Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
"Дослідження перехідних процесів класичним методом"
Мета роботи: Оволодіти методами аналізу і отримати навички експериментального дослідження перехідних процесів в RC- та RL-колах
Ом Ом Ом Ом Ом
Генрі Фарад
Вольт.
де tm — більша з поміж двох t1, t2 сталих часу.
Результати обчислень записати у табл. 1.
Таблиця 1
|
Моменти часу |
||||||
|
0 |
tm |
2tm |
3tm |
4tm |
5tm |
|
|
Струм в індуктивності |
||||||
|
Результати обчислень |
||||||
|
Результати вимірювань |
||||||
|
Напруга на ємності |
||||||
|
Результати обчислень |
||||||
|
Результати вимірювань |
Рис.1
На рис. 1 показані:
Функціональний генератор, призначений для генерування послідовності імпульсів синусоїдної, трикутної і прямокутної форми;
Осцилограф, призначений для відображення графіків величин;
R1 — резистор;
L1 — індуктивний елемент;
С1 — конденсатор;
V_V1, V_V2, V_V3, V_V4 — керовані напругою джерела напруги;
I_V1 — кероване струмом джерело напруги;
SW1, SW2, SW3 — комутатори (ключі).
При роботі з осцилографом дотримуватися таких рекомендацій:
Аналіз електричних кіл неперіодичного змінного струму та перехідних процесів в електричних колах класичним методом ґрунтується на складанні та розв’язанні системи диференціальних рівнянь, складених для миттєвих значень струмів у вітках кола на основі законів Кірхгофа.
Рівняння, що описують процеси в електричних колах змінного неперіодичного струму, є диференціальними.
Цей метод застосовується також для аналізу так званих перехідних процесів в електричних колах.
Поняття про перехідні процеси. Функціонування реальних електричних кіл супроводжується змінами у їх структурі, які спричинені увімкненням чи вимкненням споживачів і генераторів енергії, перехід електротехнічних пристроїв від одного режиму роботи до іншого тощо. Такі зміни структури електричного кола прийнято називати комутаціями у колі.
Стан електричного кола, у якому нескінченно довго діють постійні електрорушійні сили, чи періодичні, зокрема синусоїдні, електрорушійні сили можна трактувати як усталений режим кола. Комутації у колі призводять до переходу електричного кола чи пристрою від одного усталеного режиму до іншого.
Перехідним процесом називається процес переходу електротехнічного пристрою чи електричного кола у цілому від одного усталеного режиму в інший. Перехід від одного стану до іншого відбувається не миттєво, а триває певний час. Теоретично перехідний процес триває нескінченно довго, а практично тривалість перехідного процесу визначається параметрами електричного кола. Перехідні процеси у електротехнічних пристроях і їх тривалість протягом певного часу обумовлені наявністю у їх складі реактивних елементів — ємнісних й індуктивних, які мають здатність накопичувати і віддавати накопичену енергію.
Енергія, накопичена в електричному полі ємнісного елемента, дорівнює
. (5.1)
Енергія, накопичена у магнітному полі індуктивного елемента, визначається формулою
. (5.2)
Енергія ємнісного чи індуктивного елемента не може змінитися стрибком у момент комутації, оскільки це означало б нескінченно велику потужність. Оскільки енергія ємнісного і індуктивного елементів пов’язана з напругою і струмом цих елементів співвідношеннями (5.1), (5.2), то неможливість зміни енергії стрибком у момент комутації спричинює неможливість зміни стрибком у момент комутації напруги на ємнісному елементі і струму в індуктивному елементі. Ця властивість елементів і пристроїв формулюються у вигляді законів комутації.
Перший закон комутації: напруга на ємнісному елементі безпосередньо після моменту комутації uC(0+) дорівнює напрузі на цьому елементі безпосередньо перед моментом комутації uC(0_ ), тобто
uC(0+)=uC(0_ ) (5.3)
Другий закон комутації: струм в індуктивному елементі безпосередньо після моменту комутації iL(0+) дорівнює струму в цьому елементі безпосередньо перед моментом комутації iL(0_ ), тобто
iL(0+)=iL(0_ ) (5.4)
Закони комутації дають змогу визначити початкові умови під час розв’язку системи диференціальних рівнянь.
Наявність в електричному колі реактивних елементів (індуктивностей і ємностей), які здатні накопичувати і віддавати накопичену енергію, призводить до того, що струми і напруги у колі під час перехідного процесу мають дві складові: вільну складову (i׳(t), u׳(t)), обумовлену енергією, накопичену реактивними елементами кола, і вимушену складову (i׳׳(t), u׳׳(t)), обумовлену енергією, що надходить від джерел енергії, тобто
i(t)=i׳(t) + i׳׳(t) .
