Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ ім. М.М. БОГОЛЮБОВА
Жук Олександр Іванович
УДК 524.83: 531.51: 530.145
Багатовимірна класична і квантова космологія
01.04.02 - теоретична фізика
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ - 1999
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Одеському держуніверситеті ім. І.І. Мечникова Міністерства освіти України
Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор
Адамян Вадим Мовсесович
Одеський держуніверситет, завідуючий кафедрою теоретичної фізики
Офіційні опоненти:
доктор фіз.-мат. наук Заславський Олег Борисович, Харківський держуніверситет, старший науковий співробітник
доктор фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Парновський Сергій Людомирович, Астрономічна обсерваторія Київського університету ім. Тараса Шевченка , провідний науковий співробітник
доктор фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Ситенко Юрій Олексійович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, провідний науковий співробітник
Провідна установа:
Дніпропетровський державний університет, фізичний факультет Міністерства освіти України, м. Дніпропетровськ
Захист відбудеться "_____" _________________1999 р. о ______ годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д 26.191.01 Інституту теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України за адресою: 252143, м. Київ, вул. Метрологічна, 14-Б.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту теоретичної фізики
ім. М.М.Боголюбова НАН України за адресою: 252143, м. Київ, вул. Метрологічна, 14-Б.
Автореферат розісланий "_____" _________________ 1999 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради _____________________ Кузьмичев В.Є.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми.
Багатовимірна космологія - це новий напрямок в науці про виникнення і еволюцію Всесвіту, який швидко розвивається. Основна його відмінність від стандартного уявлення про геометрію Всесвіту полягае в припущенні про те, що кількість вимірів простору-часу є більшою, ніж чотири. Підставою для такого підходу став бурхливий розвиток теорій об'єднання фундаментальних взаємодій - струн, суперструн и т.і., які мають найбільш узгоджене формулювання саме у просторі-часі з кількістю вимірів більше, ніж чотири. Необхідно зазначити, що, в принципі, вивчення багатовимірної космології можно виконувати й безвідносно до посилань на струнні теорії, якщо ставити перед собою задачу побудови спостерігаємої картини світу за припущенням існування додаткових вимірів. Іншими словами, узагальнити відомі моделі Фрідмана, Казнера і де Сіттера на багатовимірний випадок і, починаючи з первісного стану, коли усі виміри були рівноправні, прийти до эфективно чотиривимірного сучасного Всесвіту. В дисертації доведена принципова можливість такого підходу. Показано, что можливо побудувати такі моделі, в рамках котрих зовнішній (наш) простір у ході еволюції Всесвіту зазнає розширення, а внутрішні простори залишаються стабільно компактифікованими навколо планківських масштабів, що приводить до эфективно чотиривимірного Всесвіту.
Регулярні дослідження у цьому напрямку почались біля 15 років тому і були спричинені значним прогресом у побудові струнних і суперструнних теорій. Ідея про багатовимірність простору-часу була висловлена в двадцятих роках у піонерських роботах Калуци і Клейна. Але в цих та в ряді наступних робіт додаткові виміри використовувались швидше як математичний трюк для отримання теорій об'єднання фізичних взаємодій, ніж як реально існуючі додаткові координати. Розвиток струнних теорій дозволив глянути на додаткові виміри як на реальні об'єкти. Такий підхід привів до виникнення багатовимірної космології, у якій поведінка Всесвіту досліджується з врахуванням додаткових вимірів. Ці дослідження мають фундаментальне значення не тільки для космології і астрофізики, але і для фізики елементарних частинок, оскільки, з одного боку, дають можливість досліджувати глобальну топологічну структуру Всесвіту, його еволюцію, а, з іншого боку, є полігоном для перевірки сучасних теорій об'єднання фундаментальних взаємодій.
В багатовимірних моделях, що розглядаются у дисертації, робиться припущення, що багатостатність зазнала спонтанної компактифікації де - зовнішній простір-час, а - внутрішні простори. Зовнішні і внутрішні простори обрані у вигляді просторів Ейнштейна. Динаміка як зовнішнього, так і внутрішнього просторів описується масштабними факторами . Як матеріальне джерело, розглядаються мінімальне скалярне поле, ідеальна рідина і космологічна стала. Інтегрування багатовимірних рівнянь Ейнштейна дозволяє визначити динамічну поведінку Всесвіту.
