Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2. Кинематика твердого тела
Абсолютно твердым телом или просто твердым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени. Различают пять видов движения твердого тела: 1) поступательное, 2) вращательное вокруг неподвижной оси, 3) плоское, 4) движение вокруг неподвижной точки, 5) свободное. Первые два вида движения являются основными. Остальные виды движения твердого тела можно свести к их совокупности.
В данном пособии рассматриваются первые три вида движения.
Поступательное движение
Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. При таком движении все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Это позволяет свести изучение поступательного движения тела к изучению движения отдельной точки (см. раздел “Кинематика материальной точки”).
Вращение вокруг неподвижной оси
Это такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной оси , совершило за время бесконечно малый поворот на угол . Найдем модуль перемещения точки твердого тела. Положение точки относительно некоторой точки , расположенной на оси вращения (см. рис. 1.) зададим радиус-вектором , тогда
,
где – радиус окружности, вдоль которой движется точка . Разделив правую и левую части этого уравнения на , получим
, (1)
где
(2)
мгновенная угловая скорость вращения твердого тела. Из этого определения следует, что угловая скорость – скалярная величина, имеющая размерность радиан в секунду.
Однако угловую скорость можно определить как векторную величину. При изучении сложных движений твердого тела представление угловой скорости в виде вектора дает возможность получить большую наглядность, а также резко упростить как анализ движения, так и соответствующие расчеты. Векторные величины, введенные искусственно, называются аксиальными векторами или псевдовекторами. Используя уравнение (1), из которого следует, что
,
введем аксиальный вектор , определяемый векторным произведением
.
Тогда уравнение (2) запишем в векторном виде
,
откуда следует, что бесконечно малый угол поворота , также является аксиальным вектором. На рис.1. показано правление векторов и . Если аксиальный вектор продифференцировать по времени, то в результате получится новый аксиальный вектор
называемый угловым ускорением.
Уравнение (1) также можно записать в векторном виде
. (3)
Это уравнение дает нам связь между линейной и угловой скоростями.
Продифференцировав (3) по времени, найдем полное ускорение точки А:
,
или
,
где– мгновенное угловое ускорение твердого тела.
Так как ось вращения неподвижна, угловое ускорение коллинеарно угловой скорости , поэтому вектор направлен по касательной к траектории движения и является тангенциальным ускорением точки А, величина этого ускорения равна
.
Вектор направлен к центру окружности, вдоль которой движется точка А, и является ее нормальным ускорением, величина которого равна
.
Плоское движение твердого тела
Плоским движением твердого тела называют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой некоторой неподвижной плоскости. Примером такого движения может служить качение цилиндра по плоскости. Для изучения такого движения достаточно рассмотреть движение точек тела, лежащих в какой-либо одной плоскости. Это означает, что тело можно считать плоским.
Выберем две произвольные точки твердого телаи Положение тела в некоторой неподвижной системе отсчета можно определить, задав, например, радиус-вектор точки и угол между радиус-вектором , проведенным из точки в точку , и некоторым фиксированным направлением в - системе отсчета (рис. 2).
Введем вспомогательную - систему отсчета, жестко связанную с точкой . Пусть за время точка совершила перемещение , а вектор повернулся на угол . Тогда перемещение точки в - системе можно записать в виде
,
где – перемещение точки в системе. Поскольку расстояние между точками и в процессе движения остается неизменным, перемещение обусловлено вращением тела вокруг неподвижной в - системе оси, проходящей через точку и равно . Подставляя это выражение в предыдущее и разделив обе части на , получим
, (4)
где – угловая скорость вращения тела в - системе. Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как совокупность двух движений – поступательного (движение - системы, связанной с точкой , относительно системы ) и вращательного (вокруг оси, проходящей через точку ). Заметим, что, если вектор при вращении повернулся на некоторый угол , то и любая прямая, жестко связанная с телом, повернется на такой же угол. Другими словами, величина поворота тела на угол , а значит и угловая скорость не зависит от выбора точки
Докажем, что плоское движение можно свести к чисто вращательному движению. Так как точки и – две произвольные точки твердого тела, длина вектора в процессе движения остается неизменной, а поэтому
.
Дифференцируя это соотношение по времени, получим
,
или
,
где и – скорости точек и соответственно. Допустим, что в данный момент времени скорость точки равна нулю, тогда для этого момента времени
.
Отсюда видно, что скорость перпендикулярна вектору , т.е. направлена по касательной к окружности с центром в точке . Поскольку точка произвольная точка тела, это будет справедливо для любой точки тела.
Таким образом, на основании этого можно сказать, что мгновенное распределение скоростей в теле в рассматриваемый момент времени будет в точности таким же, как и при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку . Движение тела в этом случае называют мгновенным вращением. Прямая, проходящая через точку тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называют мгновенной осью вращения.
Словом “мгновенная” подчеркивают, что это понятие служит для описания распределения скоростей только в какой-то заданный момент времени. В отличие от неподвижной оси, сохраняющей свое положение в теле и в пространстве, мгновенная ось, вообще говоря, перемещается и в теле и в пространстве. Мгновенная ось может проходить через точку, лежащую вне тела.
Покажем теперь, что в пределах тела или за его пределами всегда можно найти точку, скорость которой в данный момент времени в системе равна нулю. Скорость некоторой точки в системе равна . Очевидно, что всегда можно подобрать такую величину и направление радиус-вектора , чтобы выполнялось условие , т.е. чтобы в системе скорость этой точки по модулю была равна и направлена в сторону противоположную направлению вектора . В этом случае, как следует из уравнения (4), скорость этой точки в системе будет равна нулю.
Мгновенная ось служит для описания мгновенного распределения только скоростей.
Для нахождения ускорений можно, например, воспользоваться формулой (4)
,
где – ускорение системы отсчета относительно системы , – тангенциальное, а – нормальное ускорения точки в системе (см. раздел “Кинематика материальной точки”).
А
Рис. 1
Рис. 2