Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Доказательство
г. НУЖДИН
Доказательство как процесс
Доказательство необычайно интересно тем, что имеет двойную природу. С одной стороны, в доказательстве есть определенные "логические ходы", структура, которая так или иначе может фиксироваться (скажем, в тексте). С другой стороны, дока зательство - это процесс, деятельность, в ходе которой логические ходы возникают, наделяются смыслом и актуализуются.
Доказательство принципиально отличается от обычного рассуждения тем, что оно закончено. Однако уже это свойство чрезвычайно трудно формализовать. Где "находится" конец доказательства? Вопрос этот отнюдь не праздный, так как процесс доказательства не совпадает с процессом воспроизведения структуры доказательства. Возможно понять доказательство до того момента, как окончится его текст. И напротив, воспроизведение структуры доказательства отнюдь не гарантирует пони мания, актуализации смысла.
Более того, доказательство как процесс не обязательно истинно. Приведу пример: при подготовке математической олимпиады встала задача изучить все графы, у которых любая пара вершин имеет ровно одного соседа. В процессе решения выявилось множество свойств этих графов, была получена оценка, связывающая число ребер и вершин, пока, наконец, не выяснилось, что все такие графы бывают одного тривиального типа. То есть, оказалось, что в течение нескольких дней группа математиков установила множество свойств несуществующего объекта.
Потеряли ли убедительность сделанные доказательства? Нет, пропал только интерес исследовать дальше эти объекты.
Приведенные соображения заставляют нас говорить о специфической неста бильности доказательства: при наличии определенной структуры доказательство не всегда воспроизводимо. И не в том дело, что потенциально существующие смысловые связи не всегда актуализируются у интерпретатора (в силу, скажем, природной глупости), а в том, что доказательство — это не слепое воспроизведение, а произ водство смысловой (логической) структуры. Об этом писал еще Пуанкаре [13]: "чтобы понять доказательство, мне нужно каждый раз доказать его заново". Где, однако, уверенность в том, что "каждый раз" мы получим доказательство того же самого?
Иными словами, доказательство - это феномен, в котором элементы воспроиз ведения уже существующей структуры сочетаются с элементами произведения, раскрытия неявно заданной нам структуры. Такие феномены мы будем вслед за обэриутами называть "мерцающими" [7], поскольку мерцание в отличие от потен циальности присуще не явлению феномена (доказательства как структуры), а ис полнению его интерпретатором.
Доказательство как событие
Доказательство как процесс, конечно, является частью всего происходящего в мире. Однако для доказательства существенно наличие интерпретатора, без которого не может существовать никакая структура. Заметим также, что доказательство всег да предполагает свершение выбора "так, а не иначе". То есть доказательство должно определенным образом зафиксировать то, а не иное положение дел, остановить весь ряд возможных, но не действительных ситуаций.
Определим событие как фиксацию происходящего. Конечно, само происходящее не "фиксируется", а фиксируется лишь взгляд на него. Такой взгляд предполагает нали чие "точки зрения", относительно которой мы и рассматриваем происходящее. Поэто му событийность мира есть следствие фундаментальной способности сознания фикси ровать определенное значение, точку отсчета. "Само по себе" событие не существует, оно возникает только по отношению к нам - смотрящим и ухватывающим. Феномены, возникающие в результате чистой активности деятеля, нельзя назвать событием, так как такая активность не предполагает внимательное всматривание, но только лишь конструирование. Поэтому событие - не просто феномен, но феномен, с необходи мостью предполагающий активность обеих сторон взаимодействия - "происходящего" и "деятеля-наблюдателя".
Префикс "со-" показывает равноправие обеих сторон взаимодействия - смотрящего и происходящего. Невозможно объяснить причину "остановки потока" ни активностью смотрящего, ни деятельностью происходящего. Представим себе, что мы работаем, а в соседней комнате работает телевизор. В какой-то момент мы замечаем, что телевизор уже не работает (хотя этот момент скорее всего не совпадает с моментом, когда действительно выключили телевизор). Выключение телевизора является для нас событием, если наше поле значений было зафиксировано на отметке "телевизор все еще работает". Заметим, что мы могли забыть о том, что телевизор работал (сменить фиксацию поля значений), и тогда события вообще не произойдет. Беспо лезно спрашивать также, в чем причина той или иной фиксации поля значений и кто побудил нас обратить внимание на не работающий телевизор - мы ли сами или "внешние раздражители". То есть событие все равно обязано нести какую-то неопре деленность и непредсказуемость.
Итак, событие есть то, что создает оппозицию между фиксированным значением и происходящим. Именно в силу противопоставленности остановленному значению, событие обязано быть удивительным и непредсказуемым. Предсказуемость события означала бы, что из фиксированного значения с необходимостью бы вытекало другое значение, то есть выбор между тем или иным значением отсутствовал бы. Однако по определению события это невозможно: событие всегда соположено нам, и в этом смысле противопоставлено. Поэтому, например, если я подойду к телевизору и выклю чу его, такое действие не будет для меня событием в силу его предсказуемости. А событием может стать, например, то, что телевизор продолжит работать как ни в чем не бывало.
