Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЧАСТЬ 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Раздел 9. Случайные события и их вероятности
Тема 9.1. Случайные события и операции над ними. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
Введение (терминология).
Случайные величины: параметры погоды (температура, давление, влажность), число студентов на лекции, срок службы элементов прибора, результат измерения (например, взвешивание) – их случайность усугубляется тем, что действительное число – высокая абстракция, малоинформативная, для практики в действительности важно нахождение результата измерения в некоторых допустимых пределах. (Что такое: «Результат измерения равен π»? Что с ним делать?)
Неслучайные величины: результаты вычисления , .
Но во многих случайных событиях существуют закономерности (погода – времена года, средняя посещаемость лекции, бросание монеты), проявляющиеся при анализе большого числа однотипных событий. Только такие случайные события изучает теория вероятностей.
Как формулировать эти закономерности? Простейшая математическая модель для этого – классическое определение вероятности.
Интуитивно: бросание монеты (герб выпадает примерно в ½ бросаний), кости (6 очков выпадает примерно в 1/6 бросаний).
Пространство элементарных событий (ПЭС).
Опыт – процесс, исход которого – появление (наступление) или ненаступление исследуемого события.
Элементарное событие (ЭС) ω - неразложимый исход опыта. (ЭС по другой терминологии – случай).
Одно и только одно из ЭС обязательно произойдет при опыте.
Ω = {ω} – множество всех ЭС данного опыта ПЭС опыта.
А - событие в опыте , т.е А – некоторое подмножество в Ω. Событие А происходит в результате опыта произошло какое-либо ЭС . ЭС называется благоприятным для А.
Пример. Опыт – одно бросание кости. Исход опыта – выпадение числа очков от 1 до 6.
ЭС: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
выпадение четного числа (событие А) не ЭС.
A ={2, 4, 6}
В ={1, 3, 5} выпадение нечетного числа
C={3, 6} выпадение числа очков, делящегося на 3
В примере А, В, С – различные события.
Ω – достоверное событие (всегда наступает), – невозможное событие (никогда не наступает).
Операции над событиями
Пусть (=> операции над событиями аналогичны операциям над множествами).
1) A = B A=B как подмножества Ω.
2) А + В происходит происходит А или В (Теория множеств: А B)
3) происходит происходит и А, и В ()
А, В - несовместные события Ø = Ø. ( А и В не могут наступить одновременно)
4) А – В наступает наступает А, но не наступает В (A\B).
5) - противоположное к А событие.
- наступает не наступает А. ()
6) - А - частный случай В
если наступает А, то наступает В (A => B)
Классическое определение вероятности
Пусть - ПЭС опыта, состоящего из конечного множества равновозможных (из симметрии опыта) ЭС, состоит из m ЭС ()
- вероятность наступления события А в опыте.
Из определения очевидны следующие свойства вероятности:
Р(Ø) = 0, Р(Ω) = 1.
Примеры. Кость. P(A > 4) = 2/6 = 1/3.
Урна: 3 белых, 7 черных шаров. Р (вынут белый шар) = 3/10.
Теорема сложения. Для любых
Если А и В несовместны, то P(A+B) = P(A) + P(B).
Доказательство.
Если А и В несовместны, то А· В = Ø => m = 0 => P(A· B) = 0.
Следствие. Для попарно несовместных событий
Определение. Условной вероятностью события А при наличии события В называется вероятность события А, при условии, что событие В произошло.
Пример. Бросаем кость. A = {2}, B = {2, 4, 6}. Р(А = 2) = 1/6, P(A| B) = 1/3, P(B|A) = 1.
Определение. А, В – независимые, если Р(А | B) = P(A), равносильно Р(В | A) = P(B).
Пример. Опыт – два бросания монеты. независимы.
Теорема умножения.
Доказательство.
Пример 1 с двумя независимыми стрелками.
Пример 2. Бомба в самолете.
Следствия. 1) А, В независимы
2) Для независимых в совокупности
Определение независимых в совокупности событий : эти события попарно независимы и каждое независимо от произведения любого числа остальных событий .
Независимость и несовместность. Независимые события А, В с положительными вероятностями всегда совместны: Попарная независимость событий
не влечет их независимость в совокупности: Агапов. N 53.
Тема 9.2. Формула полной вероятности и формулы Байеса. Испытания Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона
Определение полной группы событий
События образуют для опыта полную группу событий, если они попарно несовместные при i ≠ j) и в сумме дают достоверное событие .
Аналогия из теории множеств: множество представлено как объединение своих попарно непересекающихся подмножеств .
Пусть для опыта события образуют полную группу событий; при Они называются гипотезами. Тогда для любого события
Доказательство.
несовместные - несовместные. По теореме сложения
Формула позволяет “укрупнить” пространство ЭС за счёт перехода к схеме неравновозможных ЭС.
Пример. В студенческой группе a отличных студентов, b хороших, с слабых. На экзамене отличный студент получит только 5, хороший – 4 или 5, слабый 2 или 3 . Выбирается 1 студент для экзамена. Р(А – он получил 4 или 5)?
Формулы Байеса (теорема гипотез).
- полная группа гипотез для опыта . Известны их априорные вероятности
Проведен опыт, в результате которого произошло событие А. Найти апостериорные вероятности гипотез
По теореме умножения
Пример. Отличники по математике в группах Зима 2006 год
Отл.в гр. Числ. группы в %
СО1 – 1 9 из 28 0,321 21,2 П01-1 9 25 0,36 37,3 %
1- 2 8 27 0,296 20,5 1-2 2 25 0,08 37, 3%
1- 3 3 25 0,12 18,9 1-3 1 17 0,06 25,3 %
1- 4 7 25 0,28 18,9
1- 5 6 27 0,27 20,5
всего 33 из 132 12 из 67
Событие А – выбор отличника при случайном выборе одного студента с 1 курса факультета.
Р(А - выбор отл) = 33/132 = 0,25 Р(А) = 0,179
Из какой группы выбран отличник? По формулам Байеса
P(ПО1-1|A) = 0,75
CO1-2 0,244 ПО1-2 = 0,168
СО1-3 0,092 ПО1-3 = 0,083
СО1-4 0,212
СО1-5 0,184
Пример. Случайность экз. оценки - на семинар!
Пример. В пробирке неизвестный бесцветный раствор. Гипотезы:
.
Опыт: в пробирку капнули фенолфталеин, раствор стал малиновым – событие А => в пробирке щелочь, т.к. при остальных веществах раствор останется бесцветным. Следовательно, - не верны.
PAGE 5