Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования, науки и молодежной политики Республики Алтай
БОУ СПО РА
«Горно-Алтайский государственный политехнический колледж»
Толмачева О.Г.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
Горно-Алтайск
2012
Рассмотрено и утверждено предметно-цикловой комиссией экономических дисциплин в качестве учебного пособия для студентов заочной формы обучения.
Протокол № _____ от ___________20________г.
Председатель ПЦК _________________ Г.С. Ямцова
Допущено методическим советом БОУ СПО РА «ГАГПК» в качестве методического пособия для студентов среднего профессионального образования заочной формы обучения
Протокол № __ от _________20______ г.
Руководитель СП УМР _________________ М.А. Могильникова
Составитель: Толмачева О.Г.., преподаватель БОУ СПО РА «ГАГПК»
Рецензент: Фетисова И.П., преподаватель БОУ СПО РА «ГАГПК»
Данное методическое пособие предназначено для студентов заочной формы обучения. Включает общие методические указания. Для того, чтобы студент смог правильно выполнить контрольную работу в пособии формулируются требования к оформлению контрольной работы и рекомендации по ее выполнению. Содержит задания контрольной работы.
БОУ СПО РА «Горно-Алтайский государственный политехнический колледж», 2012 г.
1. Пояснительная записка
Методические указания и контрольные задания по математике разработаны для студентов заочной формы обучения по специальностям: 080110"Экономика и бухгалтерский учет», 080501 «Менеджмент», 080106 «Финансы», 190604 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта», 030503 «Правоведение». Основной целью данного пособия является оказание помощи студентам в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы по математике.
Задача предмета «Математика» состоит в том, чтобы дать студентам комплекс математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения специальных дисциплин, для использования в практической деятельности и развития логического мышления.
В пособии содержатся методические указания по изучению теоретического материала, рекомендации и требования по выполнению контрольной работы, задания для самостоятельной работы, вопросы для контроля, список литературы.
2. Учебно-методический материал
2.1. Методические указания
Тема: Теория пределов
По данной теме сначала изучите § 29-32 гл.6 [1]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по данной теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Решите задачу № 1, приведенную в пособии.
Из контрольной работы выполните первое задание своего варианта.
Функция. Основные понятия. Зависимость переменной у от переменной х при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y называется функциональной зависимостью или функцией. Обозначается у = f(x).
Все значения, которые может принимать переменная y, образуют область определения функции. Обозначается D(y).
Все значения, которые может принимать переменная y, образуют область значений функции. Обозначается Е(у).
Пример 1. Найти область определения функции у =.
Решение. Функция определена, если x - 2 0, т.е. если x2. Таким образом, D(y) = (-;2) (2;+).
Пример 2. Найти множество значений функции у = .
Решение. Арифметический квадратный корень, по определению, является неотрицательным числом. Таким образом, Е(у) = [0;-).
Пределы. Число A называется пределом функции f(x) при x, если для любого сколь угодно малого >0 найдется такое >0. что |f(x)-A| < при |x - х0| <. Это записывают так: f(x) = A.
Аналогично f(x) = A, если |f(x)-A| < при |x|>N. Функция f(x) называется бесконечно большой при , если |f(x)|>М при |x-x0|< , где М— произвольное положительное число. Записывают
f (x) = .
Если f(x) = 0, то функция f(x) называется бесконечно малой при .
Свойства пределов.
1. (f(x} + g(x)) = f(x) + g(x);
Решение. Так как x 2, то числитель дроби стремится к числу 2-1 = 1, а знаменатель - к числу 2+ 2= 6 . Следовательно, =.
Пример 4. Найти предел .
Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменой, и применить свойства пределов т.е. на x2, получим =
Пример 5. Найти предел
Решение. Здесь числитель и знаменатель дроби при х 0 стремятся к нулю (неопределенность вида 0/0). Раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители и сокращаем дробь. Имеем
При дробь стремится к числу .
Пример 6. Найти предел .
Решение. Числитель и знаменатель дроби при х -> 2 стремятся к нулю (неопределенность вида О/О). Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное , т.е. на :
Тема: Производная и ее приложения
По данной теме сначала изучите § 33-42 гл.7 [l]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по данной теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Решите задачи № 2-10, приведенные в пособии.
Производная. Производной функции у = f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
.
Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Если y= f(u) и и = (х) - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у = f( (x)) существует и равна произведению производной функции у по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х:
Правила дифференцирования
|
1. |
4. |
|
2. |
5. |
|
3. |
|
Таблица формул дифференцирования
|
8. |
15. |
|||
|
9. |
16. |
|||
|
10. |
17. |
|||
|
11. |
18. |
|||
|
12. |
19. |
|||
|
13. |
20. |
|||
|
14. |
- элементарные дифференцируемые функции от х , С – (constanta) постоянная величинa.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем функцию по формулам
(u)' = nuu',
Пример 2. Найти производную функции у = sin3 x и вычислить ее значение при
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом sinx. Дифференцируем ее по формулам (un)/ = nun –1 u / , (sin u)' = cos и. и':
Вычислим значение производной при
Геометрический смысл производной. Производная функции у = f(x) представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в любой его точке.