Непредсказуемость события означает не только наличие альтернативы, но и наличие немыслимой на данный момент альтернативы. Так, если я предполагал, что телевизор может и не выключиться, когда я нажму на кнопку, события не произойдет. Если в дом приглашены пятеро гостей, событием может стать не приход того или иного гостя первым, но, скажем, появление нежданного посетителя и т.д.
Поскольку любой акт намеренного выбора есть событие, доказательство можно представить в виде последовательности событий. Как мы уже сказали, доказательство есть специфическое сочетание воспроизведения и произведения структур. В первом пункте работы мы рассмотрим вопрос о том, как можно произвести "точную" струк туру, доказывающую нужный нам факт. Во втором пункте мы рассмотрим вопросы, связанные с воспроизведением уже существующих структур, то есть с остановкой "мерцания".
Событие как разрешение альтернатив
Мы уже установили, что событие возникает за счет фиксации поля значения (соглашения). Однако соглашение - это всего лишь необходимое условие зарождения события, и само по себе ничего не говорит нам о механизме работы события, о том, как, почему и при каких условиях происходящее сбывается, становится для нас фактом. Так, чтобы понять доказательство, необходимо согласиться с его форму лировкой, но этого еще недостаточно для того, чтобы происходящее - сам процесс доказательства - приобрело статус ухваченного и сбывшегося, точного факта.
Так, рассуждение может подсказать нам какую-то мысль, доказательство же обязано нас убедить. Нас, следовательно, интересует решающая сила события (дока зательства), своеобразный поклон дирижера, указывающий на завершение произве дения, переход его в новый статус "исполненных" произведений. Эта "решающая сила" - следствие выбора, который производит построение одной смысловой связи (альтернативы) в ущерб другой.
Поэтому очевидно, в частности, что понимание доказательства невозможно, если предшествующим соглашением небыла выработана какая-то альтернатива. Так, если мы заранее считаем, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, любое доказательство теоремы Пифагора будет заведомо бессмысленно, тавтологично и обречено на непонимание ("а что тут, собственно, доказывать?").
Итак, явление события обязательно предполагает выделение как минимум двух альтернатив, с тем чтобы стало воможным раз-решение в пользу одной из них. Каждая пара альтернатив порождает объемлющую категорию, в рамках которой альтерна тивы противопоставляются. Однако легко видеть, что ни выбор альтернативы, ни выбор объемлющей категории не единственны. Пусть, скажем, событием для меня стало двухчасовое опоздание поезда, тогда в оппозицию ему можно поставить и прибытие вовремя, и поломку, в результате которой приходится ехать автобусом и т.д.
В математическом доказательстве, не являющемся непосредственным конструи рованием понятия, дело обстоит еще сложнее. Факту однозначной разложимости натурального числа на простые множители можно противопоставить принципиально разные утверждения: о существовании минимального числа с двумя разными разло жениями, о существовании числа, двумя способами раскладывающегося на произве дение двух простых чисел и т.д. В первом случае мы получим доказательство, неявно содержащее алгоритм Евклида, во втором - теорию идеалов, а в случае "неверной" альтернативы - ошибочное доказательство. В любом случае, попытка доказать утвер ждение - есть попытка так или иначе раскрыть альтернативу, являющуюся отрица нием этого утверждения.
Говоря на языке математиков-практиков, чтобы доказать утверждение, надо по нять, с чем нам бороться. Но это понимание уже всецело зависит от выбора объем лющей категории события.
Речь, следовательно, идет об адекватности выбора категории. Теперь мы можем определить прочность как минимальную объемлющую категорию данного события, т.е. как самое детальное описание.
Возможно ли "самое" детальное описание, или же точность никогда не достигается? В каких случаях можно говорить о такой "абсолютной" точности?
Точность
Понятие точности возникает при отказе от рассмотрения познания как отож дествления познающего с предметом познания. Тем самым истинность как отождест вление заменяется точностью как ухватыванием, погоней за своим предметом, при которой сам предмет возможно определяется ухватывающим стремлением. Впервые о такой точности упоминает Гуссерль, говоря, что образование понятия есть "адек-
ватное приспособление его к интуитивно постигаемой сущности" [5]. Уже здесь явно просматривается конструктивистский кантовский контекст, так как "приспособление понятия" как раз и означает конструирование понятия в развертывающейся попытке достижения-определения идеала (предмета интенции).
Впоследствии Матурана [10] прямо заявляет о том, что, говоря об адекватности, мы фактически конструируем предмет нашего разговора.
Попытаемся выявить те контексты, когда мы можем говорить о точности. Мы, например, говорим: "этот портрет очень точен" или "это очень точно сказано". Компьютерная программа тоже может работать точно, однако, сказать, что она работает "очень точно" - нельзя. Граница здесь проходит по критерию "наличия результата или описания ситуации в целом": портрет, даже не очень точный, остается портретом, а компьютерная программа, если она не остановилась и не выдала определенный результат, вообще не может считаться работающей.
