Решение задач симплекс-методом

Работа добавлена на сайт samzan.net:

22

ЗАДАЧА 1

Составить модель оптимального выпуска продукции для цеха кондитерской фабрики. Виды выпускаемой продукции (М), виды основного сырья (П) и его запасы, нормы расхода сырья на единицу, уровни прибыли приведены в таблице. Рассчитать план и провести его анализ.

Виды сырья	Расходы сырья на единицу  продукции	Общий запас сырья, ед.
М1	М2	М3
П1	2	4	3	266
П2	1	3	4	200
П3	3	2	1	303
Уровень прибыли на ед. продукции	20	24	28

Содержание задачи. 

Цех кондитерской фабрики вырабатывает три ассортиментные группы конфет, условно обозначенные М1, М2, М3 /в ед./.

Для их производства используются основные виды ресурсов /сырья/ трех видов, условно названных П1, П2, П3 /в ед./.

Расход каждого ресурса на производство единицы продукции является заданной величиной, определяется по рецептуре и обозначается символами а11, a12..., а33, где а - норма расхода, первая подстрочная 1 – номер ресурса, вторая подстрочная 1, 2, 3 – номер ассортиментной группы конфет.

Наличие каждого ресурса для производства всех, групп конфет принимается как известная величина и обозначается символами в1, в2, в3.

Прибыль на продукцию также принимается как известная величина и обозначается символами c1, c2, с3.

Перечисленные параметры являются величинами известными и выражаются в единых единицах измерения, кроме прибыли. Прибыль или другой какой показатель, являющийся критерием оптимальности, выражается в единицах измерения дохода /например, прибыли/, получаемого от производства единицы продукции в денежном или другом каком-нибудь выражении.

Поскольку решение задачи заключается в поиске такого плана производства, который обеспечивал бы в принятых условиях наибольший доход, принимаются те величины, которые являются неизвестными и обозначающими количества каждой группы конфет, включаемых в план производства: x1 для M1; х2 для М2; х3 для М3.

Экономико-математическая модель в символическом виде.

Система ограничений

Целевая функция /суммарный доход/ F = с1х1 + с2х2 + с3х3 = мах 

Условия неотрицательности неизвестных х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0

Символическая модель, наполненная численной информацией, будет иметь следующий вид:

2x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 266

1x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 200

3x1 + 2x2 + 1x3 ≤  303

Прибыль от реализации выпускаемой продукции должна быть максимальной, то есть F = 20х1 + 24х2 + 28х3 = max;

Решение задачи.

Для решения задачи симплексным методом неравенства преобразуются в эквивалентные равенства путем добавления в каждое неравенство по одному дополнительному неизвестному с коэффициентом + 1 и нулевым уравнением прибыли. Для удобства расчетов левые и правые части уравнений меняются местами. В этом случае исходные неравенства примут вид симплексных уравнений:

266 = 2x1 + 4x2 + 3x3 + 1x4

200 = 1x1 + 3x2 + 4x3 + 1x5

303 = 3x1 + 2х2 + 1x3 + 1x6

F = 20х1 + 24х2 + 28х3 + 0x4 + 0x5 + 0x6

Коэффициенты при неизвестных записываются в симплексной таблице, в которой выполняются расчеты и отражаются полученные результаты.

Исходная таблица

cj	p0	x0	0		8
x1	х2	х3	х4	х5	х6
0	х4	66	2		3
0	х5		1		4
0	х6		3		1
Zj - Cj		-20	-24	-28

В столбцах таблицы записывают: в первом (Cj) – прибыль единицы продукции, которая вводится в план выпуска; во втором (Р0) – неизвестные, включаемые в план; в третьем (Х0) – свободные величины; в остальных –коэффициенты при неизвестных уравнений. В верхней части этих столбцов отражаются коэффициенты при неизвестных целевой функции.

В нижней строке (целевой) записываются получаемые расчетным путем показатели: в столбце х0 – суммарная прибыль планового выпуска, в остальных столбцах – прибыль единицы продукции с отрицательным знаком.

В последних трех столбцах коэффициенты при дополнительных неизвестных, равные единице, расположены по диагонали. Эта часть таблицы, называемая единичной подматрицей, необходима для вычислительных и аналитических целей.

При решении задач на максимум целевой функции наличие в целевой строке отрицательных чисел указывает на возможность начала или продолжения решения задачи. Порядок решения таков: из отрицательных чисел целевой строки выбирается наибольшее по модулю. Столбец, в котором оно находится, принимается за ключевой (или разрешающий) и для удобства расчетов выделяется. В нашем примере таким столбцом будет Х3, имеющий в целевой строке наибольшую по модулю величину -28.

