Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
32. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов.
Согласно методу моментов, предложенному К. Пирсоном, определен-ное количество выборочных моментов (начальных или центральных или тех и других) приравнивается к соответствующим теоретичес-ким моментам распределения ( или ) случайной величины X.
Выборочные моменты определяются по формулам:
а соответствующие им теоретические моменты − по формулам таблицы (для дискретных и непрерывных случайных величин)
Оценки метода моментов обычно состоятельны, однако по эффективности они не являются «наилучшими», их эффективности зачастую значительно меньше единицы. Тем не менее, метод моментов часто используется на практике, поскольку приводит к сравнительно простым вычислениям.
Метод максимального (наибольшего) правдоподобияР. Фишера
Основу метода составляет функция правдоподобия, выражающая плотность вероятности (вероятность) совместного появления результатов выборки х1 х2,..., хn :
Согласно этому методу в качестве оценки неизвестного параметра θ принимается такое значение максимизирующее функцию L.
Нахождение оценки упрощается, если максимизировать не саму функцию L, a ln L.
Основной недостаток метода максимального правдо-подобия — трудность вычисления оценок, связанных с решением уравнений правдоподобия, чаще нелинейных.
Метод наименьших квадратов получил широкое рас-пространение в практике статистических исследований, так как,
во-первых, не требует знания закона распределения выборочных данных;
во-вторых, достаточно хорошо разработан в плане вычислительной реализации.
33. Оценка генеральной доли, генеральной средней и генеральной дисперсии.
Оценка генеральной доли. Пусть генеральная совокупность содержит N элементов, из которых М обладает некоторым признаком А. Следует найти «наилучшую» оценку генеральной доли р = М / N.
Теорема. Выборочная доля w = m / n повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли р = М / N, причем ее дисперсия
где q = 1 - р.
Теорема.Выборочная доля w = m / n бесповторной выборки есть несмещен-ная и состоятельная оценка генеральной доли р = М / N, причем ее дисперсия
где q = 1 - р.
Оценка генеральной средней.Пусть из генеральной совокупности объема N отобрана случайная выборка Х1, X2, ..., Xk, ..., Xn, где Хk — случайная величина, выражаю-щая значение признака у k - го элемента выборки (k =1, 2,...,n).
Следует найти «наилучшую» оценку для генеральной средней.
Теорема.
Выборочная средняя повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , причем
Теорема. Выборочная средняя бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , причем
Оценка генеральной дисперсии.
Пусть из генеральной совокупности объема N отобрана случайная выборка Х1, X2, ..., Xk, ..., Xn, где Хk — случайная величина, выражаю-щая значение признака у k - го элемента выборки (k =1, 2,...,n).
Следует найти «наилучшую» оценку для генеральной дисперсии.
Теорема. Выборочная дисперсия повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии
а) Выборка повторная
б) Выборка бесповторная
Выборочная дисперсия (в среднем, полученная по разным выборкам) занижает генеральную дисперсию.
«Исправленная» выборочная дисперсия
является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии
34. Понятие об интервальной оценке параметров. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Объем выборки.
Интервальной оценкой параметра θ называется чис-ловой интервал который с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра θ.
Такой интервал называется доверительным, а вероятность γ — доверительной вероятностью, уров-нем доверия или надежностью оценки.
Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n (уменьшается с ростом n) и от значения довери-тельной вероятности γ (увеличивается с приближением γ к единице).
Очень часто (но не всегда) доверительный интервал выбирается симметричным относительно параметра θ, т.е. (θ - Δ, θ + Δ).
ОБЪЕМ ВЫБОРКИ. Для проведения выборочного наблюдения весьма важно правильно установить объем выборки n, который в значительной степени определяет необходимые при этом временные, трудовые и стоимостные затраты.
Для определения n необходимо задать надежность (доверительную вероятность) оценки γ и точность (предельную ошибку выборки) Δ.
Объем выборки находится из формулы, выражающей предельную ошибку выборки через дисперсию признака.
35. Понятие статистической гипотезы и общая схема ее проверки.
Статистической гипотезой называется любое пред-положение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.
Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают H0. Наряду с нулевой гипотезой H0 рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу Н1, являющуюся логическим отрицанием H0.
Различают простую и сложную статистические гипо-тезы. Простая гипотеза, в отличие от сложной, пол-ностью определяет теоретическую функцию распределе-ния случайной величины. Например, гипотеза «закон распределения случайной величины нормальный с параметрами а = 0, σ2 = 1» является простой, а гипотеза «закон распределения не является нормальным» – сложной.
СХЕМА ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ.
1)Используется специально составленная выборочная характеристика (статистика)
полученная по выборке Х1, Х2,…,Хn, точное или приближенное распределение которой известно.
2)Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение θкр ─ такое, что если гипотеза H0 верна, то ве-роятность
мала; так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие можно (с некоторым риском) считать практически невозможным.
3) Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение ,
то гипотеза H0 отвергается, в то время как появление значения
считается совместимым с гипотезой H0, которая тогда принимается (точнее, не отвергается). Правило, по которому гипотеза H0 отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим тестом.
36. Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий двух совокупностей.
На практике часто встречается случаи, когда средний результат одной серии экспериментов отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснять обнаруженное расхождение средних неизбежными случайными ошибками эксперимен-та или оно вызвано некоторыми закономерностями.
Например, в промышленности задача сравнения средних часто возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах и т.д.
В случае справедливости гипотезы Н0 разность имеет нормальный закон распределения с:
математическим ожиданием
дисперсией
Поэтому при выполнении имеет стандартное нормальное распределение N (0;1).
37. Проверка гипотез о законе распределения выборки.