(5.5)
u׳(t) = u׳(t) + u׳׳(t) .
Змінні неперіодичні струми і напруги на ідеальних елементах зв’язані між собою такими співвідношеннями:
|
Ідеальний резистивний елемент |
(5.6) |
|
|
Ідеальний індуктивний елемент |
(5.7) |
|
|
Ідеальний ємнісний елемент |
(5.8) |
Електричні кола змінного неперіодичного струму аналізуються у такій послідовності.
1. Складається система рівнянь для змінних неперіодичних струмів у вітках кола за першим законом Кірхгофа для (n-1) вузла.
2. Складається система рівнянь для змінних неперіодичних напруг за другим законом Кірхгофа для всіх лінійно незалежних контурів кола.
3. Системи рівнянь, складені за першим і другим законами Кірхгофа, об’єднуються у єдину систему рівнянь. Оскільки змінні неперіодичні струми і напруги ідеальних елементів пов’язані між собою диференціальними рівняннями, то отримана система рівнянь є системою лінійних звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
4. Визначаються струми і напруги у колі шляхом розв’язання отриманої системи звичайних лінійних диференціальних рівнянь відомими методами, викладеними у курсі вищої математики.
Як відомо з курсу вищої математики, розв’язок системи звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, складеними за першим і другим законами Кірхгофа, є сумою загального розв’язку і частинного розв’язку. Отже, змінні неперіодичні струми і напруги мають, у загальному випадку дві складові: вільну складову, яка відповідає загальному розв’язку і обумовлену енергією, накопиченою у реактивних елементах кола і вимушену складову, яка відповідає частинному розв’язку і обумовлена енергією джерел, що діють у колі.
Ці системи диференціальних рівнянь розв’язуються у такій послідовності:
Визначення вимушених складових струмів і напруг. Вимушені складові струмів і напруг визначаються для усталеного режиму кола після закінчення перехідного процесу. Вимушені складові визначаються відомими методами розрахунку кіл постійного струму, якщо у колі діють постійні джерела енергії і символічним методом, якщо у колі діють синусоїдні джерела енергії.
Вимушені складові струмів у вітках і напруг на елементах кола обумовлені дією джерел електричної енергії і тому присутні в електричному колі як в усталеному, так і перехідному режимах. Як вже зазначалося, вимушені складові відповідають частинному розв’язку системи диференціальних рівнянь.
Загального методу знаходження частинного розв’язку неоднорідного диференціального рівняння, а отже визначення вимушених складових немає. Розроблені тільки методи знаходження частинного розв’язку у часткових випадках, зокрема у випадках, коли у правій частині диференціального рівняння стоїть стала величина чи синусоїдна функція. З точки зору електротехніки це означає, що вимушені складові струмів і напруг можна успішно визначати для кіл постійного і синусоїдного струмів в усталеному режимі відомими методами електротехніки на основі законів Ома і Кірхгофа.
Визначення вільних складових струмів і напруг. Вільні складові струмів і напруг, як вже зазначалося раніше, обумовлені енергією, накопиченою реактивними елементами кола. Щоб визначити вільні складові струмів чи напруг, потрібно розв’язати систему однорідних диференціальних рівнянь, складених за законами Кірхгофа. Загальний розв’язок відповідає вільним складовим струмів і напруг, які обумовлені енергією, накопиченою у реактивних елементах кола.
Однорідним диференціальним рівнянням, як відомо з курсу вищої математики, називається диференціальне рівняння з нульовою правою частиною, тобто це рівняння описує електричне коло, у якому відсутні джерела енергії (джерела напруги чи струму), а струми і напруги у колі обумовлені тільки енергією, накопиченою на реактивних елементах кола, тобто вільні складові струмів.
Вільні складові, тобто загальний розв’язок, як відомо з вищої математики, є сумою експоненціальних функцій і записуються у вигляді:
(5.9)
де С11, С12, ... , Сnm — сталі інтегрування;
р1, р2, ... , рn — корені характеристичного рівняння.
