Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 81
БОГДАНОВ А. Е.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
( ЛЕКЦИИ )
( МК 6 )
( Ряды Фурье. Элементы математической физики. Элементы теории функции комплексного переменного. Операционное исчисление )
Ряды Фурье
Ряды Фурье используются для описания периодических процессов, решения дифференциальных уравнений, приближения периодических и непериодических функций. Во всех этих случаях функцию, описывающую периодический процесс, представляют как сумму конечного или бесконечного числа простых периодических функций
А,
где А, ω, φ0 – постоянные. Эти функции называются гармониками, т.к. они описывают простейшее колебательное движение, называемое гармоническим. Постоянная А > 0 называется амплитудой колебания, ω – частота колебания, − фазой колебания, φ0 – начальной фазой.
Используя формулы сложения тригонометрических функций, простую гармонику можно представить в виде
А = а + ,
где а = А; b = А.
Часто сложные периодические процессы, например волновые, описываются дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений получаются в виде конечного или бесконечного числа простых гармоник, т.е. функций вида
+ .
Итак, ряды Фурье связаны с периодическими функциями.
Основные понятия
Функциональный ряд вида
+а1+b1+а2+ b2+ … = + + . (1)
называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа а0, ап и bп (п = 1, 2, …) называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если (1) сходится, то его сумма S(x) есть периодическая функция f(x) с периодом 2π (функции и имеют период 2π), т.е.
S(x) = f(x) = f(x + 2π).
Пусть функция f(x) с периодом 2π представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции на отрезке [−π, π], т.е. является суммой этого ряда:
f(x) = + + . (2)
Пусть ряд
+|а1|+|b1|+|а2|+|b2|+…+|аn|+|bn|+… (3)
абсолютно сходится. Тогда (1) мажорируем и его можно интегрировать в промежутке от −π до π.
Проинтегрируем обе части (2) в пределах от −π до π:
= + +) = πа0, т.к.
= πа0, = 0, = 0.
Таким образом,
= πа0.
Отсюда следует
а0 = . (4)
Известно, что если k и п целые числа, то
при k n:
= 0, = 0, = 0; (*)
при k = n:
= π, = 0, = π. (**)
Пусть п 0. Умножим (2) на :
f(x) = ++ ). ()
В правой части () ряд мажорируем, т.к. его члены не превосходят по абсолютной величине членов сходящегося ряда (3). Поэтому () можно интегрировать на любом отрезке:
= + +).
Учитывая (*) и (**), получим
= = πап,
откуда
ап = . (5)
Умножая (2) на и интегрируя от −π до π, получим
= = πbп,
откуда
bп = . (6)
Коэффициенты, определенные по (4) – (6), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд (1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f(x).
Функция f(x) называется кусочно непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, быть может, конечного числа точек, где она имеет разрывы 1-го рода.
Итак, если f(x) – кусочно непрерывная функция, то в любой точке разрыва х0[a, b] существуют односторонние пределы
= f(x0 − 0) и = f(x0 + 0).
Теорема. Если периодическая функция f(x) с периодом 2π кусочно непрерывная и ограниченная на отрезке [−π, π] (условия Дирихле), то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева, т.е., если х = х0 – точка разрыва функции f(x), то
S(x0) = .
Пример (*). Периодическая функция с периодом 2π определена следующим образом: f(x) = x, −π < x ≤ π. Разложить функцию в ряд Фурье.
□
Разложение функции с периодом 2π в ряд Фурье имеет вид:
Найдем коэффициенты Фурье:
а0 = = = ( − ) = 0;
ап = = = = ( −
− ) = ( − ) = 0;
bп = = = = ( +
+ ) = (+ ) = х
=( π + π)== = (−1)п+1.
Тогда разложение будет иметь вид
х = 2 − + − + … = .
Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва, т.е. кроме точек х0 = ± π, ±3π, ±5π, … В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т.е.
S(x0)===0.
■
Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
Интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение.
Этот факт легко иллюстрируется геометрически:
Площади, заштрихованные на рисунке, равны между собой. Таким образом, при вычислении коэффициентов Фурье можно заменить отрезок интегрирования [−π, π] отрезком интегрирования [, ], т.е.
а0=, ап =, bп = ,
где − любое число.
Пример. Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию с периодом , которая на промежутке 0 < x ≤ задана равенством = х.
□
Разложение функции с периодом 2π в ряд Фурье имеет вид:
Заданная функция на промежутке < x ≤ задается двумя функциями:
=
Поэтому при вычислении коэффициентов Фурье следует для каждого коэффициента рассматривать два интеграла. В то же время на промежутке 0 < x ≤ она задана одной функцией. Поэтому для разложения этой функции в ряд Фурье выгоднее поменять пределы интегрирования, приняв = 0.
Найдем коэффициенты Фурье:
а0 = = = ;
ап = = = = ( −
− ) = ( − ) = 0;
bп = = = = ( +
+ ) = (+ ) = х
= ( 2π − 0) = .
Тогда разложение будет иметь вид
х = − 2 − − − − − … .
Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва, т.е. кроме точек х0 = 0, ±2π, ±4π, ±6π, … В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т.е.
S(x0)= = = π.
■
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть ψ(х) – четная функция. Тогда
= + = + = + =
= 2, т.к. ψ(−х) = ψ(х).
Аналогично, φ(х) – нечетная функция:
= + = − + = 0.
Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция f(х), то произведение f(х) − четная функция, а f(х) − нечетная функция. Тогда
а0 = =0,
ап = = 0,
bп ==,
т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит только “синусы”.
Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение f(х) − нечетная функция, а f(х) − четная функция. Тогда
а0 = ,
ап=,
bп = = 0,
т.е.ряд Фурье четной функции содержит только “косинусы”.
Представленные формулы позволяют упрощать вычисления при нахождении коэффициентов Фурье.
Так, например, в примере (*) функция f(x) = x, на промежутке −π < x ≤ π является нечетной функцией, поэтому а0 = 0 и ап= 0.
Ряд Фурье для функции с произвольным периодом 2L
Пусть f(x) – периодическая функция с периодом 2L, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим эту функцию в ряд Фурье на отрезке [−L, L].
Сделаем замену переменных:
х = .
Тогда функция f() будет периодической функцией от t с периодом 2π. Ее можно разложить в ряд Фурье на отрезке [−π, π]:
f() = + + , (1)
где
а0=, аk =, bk = .
Возвращаемся к старой переменной х:
х = , t = , dt = ;
пределы интегрирования:
tн = −π, хн = −L, tв = π, хв = L.
Тогда
а0=, аk =, bk = . (2)
Ряд (1) примет вид
f()=+ + , (3)
где коэффициенты а0, аk, bk вычисляются по формулам (2). Соотношение (3) – ряд Фурье для периодической функции с произвольным периодом 2L.
Замечание 1. Все сказанное о ряде Фурье для функции с периодом 2π, справедливо и для рассмотренного ряда.
Замечание 2. Соотношение (3) можно рассматривать как разложение функции в ряд Фурье в общем виде, т.к. при 2L = 2π получаем разложение функции с периодом 2π в ряд Фурье.
Пример. Разложить функцию в ряд Фурье на указанном интервале:
.
□
Разложение функции с произвольным периодом 2L в ряд Фурье имеет вид:
Функция нечетная . Следовательно, коэффициенты ,и, так как , разложение функции примет вид:
.
Найдем коэффициент bk :
bk = = = = = − + = + = =
= = (−1)k+1.
Тогда разложение будет иметь вид:
■
Разложение непериодической функции в ряд Фурье
Пусть на отрезке [a, b] задана кусочно непрерывная функция f(x). Ее можно разложить в ряд Фурье, если определить любую периодическую кусочно непрерывную функцию f1(x) с периодом 2μ ≥ b − a, совпадающую с функцией f(x) на [a, b]. Другими словами, функция f(x) доопределяется до функции f1(x):
Функцию f1(x) уже можно разложить в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f(x).