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(х) в точке A(a;b), равен значению производной функции при х = a:
K= y/ (f)= f / (a)
Уравнение касательной, проведенной к графику функции в этой точке, имеет вид
y-b = k(x-a), где k = f(a) или
Пример 3. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х = 2.
Решение. Сначала найдем ординату точки касания А(2;у). Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, ; А(2; 2).
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке А2;2), имеет вид у-2 = k(x-2). Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функ ции при х = 2:
k = y'(2) =
Уравнение касательной таково: у - 2 = - (х-2), или у-2 = - х + 2, или
х + у - 4 = 0.
Вторая производная. Производной второго порядка (или второй про изводной) функции называется производная от первой производной у' = f /(х): y// =(y/)/ или f // = (f / (x))/.
Пример 4. Найти вторую производную функции f(х) = tgx.
Решение. Сначала по формуле (tgu)' = .
найдем первую производную f / (x) = Дифференцируя еще раз по формулам (u)' = nuu'.
найдем вторую производную:
Приложения производной к исследованию функций. Дифференцируе мая функция у = f(x) возрастает на промежутке (a; b), если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.
Дифференцируемая функция у = f(x) убывает на промежутке (а;b), если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.
Функция у = f(x) имеет максимум в точке x = x1, если для всех значений х, достаточно близких к x1 выполняется неравенство f(x)< f(x1); х = х1 - точка максимума; уmax =f(x1) - максимум функции.
Функция у = f(x) имеет минимум в точке x= x2, если для всех значений х, достаточно близких к x2, выполняется неравенство f(x)> f(x2); х = x2 - точка минимума; y min= f(x3) - минимум функции.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а зна чения функции в этих точках - экстремальными.
Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются критическими точками 1 рода.
Достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х=x0 производная функции у = f(x) меняет знак, то х = х0 - точка экстремума.
При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х = х0 -точка максимума, а уmax = f(x0). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х = х0 - точка минимума, а уmin = f(x0).
Направление вогнутости и точки перегиба кривой. Говорят, что на про межутке (а;Ь) кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла (), если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке.
Говорят, что на промежутке (а;b) кривая обращена выпуклостью вниз или вогнута (), если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке.
Точка А, в которой меняется направление вогнутости кривой, называет ся точкой перегиба кривой.
График дифференцируемой функции у = f(x) является выпуклым на промежутке (а;b), если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка.
График дифференцируемой функции у=f(x) является вогнутым на промежутке (а;b), если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка.
Точки, в которых вторая производная функции обращается в нуль, назы ваются критическими точками II рода.
Если при переходе через критическую точку II рода х=x0 вторая произ водная функции меняет знак, то х = х0 - абсцисса точки перегиба. Ордината точки перегиба равна значению функции в точке x0; A(x0; f(x0)) - точка пере гиба графика функции у = f(x).
Прямая L называется асимптотой кривой у = f(x), если расстояние точ ки М(х;у) кривой от прямой L стремится к нулю при неограниченном удале нии этой точки по кривой от начала координат.
Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если
Прямая у = kx+b является наклонной асимптотой графика функции у = f(x), если существуют пределы
Если k = 0, то прямая задается уравнением у = b и называется горизонтальной асимптотой.
Исследование функций и построение их графиков. Исследование функции можно проводить по следующей схеме:
Пример 5. Исследовать функцию у = и построить ее график.
Решение. I. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, за исключением х = ±2, т. е. D(y) = (- ;-2) (- 2;2) (2;).
2. Функция является нечетной, так как область определения симметрична относительно нуля и f(-x) = .
с осью Ox: y = 0, то =0 решить это уравнение х=0
с осью Оу: х = 0, у == 0.
5. Точки разрыва х = ±2, причем lim =; следовательно, прямые
х = ±2 являются вертикальными асимптотами графика функции.
Найдем наклонную асимптоту:
Наклонная асимптота задается уравнением у = х.
у / (-4)>0, у/ (-3)<0, У/ (-1)<0, У/ (1)<0, У/ (3)<0, У/ (4)>0 . Функция возрастает при и убывает при). Итак, х2= - точка мак симума; уmax = y()=, ; х = - точка минимума; уmin = у() = .
7. Находим направление вогнутости и точки перегиба графика функции. Для этого сначала найдем вторую производную у" = , а затем критические точки II рода: у// = 0, 8x3 +96x= 0, x= 0. Отметим эту точку в области определения функции т.е. на прямой. Исследуем знак второй производной в каждом интервале: у" (-3)<0, у" (-1)>О , у" (1)<0, у" (3)>0.
Таким образом, график является выпуклым при х и во гнутым при х (-2;0) (2;); x = 0 - абсцисса точки перегиба; О(0;0) -точка перегиба графика функции.
8. В системе координат построим прямые, являющиеся асимптотами графика функции, отметим все полученные точки и соединим их плавной кривой.
9. Если точек для построения графика не достаточно, то необходимо взять дополнительно несколько значений х из области определения функции и найти соответствующие значения у.