Перші результати, отримані автором у цій галузі спільно з В.Д.Іващуком і В.М.Мельниковим, були опубліковані в 1989 р. у статті [1]. На цьому етапі дослідження проводились у двох напрямках. Це, по-перше, пошук нових точних розв'язків для випадку довільної кількості внутрішніх просторів. В абсолютній більшості робіт, опублікованих до цього, розглядались точні розв'язки для моделей з одним внутрішнім простором. Узагальнення на довільну кількість внутрішніх просторів дає можливість краще зрозуміти закономірності поведінки багатовимірного Всесвіту, а також будову ефективних чотиривимірних теорій, які витікають із багатовимірних моделей. Другий напрямок досліджень полягав у квантуванні цих багатовимірних моделей і відшуканні нових точних розв'язків квантових рівнянь, що дає можливість дослідити квантову поведінку багатовимірного Всесвіту. Точні розв'язки, опубліковані у статті [1], були першими з відомих автору точних розв'язків рівнянь Уілера-де Вітта для багатовимірної космології. У подальшому акцент досліджень було зміщено в сторону пошуку моделей, в котрих зовнішній (наш) простір поводиться як спостерігаємий Всесвіт, тоді як внутрішні простори є стабільно компактифікованими навколо планківських масштабів. Важливість таких моделей полягає у тому, що вони ефективно описують спостерігаємий світ і, тим самим, доводять принципову можливість існування додаткових вимірів.
Поряд з побудовою таких моделей необхідно встановити, до яких наслідків, що могли би спостерігатися, приводить існування додаткових вимірів, оскільки саме експериментальне виявлення цих наслідків може служити підтвердженням існування додаткових вимірів. З цієї точки зору безперечний інтерес являють нові скалярні частинки- гравітаційні екситони, які завбачаються у даній дисертації.
Відкриття додаткових вимірів, якщо воно відбудеться, буде одним із найяскравіших наукових досягнень в історії людства.
Зв'язок роботи з науковими програмами і темами.
Дослідження у даному напрямку проводились у рамках бюджетних тем Одеського державного університету № 519 "Компактифікація простору-часу у квантовій космології" і № 721 "Інфляційна еволюція у багатовимірній квантовій космології", а також проектів Німецького науково-дослідного товарицтва (DFG) № 436 UKR 17 і № 436 RUS 113.
Мета і задачі дослідження.
Метою роботи є побудова як класичних, так і квантових багатовимірних космологічних моделей, дослідження еволюції Всесвіту і речовини у Всесвіті в рамках цих моделей, пояснення спостерігаємої картини світу з врахуванням додаткових вимірів і завбачення наслідків існування внутрішніх вимірів, які можна було би спостерігати.
Для досягнення цієї мети необхідно провести дослідження класичних рівнянь Ейнштейна для досліджуваних багатовимірних космологічних моделей і, зокрема, знайти моделі, котрі можуть бути точно розв'язані, оскільки точні розв'язки дозволяють детально вивчити еволюцію нашого простору, компактифікацію внутрішніх просторів і поведенку матеріальних полів.
Квантова поведінка Всесвіту описується хвильовою функцією, що задовольняє рівнянню Уілера-де Вітта. Тому для вивчення поведінки Всесвіту на квантовому рівні необхідно провести дослідження рівняння Уілера-де Вітта для відповідних моделей і знайти їх точні розв'язки.
До ряду основних завдань дисертації відносяться, по-перше, побудова моделей, в яких зовнішній простір веде себе як спостерігаємий Всесвіт, а внутрішній простір є стабільно ком-пактифікованим навколо планківських масштабів (тим самим, такі моделі ефективно описують спостерігаєму картину світу і доводять принципову можливість існування додаткових вимірів), і, по-друге, завбачення наслідків існування додаткових вимірів, які могли би спостерігатися.
Наукова новизна одержаних результатів.
В дисертації отримано цілий ряд нових точних розв'язків для багатовимірних космологічних моделей. Частина цих розв'язків є узагальненням відомих чотиривимірних розв'язків Фрідмана, Казнера і де Сіттера на випадок багатовимірних моделей з довільною кількістю внутрішніх просторів. Показано, що отримані розв'язки можна розбити на два класи. До першого класу відносяться моделі, в яких відбувається ізотропізація поширення в граничному випадку великих геометрій. Для другого класу моделей характерним є заморожування внутрішніх просторів у цьому випадку. В граничному випадку малих геометрій розв'язки з обох класів прямують асимптотично до узагальненого розв'язку Казнера.
Вперше встановлено, що редуковані ефективні чотиривимірні теорії, які випливають із досліджуваних багатовимірних моделей, мають у зображенні Ейнштейна вигляд самогравітуючої -моделі із самодією. Наведено аргументи, які показують, що для досліджуваної моделі фізичною слід вважати метрику зовнішнього простору-часу у зображенні Ейнштейна, а не Бранса-Дікке, що є важливим внеском в активну дискусію з цього питання. Приведено формули, які дозволяють перетворювати отримані розв'язки із одного зображення у інше, і на прикладі узагальненого розв'язку Казнера показано явно, що динаміка Всесвіту в цих зображеннях суттєво відрізняється.
Показано, що стабільна компактифікація внутрішніх просторів відбувається для моделей, в яких ефективний потенціал має мінімуми у просторі внутрішніх масштабних факторів. Це узагальнює результат Маєди ( Maeda, 1986 ) на довільну кількість внутрішніх просторів.