Сфера естественного языка ("это очень точно сказано") также предполагает ясность ситуации в целом. Каждый разговор вырастает на почве предварительных соглашений, очерчивающих поле возможных вопросов и ответов. Так, несмотря на то что "вода" может означать и Н^О, и "любое питье", и "пустую болтовню", в каждом случае речевой коммуникации будет ясно, что имеется в виду. "В случае коммуника тивной неудачи ...однако намечается структура возможного диалога" [2]. Более того, случай неверного понимания не отменяет факта целостного предпонимания ситуации, то есть в любом случае, разговаривая, мы обладаем полноценной картиной развития разговора, а последовательные реплики его участников могут лишь уточнять уже в общих чертах сформированную картину.
Целостность предпонимания — ключевая черта разговора. По сути она означает, что разговор можно оборвать на любом шаге, и при этом что-то будет достигнуто (либо понимание, либо осознание проблемы). Хорошо видно, что неформализованное доказательство протекает в точности как разговор. С одной стороны, каждый этап такого доказательства должен быть осмыслен, иначе чисто прагматически нам будет неинтересно его слушать, и, следовательно, невозможно понять. С другой стороны, каждый наделенный смыслом этап будет восприниматься слушателем, как подсказка, как указание, в какую сторону идти. Поэтому в доказательстве-процессе возможна ситуация, когда слушающий неожиданно произносит: "А, я знаю как продолжить!"
Совершенно иначе ведут себя искусственные языки. Предположим, что захотели описать поведение объекта с помощью двух слов: "А" = "сидит" и "В" = "стоит". Ясно, что хотя на уровне обыденной коммуникации мы всегда с определенностью высказы ваемся о том, сидит или стоит данный человек, пожелав формализовать ситуацию, мы столкнулись бы с пограничными случаями типа "стоит облокотившись". То есть программа не справилась бы с этим признаком, так как он - качественный.
Пусть теперь мы усложнили язык, допустив в нем выражения типа "ААВ" - "стоит, облокотившись", "ABB" — "сидит на высоком стуле". Число ситуаций, которые может распознать наша программа, увеличилось, но точный результат определения поло жения объекта все равно невозможен. То есть как раз однозначно сформирован ного представления о его положении нет ни на каком этапе последовательных уточнений.
Математическое доказательство, недописанное до конца, формально обладает теми же "отрицательными" качествами - оно не работает. Практически невозможно дописать формальный вывод, начатый кем-то другим, - его можно только проверить (с чем компьютер справится заведово лучше). Однако, осознав какую-то часть дока зательства, мы часто можем продолжить и завершить его. Более того, "решающий момент", "ключевое звено" доказательства как процесса почти всегда выступает до завершающих слов "что и требовалось доказать". Это как раз и означает, что точ ность понимания доказательства имеет совершенно иную природу, чем точность формального доказательства. Мы таким образом получили классификацию точности, в зависимости от наличия
141
целостной картины на каждом этапе деятельности. Контексты, различающиеся по этому критерию, мы назовем соответственно "целостными" и "частичными".
Существует, однако, и другая классификация. Полученный результат иногда допускает уточнение, а иногда - нет. Так, доказанная теорема "существует конечное число платоновых тел" поддается уточнению - можно показать, что их ровно пять, однако само доказательство конечности потенциально не поддается уточнению, поскольку оно привязано к конкретной задаче. Контексты, не поддающиеся уточне нию, мы назовем "дискретными", а допускающие уточнение - "непрерывными".
Может показаться, что и в формальной математике присутствуют и "непрерывные" контексты, например, та отрасль математики, которая занимается задачами аппрокси мации. Однако формализовать разницу между "точным" и "неточным" приближением вряд ли возможно в общем случае: каждая конкретная задача диктует свои взгляды на точность. Даже в рамках одной задачи с течением времени взгляды на точность могут сильно меняться (достаточно взять приближение числа л). Иными словами, понятие непрерывной точности приходится также относить к математической сфере. Поэтому точность формального доказательства - дискретна и частично.
Вернемся к примеру с портретом. Очевидно, что учебные наброски можно уточнять до бесконечности, искать новые варианты, стирать и дорисовывать линии. Впрочем, есть ведь портреты, которые невозможно уточнять дальше. Например, вряд ли кому-нибудь придет в голову уточнять "Мону Лизу". Есть портреты живых людей, по описаниям современников отличающихся "удивительной точностью". То есть даже в случае с портретом точность может быть дискретной.
Однако речь здесь идет не о создании точной копии чего-то неизменно сущест вующего: человек не только как физическое тело, но и как духовный облик изменчив, и написание "удивительно точного" портрета должно, видимо, ухватывать, с одной стороны, нечто мгновенно присущее, а с другой - нечто сущностно определяющее. В таком ухватывании идет не просто отражение образа, но построение его. И ясно, что природа сущностно определяющей детерминанты "мерцает", так как невозможно написать два одинаковых, равных по силе убеждения, портрета.
На каком основании мы высказываем утверждение об "удивительной (т.е. о "дискретной", не поддающейся уточнению) точности"? Видимо, лишь в том случае, когда портрет лишь с последним мазком приобрел это свойство "быть убедительным", "быть решающим для нас", когда создание этого портрета стало для нас событием.
