Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ.
Удобной моделью решения вероятностных задач является геометрическая интерпретация случайных событий (элементарных исходов) в виде точек некоторой области − элементов некоторого множества как конечного, так и бесконечного. Множество имеет некоторую геометрическую форму и конечную меру: одномерное − длина, двумерное − площадь, трехмерное − объем, -мерное. Множество всех элементарных событий обозначается . Подмножество принадлежащее называется событием . Событие происходит тогда, когда происходит одно из элементарных событий (точек) из которых состоит подмножество (область ).
Вероятность события определяется как отношение меры части геометрической формы (подмножество ) к мере всей формы (множество ). Удобно меру всей формы принять единичной, т.е. единичный отрезок, (длина равна 1), единичный квадрат (площадь равна 1), единичный куб (объем равен 1). Тогда вероятность события количественно определяется длиной отрезка , площадью области , объемом формы, принадлежащих единичной мере, т.е. во всех случаях соблюдается аксиома:
.
3.1. Диаграммы Эйлера−Венна.
Для удобства восприятия и анализа логических операций среди единичных мер выбирается единичный квадрат. Тогда при решении вероятностных задач могут быть использованы диаграммы Эйлера-Венна, наглядно иллюстрирующие свойства операций над множествами и соотношения между множествами. Представим изложенное диаграммой
Здесь величина вероятности определяется площадью: , где , т.е. вероятность достоверного события равна единице (аксиома теории вероятностей); вероятность случайного события определяется площадью области : .
Противоположное событие изображается на диаграмме в виде
и соответственно:
Очевидно, что . Откуда следует известная формула:
.
Несовместные события изображаются на диаграмме несовмещенными областями (согласно определения эти события не происходят вместе), причем , , … . Например, для трех событий:
Совместные события изображаются на диаграмме совмещенными областями (согласно определения эти события могут происходить одновременно). Например, для трех событий.
3.2. Действия над событиями.
Здесь над элементарными случайными событиями как элементами множеств выполняются две основные операции:
- объединение (дизъюнкция, логическое «или», сумма), обозначаемое , а также , , ;
- пересечение (конъюнкция, логическое «и», произведение), обозначаемое , а также , , .
Объединение есть новое событие , происходящее тогда, когда происходит хотя бы одно из исходных событий , т.е.
.
Пересечение есть новое событие , происходящее тогда, когда происходят одновременно все , т.е.
.
Объединения двух , несовместных и совместных событий показаны на диаграммах Эйлера-Венна ( − заштрихованная область).
Пересечение по определению возможно лишь для совместных событий ( − область пересечения фигур).
Обобщения на большее количество событий , представляется очевидным.
3.3. Алгебра событий. Законы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, поглощения, идемпотентности, двойственности.
Из диаграммы Эйлера-Венна непосредственно следуют формулы алгебры событий:
- законы идемпотентности: если , то , ;
- законы коммутативности: , ;
- законы поглощения: ; .
Рассмотрим с помощью диаграммы Эйлера-Венна события противоположные исходным несовместным событиям , .
Тогда объединение и пересечение противоположных событий соответственно имеют вид:
Если исходные события совместны, то
и объединение и пересечение принимают вид:
Из приведенных диаграмм Эйлера-Венна непосредственно следуют законы двойственности (формулы де Моргана) для совместных событий:
,
для несовместных событий:
,
Формулы де Моргана обобщаются на произвольное количество событий:
,
и оказываются эффективными при аналитическом решении вероятностных задач, сводя их к обратным.
Например:
,
,
где .
С помощью диаграммы Эйлера-Венна устанавливается
- закон ассоциативности трех и более событий:
,
;
- закон дистрибутивности:
,
,
в частности, если , то
,
или
,
т.е. с учетом законов идемпотентности следуют законы поглощения.
Легко показывается, что
, ,
, ,
,
а также
, , .
3.4. Геометрическая интерпретация аксиомы вероятности суммы несовместных событий.
По определению геометрической вероятности для несовместных случайных событий следует:
,
т.е.
или обобщая, принимаем, согласно А.Н. Колмогорову [ ], аксиому аддитивности:
,
т.е. для попарно несовместных случайных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий.
В частности, для противоположных событий , откуда
,
.
3.5. Формула вероятности суммы конечного множества совместных событий.
Совместные события , с помощью противоположных , могут быть представлены сумой следующих несовместных событий:
, ,
или
, ,
что соответствует диаграмме Эйлера-Венна:
Тогда
,
,
.
Так как
,
,
то
или
.
Аналогичным методом находятся формулы вероятности суммы трех, четырех совместных событий
;
и далее методом математической индукции получим
.