Вперше показано, що конформні збудження метрики внутрішніх просторів ведуть себе як масивні скалярні поля, які розповсюджуються на фоні зовнішнього простору-часу. Відповідні частинки одержали назву гравітаційних екситонів, і їх відкриття може стати доказом існування додаткових вимірів.
Вперше виконано канонічне квантування багатовимірних космологічних моделей з довільною кількістю внутрішніх просторів. Одержане внаслідок квантування рівняння Уiлера-де Вiтта має калiбровочно-коварiантний вигляд. Такий підхід є узагальненням процедури квантування чотиривимірних космологічних моделей ( див., наприклад, Halliwell, Hawking, 1985).
Показано, що квантові аналоги розглянутих у дисертації багатовимірних iнтегровних класичних моделей також є iнтегровними, і для всіх із них одержано нові точні розв'язки рівнянь Уiлера-де Вiтта.
Вперше побудовано розв'язки рівнянь Уiлера-де Вiтта, що задовольняють крайовим умовам багатовимірних квантових кротових нір. Виконано процедуру третинного квантування на прикладі багатовимірних моделей з довільною кількістю річчi-плоских внутрішніх просторів і вперше показано для цих моделей, що спектр числа Всесвітів, народжених із початкового вакуумного стану, має тепловий характер.
Вперше розглянуто квантове народження ( туннелювання ) багатовимірного Всесвіту із класично забороненої області і показано, що можна підібрати параметри моделі таким чином, що після спонтанного народження зовнішній простір зазнає iнфляційного розширення, а внутрішні простори стискаються до планківських масштабів.
Практичне значення одержаних результатів.
Одержані результати мають фундаментальне значення, бо роблять значний внесок у розвиток нового напрямку - класичної і квантової багатовимірної космологii. Отримані розв'язки дають можливість дослідити виникнення і еволюцію Всесвіту з додатковими вимірами і показують, яким чином багатовимірний Всесвіт може стати ефективно чотиривимірним, підтверджуючи тим самим принципову можливість існування додаткових вимірів. Особливе практичне значення має завбачення існування нових частинок - гравітаційних екситонів, оскільки відкриття цих частинок стало би підтвердженням існування додаткових вимірів.
Особистий внесок здобувача.
В роботах [11, 12, 15, 16, 19, 24] здобувачем отримано нові точні розв'язки класичних багатовимірних космологічних моделей.
У роботі [21] автором дисертації встановлено вигляд ефективних редукованих скалярно-тензорних теорій, які випливають із багатовимірних космологічних моделей, досліджуваних в дисертації. В тій же роботі, а також в статтях [25] - [28], автор показав, що ці ефективні теорії мають у зображенні Ейнштейна вигляд самогравiтуючої -моделі із самодією.
У роботі [30] автор одержав формули, що зв'язують між собою розв'язки у зображеннях Бранса-Дікке і Ейнштейна.
В роботі [8] автором встановлено умови, за котрих моделі, що розглядаються, дозволяють розв'язки із статичними внутрішніми просторами. В статтях [25] - [28] автор показав, що ці статичні розв'язки будуть стабiльними, якщо ефективний потенціал у зображенні Ейнштейна має мінімуми, а малі збурення біля мінімумів ведуть себе у зовнішньому просторі як масивні скалярні частинки - гравітаційні екситони.
В роботі [28] автор показав, що можна побудувати багатовимірні космологичнi моделі, в яких зовнішній ( наш ) простір веде себе як Всесвіт Фрiдмана, а внутрішні простори є стабільно компактифікованими.
В роботі [1] автором проведенно розрахунки за процедурою канонічного квантування багатовимірних космологічних моделей. В роботах [2, 7, 12] дисертантом отримано нові точні розв'язки квантового рівняння Уiлера-де Вiтта.
Апробація результатів дисертації.
Основні результати досліджень, включених в дисертацію, доповідались на таких конференціях :
Physikertagung der DPG ( 58-ий з'їзд німецького фізичного товариства ), Hamburg, 14 - 18 Mrz, 1994.
Міжнародна школа-семінар " Багатовимірна гравітація і космологiя ", Ярославль, 20 - 26 червня 1994 р.
Міжнародна наукова конференція "Астрофізика і космологiя після Гамова", присвячена 90-річчю з дня народження Г. А. Гамова, Одеса, 5 -10 вересня 1994 р.
VI міжнародний семінар " Квантова теорія гравітації ", присвячена пам'яті академіка М. А. Маркова, Москва, 12 - 19 червня 1995 р.
Міжнародна школа-семінар " Засади теорії гравітації і космологii ", Одеса, 4 -10 вересня 1995 р.
Physikertagung der DPG ( 60-ий з'їзд німецького фізичного товариства ), Jena, 11 - 15 Mrz 1996.
Російська гравітаційна конференція "Теоретичні і експериментальні проблеми гравітації", Новгород, 24 - 30 червня 1996 р.
8-th Marcel Grossmann meeting "On recent developments in Theoretical and Experimental General Relativity, Gravitation and Relativistic Field Theories", Jerusalem, June 22 - 27, 1997.
