Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Контрольная работа по теории вероятностей для информатиков заочное отделение Глава 1.

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 18.5.2024

Контрольная работа по теории вероятностей

для информатиков

заочное отделение
Глава 1. Случайные события

§1. Основные понятия

Под опытом (испытанием) понимается осуществление определенных условий, которые могут быть повторены сколь угодно раз.

Возможные результаты опыта называются событиями, обозначаются латинскими буквами А, В, С, …

Событие, которое в данном опыте обязательно произойдет — достоверное событие (D); событие, которое в данном опыте произойти не может — невозможное (H).

 Произведение событий А · В = С есть событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В. Сумма событий А + В = С есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Событие, противоположное А, обозначается  Ā (не А). События А и В несовместны, если А · В = Н. События А (k=1,2, …,n) образуют полную группу событий, если  . Отметим, что А  ·  Ā = H, А + Ā = D.

Пример 1.1. При каких событиях А и В возможно равенство

А + В = А?

Решение. А + В событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В. Если А + В = А, то событие В не изменяет события А, а потому В является частью события А.

Например, из таблицы случайных чисел выбирают число. А — событие, состоящее в том, что число делится на 2; В — число делится на 4.       А + В=А, так как если число делится на 4, то оно делится на 2.

Пример 1.2. Событие А — хотя бы одно из четырех изделий бракованное, событие В — бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают события  и   ?

Решение.  — событие противоположное А,  — бракованных изделий нет;  — бракованных изделий менее двух.

Этим понятиям посвящены задачи № 1 в индивидуальных заданиях.

§2. Непосредственный подсчет вероятностей

Непосредственный подсчет вероятностей может быть произведен в том случае, когда результат опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместные и равновозможные

,

n — число всех возможных исходов опыта; m — число исходов благоприятствующих событию А.

Пример 2.1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что сумма очков, выпавших на верхних гранях, равна 5?

Решение. Событие А — сумма выпавших очков на двух костях равна 5. Число всех возможных исходов n = 36, так как 6 исходов на первой кости могут сочетаться с каждым из 6 исходов на второй кости. Число благоприятных исходов m = 4: (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), поэтому

.

Пример 2.2. В партии из l изделий бракованных k штук. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки s изделий ровно r окажутся бракованными.

Решение. Событие А — из выбранных s изделий ровно k бракованных. Число возможных способов взять s изделий из l равно n = . Благоприятствующими событию А являются случаи, когда из общего числа k бракованных изделий взято r штук (это можно сделать  способами), а остальные  изделий не бракованные, т.е. они взяты из общего числа  (таких способов ). Поэтому m = ·. Искомая вероятность

.

Напомним, что  — число сочетаний из l элементов по s.

l! = .

§ 3. Геометрические вероятности

Геометрическое определение вероятности используется в том случае, когда результат испытания определяется случайным положением точек в некоторой области, причем любые положения точек в этой области равновозможные. Если размер всей области S, а размер части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть , то вероятность равна .

Область может иметь любое число измерений, поэтому  и  могут представлять собой длины отрезков, площади, объемы.

Пример 3.1. В течение промежутка времени от 11 ч до 11ч 30 мин должен последовать телефонный звонок. Какова вероятность, что звонок последует в последние 10 минут указанного промежутка.

Решение. Будем рассматривать промежуток времени от 11ч до 11ч 30мин, как отрезок АВ длиной 30 единиц, промежуток от 11ч 20мин до   11ч 30мин (последние 10мин) как отрезок СВ длиной 10 единиц.

                А                                           С                  В  

                                            Рис. 1.

Вероятность того, что звонок произойдет в последние 10мин, в геометрической схеме означает вероятность того, что случайно брошенная точка в отрезок АВ попадет на отрезок СВ. Эта вероятность, очевидно, равна

.

Пример 3.2. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода каждого парохода независимо от другого и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода — один час, а второго — два часа.

Решение. Воспользуемся геометрической схемой. Пусть х — время прихода первого парохода, у — второго. Все возможные комбинации прихода пароходов к причалу изобразятся точками квадрата (рис. 2). Событие А — один из пароходов ожидает освобождение причала. Оно может состояться лишь в том случае, если момент у прихода второго парохода не более часа отличается от момента прихода первого (), и момент прихода первого не более двух часов отличается от момента прихода второго ().

                         y

                       24

                     (0;1)                                                  Рис. 2

                    

                          0     (2;0)      24                     x

Строим область, благоприятствующую событию А, это множество решений системы неравенств

На рис. 2 она заштрихована. Площадь квадрата S = 24² = 576; площадь заштрихованной части =576   (23)2  (22)2 = 69,5.

.

С понятием геометрической вероятности связаны задачи № 3 в индивидуальных заданиях.

§ 4. Основные теоремы

  1.  Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А · В = Н, то есть А и В — несовместны.
  2.  Р(А · В) = Р(А) Р(В/A) = P(B) P(A/B).

         Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность появления этого события, вычисленная при условии, что имело место событие В.

  Р(А · В · С) = Р(А) Р(В/A) P(C/A·B)

  1.  Если события независимые, то Р(А · В) = Р(А)Р(В).
  2.  Р(Ā) = 1  Р(А).