3.6. Инвариантность (коммутативность) формулы вероятности произведения двух зависимых событий.
В соответствии с диаграммой Эйлера-Венна для совместных событий
вводится так называемая условная (относительная) вероятность
или ,
обозначаемая в виде
или ,
которая определяется как отношение меры части геометрической формы (подмножества ) к мере всей формы (множества или ), т.е. вероятность одного события при условии, что другое событие произошло (достоверно). Откуда следует симметричное (коммутативное) тождество:
или
,
,
что составляет содержание ранее приведенной теоремы об умножении вероятностей двух зависимых событий.
3.7. Геометрическое представление формулы полной вероятности.
Пример: Случайные события образуют полную группу несовместных событий (гипотез), вероятности которых известны и связаны условием :
Событие А
происходит совместно с одной из гипотез
и условные вероятности (вероятность события при каждой гипотезе) заданы. Найти вероятность события .
Решение: Из приведенной диаграммы следует
.
Откуда
.
Используя условные вероятности, получим искомую формулу (формулу полной вероятности)
.
В силу симметричного (коммутативного) тождества, получим также
.
или
,
т.е.
.
Итак, в результате осуществления (реализации) события вероятности гипотез изменяются (перераспределяются), и также составляют полную группу несовместных событий.
Пример: Работа двигателя контролируется двумя регуляторами. При наличии обоих регуляторов двигатель отказывает с вероятностью , при работе только первого из них − с вероятностью , при работе только второго − с вероятностью , при отказе обоих регуляторов − . Первый из регуляторов имеет надежность (вероятность безотказной работы) , второй − . Все элементы TS выходят из строя независимо друг от друга в течении заданного периода времени. Найти надежность TS.
Решение:
− безотказная работа TS (случайное событие),
− работают оба регулятора (гипотеза),
− работает первый регулятор, второй вышел из строя (гипотеза),
− работает второй регулятор, первый вышел из строя (гипотеза),
− оба регулятора отказали (гипотеза).
Найдем вероятности гипотез:
,
,
,
,
где .
Условные вероятности события при этих гипотезах заданы:
,
,
,
.
Таким образом, по формуле полной вероятности получим надежность TS:
.
3.8. Вероятности гипотез. Формула Бейеса.
Пример: Случайные события образуют полную группу несовместных событий (гипотез), вероятности которых до испытания (эксперимента) известны и связаны условием . Событие происходит совместно с одной из гипотез, причем условные вероятности − известны. Произведен эксперимент, в результате которого наблюдается событие . Каким образом изменятся (перераспределятся) вероятности гипотез, когда результат испытания − событие станет достоверным (появится, осуществится, реализуется), т.е. следует найти условные вероятности , связанные известным тождеством .
Решение: Используем ранее приведенное симметричное (коммутативное) тождество:
.
Откуда искомая условная вероятность находится
,
где выражается известной формулой полной вероятности. Полученная формула условной вероятности называется формулой Бейеса (теорема гипотез).
Пример: Узел (подсистема TS) собирается из качественных деталей (элементов) и деталей, имеющих дефекты. Известно, что 40% узлов собирается из качественных деталей. Если узел собран из качественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за установленное время равна 0,95; если из дефектных деталей − его надежность равна 0,7. Узел испытывался в течении установленного времени и работал безотказно. Найти вероятность того, что узел собран из качественных деталей.
Решение: Строятся гипотезы:
− узел собран из качественных деталей;
− узел собран из дефектных деталей.
До испытания вероятность этих гипотез известна:
,
.
Известна также вероятность безотказной работы узла при гипотезах и , т.е.
,
.
После испытания оказалось − узел безотказно работал установленное время . Тогда условные вероятности гипотез (после эксперимента) найдем по формуле Бейеса:
, ,
где
,
т.е.
, .
Критерий проверки: .
Действительно: .
Вопроса для самоконтроля
1. Что собой представляет геометрическая вероятность?
2. Как изображаются случайные события на диаграмме Эйлера-Венна?
3. Какие операции выполняются над случайными событиями?
4. Можно ли с помощью диаграмм Эйлера-Венна доказать основные законы алгебры событий?
5. В чем заключается смысл формул де Моргана?
6. Как с помощью диаграмм Эйлера-Венна вывести формулы вероятности суммы несовместных или совместных событий?
7. Каким образом геометрически интерпретировать условную вероятность?
8. Можно ли дать геометрическую интерпретацию формуле полной вероятности?
9. Для решения каких вероятностных задач применяется формула Бейеса?
PAGE 28