International Workshop " Modern Theories of Gravitation and Cosmology ", Beer Sheva, June 29 - 30, 1997.
Міжнародна школа-семінар " Проблеми теоретичної космологii ", Ульянівськ, 1 - 7 вересня 1997 р.
Міжнародна конференція з космомікрофiзики " Космiон - 97", присвячена 10 роковинам пам'яті Я. Б. Зельдовича, Москва, 8 - 14 грудня 1997 р.
International Seminar on Mathematical Cosmology, Potsdam, 30 March - 4 April, 1998.
Результати досліджень доповідались також на семінарах в університетах м.Кембрiджа (Англія), м.Фрайбурга (Німеччина), м.Констанца (Німеччина), м.Потсдама (Німеччина), м.Берліну (Вільний університет і Технічний університет), в Державному астрономічному інституті ім. П.К.Штернберга (м.Москва), в Інституті теоретичної фізики їм.М.М.Боголюбова (м.Київ).
Публікації.
Основні результати опубліковані в 26 статтях в наукових журналах (з котрих 12 статтей є самостійними публікаціями без співавторів), в 2 збірках наукових праць і в 2 препринтах.
Структура і обсяг дисертації.
Дисертація складається з вступу, шести розділів, висновків, п'яти додатків і списка ви-користаних джерел, що включає 383 найменувань. Повний обсяг дисертації складає 327 сторінок, з яких список літератури займає 33 сторінки і додаток - 45. В дисертації приведено 23 малюнки.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації і сформульовано цілі роботи. Освітлено найбільш важливі проблеми, якими займається багатовимірна класична і квантова космологiя, і виконано огляд літератури з цих питань. Стисло подано основні результати роботи і визначено місце досліджень, які розглядаються у дисертації, серед інших робіт.
В першому розділі описано клас багатовимірних космологічних моделей, досліджуваних в дисертації. Припускається, що багатовимірна багатостатність зазнала спонтанної компактифікацiї
, (1)
де - зовнішній простір-час і - внутрішні простори. Метрика на цій багатостатності має вид
, (2)
де метрика визначена на - вимірній багатостатності і - масштабний фактор простору , що визначає динамічну поведінку . Зовнішній і внутрішній простори є просторами Ейнштейна : , .
Дія для моделей, що досліджуються, має вигляд
, (3)
де - повна вимірність простору-часу, - D-вимірна гравітаційна стала і - D-вимірна космологічна стала. Скалярна кривизна містить члени лiнійні за другими похідними від метрики. Для коректної процедури квантування дія повинна містити тільки перші похідні від метрикi. Тому в дію включено член Йорка-Гiббонса-Хокiнга , що усуває другі похідні. - дія матеріальних (негравiтаційних) однорідних полей.
Як матеріальні поля, розглянуто ідеальну рідину і скалярні поля, мінімально пов'язані з гравітаційним. Показано, що, внаслідок однорідного метричного анзаца (2) і однорідностi матеріальних полей, дослідження цих моделей зводиться до вивчення руху механічної системи в ()-вимірному просторі (мiнiсуперпросторі), яка описується лагранжiаном
, (4)
де - компоненти мiнiсуперпросторової метрики
, . (5)
Потенціал визначається формулою
, (6)
де для мінімальних скалярних полей з потенціалами і для багатокомпонентної ідеальної рідини з густиною енергії .
Мiнiсуперпросторова метрика може бути дiагоналiзована в різних координатних системах. Найбільш зручними виявляються такі дві координатні системи:
, , (7)
і
, , (8)
, ,
де і . В цих системах мiнiсуперпросторова метрика має вигляд
. (9)
В дисертації показано, що першу координатну систему зручно використовувати в зображенні Бранса - Дікке, оскільки в цьому зображенні динамічний об'єм Всесвіту визначається як
. (10)
Другу систему координат зручно використовувати в зображенні Ейнштейна, оскільки в цьому зображенні масштабний фактор зовнішнього простору пов'язаний простим співвідношенням з координатою .
Основна ідея iнтегрування рівнянь руху моделей, котрі досліджуються в дисертації, полягає в тому, що для всіх цих моделей потенціали є функціями тільки координат або виду
, (11)
(12) відповідно. Для окремих значень параметрів рівняння Ейлера - Лагранжа можна повністю проiнтегрувати в квадратурах. Ці випадки детально розглянуто в другому розділі. В першому розділі приведено загальні формули, що мають місце для довільних значень параметрів і, крім того, для довільного виду функцій і . Показано, що масштабні фактори мають вигляд відповідно
, (13)
i
, , , (14)
де - гармонійний час ( у калiбровці ), - сталі iнтегрування, а задовольняють співвідношенням у першому випадку і у другому.