В этом смысле точность доказательства как деятельности должна иметь ту же структуру, быть решающей, решать поставленную ей задачу. В тот момент, когда мы пытаемся "уточнить" доказательство, мы ставим его под сомнение и тем самым един ство прежнего доказательства полностью разрушается. Зарождается новый процесс, вызванный новым сомнением, который приведет не к уточнению прежнего доказа тельства, но к появлению нового. Поэтому точность такого доказательства также бу дет дискретной. Но в отличие от точности формальной математики, точности за ведомо частичной, точность доказательства как деятельности дискретна и це лостна.
Заметим, однако, что математическое рассуждение вполне допускает уточнение. Хотя доказательство, отнесенное к видоизмененной задаче, будет иным доказательст вом, так как будет вызвано совершенно иным событием, мы вправе рассмотреть видоизмененную задачу как новый шаг на пути к "наиболее общей", идеальной формулировке. Так, доказав какую-то теорему анализа для класса бесконечно-дифференцируемых функций, мы можем впоследствии обнаружить справедливость того же утверждения для класса непрерывно-дифференцируемых функций. То есть обобщение результата как раз и означает уточнение его сущностной природы. В этом смысле точность самой математической деятельности - целостна и непрерывна.
К примеру обобщения мы еще вернемся, когда будем говорить о единстве темы разговора.
Точность и природа знака
Чем можно объяснить столь существенное различие между синтетической спо собностью естественного языка точно описать всю ситуацию и невозможностью с помощью последовательности уточнений искусственного языка создать целостное описание?
Дело в том, что элемент естественного языка выполняет не только денотативную, но также и конститутивную функцию, не только описывает, но и конструирует, определяет ситуацию. Элемент естественного языка гибок, так как указывает не на неизменную сущность, но на всю ситуацию в ее развитии. Диапазон гибкости знака может быть очень велик (см. разобранный выше пример с водой), и все попытки однозначно выделить в нем единое семантическое ядро, как правило, заканчиваются неудачей. На данный момент существуют два основных подхода к знаку: 1) за значением стоит некая метаязыковая константа ("идея") и 2) значение - это употребление (см.. например, Лебедев [9], где произведена классификация стаби лизаторов знака). Спор о значении, напрямую продолжающий спор об универсалиях, не так уж принципиален в нашем случае: нам достаточно сослаться на заведомо конститутивную функцию употребления знака, связав тот или иной языковой элемент с контекстом, мы привнесли определенный смысл в воспринимаемое, толкуемое значение.
Существенная ситуативная обусловленность выбора того или иного знака как раз означает непосредственную связь природы знака с природой события: событие говорит через знак. Поэтому элемент естественного языка получает свое окончательное осмысление только в употреблении и представляет собой действие, акт (см. [12, 14]).
Неверным, однако, будет думать, что в искусственных языках встречаются только описания. Аналогом знаков, конструктивно определяющих ситуацию, в искусственных языках служат определения и перформативы.
Как известно, любое утверждение, кроме семантики, имеет определенную прагма тику, то есть высказывается исходя из конкретных причин и целей. Причины и цели, в свою очередь, формируются под влиянием общего взгляда на ситуацию в целом. Так, в доказательстве Основной теоремы арифметики фраза "рассмотрим минимальное число, обладающее двумя разными разложениями на простые множители", указывает на вполне определенную идеологию и, в частности, конституирует потенциальное существование несуществующего элемента. Однако с точки зрения математической деятельности такое предположение не только не бессмысленно, но и необходимо, иначе - за отсутствием альтернативы к утверждению - потеряет решающую силу его доказательство.
Ошибка в доказательстве
Определим доказательство как событие решения поставленных задач (проблем). Постановка задачи сеть осознание проблематичности исходной задачи. То есть понимание задачи как процесс должно начинаться с непонимания.
Действительно, если мы все понимаем, нам не на что обратить нашу активность - в наличном понимании нет структуры, это цельность, объединенная некоторым именем. Например, теорема Пифагора в наличном понимании- это формулировка условия. Неясно, как к ней подступиться, с чего начать и т.д.
Непонимание всегда ставит альтернативу; так или иначе. То есть непонимание как деятельность - это раскрытие наличного понимания, осознание его внутренней структуры. Так. если мы заметим, что сумма квадратов двух сторон треугольника больше квадрата третьей для остроугольных треугольников и меньше - для тупоугольных треугольников.
Непонимание всегда непредсказуемо. Будь оно предсказуемо, непонятное заведомо содержалось бы в наличном понимании в качестве одной из частей, что противоречит
цельности наличного понимания. Чтобы пояснить наш тезис, заметим, что акту ализация чего-то как непонятного — событие для нас, и потому всегда непредсказуемо (см. п. ...). Так, даже, если мы и вспомним, что когда-то не понимали некое место в доказательстве, нам не удастся осознать, что же именно мы там не понимали. В этом смысле непонимание - мерцающий феномен.
Понимание возможно лишь при включении наличного понимания в более широкий контекст. Это следует из того, что для понимания необходимо появление альтер натив, то есть как раз привлечение более широкого контекста. Теорема Пифагора так и останется "вещью в себе", пока мы не привлечем наши познания об остроугольных и тупоугольных треугольниках.