    Пример 4.1. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятности следующих событий: в мишени две пробоины; в мишени одна пробоина; в мишени хотя бы одна пробоина.

    Решение. Пусть А1 — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в цель, А2 — второй стрелок попал в цель. По условию Р(А1) = 0,7; Р(А2) = 0,8; А1 и А2 — независимы.

  1.  Событие А — в мишени две пробоины: А = А1·А2, поэтому

Р(А) = Р(А1·А2) = Р(А1)·Р(А2) = 0,7·0,8 = 0,56.

  1.  Событие В — в мишени одна пробоина: В = А1Ā 2+ Ā1А2. Тогда

Р(В) = Р(А1)Р(Ā2) + Р(Ā1)Р(А2);

P(Ā1) = 1  P(А1) = 0,3;   P(Ā2) = 0,2;

P(B) = 0,7 · 0,2 + 0,8 · 0,3 = 0,38.

  1.  Событие С — в мишени хотя бы одна пробоина (или одна или две).Очевидно,  С = А + В, А и В несовместны.

Р(С) = Р(А) + Р(В) = 0,56 + 0,38 = 0,94.

          Если Р(А) и Р(В) предварительно не были найдены, проще найти вероятность противоположного события —   (в мишени нет пробоин):

= Ā1 · Ā2;   Р() = 0,3 · 0,2 = 0,06;   Р(С) = 1  Р() = 0,94

Пример 4.2. Слово РЕКЛАМА разрезано на отдельные буквы, они перемешаны. Выбираются одна за другой три буквы. Какова вероятность, что получится слово МАК?

Решение. Чтобы получилось заданное слово (событие А) надо первой вынуть букву М (событие А1), второй — букву А (событие А2), третьей — букву К (событие А3)

А = А1 · А2 · А3;   Р(А) = Р(А1) ·Р(A2/А1) ·Р(А3/А1А2),

Р(А1) = , ( n = 7 – всего букв; М встречается 1 раз m = 1),

– вероятность вынуть букву А, если буква М вынута. n = 6; m = 2 (осталось шесть букв, из них две буква А),

Р(А3/А1А2) =  – вероятность вынуть букву К, если А и М вынуты.

Р(А) = .

§ 5. Формула полной вероятности

Если исходы опыта (гипотезы): Г1, Г2,… , Гn образуют полную группу попарно независимых событий, то вероятность появления события А находится по формуле полной вероятности .

Пример 5.1. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

Решение. Событие А — попадание при одном выстреле. Гипотезы — стреляющий выбрал первое ружье(Г1), второе — (Г2) и т.д. Так как ружье выбирается на удачу, их пять штук, Р(Гi) =  (i = 1, 2, …5). Р(A/Г1) = 0,5 (вероятность попадания, если выбрано первое ружье); Р(A/Г2) = 0,6 и т. д.

Р(А) = .

Пример 5.2. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 25%, второй — 30% и третий — 45% деталей, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 1% нестандартных деталей, второй — 2%; третий — 3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали.

Решение. Событие А — деталь, поступившая на сборку, нестандартная. Пусть Г1 – деталь с первого автомата, Р(Г1) = 0,25 (т.к. их 25%), аналогично, Р(Г2) = 0,30; Р(Г3) = 0,45.

Р(A/Г1) = 0,01 (вероятность  быть детали нестандартной, если она изготовлена на первом автомате). Р(A/Г2) = 0,02; Р(A/Г3) = 0,03;

Р(А) = .

Задачи №8 в индивидуальных заданиях могут быть решены по формуле полной вероятности.

§ 6. Формула Бейеса (теорема гипотез)

Вероятность Р(Гk /A) гипотезы Гk после того, как имело место событие А, определяется формулой     ,

где  Р(А) = .

Пример 6.1. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной хорошую продукцию с вероятностью 0,98, а бракованную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

Решение. Событие А — изделие прошло упрощенный контроль, Г1 – изделие удовлетворяет стандарту, Г2 – изделие бракованное.

Р(Г1) = 0,96;  Р(Г2) = 0,04;  Р(A/Г1) = 0,98;  Р(A/Г2) = 0,05.

Р(A) = Р(Г1) Р(A/Г1) + Р(Г2) Р(A/Г2) = 0,96 0,98 + 0,04 0,05 = 0,9428.

Р(Г1/A) – изделие удовлетворяет стандарту, если оно прошло упрощенный контроль. По формуле Бейеса  

= 0,9979.


Глава 2. Случайные величины

§1. Способы задания законов распределения дискретных

случайных величин

1.1. Случайная величина называется дискретной, если ее значения можно пронумеровать . Она может быть задана рядом распределения, многоугольником или функцией распределения.

1.2. Рядом распределения называется совокупность всех частных значений хi и соответствующих им вероятностей . Ряд распределения оформляется обычно в виде таблицы

xi

x1

x2

…

xn

…

pi

p1

p2

…

pn

…

1.3. Многоугольником распределения называется графическое изображение ряда распределения.