Щоб остаточно визначити поведінку масштабних факторів, необхідно знайти функції і , що, відповідно, задовольняють рівнянням
(15)
i
, (16)
де параметр відіграє роль енергії. Проте вид функцій (13), (14) дозволяє описати aсимптотичну поведінку масштабних факторів, не розв'язуючи рівнянь (15) і (16). У граничному випадку великих геометрій, (який відповідає ), для розв'язкiв (12) відбувається iзотропiзация розширення в усіх напрямках : (), а для розв'язкiв (14) відбувається заморожування внутрішніх просторів: (). Якщо випадок великих геометрій відповідає класично забороненій евклiдовій області, то характерною асимптотичною поведінкою для обох видів розв'язкiв є кротові нори, тобто великі евклiдові області простору, що сполучені між собою через горловину. У випадку малих геометрій, , Всесвіт для обох типів розв'язкiв описується узагальненим розв'язком Казнера:
, , (17)
де - час в синхронній системі відліку, а параметри задовольняють, за відсутності скалярних ступенів свободи, відомим співвідношенням для розв'язку Казнера : .
В другому розділі приведено цілий ряд нових точних розв'язків для багатовимірних космологічних моделей, описаних у першому розділі. Точні розв'язки для досліджуваних моделей існують тоді, коли рівняння (15) і (16) з потенціалами (11) і (12) можуть бути розв'яані в квадратурах. Це має місце при таких значеннях параметрів в потенціалах і : в однокомпонентному випадку ( ) для довільного , при цьому компонента =0 відповідає мінімально зв'язаному вільному скалярному полю, що еквівалентно ідеальній рідині з наджорстким рівнянням стану ; у двокомпонентному випадку ( ) для і довільного або, коли параметри і пов'язані співвідношенням =2; у трикомпонентному випадку ( ), коли =0 і параметри і пов'язані між собою співвідношенням = 2. Для всіх цих випадків приведено точні розв'язки і описано динамічну поведінку масштабних факторів.
Отримані розв'язки можна поділити на два класи, в залежності від того, чи потрібно розв'язувати рівняння (15) відносно координати , або рівняння (16) відносно координати . Виняток складає узагальнений розв'язок Казнера, що має місце для моделі з річчi плоскими зовнішнім і внутрішніми просторами і мінімально зв'язаним вільним скалярним полем . У цьому випадку потенціал в лагранжiані (4), і вибір - або -координат є рівнозначним. Отримані для цієї моделі розв'язки розбиваються на два типи:
1. , , , (18)
де і є довільними сталими iнтегрування, а параметри задовольняють умовам i . Рівняння (18) узагальнює відомий розв'язок Казнера для чотиривимірного анізотропного Всесвіту на багатовимірний випадок з топологiєю (1) у присутності вільного мінімально зв'язаного скалярного поля. Якщо скалярне поле відсутнє, тобто , то умови на параметри набувають стандартного вигляду: .
2. , , , (19)
де параметри задовольняють умовам і . Звідси випливає, що цей тип розв'язків має місце тільки для уявного скалярного поля. Відмінною рисою цього розв'язку є те, що, на відміну від казнерівського розв'язка, повний об'єм Всесвіту залишається незмінним: , і з цієї причини описує стаціонарний Всесвіт. Даний розв'язок є винятковим і належить у просторі iмпульсів гiперплощині .
До першого класу розв'язків, отриманих за допомогою iнтегрування рівнянь у - координатах, відносяться розв'язки для багатовимірних космологічних моделей з річчi-плоскими просторами () і космологічною сталою в присутності мінімально зв'язаного скалярного поля (для цієї моделі потенціал в рівнянні (15) має вигляд ), а також розв'язки для багатовимірних космологічних моделей з річчi-плоскими просторами () у присутності багатокомпонентного мінімального скалярного поля, яке за додаткової умови стає еквівалентним багатокомпонентній ідеальній рідині. Таке поле приводить, наприклад, до потенціалу виду , де перша компонента () відповідає речовині з наджорстким рівнянням стану , друга, (), аналогічна пилеподібній речовині , і третя компонента () відповідає вакууму .
Як приклад, наведено розв'язок для моделі з космологічною сталою в присутності мінімально зв'язаного вільного скалярного поля ( при додатному значенні параметра ):
, , (20)
де , - власний час, , . Сталі iнтегрування і степені задовольняють умовам , і . Із формули (20) для легко бачити, що при ( випадок великих геометрій ) відбувається iзотропiзація розширення
, (21)
що відповідає висновкам першого розділу для даного класу розв'язків. Для динамічний об'єм Всесвіту має точку повороту при досягненні максимуму і область відповідає евклiдовому сектору геометрії - кротовим норам. При розв'язки (20) ведуть себе як узагальнені розв'язки Казнера (18) ( відповідно до рівнянь (17) ), де показники степенів і пов'язані співвідношеннями: , i .