Знаходження коренів характеристичного рівняння. Щоб знайти корені р1, р2, ... , рn характеристичного рівняння однорідну систему звичайних лінійних диференціальних рівнянь алгебраїзують, тобто зводять цю систему до системи алгебраїчних рівнянь. Можливість алгебраїзації системи лінійних диференціальних рівнянь обумовлена тим фактом, що загальний розв’язок такої системи рівнянь є сума експоненціальних функції виду (5.9). Диференціювання експоненціальної функції рівносильно множенню цієї функції на показник степеня, тобто
. (5.10)
Інтегрування експоненціальної функції рівносильно діленню цієї функції на показник степеня, тобто
. (5.11)
Якщо підставити загальний розв’язок в однорідну систему рівнянь і виконати операції диференціювання і інтегрування над експоненціальними функціями, що входять у загальний розв’язок, то система однорідних диференціальних рівнянь зведеться до системи алгебраїчних рівнянь відносно змінної p.
Визначник D системи алгебраїчних рівнянь залежить від параметрів R, L, C елементів кола і від невідомої змінної p, тобто
D=f(R, L, C, p) . (5.12)
У курсі вищої математики доводиться, що умовою існування ненульового розв’язку системи алгебраїчних рівнянь з нульовою правою частиною є умова рівності нулю визначника цієї системи
D=f(R, L, C, p)=0 . (5.13)
Рівняння (5.13) називається характеристичним рівнянням системи алгебраїчних рівнянь. Невідомим у цьому рівнянні є параметр р. Степінь характеристичного рівняння, а значить і кількість коренів цього рівняння залежить від складності електричного кола і кількості у ньому віток з реактивними елементами. Характеристичне рівняння розв’язується, тобто знаходяться його корені відомими в алгебрі методами.
Корені р1, р2, ... , рn характеристичного рівняння залежать від параметрів R, L, C елементів кола і визначають тривалість перехідних процесів у колі.
Обчислення значень сталих інтегрування. Сталі інтегрування С11, С12, ... , Сnm у розв’язку системи однорідних диференціальних рівнянь обчислюються, виходячи з так званих початкових умов. Для електричних кіл змінного неперіодичного струму початковими умовами є струми в індуктивних елементах і напруги на ємнісних елементах в момент часу, безпосередньо після комутації, тобто iL(0+), uC(0+).
За законами комутації ці значення дорівнюють значенням цих величин в усталеному режимі до моменту комутації, тобто
iL(0+)=iL(0_ ) (5.14).
uC(0+)=uC(0_ ) (5.15).
Значення струмів в індуктивних елементах і напруг на ємнісних елементах в усталеному режимі до моменту комутації, тобто iL(0_ ),uC(0_ ), обчислюють, використовуючи відомі методи аналізу електричних кіл постійного і синусоїдного струмів, і підставляють у праву частину рівнянь (5.14), (5.15).
У ліву частину рівнянь (5.14), (5.15) підставляємо значення перехідних струмів і напруг, тобто суму вільної і вимушеної складових у момент часу безпосередньо після комутації
iL(0+)=i׳L(0+)+i׳׳L(0+) (5.16).
uC(0+)=u׳C(0+)+u׳׳C(0+) (5.17).
Після підстановки правої і лівої частин, рівняння (5.14), (5.15) стають системою рівнянь відносно невідомих сталих інтегрування С11, С12, ... , Сnm.
Слід зазначити, що в багатьох випадках кількість рівнянь у системі менша кількості невідомих і тому неможливо знайти розв’язок такої системи. У такому разі додатково складають рівняння за законами Кірхгофа відносно похідних струмів в індуктивностях і напруг на ємностях у момент часу t=(0+).
Об’єднавши систему рівнянь для струмів в індуктивностях і напруг на ємностях у єдину систему рівнянь, розв’язують цю систему і отримують значення сталих інтегрування.
Підставивши обчислені значення сталих інтегрування та значення коренів характеристичного рівняння у вирази для струмів і напруг, отримаємо миттєві значення струмів і напруг у колі.
Застосуємо класичний метод для аналізу процесів в електричних колах.
Приклад 5.1. Визначити струми у вітках кола, на вході якого діє змінна неперіодична напруга ux(t) (рис. 5.9). Параметри елементів кола мають такі значення: U0=15.0 V; R1=24 kW; R2=2 kW; R3=3 kW; L1=2.4 mH; C1=1.8 nF.
Розв’язок
Задане електричне коло має три вітки, два вузла і два лінійно незалежних контури. Задаємо умовні додатні напрями струмів у вітках.