Из мерцающей природы непонимания следует, что мы "пассивны" в выборе непонятного, непонимание должно "само прийти к нам" при необходимом условии наличия расширенного контекста.
Матурана пишет: "...никого и никогда нельзя убедить рациональными доводами в истинности того, что в конечном счете не присутствует неявно в комплексе верований этого человека" [II]. Если учесть, что под "комплексом верований" Матурана имеет в виду систему альтернатив, имеющихся на горизонте данного человека, это утверж дение следует понимать так: Невозможно противопоставить утверждению альтер нативу, которой пока нет на горизонте. Хотя эта формулировка почти тавтологич-на, смысл ее в том, что человек видит мир исключительно через призму альтернатив, имеющихся на горизонте. С этим тезисом сближается высказывание "язык и познание в основе своей социальны" [2].
С другой стороны, нам необходимо как-то объяснить механизм введения новых альтернатив. Для этого достаточно предположить существование "пустой" альтерна тивы на горизонте, альтернативы чуда (см. ниже).
Отсюда можно сделать вывод об ошибках первого рода при доказательстве — это ошибка в выборе непонятного. Поскольку мы не располагаем никакими средствами точного распознавания проблемности задачи, мы никогда не можем гарантировать точную постановку задачи. В частности при отсутствии непонимания доказательство как процесс вообще невозможно.
На каком этапе мы можем считать задачу решенной? В принципе, как мы уже говорили, доказательно все, что имеет решающую силу убеждения, любое событие доказательно. Событие наделяет решение задачи смыслом, а смысл — это логичный выбор "так, а не иначе", то есть доказательство - это разрешение задачи в пользу заведомо истинной альтернативы.
Очевидна порочность этой формулировки на уровне наличного понимания. Если альтернатива к нашему утверждению заведомо ложна, какой в ней смысл? Это уже не альтернатива.
Однако на уровне понимания как процесса, постановка альтернативы и осознание ее невозможности - два последовательных шага. В частности, все доказательства от противного устроены так. потому-то они и не укладываются в рамки наличного понимания.
В каком случае доказательство может быть неверным? Например, в случае ошибки в наших дознаниях. Скажем, если мы считаем, что все прямоугольные треугольники гомотетичны треугольнику со сторонами 3, 4 и 5, мы неверно докажем теорему Пифагора, предъявив равенство (3k)^ + (4k)^ = (5k)^. Ошибки, связанные с наличием неверных альтернатив на горизонте, мы назовем ошибками второго рода.
Пусть теперь ошибок второго рода нет, и мы обладаем абсолютной и точной памятью. Пусть задача поставлена правильно, то есть ошибок первого рода тоже нет. Может ли теперь доказательство быть неверным? Да, потому что оно может быть неполным. Мы можем не перечислить все альтернативы просто в силу того, что не все они находятся на горизонте. Например, считая касательные к какому-то многообра зию, мы ошибемся в подсчете, если не знаем, что существуют три касательные,
потому что каждую трикасательную мы посчитаем три раза. Ошибки в доказа тельстве, связанные с неполнотой системы альтернатив, мы назовем ошибками третьего рода.
("Теорема о неполноте"). Невозможно гарантировать полноту системы альтер натив. Это утверждение является непосредственным следствием факта о непредска зуемости непонимания, поскольку именно непонимание обеспечивает развертывание системы альтернатив.
По сути, ошибка третьего рода - это ошибка, связанная с неточным выбором объемлющей категории. На бытовом уровне этот случай описывается словами "не заметил, не увидел". Фраза "Вроде бы все верно. Или еще что-то надо проверить?" знаменует сомнение в устранении всех ошибок третьего рода. Это сомнение всегда разрешается конструктивно: полагается, что таких ошибок больше нет. Вырабо танное на этом этапе соглашение останавливает доказательство как процесс и конституирует развернутое в систему альтернатив имя задачи как новое наличное понимание.
Создание новых альтернатив (чудо)
Как происходит процесс пополнения нашего горизонта новыми альтернативами? Ясно, что новая альтернатива, прежде чем войти в горизонт известных альтернатив, должна быть схвачена, осознана как нечто новое, горизонту неприсущее и потому чу десное. Следовательно, новая альтернатива всегда является для нас событием. Про цесс рождения новой альтернативы состоит из трех частей: 1) событие схватывания -осознание того, что нужной нам альтернативы нет на горизонте, и разрешение оппозиции в пользу "пустой" альтернативы; 2) наделение альтернативы смыслом, зависящим от объемлющей категории данного события, осмысление ее как предмета нашего разговора: 3) вписывание новой альтернативы в систему уже известных.
Чудо — это исходно немыслимая альтернатива, ее невозможно увидеть как иде альный проект, можно лишь осознать нужду в ней. Чудо не описывается, а консти туируется. Существенно для нас то, что разрешение в пользу "пустой" альтернативы не только "приручает" неизвестное событие, но и отметает потенциально новые возможности.