До другого класу розв'язків, отриманих за допомогою iнтегрування рівнянь в - координатах, відносяться розв'язки для багатовимірних космологічних моделей з кривим зовнішнім простором () і річчi-плоскими внутрішніми просторами () в присутності мінімально зв'язаного скалярного поля ( для цієї моделі потенціал в рівнянні (16) має вигляд ), а також розв'язки для багатовимірних космологічних моделей з багатокомпонентною ідеальною рідиною з потенціалами виду (12). Наприклад, потенціал має місце для ідеальної рідини, у якій перша компонента () відповідає речовині з наджорстким рівнянням стану в усіх просторах () , друга () відповідає радіації у просторі і пилу у внутрішніх просторах () , і третя компонента відповідає газу космічних струн в зовнішньому тривимірному просторі і вакууму у внутрішніх просторах ().
Як приклад, наведено розв'язки для моделі з кривим тривимірним зовнішнім простором і одним річчi-плоским внутрішнім простором в присутності мінімально зв'язаного вільного скалярного поля ( при додатному значенні параметра ):
, , , (22)
де знак " -" відповідає додатній кривизні зовнішнього простору, , а знак " + " - від'ємній, . Сталі iнтегрування і задовольняють умові .
В моделі з від'ємною кривизною зовнішнього простору власний час , і у випадку (випадок великих геометрій), згідно з висновками першого розділу, для розв'язків цього класу відбувається заморожування внутрішнього простору: . Зовнішній простір в цьому випадку веде себе як Всесвіт Мiлна : . У випадку обидва розв'язки ведуть себе як узагальнені розв'язки Казнера (18) з показниками степенів i
В моделі з додатною кривизною зовнішнього простору власний час , і випадку великих геометрій у класично дозволеній лоренцевій області не існує: просторовий об'єм Всесвіту поводить себе як і прямує до нуля при . В цих граничних випадках розв'язки поводять себе як узагальнені розв'язки Казнера (18). Великі геометрії відповідають класично забороненій евклідовій області.
Найбільш цікаві евклідові розв'язки при мають місце у випадку статичних внутрішніх просторів: (параметр ). Тоді метрику простору-"часу" можна записати в такому вигляді:
. (23)
Якщо тепер вибрати нову координату , то для отримуємо
. (24)
Таким чином, якщо - метрика - вимірної сфери, то евклідова область має дві асимптотичні області з топологією , де - ()- вимірний плоский евклідовий простір, а ()- статичні внутрішні простори. Ці области пов'язані між собою горловиною розміру . Такий об'єкт, за означенням, має назву евклідової кротової нори.
Отримані в цьому розділі розв'язки можуть служити як для вивчення поведінки багатовимірних моделей, так і для опису динаміки чотиривимірних анізотропних моделей.
В третьому розділі розглянуто ефективні -вимірні космологічні моделі, отримані за рахунок вимірній редукції неоднорідної -вимірної моделі, яка описується чисто геометричною дією
. (25)
-вимірна метрика (2), яка визначена на багатостатності (1), узагальнена на неоднорідний випадок:
, (26)
де - координати на - вимірній багатостатності і .
Інтегрування по координатах внутрішних просторів (вимірна редукція) зводить -вимірну дію (25) до ефективної -вимірної дії
, (27)
де - -вимірна гравітаційна стала і . Мінісуперпросторова метрика має такі ж компоненти, як і мінісуперпросторова метрика (5), і може бути діагоналізована за допомогою перетворень , аналогічних до (7) і (8). Якщо використати, наприклад, перетворення типу (7) і ввести позначення , дію (27) можна переписати таким чином :
(28)
де і . Дія (28) відповідає узагальненій скалярно-тензорній теорії Бранса-Дікке (BD), яка отримана в результаті вимірної редукції досліджуваних у дисертації багатовимірних космологічних моделей. Роль скалярного поля BD відіграє динамічний об'єм внутрішнього простору . Параметр Бранса-Дікке , тобто кінетичний член для BD скаляру є від'ємним. Решта полів , ) має звичайні (додатні) знаки кінетичних членів; ці поля відіграють роль звичайних скалярних полів, зчеплених зі скалярним полем BD , як через кінетичну, так і через потенціальну енергію.
До дії (28) скалярне поле входить з кінетичним членом, який має від'ємний знак (тобто відіграє роль "духового" поля). Гамільтоніан таких теорій не є додатно визначеним. Також легко бачити, що в цьому зображенні дилатонне поле є зчепленним з гравітаційним полем за рахунок члена . Таким чином, до гравітаційної взаємодії домішуються частинки зі спіном нуль, тоді як звичайно вважається, що гравітаційну взаємодію передають тільки безмасові, зі спіном 2, гравітони. З цієї ж причини, тобто із-за перехрестного члена , теорії типу Бранса-Дікке мають вигляд теорій гравітації із змінною в часі гравітаційною "сталою". Поки що в жодному із експериментів варіацію гравітаційної сталої виявити не вдалося. Враховуючі ці зауваження, природньо перейти до іншого зображення, де всі скалярні поля, що виникають за рахунок додаткових вимірів, будуть входити до дії з нормальними знаками кінетичних членів, і дилатонне поле не буде зчеплене з кривизною. Таке зображення ми будемо називати зображенням Ейнштейна, і метрику зовнішнього простору саме у цьому зображенні будемо вважати фізичною.