Отметим важный момент. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0, L]. Теперь необходимо ее доопределить на отрезке [−L, 0]. Целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках отрезка [−L, 0] находились из условия f(x) = f(−x) или f(x) =− f(−x). В первом случае функция f(x) на отрезке [−L, L] будет четной, а во втором – нечетной. При таком доопределении функции f(x) упрощается нахождение коэффициентов ряда.
Пример. Разложить функцию f(x) = х в ряд Фурье на отрезке [0, π].
□
а) Доопределим заданную функцию нечетным образом:
Получили функцию f1(x) = х с периодом 2π. Разложение функции с периодом 2π в ряд Фурье имеет вид:
Так как доопределенная функция нечетная, то коэффициенты.
Тогда разложение функции примет вид:
.
Согласно примеру (*) bп = (−1)п+1 и разложение будет иметь вид
f1(x) = х = 2 − + − +… = .
Функция f1(x) = х на отрезке [0, π] совпадает с заданной функцией f(x)=х. Следовательно, заданная функция разложена в ряд Фурье на отрезке [0, π].
б) Доопределим заданную функцию четным образом:
Получили функцию f1(x) =|х| с периодом 2π. Разложение функции с периодом 2π в ряд Фурье имеет вид:
Так как доопределенная функция четная, то коэффициент bn = 0.
Тогда разложение функции примет вид:
Найдем коэффициенты:
а0 = = = π;
ап = = = = (− ) =
= ( − ) =
Разложение будет иметь вид
f1(x) =|х| = − − − − … .
Так как доопределенная функция f1(x) = |х| на отрезке [0, π] совпадает с заданной функцией f(x) = х, то заданная функция разложена в ряд Фурье на отрезке [0, π].
■
Интеграл Фурье.
Преобразования Фурье
Пусть функция f(x) определена на бесконечном интервале (−∞, +∞) и абсолютно интегрируема на нем, т.е. существует интеграл
= Q. (1)
Пусть f(x) разлагается на любом отрезке [−L, L] в ряд Фурье:
f()=+ + , (2)
где
аk = , bk = . (3)
Подставляя (3) в (2), получим:
f() = + . (4)
Пусть
α1 = , α2 = , …, αk = ,…; Δαk = . (5)
Подставляя (5) в (4), получим:
f() = +. (6)
При L → +∞ первый член в правой части стремится к 0. При любом фиксированном L выражение, стоящее в скобках, есть функция от αk, принимающего значения от до +∞. Без доказательства: если f() кусочно непрерывна на каждом конечном интервале, ограничена на бесконечном интервале и удовлетворяет условию (1), то при L → +∞ (6) примет вид:
f()=. (7)
Стоящее справа выражение называется интегралом Фурье для функции f().
Соотношение (7) имеет место для всех точек, где функция непрерывна. В точках разрыва выполняется равенство
= . ()
Вспоминая формулу
= +,
запишем (7) в виде
f() = + . (8)
Каждый из интегралов по t, стоящих в скобках, существует, т.к. функция f() абсолютно интегрируема в интервале (−∞, +∞), а, следовательно, абсолютно интегрируемы и функции f(t) и f(t).
Рассмотрим частные случаи формулы (8):
1). Пусть f() – четная. Тогда функция f(t) − четная, f(t) − нечетная и получаем
= , = 0.
В этом случае (8) примет вид:
f() = . (9)
2). Пусть f() – нечетная. Тогда (8) примет вид:
f() = . (10)
Если функция f() определена только на интервале (0, +∞), то ее можно представить при х > 0 как формулой (9), так и (10). В первом случае мы ее доопределяем на интервале (−∞, 0) четным образом, а во втором − нечетным.
Отметим, что в точках разрыва вместо выражения f() в левых частях (9) и (10) следует писать выражение
.
Рассмотрим формулу (8). Интегралы, стоящие в скобках являются функциями от α.
Пусть А(α) = , В(α) = .
Тогда (8) примет вид:
f()= (11)
Говорят, что формула (11) дает разложение f() на гармоники с непрерывно меняющейся от 0 до +∞ частотой α. Закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты α выражается через функции А(α) и В(α).
Рассмотрим формулу (9):
Пусть
F(α) = . (12)
Тогда (9) запишется в виде:
f() = . (13)
Функция F(α) называется косинус-преобразованием Фурье для функции f() (прямое преобразование).
Если в (12) считать F(α) заданной, а f(t) искомой функцией, то оно является интегральным уравнением для функции f(t). Формула (13) дает решение этого уравнения (обратное преобразование).
Аналогично, на основании (10) можно записать:
Φ(α) = , (14)
f() = . (15)
Функция Φ(α) называется синус-преобразованием Фурье для функции f() (прямое преобразование). Формула (15) – обратное преобразование.
Пример. Найти косинус- и синус-преобразования функции f() = , (β > 0, x ≥ 0).
□
Определим косинус-преобразование Фурье:
F(α) = = = !
== + =
= =+ (− − ) =
= − − ;
(1+) = ( − ;
== =
= (0 − (0 − β)) = .
! = .
Аналогично найдем синус-преобразование Фурье:
Φ(α) = = = .
По формулам (13) и (15) запишем взаимные соотношения:
= , = .
■
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Понятие уравнений в частных производных
Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных
Пример. Найти функцию z = z(x, y), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
.
□ Интегрируя уравнение, получим
,
где − произвольная функция. Таким образом, функция − общее решение заданного дифференциального уравнения. ■
Пример. Решить уравнение
.
□ Интегрируя уравнение по х, получим
.
Проинтегрировав полученный результат по у, находим общее решение
,
где . ■
Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
Линейное уравнение
, (1)
где z − неизвестная функция независимых переменных , а функции − заданные функции от .
Если в (1) функции зависят также и от z, то уравнение называется квазилинейным.
Если :
,
то уравнение называется однородным.
Задача интегрирования линейного однородного уравнения равносильна задаче интегрирования так называемой характеристической системы
. (2)
Пусть решение этой системы определяется равенствами
.
Тогда общий интеграл дифференциального уравнения будет иметь вид
,
где − произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Для интегрирования неоднородного и квазилинейного уравнения (1) строится характеристическая система
,
решением которой являются равенства
.
Тогда общий интеграл дифференциального уравнения будет иметь вид
,
где − произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Геометрическая интерпретация. В случае уравнения с двумя независимыми переменными и ,
,
решение изображается поверхностью в трехмерном пространстве xyz, которая называется интегральной поверхностью этого уравнения.
Уравнение означает, что в каждой точке интегральной поверхности вектор нормали ортогонален заданному в этой точке вектору . Система принимает при этом вид
,
откуда следует, что интегральные кривые этой системы, так называемые характеристики, касательны к векторам . Поэтому характеристика, имеющая с интегральной поверхностью общую точку, целиком лежит на этой поверхности. Через каждую точку пространства проходит интегральная кривая характеристической системы, и интегральные поверхности составляются из характеристик.
Пример. Найти общий интеграл уравнения
.
□ Составим характеристическую систему
или
Решая первое уравнение, получим ; решая второе уравнение, получим . Теперь можно найти общий интеграл заданного уравнения:
или ,
т.е. , где − произвольная функция. ■
Пример. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
и проходящую через окружность , z = 3.
□ Построим и решим характеристическую систему
или .
Освободившись от знаменателя, получим
.
Интегрируя оба уравнения, получим
, .
Общий интеграл заданного уравнения имеет вид
. (*)
Из семейства поверхностей, определяемых этим уравнением, нужно выделить поверхность, проходящую через окружность , z = 3. Для того, чтобы найти функцию , в равенстве (*) положим , z = 3. Тогда получим . Пусть , тогда . Следовательно, , т.е.
.
Подставляя найденное выражение в соотношение (*), получим
или .
Таким образом, искомой поверхностью является сфера радиуса R = 5. ■
Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
Приведение к каноническому виду
Рассмотрим уравнение второго порядка
+ + + = 0, (1)
где А, В, С, z – функции х и у.
Говорят, что уравнение (1) в области D принадлежит гиперболическому типу, если в этой области . При уравнение принадлежит параболическому типу, а при уравнение принадлежит эллиптическому типу.
Уравнение
=
называется каноническим уравнением гиперболического типа;
Уравнение
=
называется каноническим уравнением параболического типа;
Уравнение
+ =
называется каноническим уравнением эллиптического типа.
Дифференциальное равнение
называется уравнением характеристик уравнения (1).
Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два интеграла: и , т.е. существуют два семейства действительных характеристик. С помощью замены переменных и дифференциальное уравнение (1) приводится к каноническому виду.
Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик совпадают, т.е. уравнение характеристик дает лишь один интеграл . В этом случае следует сделать замену и , где − какая-нибудь функция, для которой . После такой замены уравнение приводится к каноническому виду.
Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик имеют вид , где и − действительные функции. С помощью подстановки и дифференциальное уравнение (1) приводится к каноническому виду.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
.
□ Имеем А = х2, В = 0, С = , . Следовательно, заданное уравнение является уравнением гиперболического типа.
Составим уравнение характеристик
или .
Получили два дифференциальных уравнения
и .
Решая уравнения, получим
, , ;
, , .
В результате получили уравнения двух семейств характеристик: , . Введем новые переменные , . Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:
=,
=,
=
,
.
Подставляя в заданное уравнение найденные выражения вторых производных, получим
,
, , .
Окончательный канонический вид заданного дифференциального уравнения
. ■
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
.
□ Имеем А = , В = , С = , . Следовательно, заданное уравнение является уравнением параболического типа.
Уравнение характеристик:
,
или
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
, , .
Замена переменных: , (произвольная функция).
Тогда
=,
=,
,
,
.
Подставляя полученные выражения в данное уравнение, получим
.
После упрощения имеем
, .
Так как , , то . Окончательно
. ■
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
.
□ Имеем А = 1, В = −1, С = 2, . Следовательно, заданное уравнение является уравнением эллиптического типа.
Уравнение характеристик:
, .
Отсюда и получаем два семейства мнимых характеристик: и . Замена переменных: и . Тогда
,
,
,
,
.
Подставляя найденные выражения в уравнение, получим
или
. ■
Основные типы уравнений математической физики
Основными уравнениями математической физики (для случая функций двух независимых переменных) считаются следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
І. В о л н о в о е у р а в н е н и е :
. (1)
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.
ІІ. У р а в н е н и е т е п л о п р о в о д н о с т и ( у р а в н е н и е Ф у р ь е ) :
. (2)
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, некоторые вопросы теории вероятностей и т.д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа.
ІІІ. У р а в н е н и е Л а п л а с а :
. (3)
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т.д. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа.
В уравнениях (1), (2) и (3) искомая функция и зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом переменных. Так, например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид
,
уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид
,
уравнение Лапласа с тремя независимыми переменными имеет вид
.
Уравнение колебаний струны
Под струной понимают тонкую нить, которая может свободно изгибаться.
Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения . Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться.
Рассмотрим малые, поперечные и плоские колебания струны, т.е. такие колебания, при которых отклонения точек струны от положения покоя малы, в любой момент времени все точки струны находятся в одной и той же плоскости, и каждая точка струны колеблется, оставаясь на одном и том же перпендикуляре к прямой, соответствующей состоянию покоя струны.
Принимая эту прямую за ось Ох, обозначим через u = и(х, t) отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени t. При каждом фиксированном значении t график функции u = и(х, t) на плоскости хОи дает форму струны в момент времени t.
Функция u = и(х, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
,
где , , − масса единицы длины (линейная плотность струны), F − сила, действующая на струну перпендикулярно оси абсцисс и рассчитанная на единицу длины.
Если внешняя сила отсутствует, т.е. f = 0, то получится уравнение свободных колебаний струны
.
Решение уравнения колебаний струны методом характеристик
( методом Даламбера )
Для полного определения движения струны нужно задать в начальный момент времени форму и скорость струны, т.е. положение ее точек и их скорость в виде функций абсцисс х этих точек.
Пусть
, .
Эти условия называются начальными условиями задачи. Другими словами необходимо решить задачу Коши.
Приведя уравнение
к каноническому виду, получим уравнение
0,
где и .
Общее решение последнего уравнения запишется в виде
,
где , , произвольные функции.
Таким образом
− решение Даламбера.
Используя начальные условия, найдем функции :
,
.
Интегрируя последнее уравнение на отрезке , получим
,
где С − произвольная постоянная. Из уравнений
,
находим
Теперь решение задачи Коши запишется
=
или
− формула Даламбера.
Пример. Найти решение уравнения
,
если , .
□ Здесь а = 1, . Следовательно,
, где .
Таким образом,
или . ■
Пример. Найти форму струны, определяемой уравнением
в момент времени , если , .
□ Имеем , . Следовательно,
,
т.е.
или .
Если , то , т.е. струна параллельна оси абсцисс. ■
Решение уравнения колебаний струны, закрепленной на концах, методом разделения переменных ( методом Фурье )
Метод разделения переменных (или метод Фурье) является типичным для решения многих задач математической физики.
Пусть требуется найти решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
и граничным (краевым) условиям
, .
Граничные (краевые) условия показывают, что концы струны закреплены в точках х = 0 и х = l.
Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая − только от t,
.
Подставляя это выражение в заданное уравнение, получим
.
Разделяя переменные ( Х = Х(х), T = T(t) ), получим
.
Это равенство двух отношений, левая часть которого зависит только х, а правая − только t, возможно только в том случае, когда эти части равны постоянному числу. Обозначим его через , , т.е.
.
В результате получим два дифференциальных уравнения
, .
Общие решения этих уравнений:
, ,
где A, B, C, D − произвольные постоянные.
Тогда
.
Постоянные А и В можно найти, используя краевые условия. Так как , то Х(0) = 0 и Х(l) = 0. Следовательно,
Х(0) = А = 0, ,
т.е. А = 0 и и в силу того, что , имеем . Отсюда
(k = 1, 2, …).
Итак, получено
.
Найденные значения называются собственными значениями для данной краевой задачи, а соответствующие им функции называются собственными функциями.
По найденным значениям получаем
и
(k = 1, 2, …).
Индекс k в последнем выражении означает, что каждому значению k соответствуют свои значения постоянных С и D, которые записываем в виде и (постоянную В включаем и ) и свое решение .
Так как заданное уравнение является линейным и однородным, то сумма решений также является решением, т.е.
.
Этот ряд будет решением заданного уравнения, если коэффициенты и таковы, что сходится сам ряд, а также ряды, получающиеся после двукратного дифференцирования по х и по t. При этом решение должно удовлетворять начальным условиям.
Из условия следует
.
Если функция разлагается в ряд Фурье в промежутке (0, l) по синусам, то
. (1)
Из условия имеем
.
Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:
или
. (2)
Таким образом, решение уравнения колебания струны может быть представлено как сумма бесконечного ряда
,
где и определяются по формулам (1) и (2).
Замечание. Если положить , то уравнения для определения и имели бы вид и . Общее решение первого из них не удовлетворяет граничным условиям.
Пример. Струна, закрепленная на концах х = 0 и х = l, имеет в начальный момент форму параболы . Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.
□ Имеем , = 0, , .
Решением является функция
.
Находим коэффициенты ряда. Так как = 0, то 0. Определим коэффициент :
= = =
=+ ==
= + = = =
=
Подставляя найденные значения и в выражение ряда, получим
, п = 0, 1, 2,… ■
Уравнение теплопроводности
Уравнение теплопроводности для нестационарного случая
Распределение тепла в теле называют нестационарным, если температура тела зависит как от положения точки, так и от времени.
Обозначим через и = и(М, t) температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S, в момент времени t. Известно, что количество теплоты dQ, поглощаемой за время dt, выражается равенством
, (1)
где dS − элемент поверхности, k − коэффициент внутренней теплопроводности, − производная функции и по направлению внешней нормали к поверхности S. Так как распространяется в направлении понижения температуры, то dQ > 0, если > 0, и dQ < 0, если < 0.
Из равенства (1) следует
.
Теперь найдем Q другим способом. Выделим элемент dV объема V, ограниченного поверхностью S. Количество теплоты dQ, получаемой элементом dV за время dt, пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т.е.
, (2)
где плотность вещества, коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества.
Из равенства (2) следует
.
Таким образом,
,
где . Учитывая, что = , , получим
.
Заменяя правую часть равенства с помощью формулы Остроградского – Грина, получим
или
для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение
,
которое называют уравнением теплопроводности для нестационарного случая.
Если тело есть стержень, направленный по оси Ох, то уравнение теплопроводности имеет вид
. (3)
Рассмотрим задачу Коши для следующих случаев.
1. Случай неограниченного стержня. Найти решение уравнения (3) ( t > 0, ), удовлетворяющее начальному условию . Используя метод Фурье, получим решение в виде
=
− интеграл Пуассона.
2. Случай стержня, ограниченного с одной стороны. Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и краевому условию , выражается формулой
= + .
3. Случай стержня, ограниченного с двух сторон. Задача Коши состоит, чтобы при х = 0 и х = l найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и двум краевым условиям, например, или .
В этом случае частное решение ищется в виде ряда
,
где
для краевых условий ,
и в виде ряда
,
где
,
для краевых условий .
Пример. Найти решение уравнения
, ,
удовлетворяющее начальным условиям
и краевым условиям .
□ Решение задачи Коши будем искать в виде
,
где
= + =
= = +
+ = .
Таким образом,
или
. ■
Уравнение теплопроводности для стационарного случая
Распределение тепла в теле называют стационарным, если температура тела и зависит от положения точки М(х, у, z), но не зависит от времени t, т.е.
и = и(М) = и(х, у, z).
В этом случае 0 и уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа
, (1)
которое часто записывают в виде .
Чтобы температура и в теле определялась однозначно из этого уравнения, нужно знать температуру на поверхности S тела. Таким образом, для уравнения (1) краевая задача формулируется следующим образом.
Найти функцию и, удовлетворяющую уравнению (1) внутри объема V и принимающую в каждой точке М поверхности S заданные значения
. (2)
Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (1).
Если на поверхности тела температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке поверхности, который пропорционален , то на поверхности S вместо краевого условия (2) будем иметь условие
. (3)
Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего краевому условию (3), называется задачей Неймана или второй краевой задачей.
Для плоских фигур уравнение Лапласа записывается в виде
. (4)
Такой же вид имеет уравнение Лапласа и для пространства, если и не зависит от координаты z, т.е. и(М) сохраняет постоянное значение при перемещении точки М по прямой, параллельной оси Oz.
Заменой , уравнение (4) можно преобразовать к полярным координатам
,
где .
С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функция называется гармонической в области D, если в этой области она непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пример. Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня , .
□ Имеем одномерный случай. Требуется найти функцию и, удовлетворяющую уравнению и краевым условиям , . Общее уравнение указанного уравнения имеет вид . Учитывая краевые условия, получим
.
Таким образом, распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью линейно. ■
Задача Дирихле для круга
Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе О полярной системы координат. Надо найти функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где − заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа
.
Используя метод Фурье, можно получить
=
− интеграл Пуассона.
Пример. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиуса R, верхняя половина поддерживается при температуре , а нижняя – при температуре .
□ Если , то , а если , то . Распределение температуры выражается интегралом
= .
Пусть точка расположеиа в верхнем полукруге, т.е. ; тогда изменяется от до , и этот интервал длины не содержит точек . Поэтому введем подстановку , откуда , . Тогда получим
= = =
= = =
=
или
.
Так правая часть отрицательна, то и при удовлетворяет неравенствам . Для этого случая получаем решение
или ().
Если же точка расположена в нижнем полукруге, т.е. , то интервал изменения содержит точку , но не содержит 0, и можно сделать подстановку , откуда , , Тогда для этих значений имеем
= =
= .
Проведя аналогичные преобразования, найдем
().
Так как правая часть теперь положительна , то . ■
Метод конечных разностей для решения уравнения теплопроводности
Пусть требуется найти решение уравнения
, (1)
удовлетворяющее:
начальному условию
, (2)
и краевым условиям
, , (3)
, . (4)
Итак, требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), (4), т.е. требуется найти решение в прямоугольнике, ограниченном прямыми , , , , если заданы значения искомой функции на трех его сторонах , , .
Построим прямоугольную сетку, образованную прямыми
,
,
где
− шаг вдоль оси Ох;
− шаг вдоль оси Оt.
Введем обозначения:
, , .
Из понятия конечных разностей можно записать
, (5)
или
; (6)
аналогично
. (7)
Учитывая формулы (6), (7) и введенные обозначения, запишем уравнение (1) в виде
= .
Отсюда получим расчетную формулу
. (8)
Из (8) следует, что если известны три значения к k-ом слое сетки: , , , то можно определить значение в (k + 1)-ом слое.
Начальное условие (2) позволяет найти все значения на прямой ; краевые условия (3), (4) позволяют найти значения на прямых и . По формуле (8) находим значения во всех внутренних точках следующего слоя, т.е. для k = 1. Значения искомой функции в крайных точках известны из граничных условий (3), (4). Переходя от одного слоя сетки к другому, определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.
Формула (8) справедлива, если шаги и выбраны так, что выполняется неравенство
,
т.е. при . Если , то формула (8) значительно упрощается:
. (9)
Замечание. При решении конкретной задачи для того, чтобы контролировать правильность хода решения и для того, чтобы нагляднее представить характер распространения тепля с стержне ( либо другой физической величины, если рассматривается другой физический процесс) удобно представлять графически результаты расчета на каждом слое сетки (начать следует с графического представления начального условия).
Пример. Найти методом конечных разностей приближенное решение уравнения
,
удовлетворяющее:
начальному условию
, , (1)
и краевым (граничным)условиям
, , . (2)
□ Выберем шаг по оси Ох, равным . Шаг по оси Ot выберем, исходя из условия = 0,01. При таком выборе расчеты можно вести по формуле (9). Разбиваем прямоугольник, в котором разыскивается решение, линиями и и проводим нумерацию узлов полученной сетки:
Из граничных условий (2) получаем, что в крайних левых и правых узлах сети
,
.
Из начального условия (1) находим значения функции в узлах нулевого слоя:
; ; ; .
Распределение температуры при представлено на графике (рис. 1).
В дальнейшем расчеты ведутся по формуле (9):
; ; ; ,
; ; ; ,
; ; ; ,
; ; ; .
Распределение температуры при , , , представлена на рис. 2, рис. 3, рис. 4, рис. 5 соответственно:
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 5
■
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОЛГО
Функции комплексного переменного
Пусть комплексное переменное z = x + yi принимает всевозможные значения из некоторого множества Z.
Если каждому значению z из Z можно поставить в соответствие одно или несколько значений другого комплексного переменного w = u + vi, то комплексное переменное w называют функцией от z в области Z и пишут w = f(z).
Функция w = f(z) называется однозначной, если каждому значению z из множества Z можно поставить в соответствие только одно значение w. Если же существуют значения z, каждому из которых можно поставить в соответствие несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.
Если w = u + vi есть функция от z = x + yi, то каждое из переменных u и v является действительной функцией от х и у, т.е. w = u(х, у) + v(х, у)i.
Однозначная функция w = f(z) при z→с имеет конечный предел С (с и С – комплексные числа), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдётся такое число δ > 0, что из неравенства |z – c| < δ следует неравенство | f(z) – С| < ε.
В этом случае пишут
= С.
Функция w = f(z) называется непрерывной в точке z0, если = f(z0). Функция, непрерывная в любой точке некоторой области D называется непрерывной в этой области.
Область D, ограниченная замкнутой не самопересекающейся линией Г, называется односвязной.
Если же область D, ограничена двумя замкнутыми не пересекающимися и не самопересекающимися линиями Г1 и Г2 , то область D называется двусвязной и т.д.
Функции комплексного переменного еz, , , , определяются как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного переменного:
еz = 1 + + + + …,
= − + − …,
= 1 − + − + …,
= = + + + …,
= = 1 + + + + ….
Для функции комплексного переменного справедлива формула Эйлера:
еzi = + i.
Из этой формулы следуют следующие формулы:
= , = .
Отметим ещё две формулы:
= i, = .
Известные из элементарной математики формулы справедливы и для комплексных значений аргументов z1 и z2:
∙ = , = ,
= ± ,
= .
Функции , , , , определяются как обратные по отношению соответственно к функциям , , , , . При этом функции , , , , являются многозначными.
Можно показать, что
,
где и .
Пример. Дана функция . Найти значение функции при .
□ Имеем = = = . ■
Пример. Дана функция , где . Найти .
□ Имеем , Следовательно, = . ■
Пример. Найти .
□ Имеем , = 2, = , т.е.
= . ■
Пример. Вычислить с точностью .
□ Так как
= 1 − + − + …,
то
= 1 + + + + … .
Три знака после запятой гарантированы. ■
Производная функции комплексного переменного
Производной однозначной функции комплексного переменного w = f(z) называется предел
= =.
Функция, имеющая производную при данном значении z, называется дифференцируемой (моногенной) при этом значении z.
Если функция w = f(z) однозначна и имеет конечную производную в каждой точке области D, то она называется аналитической в этой области D.
Если функция w = f(z) = u(х, у) + v(х, у)i дифференцируема в точке z = x + yi, то в этой точке существуют частные производные , , , , причем эти производные связаны условиями
= , = − ,
которые называются условиями Коши−Римана.
Условия Коши – Римана являются необходимыми условиями дифференцируемости функции w = f(z) в точке z = x + yi.
Обратно, если частные производные , , , непрерывны в точке z = x + yi и условия Коши – Римана = , = − выполнены, то функция w = f(z) дифференцируема в точке z = x + yi.
Производная функции f(z) выражается через частные производные функций u(х, у) и v(х, у) по формулам:
= + i = − i = − i = + i.
Производные элементарных функций zn, еz, , , , , , , , , находятся по тем же формулам, что и для действительного аргумента. Отметим только, что
, .
Пример. Дифференцируема ли функция f(z) = у + хi?
□ Имеем и = у, v = x. Проверим выполнения условий Коши – Римана = , = − . Находим = 0, = 1, = 1, = 0, Видно, что = , но − . Следовательно, данная функция не является дифференцируемой. ■
Пример. Дифференцируема ли функция f(z) = ?
□ Имеем и = , v = , = 2х, = − 2у, = 2у, = 2х. Условия Коши – Римана = , = − выполняются. Следовательно, функция дифференцируема. Так как + i, то
2х + 2уi = .
Производную можно было найти иначе:
, . ■
Пример. Дана действительная часть дифференцируемой функции , где z = x + yi. Найти функцию .
□ Имеем = 2х – 1. Так как = (одно из условий Коши – Римана), то = 2х – 1. Интегрируя, находим
,
где произвольная функция.
Используем второе условие Коши – Римана: = − . Так как = , то =. Но из условия задачи находим, что = . Следовательно,
= , , .
Тогда
= =
или
= , т.е. = . ■
Интеграл от функции комплексного переменного
Кривая Г называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.
Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг.
Пусть дана функция комплексного переменного w = f(z), непрерывная в некоторой области D. Пусть Г – произвольная гладкая кривая, лежащая в области D. Рассмотрим дугу кривой с началом в точке z0 и концом в точке z. Разделим эту дугу на п частей произвольными точками z0, z1, z2, …, , zп = z, расположенными последовательно на линии Г.
Составим сумму
,
где . Пусть − наибольшая из величин . Если , то и сумма стремится к определенному пределу. Этот предел называется интегралом функции f(z) по дуге кривой Г, заключенной между точками z0 и z, т.е.
.
Если f(z) = u(х, у) + i v(х, у), то сводится к двум криволинейным интегралам от действительных функций:
= − v(х, у)dy + i + u(х, у)dy.
Пусть Г – кусочно-гладкая функция, состоящая из гладких частей Г1, Г2, …, Гт. Тогда
= … +.
Если f(z) – аналитическая функция в односвязной области D, то значение интеграла , взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой линии Г, принадлежащей области D, не зависит от линии Г, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек этой линии.
Теорема Коши. Для всякой аналитической функции f(z) в некоторой односвязной области D интеграл , взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру , лежащему в области D, равен нулю.
Так же как и для действительных функций, справедлива формула
(формула Ньютона – Лейбница ), где Ф( z) – какая-нибудь первообразная функция по отношению к f(z).
Для нахождения первообразной функции по отношению к аналитической функции f(z) применяются обычные формулы интегрирования.
Рассмотрим п + 1 замкнутых кусочно-гладких линий …, таких, что каждая из линий …, лежит вне остальных и все они расположены внутри . Множество точек, лежащих одновременно внутри и вне …, , представляет собой (п + 1)-связную область D.
Пусть f(z) – аналитическая функция в области D (включая значения на контурах …, ). Тогда
= … +.
Пример. Вычислить интеграл
,
где , АВ – отрезок прямой, соединяющий точки , .
□ Имеем , . Отсюда
= −
= .
Интеграл можно найти по-другому. Видно, что (
=). Тогда
. ■
Пример. Вычислить интеграл
.
□ Подынтегральная функция аналитическая. Используя формулу Ньютона – Лейбница, получим
= . ■
Ряды Тейлора и Лорана
Пусть дана функция , аналитическая в некоторой окрестности точки а.
Ряд
…
называе5тся рядом Тейлора функции и внутри своего круга сходимости выражает функцию , т.е.
= ….
Если а = 0, то
= ….
В этом случае говорят, что функция разложена в ряд Маклорена.
Рассмотрим два ряда
… (1)
и
… . (2)
Область сходимости ряда (1) (если она существует) определяется неравенством . Если существует область сходимости ряда (2), то она определяется неравенством . Тогда при условии r < R для ряда
+ …
областью сходимости служит кольцо , ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке а и радиусами r и R.
Пусть − однозначная и аналитическая функция в кольце . Эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде
=
+ … .
Ряд в правой части равенства называется рядом Лорана функции . Коэффициенты этого ряда можно вычислить по формуле
.
Ряд (1) называется главной частью ряда Лорана, а ряд (2) – правильной частью ряда Лорана.
Особые точки. Если функция − аналитическая функция в окрестности точки а, то характер этой точки определяется по виду разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки а следующим образом:
1). Если ряд Лорана не содержит главной части. Тогда имеем устранимую особую точку а. В этом случае существует конечный предел .