1-ая итерация

cj	p1	x0	x1	х2	х3	х4	х5	х6
0	х4		.3	.75			-1
28	х3		.3	.75			.3
0	х6		.8	.25			-0
Zj - Cj		-13	-3

Затем элементы столбца Х0 (свободные величины) делят на соответствующие коэффициенты ключевого столбца и полученные результаты сопоставляют между собой. Строка с наименьшим отношением принимается за ключевую и также для удобства выделяется. В нашем случае 266/3 = 88,7; 200/4 = 50; 303/1 = 303. Наименьшее отношение 50 имеет срока х5, она и будет ключевой. Ключевой элемент 4.

Далее элементы таблицы преобразуются и записываются в новую таблицу. Первоначально преобразуют элементы ключевой строки путем деления их на ключевой элемент. Преобразованные элементы записывают в том же самом месте.

В столбцах Ро и Cj занимают место вводимая в план неизвестная х3 с прибылью 28 (итерация 1-я). Остальные элементы преобразуются по следующему правилу:

- для преобразуемого элемента в его столбце находят элемент ключевой строки, а в его строке - элемент ключевого столбца;

- соответствующие элементы ключевой строки и ключевого столбца перемножаются и полученное произведение делят на ключевой момент;

- частное от деления вычитают из значения элемента, которое он имел до преобразования, и полученный результат будет преобразованным элементом, который записывается в новую таблицу в том же самом месте. Следуя этому правилу, преобразование элементов столбца х0 будет:

Включение на первой итерации в план неизвестной х3  обеспечит сумму прибыли 1400 руб.

Решение задачи продолжается, так как в целевой строке два отрицательных элемента. Наибольший по модулю элемент -13. Он находится в столбце х1, который принимается за ключевой, а ключевой строкой будет х6 (116:1,3=92,8; 50:0,3=200; 253:2,8=92), ключевым элементом 2,8. Элементы таблицы преобразуются в том же порядке по изложенному правилу и записываются в новую таблицу.

2-я итерация

cj	p2	x0	x1	х2	х3	х4	х5	х6
0	х4			.18			-1	-0.5
28	х3			.64			.3	-0.1
13	х1
Zj - Cj			.91			.8	.7

В последней таблице целевая строка имеет только положительные элементы. Это значит, что составленный план оптимален и дальнейшее улучшение его невозможно.

Как видно из таблицы, оптимальный план предусматривает выпуск продукции П1 27 ед. (х1 = 27), П3 92 ед. (х3 = 92), дополнительного неизвестного П4 1 ед. (х4 = 1). П2 и дополнительные неизвестные в план не вошли, следовательно, х2 = 0, х5 = 0 х6 = 0. Подставив значения неизвестных в уравнения, получим:

2 * 92 + 4 * 0 + 3 * 27 + 1 = 266

1 * 92 + 3 * 0 + 4 * 27 + 0 = 200

3 * 92 + 2 * 0 + 1 * 27 + 0 = 303

F = 20 * 92 + 24 * 0 + 27 * 28 = 2596

Анализ оптимального плана.

а) Запасы сырья трех видов используются не полностью, так как х4 = 1, а х5 = х6 = 0.

б) Рассмотрим элементы матрицы.

От выпуска продукции II следует отказаться.

Элементы столбца х5 показывают, что увеличение запасов сахара на I ед. (х5 = 1) позволит увеличить выпуск продукции III вида на 0,3 ед. Сумма прибыли увеличится на 5,8 руб. 

Элементы столбца х6 показывают, что увеличение запасов жира на I ед. (х6 = 1) позволит уменьшить выпуск только продукции III вида на 0,1 ед. (27 - 0.1) Сумма прибыли увеличится на 4,7 руб. 

Снижение запасов сырья приводит к изменениям выпуска продукции и суммы прибыли в обратном порядке.

Элементы целевой строки оптимального плана называются двойственными оценками, которые определяют величину изменения прибыли при изменении запасов сырья на I ед.

ЗАДАЧА 2

Требуется определить минимальную по стоимости смесь сырья для изготовления пищевых концентратов, которые должны содержать питательные вещества (П). Эти вещества содержаться в сырье (М) в различных сочетаниях. Содержание питательных веществ в сырье и готовом продукте, а также цена на каждый вид сырья показаны в таблице.