1.4. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина примет значения меньшее выбранного значения, т.е. .                   Функция F(x) вычисляется по формуле, где суммирование ведется по всем значениям i, для которых .

1.5. Свойства функции распределения

  1.  F(x) – функция неубывающая.
  2.  .
  3.  .

         График имеет вид

Пример 1.1. Составить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при одном броске p = 0,3. Построить многоугольник и функцию распределения.

Решение. Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при трех бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие вероятности могут быть вычислены по формуле:      

                            .

Этой формулой можно пользоваться, если независимые испытания производятся n раз, вероятность события в каждом испытании постоянна и равна p, a .  – число сочетаний из n по k.

Здесь .

Ряд распределения

xi

0

1

2

3

 pi

0,343

0,441

0,189

0,027

Многоугольник распределения                 Функция распределения

 

 

§ 2. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.

2.1. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна.

Для описания непрерывных законов распределения чаще используется понятие плотности распределения:

                    .

называют также дифференциальной функцией распределения, а ее график – кривой распределения.

2.2. Свойства дифференциальной функции распределения.

Учитывая свойство (4), функцию F(x) часто называют интегральной функцией распределения непрерывной величины Х.

Пример 2.1. Непрерывная случайная величина имеет интегральную функцию распределения:

Найти . Построить графики .

Решение. По условию задачи функция F(x) непрерывна. При х = 0 разрыва нет. ; , чтобы при х = 1 не было разрыва, выбираем а = 1.

      

 или

§ 3 Числовые характеристики случайных величин

3.1. Основные числовые характеристики для дискретных случайных величин определяются по формулам:

– математическое ожидание случайной величины Х, которое характеризует среднее значение случайной величины, центр распределения. – дисперсия, определяет рассеивание случайной величины около центра. – среднее квадратичное отклонение.

3.2. По аналогии с дискретным распределением математическое ожидание и дисперсия в случае непрерывной случайной определяется формулами:

             

3.3. Отметим еще формулу, удобную при вычислении дисперсии:   

                                

3.4. Свойства математического ожидания и дисперсии

1. – неслучайная величина.

2.

3.  для любых X и Y.    

    для независимых случайных величинX и Y.

4. для независимых случайных величинX и Y.

Пример 3.1. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины примера 1.2.

Пример 3.2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию для непрерывной случайной величины примера 2.1.

§ 4. Нормальный закон распределения

4.1. Нормальным или гауссовым распределением называется непрерывное распределение, плотность которого имеет вид

– функция Гаусса (таблица 1),

– функция четная; при  полагаем = 0.

Параметры имеют смысл математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

 

4.2. Справедливы формулы:

– интеграл вероятностей, таблица 2.

Обратим внимание, что = – , =0,5 при .

4.3. Правило трех сигм:  – т.е. вероятность отклонения нормально распределенной величины от математического ожидания более чем на  практически равна нулю.

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов распределения, состоит в том, что он является предельным, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся условиях.

Пример 4.1. Случайная величина Х распределена нормально; Найти вероятность того, что абсолютное значение случайной величины не превзойдет 1.

Решение. .

По формуле  имеем

§ 5. Биномиальное распределение. Неравенство Бернулли.

5.1. Схемой Бернулли называют следующую ситуацию: производится n независимых опытов, в каждом из которых может появится событие А с одной и той же вероятностью p.

Вероятность того, что событие  А появится k раз вычисляется по формуле

, где   – число сочетаний из n элементов по k, .

Случайная величина Х, которая принимает целые положительные значения k = 1, 2, …, n с вероятностью , распределена по биномиальному закону (закону Бернулли), ее математическое ожидание , дисперсия ; .

5.2. При больших n применяются приближенные формулы

– локальная теорема Муавра-Лапласа;

– интегральная теорема Муавра-Лапласа. (Значения  и  см. в таблицах 1,2 в ).

5.3. Связь между относительной частотой появления события А и его вероятностью при распределении Бернулли выражается неравенством     , которое называется неравенством Бернулли.

Пример 5.1. Прибор содержит 8 элементов. Каждый из элементов выходит из строя за время Т независимо от других с вероятностью 0,2. Найти вероятность выхода из строя за время работы Т двух элементов.

Решение. В этой задаче

По формуле Бернулли

.

Пример 5. 2. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадет а) 267 раз; б) не менее 260 и не более 274 раз.

Решение. Событие А – выпало число очков, кратное трем.

.

а) будем вычислять по локальной теореме Муавра-Лапласа

; здесь n = 800, k = 267,

;

, найдено по таблице 1 .

б) Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа

 

,          .

Значение  и  найдены по таблице 2 .

 Пример 5.3. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет находиться в пределах от 0,2 до 0,4?

 Решение. Связь между частотой события и его вероятностью описывается неравенством Бернулли: , здесь

Требуется найти

§ 6. Распределение Пуассона

6.1. Дискретная случайная величина Х, которая принимает только целые неотрицательные значения 0, 1, 2, …, m, … с вероятностями

(а > 0) называется распределенной по закону Пуассона с параметром а.

Математическое ожидание для этого распределения совпадает с дисперсией и равняется параметру а: .