Для одного з двох вузлів складаємо за першим законом Кірхгофа рівняння
. (5.99)
Вибравши напрями обходу контурів за напрямом обертання годинникової стрілки, складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа для напруг на елементах контурів
. (5.100)
Об’єднуємо рівняння, складені за першим і другим законами Кірхгофа, в систему
. (5.101)
Враховуючи залежності між струмами і напругами ідеальних елементів (5.6), (5.7), (5.8) систему рівнянь представимо у вигляді
. (5.102)
Отримана система містить інтегро-диференціальні рівняння. Щоб перейти до диференціальних рівнянь, виразимо струм ємнісного елемента через напругу
, (5.103)
і підставимо цей вираз в систему (5.101)
. (5.104)
У результаті підстановки (5.103) отримано систему звичайних диференціальних рівнянь (5.104) з постійними коефіцієнтами відносно невідомих струмів у вітках iL(t), iR(t) і напруги на ємнісному елементі uC(t).
|
Рис. 5.10 |
(5.105) |
Визначення вимушених складових струмів і напруг. Вимушені складові струмів і напруг обумовлені дією джерел електричної енергії і тому наявні в електричному колі як в усталеному, так і перехідному режимах. Як вже зазначалося, вимушені складові відповідають частинному розв’язку системи диференціальних рівнянь.
Оскільки у досліджуваному колі (рис. 5.9) в усталеному режимі після закінчення перехідного процесу діє джерело постійної напруги зі значенням 2U0, то опір індуктивного елемента вважається нескінченно малим, а опір ємнісного елемента — нескінченно великим. Схема заміщення електричного кола у цьому режимі наведена на рис. 5.10. Користуючись цією схемою заміщення, легко розрахувати вимушені складові струмів у вітках і напругу на ємності .
Визначення вільних складових струмів і напруг. Вільні складові струмів і напруг, як вже зазначалося раніше, обумовлені енергією, накопиченою реактивними елементами кола. Щоб визначити вільні складові струмів чи напруг, потрібно розв’язати систему однорідних диференціальних рівнянь, складених за законами Кірхгофа.
Наприклад, однорідні диференціальні рівняння для кола, зображеного на рис.5.9 матимуть вигляд:
. (5.106)
Розв’язком однорідного диференціального рівняння є лінійна комбінація експоненціальних функцій. Для досліджуваного кола загальний розв’язок системи диференціальних рівнянь матиме вигляд
(5.107)
Отже, щоб визначити вільні складові струмів і напруг, потрібно обчислити значення сталих інтегрування С11, С12, ... , Сnm і значення коренів характеристичного рівняння р1, р2, ... , рn.
Виведення характеристичного рівняння та знаходження його коренів. Щоб знайти корені р1, р2, ... , рn характеристичного рівняння підставляємо у систему однорідних диференціальних рівнянь (5.106) загальний розв’язок у формі експоненціальних функцій. Далі виконуємо операції диференціювання, які для експоненціальної функції рівносильні множенню цієї функції на показник степеня. У результаті виконання цих операцій отримуємо систему алгебраїчних рівнянь
. (5.108)
Таким чином, використовуючи властивості диференціювання і інтегрування експоненціальних функцій (5.10) і (5.11), можна звести систему однорідних диференціальних рівнянь до системи алгебраїчних рівнянь. Така процедура називається алгебраїзацією системи однорідних диференціальних рівнянь.
Визначник D цієї системи алгебраїчних рівнянь дорівнюватиме
. (5.109)
Як випливає з попереднього аналізу, умовою існування ненульового розв’язку системи алгебраїчних рівнянь (5.108) є умова:
. (5.110)
Рівняння (5.110) є характеристичним рівнянням системи алгебраїчних рівнянь (5.108). Невідомим у цьому рівнянні є параметр р.
Для заданого електричного кола характеристичне рівняння має вигляд
(5.111)
Це рівняння другої степені, тобто квадратне рівняння і має два корені. Відповідне зведене квадратне рівняння має вигляд
. (5.112)
Якщо ввести позначення
, (5.113)
то зведене характеристичне рівняння (5.112) матиме вигляд
. (5.114)
Корені цього квадратного рівняння визначаються за формулою
. (5.115)
Величини t1, t2 мають розмірність часу і тому називаються сталими часу. Від сталих часу залежить тривалість перехідного процесу.
Величина w0 має розмірність кутової частоти і тому називається власною частотою вільних коливань системи.
Вільні складові, обумовлені енергією, накопиченою реактивними елементами, з часом згасають. Ступінь згасання характеризується величиною d, яка називається коефіцієнтом згасання і має розмірність обернену розмірності часу.