Питательные вещества	Виды сырья	Минимальное содержание  (единиц) питательных веществ  в готовом продукте
M1	М2	М3
П1	1	1	0	50
П2	4	1	3	140
П3	1	4	1	127
П4	0	3	2	80
Цена за единицу сырья, руб.	8	12	10

Виды используемого сырья условно обозначены через М1, М2, М3; содержание питательных веществ в сырье и готовом продукте обозначены П1, П2, П3, П3. 

Исходные условия задачи выражаются неравенствами:

1х1 + 1х2 + 0х3 ≥ 50

4х1 + 1х2 + 3х3 ≥ 140

1х1 + 4х2 + 1х3 ≥ 127

0х1 + 3х2 + 2х3 ≥ 80

F = 8х1 + 12х2 + 10х3 = min

Умножив обе части неравенств на -1, получим систему с другим направлением знака неравенств:

-1х1 - 1х2 - 0х3 ≥ -50

-4х1 - 1х2 - 3х3 ≥ -140

-1х1 - 4х2 - 1х3 ≥ -127

х1 - 3х2 - 2х3 ≥ -80

F = 8х1 + 12х2 + 10х3 = min

Преобразуем неравенства в эквивалентные равенства с помощью дополнительных неизвестных. Симплексные уравнения будут следующими:

-50 = -1х1 - 1х2 - 0х3 + 1х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7

-140 = -4х1 - 1х2 - 3х3 + 0х4 + 1х5 + 0х6 + 0х7

-127 = -1х1 - 4х2 - 1х3 + 0х4 + 0х5 + 1х6 + 0х7

-80 = 0х1 - 3х2 - 2х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 1х7

F = 8х1 + 12х2 + 10х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 = min

Записанные уравнения отличаются от тех, которые нами рассматривались выше, тем, что коэффициенты при основных неизвестных и свободные члены имеют отрицательные знаки.

Решение таких задач производится двойственным симплексным методом. Система симплексных уравнений записывается в таблице.

cj	p0	x0	8	12	10	0	0	0	0
x1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х4	-50	-1	-1	0	1	0	0	0
0	х5	-140	-4	-1	-3	0	1	0	0
0	х6	-127	-1	-4	-1	0	0	1	0
0	х7	-80	0	-3	-2	0	0	0	1
Zj - Cj	0	-8	-12	-10	0	0	0	0

Элементы целевой строки рассчитывают по обычным правилам и получают отрицательные знаки.

В отличие от вычислительной процедуры основного симплексного метода решение задач двойственным методом выполняется в обратном порядке.

В итоговом столбце свободные числа имеют отрицательные знаки. Это является свидетельством того, что данный план нельзя считать допустимым, так как он противоречит экономическому смыслу. План можно считать допустимым только тогда, когда в итоговом столбце не будет отрицательных чисел.

Ликвидация отрицательных чисел в итоговом столбце начинается с наибольшего по абсолютной величине. В нашем примере таким числом является (-140). Строка х5, в которой находится это число, принимается за ключевую и соответственно выделяется.

Определив ключевую строку, находим ключевой столбец. Для этого нужно элементы целевой строки разделить на элементы ключевой строки и из полученных отношений выбрать наименьшее. Столбец, имеющий наименьшее отношение, принимается за ключевой и так же как ключевая строка, выделяется.

Столбцы х1, х2, х3 будут иметь следующие отношения:

Наименьшее отношение имеет столбец х1, он и будет являться ключевым.

Определив ключевую строку, ключевой столбец и ключевое число, по обычным правилам преобразуются все элементы матрицы и записываются в новой таблице.

1-я итерация

cj	p0	x0	18	15	24	0	0	0	0
x1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х4	-15		-0.75	.75		-0.25
8	х1	35		.25	.75		-0.25
0	х6	-92		-3.75	-0.25		-0.25
0	х7	-80		-3	-2
Zj - Cj	280		-10	-4		-2

После преобразования элементов в итоговом столбце осталось еще три отрицательных числа в строке х4, х6 и х7. Наибольшим по абсолютной величине является число в строке х6. Эта строка будет принята за ключевую для последующего расчета. Ключевой столбец определяется по наименьшему отношению элементов целевой строки к элементам ключевой строки. Им будет столбец х2. Вводим этот вид сырья в программу вместо неизвестного х6. По общим правилам преобразуем элементы матрицы.