Формулу Пуассона используют как предельную для распределения Бернулли в случае массовых редких явлений (n – велико; p – мало). В этом случае  (причем ).

6.2. Закон Пуассона хорошо описывает простейший поток при .  – интенсивность потока – среднее число событий в единицу времени; t – время.

Пример 6.1. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух электроэлементов в год?

Решение. Считая случайное число Х отказавших элементов подчиняющимися закону Пуассона, имеем ,

1) Вероятность отказа ровно двух элементов

2) Вероятность отказа не менее двух элементов

§ 7. Неравенство Чебышева

7.1. Неравенство Чебышева позволяет оценить близость случайной величины к ее математическому ожиданию:

    или  

Здесь – математическое ожидание, – дисперсия случайной величины,  – любое действительное число > 0.

7.2. Неравенство Чебышева для частоты случайной величины, распределенной по закону Бернулли, имеет вид

.

Оно дает оценку снизу для отклонения частоты от вероятности при распределении Бернулли. Сравните с неравенством Бернулли! Конечно, эта оценка более грубая, но она легче считается.

7.3. Если имеется n  случайных величин , причем

для всех i , то для средней  справедливо неравенство   .

7.4. Если математические ожидания у Хi  различные – , а дисперсия равномерно ограничены числом D , то .

Здесь – средняя случайных величин; – среднее математических ожиданий.

 Пример 7. 1. Используя неравенство Чебышева, оценить снизу вероятность того, что при 40000подбрасываниях монеты частота выпадения герба отклонится от вероятности p = 0,5 не более, чем на 0,005.

 Решение. Условие задачи позволяет считать, что случайная величина Х – число выпадений герба – имеет распределение Бернулли.

Согласно 7.2. имеем: .

Здесь

, т.е. искомая вероятность не менее 0,75.

 Замечание.  Эта же вероятность может быть точно найдена с помощью неравенства Бернулли:

Очевидно, что неравенство Чебышева дает в этом случае очень грубую оценку.

 Пример 7. 2. Сколько измерений надо сделать, чтобы их среднее арифметическое дало измеряемую величину с точностью до 0,05 и надежностью 90% если дисперсии случайных величин равны 0,2?

 Решение. Связь между средним арифметическим и измеряемой величиной устанавливается неравенством Чебышева:

. Здесь

Достаточно n выбрать так, чтобы


ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Вариант 1.

  1.  События: А — из 4-х проверяемых электролампочек все дефектные, В — все доброкачественные. Что означают события А + В, А · В, , ?
  2.  На шести карточках написаны буквы А, М, К, С, В, О. Наудачу вынимают одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком они были вынуты. Какова вероятность того, что получится слово МОСКВА ?
  3.  В кошельке лежат три монеты достоинством по 10 копеек и 7 монет пятикопеечных. Наудачу вынимаются две монеты. Какова вероятность того, что обе монеты будут одного достоинства ?
  4.  В урне 30 шаров, из них 5 черных и остальные белые. Вынимаются один за другим три шара подряд. Какова вероятность того, что будет вынуто 2 черных и один белый шар ?
  5.  Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,4; для второго — 0,5 и для третьего — 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех стрелков по мишени в ней будет ровно одна пробоина.
  6.  С первого автомата поступает на сборку 80%, со второго — 20% таких же деталей. На первом станке брак составляет 1%, на втором — 3%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором автомате.
  7.  Производится 3 независимых выстрела с вероятностью попадания 0,6 при каждом выстреле. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность хотя бы одного промаха.
  8.  Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (2;13) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 10 и среднее квадратичное отклонение = 4.
  2.  Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 и не более 80 раз.


Вариант 2.

  1.  Событие А — хотя бы одно из 3-х изделий бракованное, В — бракованных изделий среди них не менее 2-х. Что означают события А + В,   А · В, , ?
  2.  В партии из 10 изделий 4 бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6 изделий ровно два окажутся бракованными.
  3.  Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одном залпе из всех орудий.
  4.  В урне 30 шаров, из них 5 черных и остальные белые. Вынимаются один за другим три шара подряд. Какова вероятность того, что будет вынуто два белых и один черный шар?
  5.  Радиолампа может принадлежать к одной из 3-х партий с вероятностями p1 = 0,25; p2 = 0,5; p3 = 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов равны для этих партий соответственно 0,1 — для первой, 0,2 — для второй, 0,4 — для третьей. Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
  6.  На склад поступает продукция с 2-х фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 60%, а второй — 40%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй — 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
  7.  Вероятность появления события А в одном испытании равна 1/3. Х – число появлений события А в трех независимых испытаниях. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность хотя бы двух появлений события А в трех испытаниях.
  8.  Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

                                     

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение; г) . Построить графики  и .

  1.  Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием равным 50 и средним квадратичным отклонением равным 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение превышающее 50.
  2.  Принимая вероятность рождения девочки равной 0,5 , найти вероятность того, что из 800 родившихся детей девочек будет 420.   


Вариант 3.