Перехід від зображення Бранса-Дікке до зображення Ейнштейна відбувається за допомогою конформного перетворення метрики:
, (29)
з конформним множником . Визначивши скалярне поле , де ,отримаємо
, (30)
де -метрика -вимірного евклідова простору і
(31)
- потенціальна енергія взаємодії полів між собою. Таким чином, дія (30) в зображенні Ейнштейна має вигляд самогравітуючої -моделі з плоскою метрикою в просторі функцій (flat target space) і самодією, яка описується потенціалом (31).
Вище було показано, що для ефективних редукованих теорій, які випливають із досліджуваних у дисертації багатовимірних космологічних моделей, з ряду причин саме метрику в зображенні Ейнштейна слід вважати фізичною. В другому розділі отримано точні розв'язки для деяких багатовимірних космологічних моделей. Ці розв'язки знайдено у зображенні BD. Динамічна поведінка Всесвіту суттєво відрізняється в різних зображеннях. Це очевидно відносно зовнішнього простору-часу , оскільки саме метрика зазнає конформного перетворення. Але, оскільки власні часи в різних зображеннях також не співпадають, то і поведінка внутрішніх просторів також буде відрізнятися в зображеннях BD і Ейнштейна. Тому в третьому розділі подані формули, які дозволяють перетворювати розв'язки із одного зображення в інше. Зокрема, масштабні фактори зовнішнього простору у зображенні Ейнштейна і зображенні BD і власні часи зв'язані відповідно співвідношеннями і , де "тильдовані" величини відносяться до зображення Ейнштейна. Використовуючи ці формули, отримуємо, що узагальнений розв'язок Казнера (18) у зображенні Ейнштейна набуває вигляду
, , (32)
де показники степенів даються формулами і , . На відміну від розв'язків Казнера (18) у зображенні BD, розв'язок (32) не допускає простору для вибору показника, що визначає поведінку масштабного фактору зовнішнього простору. Наприклад, при "фізичний" масштабний фактор зовнішнього простору змінюється як , тобто зовнішній простір веде себе як звичайний Всесвіт Фрідмана, заповнений речовиною з наджорстким рівнянням стану (що еквівалентно мінімальному скалярному полю).
Основний висновок з цих формул полягає в тому, що поведінка масштабних факторів і скалярного поля суттєво залежить від вибору зображення. Наприклад, розв'язки (18) (без скалярного поля: ) з показниками після перетворення (поворот стріли часу) можуть розглядатися як інфляційні, оскільки масштабні фактори при ростуть з прискоренням: . Очевидно, що поворот стріли часу у зображенні Ейнштейна не приводить до інфляціі зовнішного простору, оскільки для розв'язка (32) показник степеня .
В четвертому розділі досліджується одна із основних проблем багатовимірної космології - проблема стабільної компактифікації внутрішніх просторів. Якщо внутрішні простори є компактними і їх масштабні фактори мають розміри порядку планківської довжини, то у цьому випадку спостерігаєма частина Всесвіту є ефективно чотиривимірною. Таким чином можна пояснити неспостерігаємість додаткових вимірів. З іншого боку, жоден з експериментів досі не виявив варіації фундаментальних фізичних сталих, наприклад гравітаційної сталої, отже, внутрішні простори на даний момент часу повинні бути статичними чи майже статичними.
Тому в четвертому розділі встановлено умови, за яких досліджувані багатовимірні космологічні моделі можуть мати розв'язки із статичними внутрішніми просторами. Встановлено, наприклад, що космологічні моделі в присутності мінімального скалярного поля з відмінним від нуля потенціалом не мають розв'язків із статичними внутрішніми просторами.
Очевидно, що статичні розв'язки повинні бути стабільними відносно збурень метрики. Із вигляду дії (30) витікає, що проблема стабільної компактифікації внутрішніх просторів зводиться тепер до пошуку моделей, в яких потенціал (31) має мінімуми. Якщо в моделі присутня - вимірна космологічна стала і ідеальна рідина с густиною енергії , то ефективний потенціал (31) набуває вигляду
. (33)
Включення до потенціалу членів дає можливість досліджувати не тільки моделі з ідеальною рідиною різних типів, але також враховувати вакуумні флуктуації квантованих полів, що виникають завдяки компактності внутрішніх просторів (ефект Казимира), а також монопольні конфігурації.
Дія (30) показує, що в результаті вимірної редукції і переходу до зображення Ейнштейна багатовимірні космологічні моделі зводяться до чотиривимірної (при ) скалярної космології, і поведінка масштабного фактора зовнішнього простору залежить від форми потенціалу .
Якщо потенціал (33) має мінімуми в точках , : , то для малих флуктуацій (33) стає , де гесіани з компонентами не дорівнюють нулю тотожньо. Щоб отримати маси збуджень, необхідно діагоналізувати гесіани за допомогою відповідних -поворотів , , залишаючи кінетичний член інваріантним:
Таким чином, ми приходимо до функціоналів дії для розчеплених нормальних мод лінійної -моделі на фоні метрики зовнішнього простору-часу:
, (34)
де - ефективна -вимірна космологічна стала.