2-я итерация

cj	p0	x0	x1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х4	3.4			.8		-0.2	-0.2
8	х1	28.9	.0	.0	.7	.0	-0.3	.1	.0
15	х2	24.5	.0	.0	.1	.0	.1	-0.3	.0
0	х7	-6.4	.0	.0	-1.8	.0	.2	-0.8	.0
Zj - Cj	525.3	.0	.0	-3.3	.0	-1.3	-2.7	.0

После преобразования элементов в итоговом столбце осталось еще одно отрицательное число в строке х7. Эта строка будет принята за ключевую для последующего расчета. Ключевой столбец определяется по наименьшему отношению элементов целевой строки к элементам ключевой строки. Им будет столбец х3. Вводим этот вид сырья в программу вместо неизвестного х7. По общим правилам преобразуем элементы матрицы.

В таблице записаны преобразованные числа, полученные на 3-й итерации. В итоговом столбце все отрицательные числа исчезли, значит полученный план является допустимым и одновременно оптимальным. Вывод о том, что план получен оптимальный, позволяют сделать элементы целевой строки. Все они отрицательны или равны нулю, что свидетельствует об оптимальности результата при решении задач на минимум целевой функции.

3-я итерация

cj	p0	x0	x1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х4	0.6	.0	.0	.0	.0	-0.1	-0.6	.4
8	х1	26.3	.0	.0	.0	.0	-0.2	-0.3	.4
15	х2	24.3	.0	.0	.0	.0	.1	-0.3	.0
10	х3	3.6	.0	.0	.0	.0	-0.1	.4	-0.6
Zj - Cj	537.2	.0	.0	.0	.0	-1.7	-1.2	-1.9

Подставив значения неизвестных в исходные неравенства, получаем: 

1 * 26,3 + 1 * 24,3 + 0 * 3,6 ≥ 50

4 * 26,3 + 1 * 24,3 + 3 * 3,6 ≥ 140

1 * 26,3 + 4 * 24,3 + 1 * 3,6 ≥ 127

0 * 26,3 + 3 * 24,3 + 2 * 3,6 ≥ 80

Стоимость сырья при этом будет минимальной и составит:

F = 8 * 26,3 + 12 * 24,3 + 12 * 3,6 = 537,2

ЗАДАЧА 3

Составить оптимальный план перевозок пищевых продуктов от 4-х поставщиков к 6-ти потребителям. Поставщики (П),  потребители (М), объемы вывоза и завоза, кратчайшие расстояния между пунктами вывоза и завоз приведены в таблице.

Поставщики

Потребители

Объемы вывоза, т

М1	М2	М3	М4	М5	М6
П1	24	30	42	15	39	21	144
П2	9	24	30	33	27	29	148
П3	24	22	20	45	21	23	76
П4	11	36	27	40	30	8	132
Объемы завоза, т	92	84	80	112	96	36

Решение задачи начинается с распределения у имеющихся у поставщиков объемов вывоза между потребителями с учетом объемов завоза. Для первоначального распределения используются способы: северо-западного угла, наименьшего элемента по строке, наименьшего элемента по столбцу, наименьшего элемента матрицы.

Способ северо-западного угла состоит в том, что распределение объемов вывоза производится, начиная с верхнего левого угла таблицы и кончая нижним углом ее. Результаты распределения показаны в таблице.

Поставщики и объемы вывоза, т

Потребители и объемы завоза

Потенциалы строк

М1	М2	М3	М4	М5	М6
П1		24						0
92
П2		9						-6
	32
П3		24						6
П4		11						15
				96
Потенциалы столбцов						-7

Проверка плана на оптимальность. Когда исходный план получен и рассчитана соответствующая ему суммарная тонно-километровая работа, определяют, является ли этот план оптимальным. Для проверки плана на оптимальность применяется метод потенциалов.

Сущность метода потенциалов состоит в том, что для каждой строки и каждого столбца таблицы (матрицы) определяют специальные числа, называемые потенциалами. С помощью этих потенциалов можно установить, нужно ли заполнять свободную клетку матрицы или ее нужно оставить незаполненной.

Для решения задач методом потенциалов исходный план должен иметь количество заполненных клеток m + n –(m - число строк, n - число столбцов). Если план не отвечает этим требованиям, то не для всех строк и столбцов можно рассчитать потенциалы, а без них нельзя проверить план на оптимальность.

Потенциалы строк и столбцов определяются по заполненным клеткам, находящимся на их пересечении.

Элемент заполненной клетки должен равняться сумме потенциалов строки и столбца, на пересечении которых находится эта заполненная клетка.