  1.  Имеются два круга, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами r1 и r2 (r1< r2). В круг радиуса r2 брошена точка. Событие А – попадание точки в круг радиуса r1. Событие В – попадание точки в круг радиуса r2. Что означают события А + В, А · В, , ?
  2.  На каждой из десяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: Т, С, Н, М, И, К, О, Л, У, П. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на семи вынутых по одной и расположенных в «одну линию» карточках можно прочесть слово СПУТНИК.
  3.  В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом №1, и 10 деталей, изготовленных заводом №2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одну за другой. Найти вероятность того, что второй будет извлечена деталь, изготовленная заводом №1.
  4.  Четыре стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,45; для второго — 0,5; для третьего — 0,6; для четвертого — 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех четырех стрелков по мишени будет хотя бы одна пробоина.
  5.  На двух автоматах изготавливаются одинаковые детали. Производительность первого автомата в 2 раза больше, чем второго. Вероятность изготовления детали высшего качества на первом автомате — 0,95, а на втором — 0,97. Детали с обоих автоматов поступают вместе на склад. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется высшего качества.
  6.  Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго — 20%. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка изготовлена первым цехом, если она оказалась без дефектов.
  7.  Два стрелка стреляют по мишени, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого стрелка вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7 , для другого – 0,9. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность одного промаха.
  8.  Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) интегральную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (0,5; 3,5) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 3 и дисперсия 2= 1.
  2.  Вероятность соблюдения пассажиром правил при прохождении через контрольный пост метрополитена равна 0,9. Сколько пассажиров должно пройти через контрольный пост, чтобы с вероятностью равной 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты соблюдения правил от вероятности 0,9 по абсолютной величине не более, чем на 0,03.


Вариант 4.

  1.  Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А — выбранное число делится на 5; Событие В — это число оканчивается нулем. Что означают события А + В, А · В, , ?
  2.  Абонент забыл 3 последние цифры номера телефона и потому набирает наугад. Какова вероятность того, что он верно наберет нужный ему номер (забытые цифры различны) ?
  3.  Изготовление детали состоит из двух технологических операций. При первой операции получается 2% брака, при второй — 6% брака. Операции независимы. Найти вероятность того, что после этих двух операций деталь будет годной.
  4.  Два охотника одновременно стреляют в цель. Вероятность попадания у первого охотника — 0,2, у второго — 0,6. Каждый сделал по 2 выстрела. Какова вероятность того, что а) имеется два попадания в цель; б) не менее двух попаданий ?
  5.  Стрельба производится по мишеням типа А, В, С, число которых соответственно относятся, как 5: 3: 2. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4; типа В — 0,1; типа С — 0,15. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно в мишень какого типа он будет сделан.
  6.  На склад поступает продукция с 3-х фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, а второй — 40% и третьей — 40%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй — 2% и для третьей — 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
  7.  Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,8. Х – число стандартных деталей среди четырех проверенных. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность не менее трех бракованных среди этих четырех.
  8.  Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;  г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (1; 12) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 5 и среднее квадратичное отклонение = 1.
  2.  Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,01.


Вариант 5.

  1.  Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А — выбранное число делится на 2; Событие В — выбранное число делится на 3. Что означают события    А + В, А · В, , ?
  2.  В студии телевидения 3 телекамеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
  3.  Вероятность того, что стрелок при стрельбе по мишени выбьет 10 очков, равна 0,15; 9 очков — 0,2; 8 очков — 0,3; 7 очков- 0,35. Найти вероятность того, что стрелок выбьет более 7 очков.
  4.  На десяти одинаковых карточках написаны буквы, составляющие слово «математика». Карточки тщательно перемешивают и вынимают 4, раскладывая их в ряд одну за другой. Какова вероятность, что появится слово «мама» ?
  5.  У сборщика имеется 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, 4 — изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна равна 0,7, а для завода № 2 — 0,9. Наудачу извлечена деталь. Найти вероятность того, что вынутая деталь стандартна.
  6.  Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.
  7.  Х – число выпадений герба при шести подбрасываниях монеты. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность выпадения герба не менее двух и не более пяти раз.
  8.  Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (3; 10) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 2 и среднее квадратичное отклонение = 4.
  2.  Как велико должно быть число испытаний, чтобы с вероятностью равной 0,995 можно было ожидать, что относительная частота события А будет отличаться от его вероятности 0,6 , постоянной для всех испытаний, менее, чем на 0,01 в ту и другую сторону.


Вариант 6.

  1.  Как должны быть расположены относительно друг друга события А и В, чтобы выполнялись равенства А + В = А,  А ·В = В ? Сделайте рисунок.
  2.  В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (выборка бесповторная). Найти вероятность того, что оба шара белые.
  3.  В мешочке имеется 7 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика одна из следующих букв: о, п, р, с, т, о, м. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово: «спорт»; «опрос».
  4.  Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, при стрельбе из второго орудия — 0,7. Найти вероятность поражения цели при одновременном выстреле обоих орудий.   Замечание: поражение — хотя бы одно попадание из какого-либо орудия.
  5.  Имеются три одинаковых на вид урны: в первой урне — 3 белых и 4 черных, во второй — 2 белых и 2 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар оказался белым.
  6.  Станок обрабатывает 3 вида деталей, причем все его время распределяется между ними в отношении 1: 5: 4. При обработке детали 1-го вида он работает с максимальной для него нагрузкой в течение 70% времени, при обработке детали 2-го вида — в течение 50% и 3-го — 20% времени. В случайно выбранный момент станок работал с максимальной нагрузкой. Определить вероятность того, что он в это время обрабатывал деталь 2-го вида.
  7.  Х – число выпадений шестерки при четырех подбрасываниях игральной кости. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность невыпадения шестерки при четырех подбрасываниях кости.
  8.  Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) интегральную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (6; 10) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 2 и среднее квадратичное отклонение = 4.
  2.  Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,9. Найти вероятность тог, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 80 и не более 95 раз.


