, F, Fii{1,...,n};2<γ<2n/(n-2) при n>2 і 2<γ при n{1,2}. Тоді існує узагальнений розв’язок задачі (7) –(9).
При доведенні цих теорем використано аналог методу Гальоркіна, метод регуляризації та властивості монотонності функцій D(x,t,w;p) і G(w).
Задачі Фур’є (задачі без початкових умов) для псевдопараболічних систем рівнянь і варіаційних нерівностей досліджені в четвертому розділі. У першому підрозділі розглянуто задачу Фур’є для лінійної псевдопараболічної системи рівнянь (1) при H(x)I (I–одинична матриця) в нециліндричній області. Для цієї задачі доведено існування та єдиність узагальненого розв’язку в класах функцій експоненціального зростання , де додатні сталі λ та μ визначаються коефіцієнтами системи і певним чином пов’язані між собою.
Підрозділ 4.2 присвячений задачі Фур’є для нелінійної псевдопараболічної системи рівнянь в області QT=Ω(–,T), тобто задачі
H(x)ut–+D(x,t)u–
+A(x,u)+B(u)=F(x,t)– (10)
u(-,T)=0, (11)
де Ai=col(), Fi=col(Fi,...,Fim), i{0,...,n}; B(u) –оператор штрафу, γ –додатний параметр. Припускатимемо, що Ai, i{0,1,...,m}, є каратеодорівськими функціями, які задовольняють умови
(Ai(x,,,...,n)– Ai(x,,,...,n),i–i)+(A(x,)– A(x,),–)
(x)(i–ip+–p), p>2, >0, C(),
Aj(x,0,,...,n)(x)(ip-+p-) j{1,...,n}, –const,
A(x,)(x)p-) –const (12)
для всіх {ξ,ξ,...,ξn, ζ,ζ,...,ζn}Rm та для майже всіх (x,t)QT.
Нехай , (p>2), –замикання множини відповідно за нормами
, ,
;
V=. Через K позначимо опуклу і замкнену підмножину множини V, яка містить нульовий елемент.
У припущенні, що виконуються умови (Aθ), (H), доведено існування та єдиність узагальненого розв’язку задачі (10), (11), тобто функції u з простору , яка задовольняє (10) в сенсі інтегральної тотожності по області Ω(t,t) для будь-яких t, t (–<t< tT).
Теорема 7. Нехай для коефіцієнтів системи (10) виконуються умови (A), (Aθ), (B), (D), (H), (12); b(x)b>0, d(x)d>0, xΩ; 4bd–n0, де ; {Bij,Ci,D}, {Aij,H};
нехай існує така додатна функція ρC(), що
-2/(p-2)L(), (x)(h(x))p/2(x), (x)(a(x))p/2(x) xΩ.
Тоді задача (10), (11) не може мати більше одного узагальненого розв’язку.
Теорема 8. Нехай для коефіцієнтів системи (10) виконуються умови теореми 7 і, крім того, 4bd–n>0, {Bij,Ci,D}, ,
{-1/ph-1/2F, -1/pa-1/2Fi}C((-,T];(Lp/(p-)())m), i{1,...,n}.
Тоді існує узагальнений розв’язок задачі (10), (11).
Зазначимо, що на відміну від лінійних систем, для яких існування та єдиність розв’язку задачі Фур’є вдається довести лише при певних умовах на поведінку розв’язку при t–, у теоремах 7 та 8 не зроблено таких припущень.
У підрозділі 4.3 розглянуто задачу без початкових умов для системи псевдопараболічних варіаційних нерівностей в області QT, яка формулюється таким чином.
Нехай , –спряжений до Vλ(Ω) простір, K–опуклий і замкнений конус, що належить до Vλ(Ω); ((-,T];X) –простір функцій, які локально інтегровні з квадратом за Бохнером з вагою eμt і діють з проміжку (–,T] в банахів простір X, ((-,T];X) –відповідний простір Соболєва. Задача полягає у відшуканні такої функції, u((-,T];V()), що (u+ut)K для майже всіх t(–,T] і u задовольняє нерівність
(13)
для всіх [t,t](–,T] і для довільної функції v((-,T];V()) такої, що (ν+νt)K для майже всіх t(–,T].
Доведено коректність цієї задачі. При цьому показано, що додатні сталі λ і μ визначаються коефіцієнтами системи (13) і між ними існує зв’язок типу нерівності. У роботі наведено приклад, який ілюструє істотність цього зв’язку. Також показано як із даної задачі можна отримати некласичну задачу для системи рівнянь.
Дисертаційна робота присвячена побудові класів однозначної розв’язності задач для деяких класів псевдопараболічних систем рівнянь та варіаційних нерівностей в необмежених областях та вивченню поведінки цих розв’язків.