Для начала вычислений первый потенциал для строки или столбца принимается условно равным нулю, все остальные потенциалы определяются с помощью элементов заполненных клеток.

Обозначив потенциалы строк ui, потенциалы столбцов Vj, элементы заполнения клеток , можно записать порядок расчета потенциалов для общего случая.

Из основного требования  = ui + Vj вытекает:

ui = - Vj;       Vj = - ui

Из этих выражений видно, что для расчета потенциала строки необходимо иметь заполненную клетку, в столбце которой потенциал уже определен, а для расчета потенциала столбца нужна заполненная клетка, имеющая потенциал в строке.

Потенциалы показаны в таблице.

После того, как по строкам и столбцам определены потенциалы, с их помощью выясняется, является ли план оптимальным, и если нет, то как его можно улучшить. С этой целью для каждой свободной клетки вычисляется сумма потенциалов строк и столбцов, на пересечении которых находится эта клетка.

Сравнение суммы потенциалов с величиной элемента в свободных клетках позволяет определить, нужно ли заполнять эту клетку или ее нужно оставить свободной.

При решении задач на минимум функционала (в нашем случае на минимум тонно-километровой работы) не заполняются те свободные клетки, в которых сумма потенциалов меньше величины элемента (в нашем случае - расстояния). 

Иными словами, если характеристика, значение которой равно разности  - (ui + Vj), положительная, то свободная метка не заполняется при решении задачи на минимум функции. 

Свободные клетки, имеющие нулевое значение характеристики, показывают на то, что их заполнение приведет к перераспределению поставок, но объем работ (значение функционала) останется неизменным.

Суммы потенциалов, значения элементов и характеристики для незаполненных клеток приведены в таблице.

Шифры клеток	П1-М3	П1-М4	П1-М5	П1-M6	П2-М1	П2-М5	П2-М6	П3-М1	П3-М2	П3-М3	П3-М6	П4-М1	П4-М2	П4-М3	П4-М4
Суммы потенциалов				-7			-13				-1			51
Значение элементов
Характеристики	6	-24	24		-9	18		-6	-14	-22	24	-28	-9	-24	-14

В первоначальном плане шесть клеток имеют положительные характеристики, в девяти клетках характеристики отрицательные.

Так как задача решается на минимум целевой функции, то именно эти отрицательные клетки должны быть заполнены поставщиками. Но заполнение свободной клетки и связанное с ним перераспределение поставок производится не изолированно, а в связи с несколькими заполненными клетками. Эта связь выявляется путем построения замкнутых многоугольников, вершинами которых являются клетки таблицы. Одна вершина многоугольника находится в свободной клетке, а все остальные - в заполненных клетках. Многоугольник, или как его называют цепь, имеет прямые углы и четное число вершин.

В результате перераспределения в каждой вершине (клетке) цепи происходит изменение величины поставок: в одних клетках они увеличиваются, в других - уменьшаются.

Те клетки цепи, у которых поставки увеличиваются, называются положительными, а те, у которых поставки уменьшаются - отрицательными. Каждая цепь имеет одинаковое число положительных и отрицательных вершин (клеток). Положительные и отрицательные вершины чередуются. Если свободную клетку, в которую предполагается произвести запись, принять как положительную (поскольку изменение произойдет в сторону увеличения), то следующая клетка будет отрицательной, затем опять положительной, снова отрицательной, и т.д. 

Из свободных клеток для заполнения выбирают обычно клетку, которая имеет наибольшую отрицательную характеристику. В нее записывают самую наименьшую величину из отрицательных вершин цепи.

+П4М1 -П1М1 +П1М2 -П2М2 +П2М4 -П3М4 +П3М5 -П4М5

Поставщики и объемы вывоза, т

Потребители и объемы завоза

Потенциалы строк

М1	М2	М3	М4	М5	М6
П1	144	24						0
60
П2	148	9						-6
П3	76	24						6
П4	132	11						15
32				64
Потенциалы столбцов						-7

Шифры клеток	П1-М3	П1-М4	П1-М5	П1-М6	П2-М1	П2-М2	П2-М5	П2-М6	П3-М1	П3-М2	П3-М3	П3-М6	П4-М2	П4-М3	П4-М4
Суммы потенциалов	36			-7				-13				-1
Значение элементов	42
Характеристики	6	-24	24		-9		18		-6	-14	-22	24	-9	-24	-14