Вариант 7.

  1.  Событие А — хотя бы одно из 3-х проверяемых приборов бракованное, В — все приборы доброкачественные. Что означают события       А + В, А ·В, , ?
  2.  В ящике содержится 90 годных и 10 дефектных деталей. Контролер наудачу взял 3 детали. Найти вероятность того, что среди этих 3-х деталей нет дефектных.
  3.  В ОТК фабрики модельной обуви просматривается 300 пар, из них 60 пар фасона «А» и остальные фасона «В». Определить вероятность того, что первые две просмотренные пары одинакового  фасонов. Выборка бесповторная.
  4.  На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, м, и, м, р, р. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на трех вынутых по одной и расположенных в одну линию карточках можно будет прочесть слово «мир».
  5.  Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором — 0,09. Производительность  второго автомата вдвое больше первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна.
  6.  У сборщика имеется 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, 4 — изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна,  равна 0,7, а для завода № 2 — 0,9. Наудачу извлечена деталь, из наугад взятой коробки, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена заводом № 1.
  7.  Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что не будет выпущено ни одной нестандартной детали равна 0,9. Х – число стандартных деталей из трех взятых на проверку. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность того, что среди этих трех деталей будет хотя бы две бракованных.
  8.  Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (4;9) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 2 и среднее квадратичное отклонение = 5.
  2.  Вероятность появления события в каждом из  n независимых испытаний равна 0,2. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,876 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,04.


Вариант 8.

  1.  Из ящика берется для проверки наудачу одна деталь. События: А — взятая наудачу для проверки деталь первого сорта; В — деталь второго сорта. События А и В совместные или несовместные? Что означают события А + В, А · В ?
  2.  Из десяти билетов лотереи выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов один выигрышный.
  3.  Какова вероятность того, что последняя цифра случайно набранного телефонного номера равна пяти или кратна трем.
  4.  Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,4; для второго — 0,5 и для третьего — 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела трех стрелков по мишени в ней будет ровно одна пробоина.
  5.  На сборку поступают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй — 0,2% и третий — 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступает 1000 деталей, со второго — 2000 и с третьего — 2500.
  6.  Электролампы изготавливаются на двух заводах, причем первый производит 60% общего количества, второй — 40%. Продукция первого завода содержит 70% ламп высшего сорта, второго — 80%. В магазин поступает продукция с двух заводов. Купленная лампа оказалась не высшего сорта. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на первом заводе.
  7.  Производится 3 независимых выстрела по мишени. Вероятности попадания в цель при каждом выстреле равны 3/4. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность двух  попаданий в мишень.
  8.  Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (15; 25) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 20 и среднее квадратичное отклонение = 5.
  2.  Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей бракованных окажется не более трех.


Вариант 9.

  1.  Имеются две партии холодильников. Наудачу выбирается один холодильник. Событие А — случайно выбранный холодильник из первой партии. Событие В — холодильник из второй партии. События А и В совместные или несовместные? Что означают события А + В, А · В ?
  2.  Пусть вероятность того, что стрелок при стрельбе по мишени выбьет 10 очков, равна 0,15; 9 очков — 0,2; 8 очков — 0,3; 7 очков  или менее равна 0,35. Найти вероятность того, что стрелок выбьет более 8 очков.
  3.  В ящике находится 30 деталей, из них 25 первого сорта, остальные — второго сорта. Вынимаются последовательно наудачу три детали. Какова вероятность того, что две первые детали окажутся первого сорта, а третья — второго сорта?
  4.  Четыре стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,45; для второго — 0,5; для третьего — 0,6; ля четвертого — 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех четырех стрелков по мишени в ней будет хотя бы одна пробоина.
  5.  В первой коробке 20 деталей, из них 16 стандартных, во второй — 15 деталей, из них 12 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую. Найти вероятность вынуть стандартную деталь из первой коробки.
  6.   Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный — в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; ненормальном — 0,7. Прибор вышел из строя за время t. Какова вероятность, что он работал в нормальном режиме?
  7.  Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,1. Х – число бракованных деталей из трех взятых на проверку. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность того, что среди этих трех деталей бракованных будет не более одной.
  8.  Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) интегральную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (12;14) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 10 и среднее квадратичное отклонение = 3.
  2.  Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 900 испытаниях относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более, чем на 0,004.


Вариант 10.