Исключительность чуда объясняет точность математики как науки. Собственно, все здание математики строится из одной пустой альтернативы серией "чудес" -конститутивных актов. Единственный необходимый для этого механизм - это механизм разрешения оппозиций. Вопрос, который нас непосредственно интересует, как перейти от одного акта создания новой альтернативы к последовательности актов, то есть к самой математической деятельности? В какой форме эта дея тельность фиксируется, продолжается и интерсубъективно существует^
Идеальный проект
На протяжении всего нашего разговора о точности мы удерживали один вопрос, который в связи с выдвинутой теоремой о неполноте приобретает особую акту альность. Имеет ли смысл спрашивать, чью точность мы исследуем, существует ли объект точности, и возможен ли формальный "замер" точности того или иного приближения к этому объекту?
Фиксируем момент принятия соглашения, когда мы полагаем, что достигли максимально возможной на данном этапе точности. Тем самым исходный вопрос предстал нам в разъясненном виде, когда мы уже все понимаем в нем, и, стало быть, способны работать с ним как со знанием, с известной альтернативой на горизонте. Поэтому созданный нами объект, относительно которого точность достигнута, уже не является для нас чудесным, совпадает с нашими ожиданиями. Иначе с неизбежностью он стал бы для нас событием, вынудил бы к дальнейшему раскрытию.
Деятельность исследователя есть постоянный выбор между альтернативой, дикту емой событием, и одной из альтернатив, имеющихся на горизонте. Если первую аль тернативу мы назвали чудесной, вторую следует назвать ожидаемой. Если деятель ность происходит, она неизбежно должна содержать оба плана: как план чудесного, так и план ожидаемого, то есть непосредственно сознательная деятельность есть деятельность по конструированию ожидаемой ситуации. Ожидаемую последователь ность раскрытия альтернатив мы назовем идеальным проектом события.
Это название легко объяснить. С одной стороны, идеальный проект - это план, проект развертывания, с другой - он никогда не происходит, поскольку событие всегда вносит свои корректировки. Идеальный проект определяет событие, принципиально неуловимое для нас, и превращает его в объект, с которым можно работать - в последовательность известных альтернатив.
В каком смысле идеальный проект существует? В том же смысле, в каком мы говорим о строе, направлении развития события. Строго говоря, у происходящего вообще нет ни одного выделенного направления, строй же события возникает, когда некое возможное направление развития нами фиксировано. Всякий раз, как мы проецируем настоящее в будущее, мы задаем проект развития ситуации, который корректируется событием и относительно которого событие получает строй и значение. Например, выронив хрупкий бокал, еще до момента касания пола мы ощутим, как все "проваливается" в душе, услышим жалобный звон, увидим, как разлетаются по полу осколки. Если бокал не разобьется, это станет для нас чудом, событием. Заметим, однако, что здесь противопоставляются не столько факты (раз бился/не разбился), сколько целые ситуации, чьи последствия, чей ход развертывания во мгновение ока осуществляется в нас: это и огорчение жены (любимый бокал), и опасение за ребенка (ползает внизу, порежется), и проекты (купить новый). Развитие этой ситуации происходит уже не чудесным, а вполне логичным образом, все ее потенции заложены в имеющихся на данный момент альтернативах. И хотя идеальный проект никогда не осуществляется как событие, на каждый момент времени он реален, сконструирован сознанием.
Гуссерль называет идеальные проекты конкретных вещей ретенциями, "следом", который оставила однажды увиденная вещь. Строго говоря, феномены вещей непов торимы, каждое новое видение ~ новое событие для нас, однако увиденное нами воспроизводимо за счет ретенций. Характерный пример [6] - коробок спичек, у которого мы всегда видим (реальность) три грани, хотя знаем (идеальный проект), что их шесть. "Дорисовывание" трех невидимых граней и есть развертывание идеального проекта. В отличие от Гуссерля, для нас будет важно не наличие ретенций у вещи, а наличие идеального проекта у исследуемого вопроса, всей ситуации в целом. Отметим также существенную разницу между фиксированным полем значений и идеальным проектом, который есть не одно значение, а цепь значений, что позволяет говорить о логике развития ситуации.
Логика задачи
Логика задачи - это система альтернатив, зафиксированная в определенной внутренней связи. Раскрытие ситуации будет являться воспроизведением связей между альтернативами. Так, уясненное доказательство фиксируется в виде развернутого имени проблемы, то есть, той самой взаимосвязи альтернатив. В этом смысле наши термины "развернутое имя", "идеальный проект", "логика развития" отражают одно и то же, но на разных этапах становления. "Развернутое имя" проблемы — это языковая фиксация взаимосвязи альтернатив, "идеальный проект" - та же взаимосвязь, данная нам здесь и сейчас, "логика" - смысловое единство, которое представлено одной альтернативой, отражающей взаимосвязь многих альтернатив.
В частности, с логикой задачи мы можем оперировать как со знанием, то есть как с обычной альтернативой на горизонте. Мы можем воспроизводить ходы матема-
тического доказательства, применять ту же схему к другой проблеме, но чисто механически, не пытаясь осмыслить или понять.