У дисертації для систем рівнянь та варіаційних нерівностей псевдопараболічного типу одержано такі результати:
Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть використовуватись при подальших дослідженнях коректної розв’язності псевдопараболічних систем рівнянь та варіаційних нерівностей. Їх також можна використати в прикладних дослідженнях, зокрема, при визначенні швидкості перенесення вологи в грунті, в дослідженні процесів теплопровідності з урахуванням термодинамічної температури та температури провідності, а також в механіці флюїдів.
Доманська Г.П. Задачі для псевдопараболічних систем та варіаційних нерівностей в необмежених областях. –Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 –диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2001.
Дисертація присвячена дослідженню коректності задач для псевдопараболічних систем рівнянь та варіаційних нерівностей і властивостей розв’язків цих задач. За допомогою аналогу методу Гальоркіна, методів штрафу, регуляризації, монотонності та компактності доведено існування та єдиність узагальнених розв’язків мішаних задач та задачі з періодичними крайовими умовами (у випадку періодичних коефіцієнтів) для лінійних систем рівнянь, мішаних задач для нелінійних систем рівнянь, задач Фур’є для лінійних і нелінійних систем рівнянь та систем варіаційних нерівностей.
У випадку нелінійних систем показано, що класи коректності розв’язку не залежать від поведінки розв’язку відповідної задачі на нескінченності. Для лінійних систем визначено швидкість зростання розв’язку на нескінченності.
Ключові слова: псевдопараболічна система рівнянь, псевдопараболічна система варіаційних нерівностей, метод Гальоркіна, метод регуляризації, метод монотонності, метод компактності, метод штрафу.
Domans’ka H.P. The problems for pseudoparabolic systems of equations and variational inequalities in unbounded domains. –Manuscript.
Thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D), speciality 01.01.02 –Differential Equations. – The Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2001.
The dissertation is devoted to the research of correctness of problems for pseudoparabolic systems of equations and variational inequalities and solutions’ properties of these problems. The Galerkin method analog, regularization method, monotonicity method, compactness methods are using for establishing of correctness of initial-boundary value problem and periodical-boundary value problem (with periodic coefficients) for linear systems of equations, initial-boundary value problem for nonlinear system of equations, Fourier problem for linear and nonlinear system of equations and for system of variational inequalities.
It is shown that correctness classes do not depend on solution behavior on the infinity in the case of nonlinear system. The correlation between behavior of righthand side and initial function and behavior of solution is indicated in linear case.
Key words: pseudoparabolic system of equations, pseudoparabolic system of variational inequalities, Galerkin method, regularization method, monotonicity method, compactness method, penalty method.
Доманская Г.П. Задачи для псевдопараболических систем и вариационных неравенств в неограниченных областях. –Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 –дифференциальные уравнения. –Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2001.
Диссертация посвящена исследованию корректности задач для псевдопараболических систем уравнений и вариационных неравенств в неограниченных по пространственным переменным областях, а также свойств решений этих задач. В частности, в работе рассмотрены следующие задачи:
Доказано однозначную разрешимость выше перечисленных задач.
Для линейных псевдопараболических систем уравнений получены классы однозначной разрешимости –функции экспоненциального поведения на бесконечности. Рассмотрена также линейная система, обобщенные решения смешанной задачи которой имеют поведение отличное от экспоненциального. В случае задачи без начальных условий для линейных псевдопараболических систем уравнений в нецилиндрических областях доказано существование и единственность решения в классах функций, имеющих поведение при , . При этом между положительными постоянными и существует связь типа неравенства. В работе показано существенность этой связи.
Для нелинейных псевдопараболических систем уравнений доказано существование и единственность решения смешанной задачи (в неограниченных по пространственным переменным областях) без дополнительных условий на поведение решения, если . Также для нелинейных систем уравнений рассмотрена задача Фурье, разрешимость которой доказана для функций из весовых пространств Соболева по пространственным переменным, но с произвольным поведением при . Аналогические результаты для параболических уравнений известны в литературе, но для уравнений псевдопараболического типа они являются совершенно новыми.
Разрешимость задачи без начальных условий для псевдопараболической системы вариационных неравенств доказана в классах функций экспоненциального поведения при , . Как частный случай, из этого результата получено существование и единственность решения одной неклассической задачи для псевдопараболической системы уравнений.
Основным методом доказательства существования решений является аналог метода Галеркина. Кроме него для нелинейных систем использованы методы регуляризации, монотонности и штрафа, а для линейных –методы компактности и регуляризации.
Ключевые слова: псевдопараболическая система уравнений, псевдопараболическая система вариационных неравенств, метод Галёркина, метод регуляризации, метод монотонности, метод компактности, метод штрафа.
Підписано до друку 06.03.2002 р. Формат 60х84/16.
Папір офсетний. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 1.0. Наклад 100.
Надруковано у Національному університеті “Львівська політехніка”
79013, м. Львів, вул. Ст. Бандери, 12