  1.  Два шахматиста играют одну партию. Событие А — выигрывает первый игрок, В — второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий? Что означают события А + В, А · В ?
  2.  Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность появления герба на обеих монетах?
  3.  В лотерее 100 билетов, среди них один  выигрыш в 1000 руб., три — по 500 руб., пять  выигрышей по 250 руб., 10 — по 150 руб. и 25 — по 100 руб. Найти вероятность выиграть более 300 рублей, имея 2 билета.
  4.  Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок остановится, равна 0,3; второй — 0,4; третий — 0,7; четвертый — 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок будет работать без остановок.
  5.  Имеется два набора одинаковых деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,6; а для второго — 0,84. Взята наудачу деталь из наугад взятого набора. Найти вероятность того, что эта деталь стандартна.
  6.  Одинаковые детали поступают на сборку с четырех автоматов, производительности которых относятся как 4: 3: 2: 1 соответственно. Причем первый автомат дает брака 0,1%, второй — 0,2%, третий — 0,25%, четвертый — 0,5%. Взятая наудачу деталь оказалась небракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом автомате?
  7.  Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется стандартной, равна 0,9. Х – число стандартных деталей. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность того, что среди этих четырех деталей бракованных будет не менее трех.
  8.       2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Изделие, выпускаемое цехом, по своим линейным размерам распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием, а = 6 см и средним квадратичным отклонением  = 0,08 см. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие будет иметь размеры в пределах от 5,95 до 6,05 см?
  2.  Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 900 испытаниях событие произойдет 660 раз.


Вариант 11.

  1.  Событие А состоит в том, что хотя бы два изделия из 5 бракованные. Что означают события Ā, А+Ā ?
  2.  Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 50. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 4.
  3.  Вероятность выполнить месячный план торговой точкой равна 0,95. Вероятность перевыполнения плана торговой точкой, из числа выполнивших план, равна 0,8. Какова вероятность перевыполнения плана любой торговой точкой из их общего числа?
  4.  Производится по оному выстрелу из трех орудий. Вероятность попадания в цель для первого орудия —  , для второго —  , для третьего — . Найти вероятность попадания в цель ровно двумя орудиями.
  5.  Одинаковые детали поступают на сборку с четырех автоматов, производительности которых относятся как 4: 3: 2: 1 соответственно. Причем первый автомат дает брака — 0,4%, второй — 0,2%, третий — 0,25%, четвертый — 0,5%. Найти вероятность того, что деталь, поступившая на сборку, будет годной.
  6.  На сборку поступили детали с 2-х автоматов: с первого — 300 деталей, из них 250 годных; со второго — 150 деталей, из них 140 годных. Найти вероятность того, что наудачу взятая  деталь изготовлена вторым автоматом, если известно, что эта деталь при проверке оказалась годной.
  7.  Производится 2 независимых выстрела с вероятностями попадания в цель соответственно 0,6 и 0,5. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность поражения цели.
  8.  Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (0,5; 3,5) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 3 и среднее квадратичное отклонение = 1.
  2.  Монету бросают 6 раз. Что вероятнее: герб выпадет не менее трех раз или не более трех раз?


Вариант 12.

  1.  Два стрелка делают по цели по одному выстрелу. Событие А — первый стрелок попадает в цель; Событие В — второй стрелок попадает в цель. Что означают события А + В, Ā · В, А · В ?
  2.  В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули 2 шара подряд. Какова вероятность того, что оба шара белые.
  3.  На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых пяти кинескопов — 3 кинескопа Львовского завода.
  4.  Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,75; вторым — 0,8; третьим — 0,9.Определить вероятность того, что в результате однократного выстрела в цель попадет хотя бы один стрелок.
  5.  В первой коробке 20 радиоламп, из них 18 стандартных. Во второй — 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и  переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу взятая из первой коробки (после перекладывания), стандартная.
  6.  Одинаковые детали поступают на сборку с трех автоматов, производительности которых относятся как 3: 2: 1 соответственно. Причем первый автомат дает брака 0,1%, второй — 0,2%, третий — 0,5%. Взятая наудачу деталь оказалась небракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на третьем автомате?
  7.  В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Х – число бракованных изделий из трех взятых на проверку. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность того, что среди этих 3 изделий будет не менее двух бракованных.
  8.       2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) интегральную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (8;10) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 7 и среднее квадратичное отклонение = 2.
  2.  В партии смешаны детали двух сортов: 80% первого и 20% второго. Сколько деталей первого сорта с вероятностью 0,0967 можно ожидать среди 100 наудачу взятых деталей (выборка с возвращением).


Вариант 13.

  1.  Два стрелка делают по мишени по одному выстрелу. Событие А — первый стрелок попадает в цель; событие В — второй стрелок попадает в цель. Что означают события А + В, А · , А · В,  + ?
  2.  Ребенок играет пятью буквами разрезной азбуки О, Л, К, Д, А. Какова вероятность того, что он при случайном расположении букв в ряд получит слово «ЛОДКА» ?
  3.  На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Наугад берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима.
  4.  В партии из 300 деталей имеется 15 бракованных. Найти вероятность того, что из трех взятых наудачу деталей одна бракованная и две годные.
  5.  Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса — 4, из второй — 6 и из третьей группы — 5 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в сборную.
  6.  Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго — 20%. Одна взятая наугад болванка оказалась без дефектов. Найти вероятность того, что она изготовлена во втором цехе.
  7.  Производится 3 независимых выстрела. Вероятность попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,4; 0,5; 0,7. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность не менее 3 попаданий в мишень.
  8.  Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) интегральную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (4;9) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 8 и среднее квадратичное отклонение = 1.
  2.  Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Что вероятнее: стрелок попадет в мишень 1 раз или 2 раза при трех выстрелах?