Сталі часу і корені характеристичного рівняння для заданого електричного кола мають такі значення
|
(5.116) |
Корені характеристичного рівняння можна визначити і іншим способом. Спочатку визначається комплексний вхідний опір Zx(jw) заданого електричного кола на синусоїдному струмі відносно будь-якої розімкненої вітки. Далі замінюємо аргумент jw на аргумент р і прирівнюємо його до нуля
. (5.117)
Отримане рівняння (5.36) є характеристичним рівнянням заданого електричного кола. Наприклад, для заданого електричного кола (рис. 5.) вхідний опір на синусоїдному струмі дорівнюватиме
. (5.118)
Замінивши jw на р і прирівнявши вираз до нуля
, (5.119)
отримаємо характеристичне рівняння другого степеня
. (5.120)
Порівнявши вирази (5.111) і (5.120), бачимо, що характеристичні рівняння, отримані різними методами однакові.
Визначення сталих інтегрування. Як вже зазначалося, загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння, що відповідає вільним складовим струмів і напруг, знаходиться як сума експоненціальних функцій
, (5.121)
де i'L(t), i'R(t),uC'(t) — відповідно, вільні складові струмів у вітках і напруги на ємнісному елементі кола;
С11, С12, ... , Сnm — сталі інтегрування;
p1, p2 — корені характеристичного рівняння.
Таким чином, щоб визначити вільні складові струмів і напруг, потрібно знайти корені характеристичного рівняння і значення сталих інтегрування. Раніше було показано, як знаходяться корені характеристичного рівняння.
Розглянемо тепер, як знаходяться значення сталих інтегрування. Щоб розв’язати диференціальне рівняння, що описує реальних фізичний об’єкт, наприклад електричне коло, потрібно знати так звані початкові умови. Для електричних кіл початковими умовами є перехідні струми в індуктивних елементах і напруги на ємнісних елементах в момент часу безпосередньо після комутації (t=0+), тобто
.(5.122)
За законами комутації, значення струмів в індуктивних елементах і напруг на ємнісних елементах у момент комутації не змінюються
. (5.123)
Обчислимо значення струму в індуктивному елементі iL(0_ ) і напруги на ємнісному елементі uC(0_ ) в усталеному режимі до моменту комутації. У цьому усталеному режимі на вході кола діє джерело постійної напруги зі значенням U0. Схема заміщення досліджуваного електричного кола в усталеному режимі до моменту комутації наведена на рис. 5.3, де враховано, що опір індуктивного елемента є нескінченно малий, а опір ємнісного елемента — нескінченно великий.
|
Рис. 5.11 |
(5.124) (5.125) |
За законом Ома знаходимо струм в індуктивному елементі і напругу на ємнісному елементі до моменту комутації
Підставляємо ці значення у праву частину системи рівнянь (5.42)
. (5.126)
Таким чином, на основі законів комутації отримано систему з двох рівнянь відносно чотирьох невідомих С11, С12, С31, С32.
Щоб обчислити значення сталих інтегрування, складаємо ще два рівняння за законами Кірхгофа і визначимо струм у ємнісному елементі iC(0+) і напругу на індуктивному елементі uL(0+) у момент часу безпосередньо після комутації, враховуючи той факт, що напруга на ємнісному елементі uС(0+) і струм в індуктивному елементі iL(0+) знайдені за законами комутації і значення їх відомі
. (5.127)
Зведемо систему до двох рівнянь
. (5.128)
Значення i׳L(0+) і u׳C(0+) знайдемо із системи рівнянь (5.42)
, (5.129)
і підставимо ці вирази у систему (5.48)
. (5.130)
Розв’язавши систему рівнянь, отримуємо значення
. (5.131)
Оскільки вільні складові струму в індуктивному елементі і напруги на ємнісному елементі записуються у формі
, (5.132)
То їх похідні у момент t=0+ дорівнюватимуть
.(5.133)
Об’єднуємо систему рівнянь (5.46) і (5.53) у єдину систему рівнянь
. (5.134)
Розв’язавши отриману систему рівнянь, отримуємо значення для сталих інтегрування значення
|
(5.135) |
Обчислені значення коренів p1, p2 і сталих інтегрування C11, C12, C31, C32 підставляємо у вираз для струму в індуктивному елементі і напруги на ємнісному елементі значення .
|
(5.136) |
Сталі інтегрування C11, C12 та C31, C32 є комплексно сполученими величинами, тобто для них справедливі такі співвідношення .
|
|
(5.137) |
Корені p1, p2 , згідно з (5.116), також є комплексно сполученими
|
|
(5.138) |
Враховуючи співвідношення (5.137), (5.138), а також взявши до уваги відомі формули
|
, |
(5.139) |
вирази (5.136) для струму і напруги можна записати так:
|
(5.140) |
де ;
;
;
;
;
.
Графіки струму у індуктивному елементі і напруги на ємнісному елементі наведені на рис. 5.12.