Существенно, что мы должны отдавать себе отчет в том, что логика - лишь определенное видение проблемы, которую мы через логику зафиксировали, которой через доказательство мы дали право на существование и к которой мы стремимся через акты понимания, разрушающие нашу логику. Какими свойствами обладает логика?
а) Она непосредственно не причастна точности. Это очевидно, поскольку точность -характеристика процесса, а с фиксацией события теряет смысл говорить о про тивопоставлении через разные объемлющие категории — выбор сделан, и объемлющая категория уже единственно определена. б) Она воспроизводима как знание.
в) Она интерсубъективна в рамках данного взаимодействия исследователей, хотя в общем случае интерсубъективность нарушается — разные исследования могут усматривать различные логические ходы в одной проблеме, исходя из разных имеющихся на горизонте альтернатив.
Идеальный проект математической задачи
Идеальный проект математической задачи - это проект ее решения. Если задача "не решается", это означает, что на горизонте нет обозримых альтернатив к проблеме, то есть возникает событие непонимания. И напротив, если задача решается до конца без проблем, это означает, что никакого события в процессе решения вообще не происходило.
Идеальное положение дел может также "наложиться" на реальное. Поскольку мы оперируем нашим миром в терминах наличных альтернатив, мы можем попросту не увидеть реальной проблемы, обойти ее. Например, человек, знающий, что интеграл от \fx на отрезке [0,1] расходится, может счесть расходящимся в интеграл от 1/х на отрезке [-1,1], как составленный из двух расходящихся интегралов. Однако из гео метрических соображений видно, что в силу симметрии он равен нулю. Произойдет ли событие понимания или идеальный проект належится на реальность, предсказать невозможно, так как событие мерцает.
Понятие идеального проекта позволяет нам решить скептический парадокс Витгенштейна [3]. Пусть учитель объясняет ученику правило прибавления 1 и де монстрирует ему это правило для небольших чисел. Почему ученик не может превратно истолковать правило, переформулировав его как прибавление 1 для чисел меньших 1000 и прибавление 10 для чисел больших 1000"? Потому что видоизменить правило может только событие, которое сконструирует новую альтернативу. Если альтернативы "прибавление 10 для чисел больших 1000" не было на горизонте - а она обязана отсутствовать в силу методики обучения - она не может возникнуть сама по себе. Ошибка учителя, прибавившего вместо единицы 10, может привести к непо ниманию правила, а стало быть, и к событию рождения альтернативы. Однако при четком объяснении скорее всего произойдет обратное - идеальный проект, сконстру ированный объяснением, не позволит ученику увидеть ошибку, что, кстати, чаще всего и происходит в школе.
Развернутое имя как метод, фиксация
Фиксировав доказательство в форме развернутого имени, мы обрели метод, обеспе чивающий нам воспроизводимость. Заметим, что фиксируется не мета понимания, на раскрытие которой ориентировано доказательство, а логика, сформированная последо вательным раскрытием альтернатив исходной проблемы (темы разговора). Таким образом, фиксированное нами имеет дело не с реальностью происходящего, а с идеальностью соглашения, и именно в силу этого факта не мерцает. Более того,
зафиксированное нами соглашение интерсубъективно, то есть последовательность новых альтернатив неизменным образом присоединяется к горизонту всех участников разговора. Действительно, альтернатива рождается через событие-для-всех-участни-ков-разговора и конституируется нами как происходящее здесь и сейчас, ^iro общо нам по условию участия в одном разговоре.
Раз нам удалось добиться воспроизводимости и интерсубъективности, мы вправе говорить о методе как сценарии развития всех сходных ситуаций. Иными словами, зафиксировав логику, мы получили инструкцию (развернутое имя) по применению нашей задачи к любому конкретному случаю, причем эта инструкция не нуждается в дополнительном обосновании при проверке.
Таким образом доказательство утверждает наш идеальный проект как валидный, превращает проблему в утверждение, сомневаться в котором не имеет смысла. При чина этого - нерефлексивность науки, невозможность сомнения в том, что зафикси ровано как наша конвенция. Однако вновь пересмотреть утверждение, заново поста вить его как проблему возможно, хотя, как мы выяснили, феномен постановки проб лемы - мерцающий и возникает лишь в связи с более широким осмысляющим кон текстом. Так, невозможно поднять проблему основной теоремы алгебры в связи с доказательством неразложимости многочлена х^ +1, но вполне возможно при изучении зависимости этого результата от поля разложения.
Вариативность фиксации
Одной из особенностей математического понимания является его логическая основа. Какими бы ни были внелогические пути, приведшие к пониманию, к верной догадке, не формализованное до степени логической осмысляемости (через наличные альтерна тивы) доказательство не может быть принято. Требование логической осмысляемости накладывает ограничения на конституирующую функцию понимания. Действительно, именно конституирование обеспечивает состыковку точек зрения, и потому оно пы-нужденно вариативно, изменчиво. Логика же ограничивает вариативность кругом из вестного.