Вариант 14.

  1.  Машинно-котельная установка состоит из котла и машины. Событие А — исправна машина, событие В — исправен котел. Выразить полную группу событий через А и В.
  2.  На шести одинаковых карточках написаны буквы: м, е, р, и, т, а. Карточки тщательно перемешаны. Наудачу вынимают одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком она была вынута. Какова вероятность того, что получится слово «мир» ?
  3.  Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая. Найти вероятность того, что будет выбрана одна четная и одна нечетная цифра.
  4.  Производится по оному выстрелу из трех орудий. Вероятность попадания в цель для первого орудия —  , для второго —  , для третьего — . Найти вероятность попадания в цель одним орудием.
  5.  На двух станках обрабатывают однотипные детали. Вероятность брака для первого станка — 0,03; для второго — 0,02. Обработанные детали поступают на склад, причем деталей с первого станка в два раза больше, чем со второго. Берется наудачу она деталь со склада. Найти вероятность того, что она будет стандартна.
  6.  Сборщик получил три ящика радиоламп. В первом ящике — 40 ламп, из них 20 окрашенных; во втором — 50, из них 10 окрашенных; в третьем — 30, из них 15 окрашенных. Взятая наудачу лампа оказалась окрашенной. Какова вероятность, что она взята из второго ящика?
  7.  Производится 5 независимых выстрела с вероятностью попадания 0,2 при каждом выстреле. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность не менее 3 попаданий в мишень.
  8.  Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (5;14) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 9 и среднее квадратичное отклонение = 5.
  2.  Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит 20 раз.


Вариант 15.

  1.  Машинно-котельная установка состоит из трех котлов и оной машины. Событие А — исправна машина, событие В1 — исправен первый котел;  В2 — исправен второй котел;  В3 — исправен третий котел. Событие С означает работоспособность машинно-котельной установки, которая может действовать при работе машины и хотя бы одного котла. Выразить событие    через А, В1, В2, В3.
  2.  Библиотека состоит из десяти различных книг, причем 5 книг стоят по 4 рубля каждая, 3 книги — по 1 рублю и 2 книги — по 2 рубля. Найти вероятность того, что взятые наугад 2 книги стоят 5 рублей.
  3.  В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 5 отличников.
  4.  Дается залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85; из второго — 0,91. Найти вероятность поражения цели.
  5.  В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 3% брака, второй — 1% и третий — 2%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата поступило соответственно 50, 25 и 25 деталей.
  6.  В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% — с заболеванием Z, 20% — с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; болезни Z — 0,8; болезни М — 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
  7.  Устройство состоит из четырех элементов. Вероятность того, что за время опыта любой из этих элементов откажет, равна 0,1. Х – число отказавших элементов. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность поражения цели.
  8.  Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики  и .

  1.  Найти вероятность попадания в интервал (2; 10) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание,  а = 4 и среднее квадратичное отклонение = 6.
  2.  Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 80 раз.



P

P1

P2

P3

P4

p5

x1

x2

x3

x4

x5

x

0

F(x)

P1

P1+P2

P1+P2+P3

x1

x2

x3

x4

x5

x

0

1

F(x)

1

2

x

0

1

0,2

0,6

0,4

P

1

2

3

x

0

1

1

х

F(x)

1

1

х

f(x)

2

f(x)

a

x




1. общественный организм
2. Это не крикет Но как почти везде в мире игра которая привлекает наибольшее внимание является Ассоциаци
3. Организация административнохозяйственной службы гостиницы 1
4. Кристанваль Н.
5. Лабораторная работа 5
6. то знакомиться Выяснение почему однояйцевые близнецы могут быть такими разными ~ ну за исключением одинако
7. Тема. Практичне заняття Вогонь ' друг вогонь ' ворог
8. Технологический проект холодного цеха ресторана быстрого обслуживания на 88 мест
9. тематики и Экономики Курсовая работа Тема- Теория экономической неопределенности и риска и их оц
10. РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ КООПЕРАТИВНЫЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ МЕНЕДЖМЕ
11. этнические и другие противоречия стремление ряда государств и политических сил к их разрешению с использов
12. Социальные лингвистические и психологические факторы языковой ситуации в Папуа Новой Гвинее
13. тема її структура компоненти і елементи
14. ловят звезду и начинают требовать от поваров безукаризненной работы как от машин
15. Румыния Федеративное государство 2
16. . Методические указания по подготовке к работе
17. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук.4
18. СОШ 21
19. Современные теории мотивации и исполнение их элементов в отечественной науки и практик
20. Расчет себестоимости продукции

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе