Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ЧАЙКОВСЬКИЙ Андрій Володимирович
УДК 517.98
ОБМЕЖЕНІ РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
ЗІ ЗСУВАМИ АРГУМЕНТУ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРІ
01.01.02 –диференціальні рівняння
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ-2001
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Київського
національного університету імені Тараса Шевченка
Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, доцент
ГОРОДНІЙ Михайло Федорович
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
докторант кафедри диференціальних рівнянь
Офіційні опоненти
доктор фізико-математичних наук, професор
САМОЙЛЕНКО Валерій Григорович
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
завідувач кафедрою математичної фізики
кандидат фізико-математичних наук
КАШПІРОВСЬКИЙ Олексій Іванович
Національний університет “Києво-Могилянська академія”,
старший викладач
Провідна установа:
Інститут математики НАН України,
відділ диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань,
м. Київ
Захист відбудеться “24” грудня 2001 року о 14 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради 26. 001. 37 у Київському національному
університеті імені Тараса Шевченка за адресою:
м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7,
механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського
національного університету імені Тараса Шевченка
(Київ, вул. Володимирська, 58).
Автореферат розіслано “15” листопада 2001 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.
Актуальність теми. Незважаючи на те що вперше диференціальні рівняння зі зсувами аргументу з`явилися в літературі ще у 18 ст., систематичне вивчення їх властивостей розпочалося в середині 20 ст. у зв`язку з потребами багатьох прикладних наук. В кінці 40-х років цю проблему досліджували А.Д. Мишкіс, Е.М. Райт, Р.Беллман. Інтенсивний розвиток теорії відбувався завдяки тому, що диференціальні рівняння зі зсувами аргументу застосовуються в теорії автоматичного управління, теорії автоколивних систем, при вивченні проблем, пов`язаних із горінням у ракетному двигуні, проблем довгострокового планування в економіці, ряду біофізичних проблем і в багатьох інших галузях науки та техніки. Наприклад, в системах автоматичного регулювання запізненням є проміжок часу, що принципово завжди необхідний системі для реагування на вхідний імпульс. Постійне запізнення відображає реальні явища, пов`язані з передачею звукового сигналу, з гідравлічним ударом або іншим хвильовим процесом. Прикладами застосувань цієї теорії є рівняння, які досліджуються у роботах Дж. Маррі, Дж. Хейла, Е. Пінні, Н.Н. Красовського та ін.
Надалі почала інтенсивно розвиватись теорія диференціальних рівнянь відносно функцій зі значеннями в банаховому просторі, які узагальнюють такі об’єкти, як нескінченні системи звичайних диференціальних рівнянь, деякі класи диференціальних рівнянь з частинними похідними, диференціально-інтегральні рівняння. Теорія існування та єдиності розв`язків лінійних диференціальних рівнянь без зсувів аргументу та з обмеженим операторним коефіцієнтом відносно функцій зі значеннями у банаховому просторі була розвинена Ю.Л. Далецьким та М.Г. Крейном. Ряд результатів щодо рівнянь зі зсувами аргументу було отримано З.І. Рехлицьким, А.І. Дашевським, В.Ю. Слюсарчуком, Р.Г. Алієвим, В.Г. Курбатовим, Е. Мухамадієвим. Теорія диференціальних рівнянь з необмеженим операторним коефіцієнтом була розпочата роботами Хіллє та Іосіди (1948), в яких були отримані перші теореми про існування розв`язку задачі Коші для лінійного однорідного рівняння відносно функції зі значеннями у банаховому просторі, сформульовані в термінах напівгруп операторів. Продовжували дослідження диференціальних рівнянь з необмеженими операторними коефіцієнтами Т. Като, С.Г. Крейн, Д. Хенрі та ін.
Незважаючи на досить суттєву кількість досліджень залишився недостатньо розробленим випадок розв’язків, обмежених на всій осі, а також періодичних і майже періодичних розв’язків. Дослідженню цих питань і присвячена дисертаційна робота.
Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов’язана з науково-дослідними роботами кафедри математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка “Математичний аналіз еволюційних систем в абстрактних просторах та його застосування” №97044, яка входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” №0197U003014.
Мета і задачі дисертації. Метою дисертації є
вивчити необхідні і достатні умови існування та єдиності обмежених, періодичних та майже періодичних розв’язків лінійних диференціальних рівнянь зі зсувами аргументу з обмеженими операторними коефіцієнтами у банаховому просторі, одержати зображення розв’язків;
дослідити лінійні диференціальні рівняння з обмеженими операторними коефіцієнтами у банаховому просторі за умови невиконання необхідних і достатніх умов існування та єдиності обмежених розв’язків, одержати достатні умови існування і знайти розв’язки у явному вигляді;
дослідити умови існування і єдиності розв’язків нелінійного диференціального рівняння у банаховому просторі з обмеженими та необмеженими операторними коефіцієнтами.
Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи операторного числення Ріса-Данфорда для зведення диференціальних рівнянь до операторних, які можна дослідити методами функціонального аналізу; методи теорії узагальнених функцій, що переносяться на операторнозначні функції для дослідження розв’язків однорідного диференціального рівняння з одним зсувом і обмеженим операторним коефіцієнтом; методи теорії стискаючих відображень для дослідження нелінійних рівнянь, що відповідають дослідженим лінійним.
Наукова новизна одержаних результатів. Необхідні і достатні умови існування та єдиності обмежених, періодичних та майже періодичних розв’язків лінійних диференціальних рівнянь, які були відомі раніше, розповсюджуються на випадок функцій зі значеннями у довільному банаховому просторі, вперше знайдено зображення для розв’язків цих рівнянь.
Розвинено теорію узагальнених операторнозначних функцій, що дозволило одержати нові результати щодо лінійних диференціальних рівнянь з обмеженими операторними коефіцієнтами у банаховому просторі за умови невиконання необхідних і достатніх умов існування та єдиності обмежених розв’язків.
Результати щодо існування розв’язку нелінійного рівняння є узагальненням відомих результатів щодо рівнянь без зсуву аргументу на новий клас рівнянь зі зсувами аргументу.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення. Одержані результати можуть бути використані при подальшому дослідженні лінійних диференціальних рівнянь зі зсувами аргументу з обмеженими та необмеженими операторними коефіцієнтами у банаховому просторі.
Особистий внесок здобувача. За виключенням формулювання необхідних і достатніх умов існування і єдиності розв’язків в другому розділі і деяких допоміжних результатів з першого розділу, які були відомі раніше, інші результати отримано автором дисертації.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на науковому семінарі “Числення Маллявена” в інституті математики НАН України (1999 р.), на науковому семінарі з функціонального аналізу в Інституті математики НАН України (2000 р.), на VIII міжнародній конференції ім. акад. М. Кравчука (2000 р.), на науковому семінарі “Теорія функцій” на механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2001 р.).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в чотирьох працях, з яких три надруковано у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.
Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації –сторінки. Список використаних джерел займає 9 сторінок і включає 86 найменувань.
Автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові Городньому Михайлу Федоровичу за постановку розглянутих у дисертаційній роботі задач та постійну увагу до роботи.
ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі дисертації обґрунтовано актуальність обраної теми досліджень, викладено загальний огляд літератури за темою, визначена мета і задачі дослідження, описуються основні результати дисертації.
У розділі 1 наведено основні поняття і твердження з теорії функцій зі значеннями у банаховому просторі, викладено основні означення і допоміжні результати, що використовуються в наступних розділах. Наведемо ті з них, що необхідні для розуміння змісту основних результатів дисертації.
Нехай –комплексний банахів простір, –нульовий елемент цього простору; –простір лінійних неперервних операторів, що діють з у , норму в якому теж будемо позначати символом , –нульовий оператор, (або ) –одиничний оператор. Якщо , то обернений оператор, якщо він існує, позначатимемо , резольвенту оператора в точці , тобто оператор . (для тих , для яких він існує) позначатимемо . Спектр оператора , тобто множину ., позначатимемо символом .. Для інших банахових просторів також будуть використані позначення, аналогічні введеним для простору .
Нехай числа . –фіксовані. Визначимо такі простори. ., ., . і . –комплексні банахові простори з поточковим додаванням і множенням на скаляр.
Введемо також при фіксованому . простори з нормою і з нормою. Ці простори є банаховими, як декартові добутки банахових просторів.
Для функцій з простору визначимо оператор . наступним чином.
Звуження оператора на простори, на яких він теж є неперервним, позначатимемо тією ж літерою.
Визначимо також оператор . таким чином.
Нехай –фіксовані натуральні числа, –довільна обмежена функція.
У розділі 2 вивчаються властивості лінійного рівняння з обмеженими операторними коефіцієнтами
., (1)
відносно .і його узагальнення (2) відносно обмежених разом із похідними розв’язків.
Рівняння, аналогічні (1) та (2) відносно функцій з дійсними значеннями вивчалися в роботах Л.Е. Ельсгольца та С.Б. Норкіна, Р. Беллмана та К. Кука, А.Д. Мишкіса, Х.Л. Массери та Х.Х. Шеффера, Е.Пінні, Дж. Хейла, З.І. Рехлицького, Р.Г. Алієва, А.І. Дашевського, В.Г. Курбатова, В.Ю. Слюсарчука та ін. Лінійні функціонально-диференціальні рівняння в банаховому просторі вивчалися в роботах В.Ю. Слюсарчука, Р.Г. Алієва, О.І. Кашпіровського, В.Г. Радзієвського та ін. При цьому в більшості вищенаведених робіт (за виключенням робіт В.Ю. Слюсарчука) розглядаються розв’язки рівнянь на відрізку, на півосі, значно менше уваги приділяється випадку розв’язку, визначеного на всій осі.
Перший важливий результат другого розділу містить
Лема 2.4. Якщо виконується умова
., (3)
то однорідне рівняння, яке відповідає рівнянню (1), (4) не має ненульових обмежених розв’язків.
Слід зауважити, що В.Ю. Слюсарчуком отримано результат, аналогічний твердженню леми 3.3 для рівняння відносно нескінченно диференційовних функцій, на якому ґрунтується доведення цієї леми. Також справджується
Теорема 2.1. Рівняння (1) має для кожного . єдиний розв’язок . тоді і лише тоді, коли виконується умова (3). За умови (3) розв’язок допускає зображення у вигляді
., (5)
де
.,
–функція зі значеннями в просторі ..
Зауважимо, що для рівняння (1) у випадку одного зсуву аргументу, умову теореми можна також подати у вигляді, більш зручному для перевірки..
Теорема 2.1 є узагальненням відомої теореми М.Г. Крейна, сформульованої для аналогічного рівняння без зсувів аргументу. В теоремі також наведено зображення розв`язку у вигляді інтеграла по скінченному проміжку, яке відрізняється від наведеного М.Г. Крейном навіть у випадку рівняння без зсувів і в деяких випадках може бути більш зручним для оцінювання.
Умова (3) була відома і раніше. Для рівняння, аналогічного (1), (2) з нескінченною кількістю довільних зсувів у випадку комплекснозначних функцій і числових коефіцієнтів В.Ю. Слюсарчуком іншими методами отримано результат, аналогічний першій половині теореми 2.1. Зображення (5) є новим.
Визначимо для довільного цілого ., оператор .. Тут –символ Кронекера.
Узагальненням теореми 2.1 на випадок рівняння (2) є
Теорема 2.2. Рівняння (2) має для кожного . єдиний розв’язок . такий, що . тоді і лише тоді, коли виконується умова (6)
Цей розв’язок допускає зображення разом зі своїми похідними в просторі , де G(t) –функція зі значеннями в просторі ..
Наступний результат стосується майже періодичних за Бором функцій. Наведемо означення майже періодичної функції зі значеннями у довільному комплексному банаховому просторі.
Означення 2.1. Функцію називають майже періодичною за Бором, якщо для довільного додатного епсілон існує довжина така, що на довільному проміжку цієї довжини функція має епсілон-майже період.
Теорему про існування і єдиність майже періодичного розв’язку для рівняння без зсувів аргументу було доведено М. Г. Крейном. Наступний наслідок теореми 2.2 узагальнює її на випадок рівнянь зі зсувами аргументу.
Наслідок 2.1. Рівняння (2) має для кожного майже періодичного . єдиний майже періодичний розв’язок . такий, що . тоді і лише тоді, коли виконується умова (6).
Цей розв’язок допускає зображення разом зі своїми похідними в просторі у вигляді (5).
Наступним важливим результатом є теорема про необхідні і достатні умови існування і єдиності періодичного розв`язку рівняння (1) з заданим раціональним періодом , що узагальнює ще одну відому теорему М.Г. Крейна.
Теорема 2.2. Рівняння (1) має для кожного . єдиний розв’язок . тоді і лише тоді, коли виконується умова (7). Цей розв’язок допускає зображення у наступному вигляді, де G(t) –функція зі значеннями в просторі ..
В кінці розділу наведено приклади застосування теореми до різних банахових просторів.
У розділі 3 викладається теорія узагальнених функцій повільного росту зі значеннями у банаховому просторі, що є певним узагальненням теорії звичайних узагальнених функцій. В якості простору основних функцій розглядається простір функцій дійсного аргументу зі значеннями у просторі . аналітичних функцій від фіксованого обмеженого оператора . На функції накладається умова спадання за нормою швидше за деяку експоненту:
Означення 3.1. Простором основних функцій . назвемо множину функцій, що задовольняють такі умови:
.;
допускає аналітичне продовження у смугу . для деякого .;
..
Для цього простору звичайним чином вводиться поняття перетворення Фур`є та доводяться його властивості, що узагальнюють звичайні. В якості простору узагальнених функцій обирається простір усіх лінійних (не лише неперервних) функціоналів на просторі основних функцій.
Серед узагальнених функцій обирається клас регулярних функцій, що відповідають банаховозначним функціям дійсного аргументу, які зростають по нормі повільніше за будь-яку експоненту.
Для узагальнених функцій вводиться перетворення Фур`є, доводяться його властивості для регулярних функцій.
Другу половину третього розділу присвячено вивченню властивостей рівняння
., (8)
відносно неперервно диференційовної, а отже, і нескінченно диференційовної банаховозначної функції. Рівняння (8) є важливим частинним випадком однорідного рівняння (4). Для нього за допомогою теорії узагальнених функцій, розвиненої у цьому розділі, доводиться теорема про загальний вигляд розв`язків, що зростають за нормою повільніше за довільну експоненту. При цьому спектр операторного коефіцієнта не задовольняє, взагалі кажучи, умови, які на нього накладаються в теоремі 2.1 другого розділу.
Розв’язки знайдено для випадку, коли виконується
Умова 3.1. Нехай множини
., .
є замкненими.
При умові 3.1 спектр оператора розбивається на три замкнені компоненти, що не перетинаються між собою. Тому, згідно теорії Ріса-Данфорда, простір можна розбити у пряму суму трьох просторів, які інваріантні для оператора , причому звуження оператора на ці простори мають спектри, рівні відповідним компонентам спектру оператора.
Основним результатом розділу є
Теорема 3.3. Кожен розв’язок рівняння (8) в класі . є сумою скінченної кількості розв’язків
., (9)
. (10)
цього рівняння у інваріантних підпросторах, що відповідають частинам спектру .. Навпаки, кожна сума скінченної кількості розв’язків вигляду (9) та (10) є розв’язком рівняння (8) в класі ..
Згадані в теоремі 3.3 функції є різними гілками функції, оберненої до комплекснозначної функції ..
Слід зауважити, що результати щодо існування та єдиності розв`язків рівняння (8), що зростають не швидше многочлена на всій осі у одновимірному випадку навів E. Smidt (1912). Зокрема, він показав, що за умови (3) (де оператор є множенням на число) рівняння (8) не має ненульових розв’язків, що зростають не швидше многочлена.
У розділі 4 досліджуються нелінійне рівняння без зсувів та рівняння з одним зсувом аргументу:
., (11)
. (12)
де є -лінійні обмежені функції з нормами відповідно, причому ряд має радіус збіжності ., ..
Різноманітні нелінійні рівняння вивчалися, наприклад, у роботах Дж. Хейла, В.Г. Задорожнього, Ю.А. Митропольського, Д.І.Мартинюка, А.М. Самойленка, Г.П. Пелюха, В.Г. Самойленка, О.А. Бойчука та ін. Нелінійні рівняння з квадратичною нелінійністю без зсувів аргументу у банаховому просторі операторів вивчалися у роботах А.Я. Дороговцева, А.Я. Дороговцева та Т.О. Петрової. В цих роботах отримано умови існування розв`язку нелінійного рівняння при певних обмеженнях на нелінійність. Вигляд нелінійної частини рівнянь (11), (12) запропонований М.Ф. Городнім при вивченні нелінійних різницевих рівнянь у банаховому просторі.
Нехай . –стала, що залежить від оператора . Позначимо також ..
Для формулювання основного результату використовується така лема.
Лема 4.4. 1. Для функції існує скінченне .
2. Якщо ., то.
Позначимо для кожного .:
..
Наступна теорема містить достатні умови існування обмеженого розв`язку рівнянь (11) і (12), причому вказується функціональна множина, в якій він єдиний.
Теорема 4.1. 1. Нехай ., .; і –числа з твердження леми 4.4. Тоді рівняння (11) має єдиний розв’язок в і не має інших розв’язків в при довільному ..
. Якщо . і ., і –числа з твердження леми 4.4, то рівняння (12) має єдиний розв’язок в і не має інших розв’язків в при довільному ..
Ще одним важливим твердженням є теорема про існування кількох різних обмежених розв`язків рівняння (11).
Припустимо, що рівняння (13) має розв’язок . і .. Визначимо ., ., –-лінійні обмежені функції, норми яких позначимо .. Для визначимо сталі аналогічно . Нехай .–інший розв’язок рівняння (13). Аналогічно попередньому визначимо . Тоді справджується
Теорема 4.2. Припустимо, що виконується нерівність
..
Тоді:
. За умови . рівняння (11) має два різні розв’язки . причому
.
де розглядаються, як постійні функції, і –константи, що залежать від операторів і та від функції.
. За умови
.
рівняння (12) має два різні розв’язки . причому
.
де . розглядаються, як сталі функції.
Друга частина четвертого розділу узагальнює результати щодо нелінійного рівняння на випадок лінійної частини з необмеженим операторним коефіцієнтом. Розв`язування таких рівнянь базується на теорії напівгруп операторів. Рівняння з необмеженим операторним коефіцієнтом розглядалися у роботах Е.Хіллє, К. Іосіди, Т. Като, Д. Хенрі, С.Г. Крейна, А.А.Панкова, М.І. Гіля, О.І. Кашпіровського. Нелінійні рівняння з квадратичною нелінійністю та необмеженим операторним коефіцієнтом відносно операторнозначних функцій вивчалися в роботах А.Я. Дороговцева та Т.О. Петрової.
В другій частині четвертого розділу вимагається, аби замкнений лінійний оператор з щільною множиною визначення . і спектром . задовольняв умови:
1) .;
2) . –секторіальний,
а функція в правій частині диференціального рівняння була гельдеровою. За цих умов перші частини теорем 4.1 та 4.2 виконуються і у випадку необмеженого оператора.
Наводяться приклади, що ілюструють сформульовані твердження.
ВИСНОВКИ
В дисертації досліджено питання існування та єдиності обмежених, періодичних та майже періодичних розв`язків диференціальних рівнянь зі зсувами аргументу відносно функцій у банаховому просторі.
В другому розділі для випадку довільного банахового простору доведено необхідні і достатні умови існування та єдиності обмежених, періодичних та майже періодичних розв`язків лінійних диференціальних рівнянь довільного порядку зі зсувами аргументу. Вперше отримано зображення цих розв’язків.
В третьому розділі для випадку, коли необхідні і достатні умови існування та єдиності розв`язків не виконуються, отримана достатня умова існування розв’язків однорідного диференціального рівняння з одним зсувом аргументу і знайдені відповідні розв’язки. Для цього деякі факти теорії узагальнених функцій повільного зростання узагальнюються на випадок операторнозначних функцій.
В четвертому розділі для одного класу нелінійних диференціальних рівнянь з обмеженим операторним коефіцієнтом як зі зсувом аргументу, так і без нього, знайдено умови існування і єдиності в певних функціональних класах одного та більшої кількості обмежених на осі розв’язків. Результати щодо рівняння без зсувів аргументу узагальнено на випадок необмеженого операторного коефіцієнта.
Результати роботи можуть бути використані в теорії диференціальних рівнянь зі зсувами аргументу, теорії динамічних систем, теорії узагальнених функцій, теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними та її застосуваннях.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Чайковський А.В. Про існування та єдиність обмежених розв`язків диференціальних рівнянь зі зсувами аргументу в банаховому просторі// Доповіді НАН України. –, №8, С. 33-37.
Чайковський А.В. Існування та єдиність періодичних розв`язків лінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу в банаховому просторі// Тези міжнародної конференції ім. акад. Кравчука. –Київ, 2000, С. 214.
Чайковський А.В. Дослідження одного лінійного диференціального рівняння за допомогою узагальнених функцій зі значеннями у банаховому просторі// Укр. мат. журн. –. –53, №5, С. 688-693.
Чайковський А.В. Про існування і єдиність розв`язку нелінійного диференціального рівняння з необмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі// Вісник Київського університету, серія математика і механіка. –, вип.4., С. 37-42.