2). Если ряд Лорана содержит конечное число п членов главной части, то точка а является полюсом п-го порядка. В этом случае − аналитическая функция в окрестности точки а и стремится к бесконечности при .
3). Если ряд Лорана содержит бесконечное число членов главной части, то точка а является существенно особой точкой. В этом случае при функция не имеет предела, т.е. предел не существует.
В случаях 2) и 3) коэффициент в ряде Лорана называется вычетом функции в точке .
Между нулем и полюсом функции существует связь. Если − ноль кратности k функции , то − полюс того же порядка функции ; обратно, если − полюс порядка k функции , то − ноль функции .
Следует отметить, что если , то − полюс порядка k функции .
Пример. Разложить в ряд Тейлора по степеням бинома функцию =
□ Находим производные функции = : ,, ,
f ІV, f V, f VІ f VІІ…=0.
Определяем значения производных в точке : = , , , , f ІV, f V.
Отсюда
= .
Рядом Тейлора функции = является многочлен пятой степени. ■
Пример. Разложить в ряд Лорана по степеням функцию = в окрестности точки ,
□ Представим данную функцию в виде
= .
В окрестности точки выполняется неравенство , поэтому дробь можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и = и знаменателем . Отсюда получаем
или .
Это разложение содержит только правильную часть. Из неравенства следует, что областью сходимости ряда является круг . ■
Пример. Разложить в ряд Лорана функцию = в по степеням .
□ Положим = . Тогда
= = ,
т.е.
= .
Здесь главная часть содержит два члена, а правильная – три члена. Так как разложение содержит конечное число членов, то оно справедливо для любой точки плоскости, кроме . Эта точка является полюсом второго порядка функции . Вычетом этой функции относительно полюса является коэффициент при , т.е. 32. ■
Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интегралов
Пусть а – полюс п-го порядка функции . Вычет функции относительно ее полюса п-го порядка вычисляется по формуле
.
Если а – полюс первого порядка (простой полюс) функции , то
.
Если функция =, где , а имеет простой ноль при , то является простым полюсом и справедлива формула
.
Теорема (основная теорема о вычетах). Пусть − аналитическая функция в замкнутой области D, кроме конечного числа особых точек а1, а2, а3, …, аk (полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру , содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области D, равен произведению 2 на сумму вычетов в указанных особых точках, т.е.
.
Частный случай. Пусть − аналитическая функция в замкнутой области D, число а принадлежит области D и . В этом случае функция имеет в области D полюс а первого порядка. Найдем вычет функции относительно полюса а:
.
Отсюда, применяя основную теорему о вычетах, получим
или
− формула Коши.
Пусть − аналитическая функция в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа полюсов , расположенных над действительной осью. Кроме того, предполагается, что произведение при имеет конечный предел. В этом случае для вычисления определенного интеграла функции действительного переменного применяется формула
,
где − вычет функции относительно полюса .
Пример. Найти вычеты функции =.
□ Простыми полюсами функции являются корни знаменателя . Следовательно, =. Находим
,
. ■
Пример. Найти вычеты функции =.
□ Так как − полюс третьего порядка, то
. ■
Пример. Найти , где − замкнутый контур, внутри которого находятся полюсы , , .
□ Определяем вычеты подынтегральной функции:
, ,
.
Следовательно,
= . ■
Пример. Вычислить определенный интеграл .
□ Функция является аналитической в верхней полуплоскости, за исключением полюса . Кроме того,
,
т.е. является конечной величиной.
Найдем вычет функции относительно полюса второго порядка :
.
Следовательно,
= . ■
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Операционное исчисление широко используется в физике, механике, электротехнике, автоматике, телемеханике и т.д. Основоположником операционного исчисления считают английского инженера-электрика О. Хевисайда (1850 – 1925).
Преобразование Лапласа
Пусть функция f(t) действительной переменной t, определённая при t ≥ 0 (при −∞ < t < +∞, берут f(t) = 0 при t < 0), кусочно непрерывная, т.е. в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва 1-го рода.
Для обеспечения существования некоторых интегралов в бесконечном интервале 0 < t < +∞ наложим на функцию f(t) дополнительное условие: пусть существует число М > 0 и s0 > 0 такие, что
| f(t)| < М (1)
при любом t [0, +∞); число s0 − показатель роста функции f(t).
Рассмотрим функцию
е−рtf(t), (2)
где р = а + ib (a > 0 или Re p > 0) – некоторое комплексное число.
Тогда функция (2) является комплексной функцией действительной переменной t:
е−рtf(t) = е−(a + ib)tf(t) = е−atf(t) е−ibt =
= е−atf(t) − iе−atf(t).
Рассмотрим несобственный интеграл:
= − i. (3)
Если f(t) удовлетворяет условию (1) и a > s0, то интегралы, стоящие в правой части (3), существуют и абсолютно сходятся.
Действительно, оценим 1-ый интеграл:
|| ≤ < M = M =
= ,
т.е. интеграл сходится абсолютно.
Аналогично оценивается 2-ой интеграл. Итак, существует. Он определяет некоторую функцию от р, которую обозначим F(p):
F(p) = . (4)
Функция F(p) – функция комплексного переменного и она является аналитической в полуплоскости Re p > s0 :
Функция F(p) называется изображением Лапласа функции f(t), L-изображением, просто изображением функции f(t) или преобразованием Лапласа.
Функцию f(t) называют начальной функцией или оригиналом.
Если F(p) есть изображение функции f(t), то будем писать:
F(p) f(t)
или
f(t) F(p),
или
L{ f(t)} = F(p).
Процесс нахождения изображения для заданного оригинала и обратно, нахождение оригинала по известному изображению называется операционным исчислением.
Теорема единственности. Если две непрерывные функции φ(t) и ψ(t) имеют одно и то же L−изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
Из теоремы следует: если при решении практической задачи найдено изображение искомой функции, а потом по изображению найдена сама функция, то она единственная.
Изображения простейших функций
1. Функцию
f(t) =
называют единичной функцией Хевисайда и обозначают σ0(t):
Очевидно, что показатель роста этой функции s0 = 0. Найдем L-изображе-
ние этой функции в области Re p > 0:
L{σ0(t)} = = = = .
Таким образом,
1 или σ0(t) . (5)
2. f(t) = .
L{} = = = +
+ p = p = = p(−−
− p) = p − p2 L{}.
Отсюда
L{} = (Re p > 0), т.е.
. (6)
3. f(t) = .
При выводе формулы (6) мы получили
L{} = p, т.е. L{} = р L{}. Откуда
L{} =
или
. (7)
Изображение функции f(αt)
Теорема подобия. Если
f(t) F(p), то
f(αt) F() (8)
(α > 0, Re p > ).
○ Найдем изображение функции f(αt):
L{ f(αt)}= = = = F(), т.е.
f(αt) F(). ●
Пусть f(αt) = . Если
, то ∙ или
. (9)
Пусть f(αt) = . Если
, то ∙ или
. (10)
Свойство линейности
Теорема. Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равняется сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные, т.е. если
f(t) = (сi = const) (*)
и
F(p) f(t), Fi(p) fi(t),
то
F(p) = . (11)
○ Умножая все члены равенства (*) на е−рt и интегрируя по t в пределах от 0 до +∞ (вынося множители сi за знак интеграла), получим
,
но
и .
Тогда . ●
Пример. Найти изображение функции
f(t) = 3σ0(t) + 2.
□
В силу (5), (10) и (11) имеем
L{ f(t)} = 3L{σ0(t)} + 2L{} = +
или
F(p) = + .
■
Пример. Найти оригинал изображения
F(p) = + .
□
Представим изображение в виде
F(p) = 2∙ + ∙.
Имеем
σ0(t), .
Следовательно, оригинал
f(t) = 2σ0(t) +
или
f(t) = 2 + .