Характерный для семинаров математический жаргон, подменяющий "определим гладкий морфизм, отображающий границу поверхности в границу многообразия так, чтобы выполнялись следующие условия" загадочным "склеим их по границе так, чтобы все было хорошо" отражает не только тягу к экономии и выразительности, но и неже лание определять пока неясные условия склейки, и уверенность, что их можно опреде лить. Нестрогость объяснения компенсируется здесь (неявным) утверждением этой строгости как идеального проекта. Это дает нам право варьировать на данном этапе термины.
Существенным для математики является невариативность заключительного этапа оформления задачи. Арнольд пишет, что Колмогоров, в молодости историк, "узнав, что в истории каждый вывод требует по меньшей мере 5 доказательств", на следующий день сменил историю на математику [1]. Там же содержатся высказывания Колмогорова о вредности доказательств, лишенных строгой логической основы, и о недопустимости многозначности в математике. В то же время сам Арнольд во многих статьях бросает упреки формализованному стилю мышления и преподавания. На первый взгляд, эти высказывания плохо стыкуются, хотя по сути здесь говорится о двух разных вещах.
Оправдание разных математических языков как точек зрения
Первая - это то, что Гротендик определяет как "плодотворные точки зрения" [4], то есть различные взгляды на одну и ту же проблему. Вправе ли мы говорить о точках зрения как о разных языках описания, требующих перевода при переходе от одной точки зрения к другой? Безусловно, так как одно и то же математическое утвер ждение может быть выражено разными способами. Известно, например, противо-
148
поставление алгебраического и геометрического языков описания. Проблематично иное - возможность точного перевода, при котором не терялось бы ничего. Однако разные языки предполагают заведомо разные средства описания, и потому разную логику раскрытия утверждения. Так, наглядное доказательство теоремы Пифагора не переводится на язык алгебры, хотя бы потому, что потеряет эту наглядность при пе- реводе. Поэтому, хотя на урьвне меты, доказываемого утверждения, доказательства будут обращены к одному и тому же, они будут принципиально несводимы друг к другу, непереводимы. Именно поэтому имеет смысл говорить о плодотворных точках зрения. Если бы все точки зрения адекватно сводились бы к одной, в математике давно уже восторжествовал бы единственный подход. Плодотворность точек зрения - в установлении мет, ориентиров, которые дает нам тот или иной метод.
Одна из самых плодотворных областей современной математики — алгебраическая геометрия лидирует сегодня именно в силу разнообразия используемых ей подходов ("Исторически в алгебраической геометрии постоянно изменялось соотношение между ее геометрической и алгебраической сторонами" [8]). Коллар, например, системати чески использует в своем изложении понятие "подхода" как нового взгляда, без которого невозможно было бы дальнейшее продвижение теории. Тем самым мы оправдываем наличие существенно разных языков математики.
Логическая точность
Второе - это формальная точность доказательства, которая является ничем иным, как правом объекта на существование. Ошибка в логике (в нашей схеме - ошибка второго рода) означает выход за рамки соглашений и закономерное разрушение дея тельности. Действительно, в рамках интерсубъективного соглашения ошибка в логике может быть замечена. Доказательство с ошибкой второго рода поддается проверке, поскольку число возможных альтернатив на горизонте конечно. Поэтому точное в смысле отсутствия таких ошибок доказательство уже закрепляет статус объекта как существующего, то есть фактически создает объект уникальным законным способом, почему и многозначность этого объекта (логики) совершенно немыслима. Однако тот же с формальной точки зрения, но созданный иначе объект - уже иной, поскольку он предполагает иную логику своего раскрытия. Он принадлежит уже иному языку и не противоречит однозначности исходного объекта в его исходном языке.
Итак, можно сказать, что в математике допустимо несколько языков при обяза тельной однозначности элемента в рамках каждого языка.
Стало быть, когда понимание конституирует элемент как элемент определенного языка, фактически конституируется взгляд, точка зрения, и потому - язык описания. Формальное доказательство поэтому всего лишь дает этому элементу право на существование, но ни в коей мере на межличностное понимание проблемы, на которую нацелен зафиксированный элемент.
Литература
[1] В. Арнольд. Избранное, М„ 1998
[2] Т. Виноград, Ф. Флорш. О понимании компьютеров и познания // Язык и Интеллект, М.„ 1996 [3] Л. Витгенштейн. Философские работы, т. 1. М., 1994 [4]Л.//»,тоен<)ил:.Урожаиипосевы,М., 1995
[5] Э. Гуссерль. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии // Язык и Интеллект, М„ 1996
[6J Э. Гуссерль. Феноменология //Логос № 1, М., 1991 [7] К вопросу о мерцании мира (Беседа с В. Подорогой)//Логос №4, М., 1993 [8] X. Клеменс,Я. Киллир, С. Мори. Многомерная комплексная геометрия. М., 1993 Г9] М. Лебедев. Стабильность языкового значения, М., 1998 [10)У.Л^дмурдна.Биологияпознаиия//ЯзыкиИнтеллект,М., 1996 til] Язык и Интеллект, М., 1996
[12] В. Петром. От философии языка к философии сознания//Философия. Логика. Язык, М., 1987 fl3] А. Пуанкире. О науке. М., 1987 [14] J. Searle. A taxonomy of illocutionary acts // Expression and Meaning, Cambridge, 1979