Чайковський А.В. Існування і єдиність обмежених і періодичних розв’язків диференціальних рівнянь зі зсувами аргументу в банаховому просторі. –Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 –диференціальні рівняння. –
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.
Наведено необхідні і достатні умови існування і єдиності обмеженого на осі розв’язку лінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу в банаховому просторі за умови обмеженості правої частини рівняння. Знайдено зображення розв’язку.
Викладено узагальнення деяких фактів теорії узагальнених функцій повільного зростання на випадок операторнозначних основних функцій. Запропонована конструкція регулярних узагальнених функцій зі значеннями у банаховому просторі. Отримані результати застосовано для опису повільно зростаючих розв’язків лінійного диференціального рівняння з одним зсувом аргументу і обмеженим операторним коефіцієнтом у випадку, коли. необхідні і достатні умови існування і єдиності обмеженого розв’язку не виконуються.
Знайдено достатні умови існування обмеженого розв’язку нелінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу у випадках обмеженого і необмеженого операторного коефіцієнта за умови обмеженості правої частини рівняння. Вказано функціональну область, в якій лежить розв’язок. розв'язків
Ключові слова: диференціальне рівняння, зсув аргументу, банахів простір, обмежений розв’язок.
Чайковский А.В. Существование и единственность ограниченных и периодических решений дифференциальных уравнений с отклонениями аргумента в банаховом пространстве. –Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 –дифференциальные уравнения. –
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.
Диссертация посвящена исследованию существования и единственности ограниченных, периодических и почти периодических решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом относительно функций со значениями в произвольном банаховом пространстве.
Во вступлении показана актуальность исследуемой проблемы и освещены предшествующие исследования.
В первом разделе введены определения необходимых понятий, пространств и операторов, а также доказаны вспомогательные утверждения. Именно, найдены спектры оператора сдвига аргумента в различных пространствах и обобщены некоторые результаты теории аналитических функций от линейных непрерывных операторов.
Во втором разделе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка с целыми отклонениями аргумента в банаховом пространстве. Приведены необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченного на оси, периодического с целым периодом и почти периодического решения при условии ограниченности (периодичности, почти периодичности) правой части уравнения. Найдены представления решений.
В третьем разделе изложено обобщение некоторых фактов теории обобщенных функций медленного роста на случай операторнозначных основных функций. Предложена конструкция регулярных обобщенных функций со значениями в банаховом пространстве, растущих медленнее любой экспоненты. Полученные результаты применены для описания медленно растущих решений линейного дифференциального уравнения с одним отклонением аргумента и ограниченным операторным коэффициентом в случае, когда необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченного решения не выполняются.
В четвертом разделе найдены достаточные условия существования ограниченного решения нелинейных дифференциальных уравнений как с запаздыванием аргумента, так и без него в случае ограниченного операторного коэффициента при условии ограниченности правой части уравнения. Далее эти условия в случае уравнения без запаздывания аргумента обобщены на случай неограниченного операторного коэффициента. При этом операторный коэффициент должен быть секториальным, а функция в правой части –гельдеровой. В каждом случае указана функциональная область, в которой лежит решение. Приведены также условия, при которых существует несколько разных ограниченных решений уравнения.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, отклонение аргумента, банахово пространство, ограниченное решение.
Chaikovskiy A.V. Existence and uniqueness of bounded and unbounded solutions of a differential equations with argument’s displacements in Banach space. –Manuscript.
The thesis for degree of candidate of phisical and mathematical sciences in the Differential Equations with the code 01.01.02. –
Taras Shevchenko Kyiv national university, Kyiv, 2001.
Necessary and sufficient conditions of existence and uniqueness of the bounded solution of linear differential equation with argument’s displacements in Banach space are given provided the equation’s right side is bounded. Representation of the solution is found.
A generalization of some facts of the theory of generalized functions of slow growth for the case of operator-valued basic functions is given. The construction of regular generalized functions with values in Banach space is proposed. Obtained results are used for description of slowly growing solutions of the linear differential equation with argument`s displacement and bounded operator coefficient in Banach space provided the necessary and sufficient conditions of existence and uniqueness of the bounded solution are not valid.
Sufficient conditions of existence of bounded solutions of non-linear differential equation with a bounded and unbounded operator coefficient in Banach space are given provided the right-hand side of equation is bounded, and uniqueness of the solution in the given area is proved. Conditions are given for existence of several different bounded solutions.
Key words: differential equation, argument’s displacement, Banach space, bounded solution.