■
Теорема смещения
Теорема. Если
F(p) f(t),
то
F(p + α) е−αt f(t) (12)
(Re (p + α) > s0).
○ Найдем изображение функции е−αtf(t):
L{е−αtf(t)} = = = F(p + α),
т.е.
F(p + α) е−αt f(t). ●
Доказанная теорема позволяет значительно расширить класс изображений, для которых легко находятся начальные функции.
Так как 1, то по формуле (12)
е−αt (13)
и
еαt . ()
Вычтем из () равенство (13) и разделим на 2:
( − ) ( еαt − е−αt)
или
Sh αt. (14)
Сложим () с (13) и разделим на 2:
Сh αt. (15)
Так как , то
е−αt. (16)
Так как , то
е−αt. (17)
Пример. Найти начальную функцию, изображение которой задается функцией
F(p) = .
□
Преобразуем F(p):
F(p) = = = = .
Следовательно, согласно (16):
F(p) е−5t
или
f(t) = е−5t.
■
Пример. Найти оригинал изображения
F(p) = .
□
Преобразуем изображение:
F(p) = = = + = +
+ ∙.
Следовательно,
F(p) е−t + е−t
или
f(t) = е−t + е−t.
■
Дифференцирование изображения
Теорема. Если
F(p) f(t),
то
(−1)п tn f(t) (18)
или
(−t)n f(t) (1)
○ Если Re p > s0, где s0 – роста функции f(t), то интеграл
существует при любом п = 1, 2, … .
Но этот интеграл можно рассматривать как производную п-го порядка по параметру р от интеграла
.
Например, при п = 1:
= .
Таким образом,
или
(−1)п = .
Окончательно,
(−1)п tn f(t). ●
Пример. Известно, что 1. Найти изображение функции tn.
□
На основании (18)
при п = 1:
(−1) t или t;
при п = 2:
(−1)2 t2, −(−) t2
или
t2;
при п = 3:
(−1)3 t3, −(−) t3
или
t3.
Тогда для произвольного п:
tп. (19)
Пример. Известно, что е−αt. Найти изображение функции tе−αt.
□
На основании (18) при п = 1:
(−1) tе−αt
или
tе−αt.
■
Дифференцирование оригинала
(изображение производных)
Теорема. Если
F(p) f(t),
то
р F(p) − f(0) (t) (20)
(Re p > s0).
При этом предполагается, функция f(t) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную (t) на [0, +∞) c разрывами первого рода и показатели роста (t) и (t) равны s0.
○ По определению изображения
L{(t)} = = = =
=(е−рtf(t) +p) = − f(0) + pF(p) (Re p > s0),
потому что
| е−рcf(c) | ≤ е−рcM = M0.
Таким образом,
р F(p) − f(0) (t). ●
Следствие. Справедлива формула изображения для производной п-го порядка:
pпF(p) − pп−1f(0) − pп−2(0) − …− pf (n−2) (0) − f (n−1) (0) f (n) (t). (21)
○ Пусть
φ(t) = (t) и Φ(p) φ(t) = (t). В то же время
рF(p) − f(0) (t),
следовательно,
Φ(p) = рF(p) − f(0).
Найдем изображение функции
(t) = (t):
рΦ(p) − φ(0) (t) = (t).
Значит,
р(рF(p) − f(0)) −(0) (t)
или
p2F(p) − pf(0) −(0) (t)
и т.д. ●
Замечание. Если
f(0) =(0) = … = f (n−1) (0) = 0,
то
pпF(p) f (n) (t).
Пример. Найти изображение функции
f(t) = .
□
Пусть F(p) = f(t). Тогда
рF(p) − f(0) (t).
Но
f(0) = = 1,
(t)=−2= − −.
Следовательно,
рF(p) − 1 = −,
откуда
F(p) = (1 − ) = .
■
Интегрирование оригинала
Теорема. Если
F(p) f(t),
то
. (22)
Пример. Найти изображение функции
.
□
Имеем
.
По теореме об интегрировании оригинала
.
■
Интегрирование изображения
Теорема. Если интеграл
сходится, то он является изображением функции
,
т.е. . (23)
Следствие.
= , (24)
если сходятся соответствующие несобственные интегралы.
Пример. Найти изображение функции
.
□
Известно, что . Поэтому по теореме об интегрировании изображения
==−,
т.е.
− .
■
Пример. Найти интеграл
.
□
Используя предыдущий пример и последнее следствие, получим
= = = .
■
Запаздывание оригинала
Теорема. Пусть f(t) > 0 при t < 0, тогда
L{f(t – t0} = L{f(t)}, (25)
где t0 – некоторая точка.
○ Имеем
L{f(t – t0} = = + =
= = = = =
= L{f(u)}. ●
Пример. Так как
L{σ0(t)} = ,
то
L{σ0(t – h)} =
■
Решение дифференциальных уравнений операционным методом
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами
апх(п)(t) + ап−1 х(п−1)(t) + … + а1(t) + а0 х(t) = f(t). (1)
Требуется найти решение уравнения (1) для t > 0 при начальных условиях
х(0) = х0, (0) = , …, х(п-1)(0) = х0(п-1). (2)
Другими словами, требуется решить задачу Коши.
Предположим, что функция х(t) является решением (1), удовлетворяющее начальным условиям (2). Тогда после подстановки этой функции в (1) мы получим тождество. Значит, функция, стоящая в левой части (1), и функция f(t) имеют одно и то же L-изображение:
L{} = L{f(t)}.
В силу следствия теоремы о дифференцировании оригинала имеем
L{} = pkL{х}− pk−1x(0) − … − p х(k-2)(0) − х(k-1)(0).
Поэтому, используя свойство линейности изображения, получим
апL{}+ ап-1L{}+…+ а0L{х} = L{f(t)}:
ап(pпL{х} − pп−1x0 − …− p х0(п-2) − х0(п-1)) + ап-1(pп-1L{х} − pп−2x0 −…− pх0(п-3) − х0(п-2)) +
+…+ а1(L{х}− x0) + а0L{х} = L{f(t)}.
Введем обозначения:
L{х} = (р), L{f(t)} = F(p).
Тогда
(р)∙(апpп + ап-1pп-1 +…+ а1p + а0) = ап(pп−1x0 + pп−2 +…+ х0(п-1)) +
+ ап-1(pп−2 x0 + pп−3 +…+ х0(п-2)) +… + а2(px0 + ) + а1x0 + F(p). (3)
Уравнение (3) называют вспомогательным уравнением или изображающим уравнением, или операторным уравнением.
Видно, что коэффициент при (р) в (3) получается из левой части (1) формальной заменой производных на степени pk. Обозначим этот коэффициент через
Rn(p) = (апpп + ап-1pп-1 +…+ а1p + а0).
Очевидно, что этот коэффициент является левой частью характеристического уравнения для дифференциального уравнения (1).
Правую часть уравнения (3), кроме F(p), обозначим через Ψп-1(р):
Ψп-1(р) = ап(pп−1x0 + pп−2 +…+ х0(п-1)) + ап-1(pп−2 x0 + pп−3 +…+ х0(п-1)) +…
…+ а2(px0 +) + а1x0.
Тогда уравнение (3) примет вид:
(р)∙Rn(p) = F(p) + (р)
или
(р) = + . (4)
Если начальные условия нулевые, т.е.
х0 = = … = х0(п-1) = 0,
то формула (4) запишется
(р) = . ()
Если теперь по изображению (4) или () мы найдем оригинал, то в силу теоремы единственности это и будет искомое решение х(t).
Пример. Решить уравнение
+ 4х = 2, х(0) =(0) = 0 или х0 = = 0.
□
Так как начальные условия нулевые, то используем формулу (). Имеем
2 = F(p), R2(p) = р2 + 4.
