Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
О компьютерном моделировании случайных величин
М.В. Кретов
1. Моделирование случайной величины, распределенной по равномерному закону
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если ее функция распределения задается следующей формулой:
,
Плотность распределения вероятностей при этом имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны [3]:
, .
Обозначим буквой случайную величину с равномерным распределением на отрезке . Для этой случайной величины функция распределения и плотность распределения вероятностей соответственно имеют вид:
,
Если , то вероятность
Моделировать случайную величину можно многими способами [1].
Мы рассмотрим метод псевдослучайных последовательностей, который наиболее просто реализуется в компьютере. Для получения псевдослучайной последовательности используем алгоритм, который называется методом середины квадратов [4]. Поясним его на примере. Возьмем некоторое число . Пусть Возведем его в квадрат: Выберем четыре средние цифры этого числа и положим Затем возводим в квадрат: и снова выбираем четыре средние цифры. Получаем Далее находим и т. д. Последовательность чисел принимают за последовательность значений случайной величины имеющей равномерное распределение на отрезке . Для оценки степени приближения последовательности к последовательности случайных чисел с равномерным распределением используют статистические критерии, например, аналогичные критерию, который используется в работе [2].
2. Моделирование последовательности независимых случайных испытаний
Пусть проводится последовательность независимых испытаний. В результате каждого испытания может произойти одно из несовместных событий объединение которых совпадает с пространством элементарных событий . Известна вероятность появления каждого события , , которая не изменяется при переходе от одного испытания к другому. Очевидно, что .
Моделирование последовательности испытаний проводится следующим образом. Разделим отрезок на участков длины которых соответственно равны Получаем последовательность значений случайной величины Если , то считаем, что в -м испытании наступило событие , так как
.
. Моделирование случайной величины дискретного типа
А. Общий алгоритм моделирования.
Если случайная величина дискретная, то ее моделирование можно свести к моделированию независимых испытаний. В самом деле, пусть имеет место следующий ряд распределения:
|
… |
||||
|
… |
Обозначим через событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение , при этом . Тогда нахождение значения, принятого случайной величиной в результате испытания, сводится к определению того, какое из событий появится. Так как события несовместны и вероятность появления каждого из них не изменяется от испытания к испытанию, то для определения последовательности значений, принятых случайной величиной можно использовать алгоритм моделирования последовательности независимых испытаний.
Б. Моделирование случайной величины с биномиальным распределением.
Случайная величина считается распределенной по биномиальному закону, если
где ; —вероятность появления некоторого события в каждом отдельно взятом испытании; —вероятность появления события в независимых испытаниях раз.
Введем случайную величину —число появлений события в -ом испытании, Для этой величины имеет место:
, . (1)
Тогда случайное число появлений события в испытаниях определяется по формуле
. (2)
Исходя из формул (1) и (2), значения случайной величины определяются следующим образом:
) находят последовательность значений случайной величины
) для каждого числа , проверяют, выполняется ли неравенство если неравенство выполняется, то полагают в противном случае считают
) находят сумму значений случайных величин которая совпадает со значением
Повторяя этот алгоритм, получим последовательность значений случайной величины с биномиальным законом распределения.
В. Моделирование случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины, задаваемое формулой:
, ,
где —число событий простейшего потока, наступающих за некоторый промежуток времени. Распределение Пуассона применяется вместо биномиального распределения тогда, когда число независимых испытаний велико (порядка нескольких сотен), а вероятность появления события в каждом отдельно взятом испытании мала, при этом желательно, чтобы имело место .
Алгоритм моделирования случайной величины , распределенной по закону Пуассона при заданном параметре можно представить следующим образом:
) выбираем таким образом, чтобы вероятность была достаточно малой, например, меньше 0, 01;
) получаем последовательность значений случайной величины , равномерно распределенной на отрезке ;
) для каждого числа , проверяем, выполняется ли неравенство ; если это неравенство выполняется, то полагают , в противном случае считаем ;
) вычисляем сумму которая совпадает со значением случайной величины распределенной по закону Пуассона.
. Моделирование случайной величины
абсолютно непрерывного типа
А. Метод обратных функций.
Пусть случайная величина имеет монотонно возрастающую функцию распределения . Известно, что значит, случайная величина с монотонно возрастающей функцией распределения связана со случайной величиной соотношением
.
Отсюда следует, что значение случайной величины является решением уравнения
, (3)
где —значение случайной величины т. е.
.
Последовательности значений случайной величины соответствует последовательность значений случайной величины с функцией распределения .
Б. Моделирование случайной величины с равномерным распределением на отрезке .
Пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда ее функция распределения имеет вид:
.
Составим уравнение (3), получим
,
откуда
.
Последовательности значений случайной величины соответствует последовательность значений
, , …
случайной величины равномерно распределенной на отрезке .
В. Моделирование случайной величины с показательным распределением.
Пусть случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Тогда функция распределения этой случайной величины
, .
Составим уравнение (3). Имеем
. (4)
Решаем уравнение (4) относительно получаем
. (5)
Так как —случайная величина, равномерно распределенная на , то и является также случайной величиной, распределенной по равномерному закону на отрезке . Поэтому вместо формулы (5) для моделирования случайной величины можно использовать формулу
.
Г. Моделирование случайной величины с нормальным распределением.
Случайная величина имеет нормальный закон распределения, если ее функция распределения имеет вид:
,
где и —параметры.
Для компьютерного моделирования случайной величины с нормальным законом распределения можно использовать как метод обратных функций, так и метод, специально разработанный для нормального закона.
Согласно центральной предельной теореме, если случайные величины независимы, одинаково распределены и их математическое ожидание и дисперсия конечны, то при увеличении закон распределения суммы
приближается к нормальному. Требуется найти значения случайной величины распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией .
Пусть —независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке . Обозначим
. (6)
Учитывая , найдем:
.
При достаточно большом можно считать, что случайная величина имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией .
Пронормируем случайную величину , получим:
. (7)
Для случайной величины имеет место
, .
Перейдем от случайной величины к стандартной нормально распределенной случайной величине
.
Тогда
.
Учитывая (6) и (7), получаем:
Например, при
.
Отсюда значение случайной величины определится по формуле
, (8)
где —значения случайной величины , равномерно распределенной на отрезке .
Таким образом, имея 12 значений случайной величины и подставляя их в формулу (8), получаем значение случайной величины имея следующие 12 значений величины и подставив их в формулу (8), получим следующее значение случайной величины и т. д.
Список литературы
1. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 2001.
. Кретов М.В. Вероятностные методы оценки прочности строительных материалов // Международная научная конференция «Инновация в науке и образовании—». Калининград, 2003. С. 228.
. Кретов М.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Калининград: Янтарный сказ, 2004.
. Нейман Ю. Вводный курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1968.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://old.albertina.ru/