По данной теме сначала изучите § 45-52 гл.8,9 [l]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по данной теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Решите задачи № 11-13, приведенные в пособии.
Неопределенный интеграл. Дифференцирование - это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная. Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегриро вания по данной производной находится сама функция. Например, если
F/(x) =7x6, то F(x) =х7 так как (х7)/ = 7x6.
Дифференцируемая функция F(x), х(а;b) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если F'(x) = f(x) для каждого х (а;b).
Совокупность всех первообразных функций f(x) на интервале (а;b) называют неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут =F(x) + C. Здесь f(x)dx - подынтегральное выражение; f(x) -подынтегральная функция; х - переменная интегрирования; С - произвольная постоянная.
Например, , так как
Приведем основные свойства неопределенного интеграла.
1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению:
ddx=f(x)dx.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.
df(x) = F(x) + C.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:
Основные формулы интегрирования ( табличные интегралы)
|
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. |
12. 13. 14 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. |
Методы интегрирования:
Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании свойств неопределенного интеграла и табличных интегралов.
Пример 1. Найти .
Решение. Имеем,
=++
Метод подстановки. Сущность интегрирования методом подстановки заключается в преобразовании интеграла в интеграл F(t)dt, кото рый легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Пример 2. Найти .
Решение. Произведем подстановку 2-3x2 = t; тогда dt = - 6xdx, xdx=
Далее получаем,
Определенный интеграл. Непосредственное вычисление определенного интеграла производится по формуле Ньютона-Лейбница: = F(x) = F(b)-F(a), где а - нижний предел, b - верхний предел, F(x) - какая-нибудь первообразная функции f(x).
Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:
Приведем основные свойства определенного интеграла.
1. При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на противоположный: =-
2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
= +
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: = c
Методы интегрирования определенного интеграла (Те же что и для неопределенного интеграла):
1. Непосредственное интегрирование.
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрица тельным показателем и вычислим определенный интеграл:
3=
3 3 (2 - 1) = 3
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. 1) Положим cos х = t; тогда t = -sin xdx и sin xdx = - dt.
2) Определим пределы интегрирования для переменной t: tн = Сos0 = 1; tв = Сos = 0.
3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и, перейдя к новым
пределам, получим
==-.
Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции аАВb, ограниченной графиком непрерывной функции у = f(x) , отрезком [а;b] оси Ох, отрезками прямых х = а и х = b, вычисляется по формуле S =.
Площадь фигуры ABCD, ограниченной графиками непрерывных функций у =f(x) и у = g(x), где x[a;b], отрезками прямых х = а и х = b, вы числяется по формуле
S =
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = x2 и у2 х.
Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересе чения графиков функций у = х2 и у2 = х. Для этого решим систему
х4 = х, х(х3 –1) = 0, х = 0 и х = 1.
Искомую площадь вычисляем по формуле S = при f(x) = х2, g(x)= : S = =
2.2.Задания для самостоятельной работы
1. Найдите пределы: а) б)
в) г) д)
2. Найдите производные функций:
а) б) в) ; г)
3. Найдите скорость движения тела в момент времени 3с., если оно движется по закону .
4. Найдите производную третьего порядка для функции
5. Найдите значение выражения: а) ; б) ; в) 1,99313.
в точке А(3; 6).
б) x2 + y2 =8, y2 =2x.
3.1. Теоретические вопросы:
Задания для контрольной работы
|
Контрольные задания Вариант 1 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) в) ; г) 3. Найдите скорость движения тела в момент времени 3с. если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) . 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
Контрольные задания Вариант 2 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) ; в) ; г) 3. Найдите скорость движения тела в момент времени 2с. если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) . 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
|
Вариант 3 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) в) ; г) 3. Найдите скорость движения тела в момент времени 4с. если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
Контрольные задания Вариант 4 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) ; в) ; г) 3.В какой момент времени тело остановится, если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
|
Вариант 5 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) в) ; г) 3. Найдите скорость движения тела в момент времени 12с. если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) . 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
Контрольные задания Вариант 6 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) ; в) ; г) 3. Найдите скорость движения тела в момент времени 2с. если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) . 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
|
Контрольные задания Вариант 7 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) в) ; г) 3. Найдите скорость движения тела в момент времени 7с. если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
Контрольные задания Вариант 8 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) ; в) ; г) 3.В какой момент времени тело остановится, если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
|
Вариант 9 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) в) ; г) 3. Найдите скорость движения тела в момент времени 12с. если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) . 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
Контрольные задания Вариант 10 1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) б) в) 2. Найдите производные функций: а) б) ; в) ; г) 3. Найдите скорость движения тела в момент времени 2с. если оно движется по закону . 4. Найдите неопределенные интегралы: а) ; б) . 5. Найдите определенные интегралы: а) б) . 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
3.1. Рекомендации и требования к выполнению и оформлению контрольной работы
10. Контрольная работа должна быть выполнена в срок (в соответствии с учебным графиком).
Рекомендуемая литература:
Основная:
Дополнительная:
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по дисциплине «Математика»
Составитель: Толмачева О.Г., преподаватель БОУ СПО РА «ГАГПК»