Следовательно,
(р) = .
Разложим изображение на простейшие дроби:
(р) = = + = = !
2 = (А + В)р2 + Ср + 4А,
.
! = ∙ − ∙.
Следовательно,
(р) = = ∙ − ∙ − ∙,
т.е.
х(t) = − ∙.
■
Пример. Решить уравнение
+ − 2х = 0, х0 = 1, = 0.
□
Имеем
(р) х(t), р(р) – х0 (t),
р2(р) – рх0 − (t).
Подставляем в уравнение с учетом начальных условий
р2(р) – р + р(р) – 1− 2(р) = 0,
(р)( р2 + р − 2) = р + 1,
(р) = .
Разложим изображение на простейшие дроби:
(р) = = = + = = !
р + 1 = (А + В)р + (−А + 2В),
.
! = ∙ + ∙ .
Следовательно,
(р) = = ∙ + ∙ e−2t + et,
т.е.
х(t) = e−2t + et.
■
Нахождение оригиналов для рациональных дробей
При решении дифференциальных уравнений операционным методом мы столкнулись с определением решения ДУ (определением оригинала) от рациональных дробей, выражающих изображение.
Пусть изображение некоторой функции есть правильная рациональная дробь. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде простейших (элементарных) дробей четырех видов:
1. ;
2. , где k – кратность корня;
3. , где корни знаменателя комплексные, т.е. < 0;
4. , где k ≥ 0, корни знаменателя комплексные.
Запишем для этих дробей оригиналы.
1. Аeat.
Здесь использованы: формула 1, свойство линейности и теорема смещения: F(p + α) е−αt f(t).
2. .
Соотношение получено на основании теоремы о дифференцировании изображения ( tп) и теоремы смещения (F(p + α) е−αt f(t)):
из формулы tп следует
tk−1, , .
С учетом теоремы смещения:
.
3. Рассмотрим дробь .
Произведем тождественные преобразования:
= = =
= =
= .
Тогда для первого слагаемого
.
Здесь использованы: соотношение и теорема смещения F(p + α) е−αt f(t).
Используя соотношение и теорему смещения, получим для второго слагаемого
.
Таким образом,
+ .
Для простейшей рациональной дроби четвертого вида получаются довольно сложные вычисления. При необходимости результат можно найти в справочниках.
Формулы Дюамеля
В тех случаях, когда возникают трудности при нахождении изображения F(p) правой части f(t) дифференциального уравнения можно применить метод решения, основанный на формулах Дюамеля.
При выводе формул Дюамеля используется теорема свертывания. Поэтому сначала приведем эту теорему.
Теорема свертывания. Если
F1(p) f1(t) и F2(p) f2(t), то
F1(p)∙ F2(p) .
Выражение называют сверткой функций f1(t) и f2(t) и обозначают f1(t) .
Замечание 1.
= .
Замечание 2. Пусть
f1(t) = f(t) и f2(t) ≡ 1.
Тогда
F1(p) = F(p) и F2(p) = .
Из теоремы свертывания получаем
,
т.е. получили теорему об интегрировании оригинала.
Теперь рассмотрим линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами
апх(п)(t) + ап−1 х(п−1)(t) + … + а1(t) + а0 х(t) = f(t). (1)
при нулевых начальных условиях
х(0) = (0) = …= х(п-1)(0)= 0.
Обозначая (р) х(t), F(р) f(t), составим операторное уравнение
(р)∙(апpп+ап-1pп-1+…+а1p+а0)=F(р). (2)
Рассмотрим ДУ, аналогичное уравнению (1), но с правой частью, равной единице:
апх1(п)(t) + ап−1 х1(п−1)(t) …+ а1(t) + а0 х1(t) = 1 (3)
при таких же нулевых начальных условиях:
х1(0) = (0) = …= х1(п-1)(0)= 0.
Обозначим (р) х(t) и составим операторное уравнение для дифференциального уравнения (3):
(р)∙(апpп+ап-1pп-1+…+а1p+а0)= . (4)
Из (2) находим
(р) = .
Из (4) находим
апpп+ап-1pп-1+…+а1p+а0 = .
Тогда
(р) = р(р)∙ F(р).
Обозначим
р(р) = F1(р), F(р) = F2(р).
Тогда
(р) = F1(р)∙F2(р).
При этом
F1(р) (t), F2(р) f(t).
По теореме свертывания
F1(р)∙F2(р)
или
(р) .
Но (р) х(t), следовательно,
х(t) = . (5)
Согласно замечанию 1:
х(t) = . (6)
Используя интегрирование по частям, можно формулу (5) записать в виде:
х(t) = f(0)х1(t) +, (7)
а согласно замечанию 1:
х(t) = f(0)х1(t) +. (8)
Каждое из выражений (5) – (8) называют формулой или интегралом Дюамеля.
Формулы Дюамеля применяются, если удается найти решение ДУ (3).
Пример. Решить уравнение
− = , х(0) =(0) = 0.
□
Построим и решим уравнение
− = 1
при начальных условиях
х1(0) =(0) = 0.
Имеем
(р)∙(p2 − p)= ,
(р) = = = + + = = !
1 = ,
! = − + .
Следовательно,
(р) == − + −1 − t + et,
т.е.
x1(t) = et − t −1.
По одной из формул Дюамеля, например по (5), найдем решение заданного дифференциального уравнения:
х(t) = = = = =
= = − (et + 1) = −
− (et + 1)= et −1 − (et + 1).
Таким образом,
х(t) = et −1 − (et + 1).
■
Замечание 3. Если необходимо решить задачу Коши с ненулевыми начальными условиями, т.е. если хотя бы одно из чисел х(0), (0), …, х(п-1)(0) отлично от нуля, то заменой
у(t) = х(t) −
можно перейти к ДУ с нулевыми начальными условиями.
Пример. Решить уравнение
+ х = 0, х(0) = 1, (0) = 0.
□
Делаем замену
у(t) = х(t) − = х(t) − = х(t) − (1 + 0) = х(t) − 1,
т.е.
у(t) = х(t) − 1
или
х(t)=у(t) + 1, =, =.
Подставляем в заданное уравнение:
+ у(t) + 1=0
или
+ у = − 1.
Получили ДУ с нулевыми начальными условиями у(0) = 0, = 0
(действительно,
при t = 0: у(0) = х(0) − 1= 1 – 1 = 0;
при t = 0: = (0) = 0).
Решим это уравнение. Имеем
∙(p2 + 1)= −,
= = + = = !
−1 = ,
! = + .
Следовательно,
= = + −1 + ,
т.е.
у(t) = −1.
Подставляя в выражение х(t) = у(t) + 1,
Получим
х(t) = у(t) + 1= −1 + 1 = ,
т.е.
х(t) = .
■
Решение систем дифференциальных уравнений
Рассмотрим этот вопрос на конкретном примере.
Пример. Решить систему дифференциальных уравнений
при начальных условиях
х(0) = у(0) = 0.
□
Имеем
(р) х(t), р(р) ;
у(t), р .
Построим систему вспомогательных уравнений:
для уравнения 3 + 2х + = 1:
3р(р) + 2(р) + р =
или
(3р + 2)(р) + р = ;
для уравнения + 4 + 3у = 0:
р(р) +4р + 3 = 0
или
р(р) + (4р + 3) = 0.
Тогда ((р) = , = )
Решим эту систему, например по правилу Крамера:
Δ = = 11р2 + 17р +6 = (11р + 6)(р + 1),
= = ,
= = −1,
= = ,
= = .
Тогда
= (р) == ∙ − ∙ − ∙ − − , т.е.
х(t) = − − ;
= = = −∙ + ∙ −+ ,
т.е.
у(t) = − + .
Окончательно,
■