Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
26 вопрос.
В основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:
способ записи чисел в десятичной системе счисления;
свойства коммутативности и ассоциативности сложения;
дистрибутивность умножения относительно сложения;
В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:
1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находилось друг под другом.
2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему Разряду (десятков).
3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а0 + b0 = 1 × 10 + с0, где с0 - однозначное число; записывают с0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.
4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1.Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».
Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, а при вычитании - единиц, которые занимали.
Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве N натуральных чисел и обладающая свойствами:
I) ( а N) а + 1 = а
II) ( а, b N) а + b = (а + b)
Суммой натуральных чисел а и b называется число элементов в объединении непересекающихся множеств А и В
а + b = n(А) + n(В) = n(А В)
1) Коммутативный закон сложения
( а, b ) а + b = b + а
2) Ассоциативный закон сложения
( а, b, с ) (а + b) + с = а + (b + с)
3) Монотонность сложения
( а, b, с ) а < b а + с < b + с
4) Монотонность сложения
( а, b, с, d ) а < b с d
а + с b + d
5) ( а ) а + 0 = а
27вопрос.
Разностью натуральных чисел а и b называется натуральное число с = а – b, удовлетворяющее условию b + с = а
с = а – b b + с = а
Действие, с помощью которого находится разность, называется вычитанием.
Это действие обратное сложению
Вычитание натуральных чисел связано с выделением подмножества из множества
Пусть А и В конечные множества,
n(А) = а, n(В) = b, В А
Разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в разности множеств А и В
а - b = n(А) - n(В) = n(А \ В)
Разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в дополнении подмножества В до множества А
а - b = n(А) - n(В) = n(В‘А)
Разность натуральных чисел можно рассматривать как меру отрезка с, дополняющего отрезок b до отрезка а, мерами которых являются числа q и р
Теорема о существовании и единственности разности
Разность целых неотрицательных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b а. Если разность чисел а и b существует, то она единственна.
Свойства вычитания
1) Правило вычитания суммы из числа
а – (b + с) = а - b - с
2) Правило вычитания числа из суммы
с < а ( а + b) – с = (а – с) + b
или
с < b (а + b) – с = а + (b – с)
В курсе математики начальной школы
1) Тема «Табличное вычитание»
Образец: 12 - 5 = 7
Тема «Внетабличное вычитание»
Образец: 60 – 24 =
29.вопрос.
Частным натуральных чисел а и b называется натуральное число с = а : b, удовлетворяющее условию b · с = а
с = а : b b · с = а
Действие, с помощью которого находится частное, называется делением.
Выделяют два типа задач на деление.
Деление по содержанию
Множество М, состоящее из а элементов требуется разбить на попарно непересекающиеся подмножества так, чтобы в каждом подмножестве было b элементов. Найти число таких подмножеств.
Определение 1. Если множество М, состоящее из а элементов, разбито на попарно непересекающиеся подмножества так, что в каждом подмножестве b элементов, то число таких подмножеств есть частное чисел а и b
Деление на части
Множество М, состоящее из а элементов, требуется разбить на b попарно непересекающихся равномощных подмножества. Найти число элементов в каждом подмножестве.
Определение 2. Если множество М, состоящее из а элементов, разбито на b попарно непересекающихся равномощных подмножества, то число элементов в каждом подмножестве есть частное чисел а и b
Действие, с помощью которого находится частное, называется делением.
Теорема о существовании и единственности частного
Для того чтобы существовало частное чисел а и b необходимо, чтобы b а:
с = а : b b а
Если частное чисел а и b существует, то оно единственно
28 вопрос.
Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве N натуральных чисел и обладающая свойствами:
I) ( а N) а · 1 = а
II) ( а, b N) а · b = а · b + а
К понятию произведения целых неотрицательных чисел можно подойти двумя путями:
- используя уже построенную теорию сложения целых неотрицательных чисел,
- используя понятие декартова произведения множеств
Определение 1
Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число с, которое находится по следующим правилам:
а · b = а + а + … + а
Определение 2
Произведением целых неотрицательных чисел а и b называют целое неотрицательное число с, которое является числом элементов декартова произведения множеств А и В таких, что
n(А) = а, n(В) = b:
n(А) · n(В) = n(АВ) а · b = с
Если отрезок а состоит из р отрезков, равных е,
а отрезок е состоит из q отрезков, равных е1,
то мера отрезка а при единице длины е1, будет равна р · q
Умножение натуральных чисел отражает переход к новой (более мелкой) единице длины
Теорема о существовании и единственности произведения
Для любых натуральных чисел а и b существует единственное натуральное число с = аb, которое является их произведением
1) Коммутативный закон умножения
( а, b ) а · b = b · а
2) Ассоциативный закон умножения
( а, b, с ) (а · b) · с = а · (b · с)
3) Дистрибутивный закон умножения относительно сложения
( а, b, с ) (а + b) · с = а · с + b · с
или
( а, b, с ) а · (b + с) = а · b + а · с
4) Дистрибутивный закон умножения относительно вычитания
( а, b, с ) (а - b) · с = а · с - b · с
или
( а, b, с ) а · (b - с) = а · b - а · с
5) Монотонность умножения
( а, b, с ) а < b а · с < b ·с
6) Монотонность умножения
( а, b, с, d ) а < b с d
а · с b · d
30вопрос.
Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число р 2.
Система счисления с основанием р называется р-ичной:
р = 2 – двоичная,
р = 8 – восьмеричная,
р = 10 – десятичная
Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов: 0, 1, 2,..., р-1
Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде
х = аn·10n + аn-1·10n-1 + …+ а1·10 + а0, (*)
где коэффициенты аn, аn-1, …, а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, аn 0
Записью числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде
х = аn·рn + аn-1·рn-1 + …+ а1·р + а0, (**)
где коэффициенты аn, аn-1, …, а1, а0 принимают значения 0, 1, …, р - 1, аn 0
31вопрос.
Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число р 2.
Переход от записи числа в системе с основанием р к записи в десятичной системе
Пусть дана запись числа х в системе счисления с основанием р, т.е.
х = аnрn + аn–1рn–1 + ... + а1р + а0,
где числа аn, аn–1, ... а1, а0 и р представлены в десятичной системе счисления.
Выполнив над ними действия по правилам, принятым в десятичной системе счисления, получим десятичную запись числа х.
Число х делят (в десятичной системе) на р, остаток, полученный при делении, даст последнюю цифру а0 в р–ичной записи числа х; неполное частное снова делим на р, новый остаток даст предпоследнюю цифру р–ичной записи числа х; продолжая деление, найдем все цифры р–ичной записи числа х
32 вопрос.
Пусть даны натуральные числа а и b.
Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число с, что
а = b с
Свойства отношения делимости
1. Отношение делимости рефлексивно,
т. е. любое натуральное число делится само на себя:
(аN) а а
2. Любое целое неотрицательное число делится на 1 (или 1 является делителем любого целого неотрицательного числа):
(аN0) а 1
3. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т. е.
а b b а
4. Отношение делимости антисимметрично, т.е.
аb, а b bа
5. Отношение делимости транзитивно, т.е.
а b и b с а с
6. Число 0 делится на любое число:
(bN) 0 b
7. Число 0 не является делителем никакого натурального числа:
(аN)
Признак делимости на 2
Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8
Признак делимости на 5
Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0 или 5
33 вопрос.
Теорема 1 (признак делимости суммы)
Если числа а и b делятся на с, то и их сумма делится на с:
а с b с (а + b) с
Теорема 2. Если каждое из натуральных чисел а1, а2, ... ,аn делится на натуральное число b, то и их сумма а1 + а2 + ... + аn делится на это число
Пример: (63 + 81) 9, так как 63 9 81 9
Пример: (63 + 81 + 45 + 18) 9, так как
63 9 81 9 45 9 18 9
34 вопрос. Теорема 3 (признак делимости разности)
Если числа а и b делятся на с и а > b, то их разность а – b делится на с:
а с b с а > b (а - b) с
Пример: (66 - 48) 6, так как 66 6 48 6
Теорема 4. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.
Пример: (34 + 125 + 376 + 1024) не делится на 2, так как 34 2, 376 2, 124 2, но 125 не кратно 2
35 вопрос.
Теорема 5 (признак делимости произведения)
Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х N, делится на b:
а b ах b
Пример: 24·976·305 12, так как 24 12
Обра Теорема 6. Если в произведении ab
а m, bn, то ab делится на mn.
тное неверно: (5·6)15, но ни 5, ни 6 на 15 не делятся