+П2М5 -П4М5 +П4М1 -П1М1 +П1М4 -П2М4

Поставщики и объемы вывоза, т

Потребители и объемы завоза

Потенциалы строк

М1	М2	М3	М4	М5	М6
П1		24						0
16
П2		9						18
П3		24						-22
П4		11						-13
76
Потенциалы столбцов

Шифры клеток	П1-М3	П1-М5	П1-М6	П2-М1	П2-М2	П2-М5	П2-М6	П3-М1	П3-М2	П3-М3	П3-М4	П3-М6	П4-М2	П4-М3	П4-М4
Суммы потенциалов	12									-10	-7	-1		-1	2
Значение элементов	42														40
Характеристики	30	-4		-33	-24	-34	-10	22							38

+П2М5 -П4М5 +П4М1 -П1М1 +П1М4 -П2М4

Поставщики и объемы вывоза, т

Потребители и объемы завоза

Потенциалы строк

М1	М2	М3	М4	М5	М6
П1		24						0
П2		9						18
П3		24						12
П4		11						21
92
Потенциалы столбцов	-10					-13

Шифры клеток	П1-М1	П1-М3	П1-М5	П1-М6	П2-М1	П2-М2	П2-М6	П3-М1	П3-М2	П3-М3	П3-М4	П3-М6	П4-М2	П4-М3	П4-М4
Суммы потенциалов	-10			-13								-1			36
Значение элементов	24														40
Характеристики	34					-6	24		-20	-4	18		-15	-6	4

+П3М2 -П1М2 +П1М4 -П2М4 +П2М5 -П3М5

Поставщики и объемы вывоза, т

Потребители и объемы завоза

Потенциалы строк

М1	М2	М3	М4	М5	М6
П1		24						0
П2		9						-2
П3		24						-8
П4		11						1
92
Потенциалы столбцов

Шифры клеток

П1-М1

П1-М3

П1-М5

П1-М6

П2-М1

П2-М2

П2-М4

П2-М6

П3-М1

П3-М3

П3-М4

П3-М6

П4-М2

П4-М3

П4-М4

Суммы потенциалов

10

-1

Значение элементов

24

Характеристики

14

-4

20

-4

38

-6

24

+П4М3 -П2М3 +П2М5 -П4М5

Поставщики и объемы вывоза, т

Потребители и объемы завоза

Потенциалы строк

М1	М2	М3	М4	М5	М6
П1		24						0
П2		9						-2
П3		24						-8
П4		11						-5
92
Потенциалы столбцов

Шифры клеток

П1-М1

П1-М3

П1-М5

П1-М6

П2-М1

П2-М2

П2-М4

П2-М6

П3-М1

П3-М3

П3-М4

П3-М6

П4-М2

П4-М4

П4-М5

Суммы потенциалов

16

24

Значение элементов

24

30

Характеристики

8

-5

-4

20

-4

38

6

+П2М1 -П2М3 +П4М3 -П4М1

Поставщики и объемы вывоза, т

Потребители и объемы завоза

Потенциалы строк

М1	М2	М3	М4	М5	М6
П1		24						0
П2		9						-2
76
П3		24						-8
П4		11						0
16
Потенциалы столбцов

Шифры клеток

П1-М1

П1-М3

П1-М5

П1-М6

П2-М2

П2-М3

П2-М4

П2-М6

П3-М1

П3-М3

П3-М4

П3-М6

П4-М2

П4-М4

П4-М5

Суммы потенциалов

11

15

Значение элементов

24

Характеристики

13

-4

5

+П2М2 -П2М5 +П3М5 -П3М2

Поставщики и объемы вывоза, т

Потребители и объемы завоза

Потенциалы строк

М1	М2	М3	М4	М5	М6
П1		24						0
П2		9						-6
76

П3		24						-12
П4		11						-4
16
Потенциалы столбцов

Шифры клеток

П1-М1

П1-М3

П1-М5

П1-М6

П2-М3

П2-М4

П2-М6

П3-М1

П3-М2

П3-М3

П3-М4

П3-М6

П4-М2

П4-М4

П4-М5

Суммы потенциалов

15

11

Значение элементов

24

Характеристики

9

29

Все свободные клетки имеют положительные характеристики, которые свидетельствуют о том, что дальнейшее улучшение плана невозможно и полученный план является оптимальным.

Объем работ составит: 32 * 30 + 112 * 15 + 76 * 9 + 52 * 24 + 20 * 27 + 76 * 21 + 16 * 11 + 80 * 27 + 36 * 8 = 9332 ткм.

23