Таким чином, конформні збудження метрики внутрішніх просторів поводять себе як масивні скалярні поля, що розповсюджуються на фоні зовнішнього простору-часу. За аналогією з екситонами у фізиці твердого тіла, які є збудженнями електронної підсистеми кристалу, збудження внутрішніх просторів можна назвати гравітаційними екситонами.
З фізичної точки зору зрозуміло, що ефективний потенціал повинен задовольняти таким умовам:
,
, (35)
.
Перша з умов відповідає тому, що внутрішні простори повинні бути неспостерігаємими у даний час і стабільними відносно квантових гравітаційних флуктуацій. Ця умова гарантує придатність класичних гравітаційних рівнянь в області мінімумів ефективного потенціалу. Друга умова означає, що кривизна ефективного потенціалу повинна бути меншою, ніж планківська. Очевидно, що гравітаційні екситони можуть збуджуватися у даний час, якщо . Третя умова відбиває той факт, що космологічна стала у даний час дуже мала: см.
У випадку ефективного потенціалу чисто геометричного типу умова існування екстремуму зводиться до: , . Маси гравітаційних екситонів є: . Тоді, внаслідок умови , гравітаційні екситони повинні бути дуже легкими частинками з масами г, що викликані збуреннями масштабних факторів внутрішніх просторів від'ємної кривизни з достатньо великою кількістю внутрішніх вимірів, більшою за деяке критичне значення. Це критичне значення залежить від топологічної структури внутрішніх просторів. Наприклад, у випадку одного внутрішнього простору (), покладаючи , і положення мінімуму ефективного потенціалу , отримуємо, що критичне значення .
При знаходженні (34) ми вважали, що густина енергії матерії у потенціалі (33) залежить тільки від масштабних факторів внутрішніх просторів: . Наведемо декілька прикладів таких потенціалів для моделей з одним внутрішнім простором. Усі вони об'єднуються однією формулою: . Випадок відповідає монопольній конфігурації (тобто коли антисиметричний тензор ранга має відмінні від нуля компоненти лише у просторі ); випадок відповідає ефекту Казимира, коли масштабний фактор зовнішнього простору набагато більший від масштабного фактора внутрішнього простору; випадок довільного описує ідеальну рідину з вакуумним рівнянням стану у зовнішньому просторі і з рівнянням стану у просторі . З умови енергодомінантності витікає, що . Значення відповідає чисто геометричному випадку, розглянутому вище. Параметр будемо вважати додатним. Умови існування екстремуму і рівності нулю ефективної чотиривимірної космологічної сталої зводяться до: , . Оскільки , то екстремум має місце при додатніх . Квадрат маси екситонів , тобто мінімум існує при . Нехай - тривимірна сфера і . Для того, щоби отримати це значення для положення мінімуму, треба взяти . Таким чином, і при і Легко бачити, що при такому виборі параметрів всі три умови виконуються.
В четвертому розділі розглянуто також цікавий приклад, коли густина енергії -компонентної ідеальної рідини залежить від масштабного фактору зовнішнього простору. В цьому випадку компоненти ідеальної рідини вибрані таким чином, що ефективний потенціал (33) розбивається на дві частини:
, (36)
де і - масштабний фактор зовнішнього простору в зображенні Ейнштейна. Таке розбиття, з одного боку, забезпечує стабільну компактифікацію внутрішніх фактор-просторів завдяки мінімуму першого члена і фрідманівську поведінку зовнішнього простору завдяки залежності . Умови існування мінімуму і маси гравітаційних екситонів співпадають з виразами, наведенними вище для чисто геометричного випадку. В цій моделі поведінка масштабного фактора зовнішнього простору описується у нульовому наближенні ( без врахування збуджень внутрішніх просторів) формулою
, (37)
де і ми поклали .
Таким чином, у наближенні нульового порядку зовнішній простір поводить себе як Всесвіт Фрідмана з від'ємною космологічною сталою і багатокомпонентною ідеальною рідиною. Ідеальна рідина веде себе у зовнішньому просторі як газ космічних струн (для ), пил (для ) і випромінювання (для ). Оскільки , то легко бачити, що космологічна стала є суттєвою тільки при великих , і, внаслідок від'ємності , Всесвіт має точку повороту у максимумі масштабного фактора .
Оскільки маси гравітаційних екситонів в цій моделі дуже малі (, що набагато менше від температури реліктового випромінювання в даний момент часу ), то такі легкі частинки на даний час поводять себе як випромінювання і можуть бути враховані в (37) у вигляді додаткового члена . Легко бачити, що стандартний сценарій горячого Всесвіту має місце в одно-компонентному випадку при , і . Ми отримуємо радіаційно-домінований Всесвіт на початкових етапах його еволюції і Всесвіт, заповнений пилом, на пізнішіх етапах.