Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЗАДАНИЕ 4.
В партии арбузов 80% спелых, остальные недоспелые. Наугад отобраны четыре арбуза. Какова вероятность того, что среди них:
а) не менее 3-х спелых;
б) не все спелые.
Решение:
Эксперимент (Э) – выбор четырёх арбузов.
Множество всех равновозможных исходов
(отобраны наугад 4 арбуза)
Пространство элементарных событий
(отобранный арбуз спелый, либо неспелый)
Введем обозначения:
Событие A – выбран спелый арбуз.
Рассчитаем вероятность события А p(A) – выбранный арбуз оказался спелым:
При классическом определении вероятность события определяется равенством:
где
m – число элементарных событий, благоприятствующих появлению события А.
n – общее число возможных несовместных элементарных исходов.
Число событий благоприятствующих появлению события A mA = 80%, т.к. всего в партии 80% спелых арбузов.
Общее число исходов для А nА = 100%, т.к. вся партия арбузов – 100%.
Таким образом, вероятность того, что из партии выбран спелый арбуз, составляет:
= 0,8 = 80%
Вероятность противоположного к А события (отобранный арбуз неспелый) составляет:
= 0,2 = 20%
Таким образом,
p(А) = 0,8
q(А) = 0,2
а) Рассчитаем вероятность того, что среди 4-х арбузов, отобранных наугад из партии, не менее 3-х спелых:
В данном случае необходимо определить вероятность того, что среди 4-х арбузов, отобранных наугад из партии, не менее 3-х спелых. Т.е. необходимо определить вероятность того, что среди 4-х арбузов, отобранных из партии, будет 3 или 4 спелых арбуза.
В любом из этих случаев утверждение о том, что, среди 4-х отобранных арбузов не менее 3-х спелых, будет истинным.
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.
Для того, чтобы определить вероятность того, что в 4-х арбузах, отобранных наугад из партии, будет 3 спелых или 4 спелых арбуза, воспользуемся формулой Бернулли для независимых испытаний:
Формула Бернулли:
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна:
,
или
где q = 1 – p
1. Определим вероятность того, что среди 4-х отобранных наугад арбузов, будет 3 спелых:
В данном случае:
n = 4,
k = 3,
p(А) = 0,8,
q(А) = 1 – p = 1 – 0,8 = 0,2.
Следовательно, искомая вероятность, равна:
= 0,4096 = 40,96%
2. Определим вероятность того, что среди 4-х отобранных наугад арбузов, будет 4 спелых:
В данном случае:
n = 4,
k = 4,
p(А) = 0,8,
q(А) = 1 – p = 1 – 0,8 = 0,2.
Следовательно, искомая вероятность, равна:
= 0,4096 = 40,96%
В данном случае безразлично, сколько спелых арбузов будет среди отобранных 4-х – 3 или 4 – в любом случае число спелых арбузов будет не менее 3-х, следовательно, требование условий задачи будет выполнено.
Тогда, по теореме сложения вероятностей, вероятность появления одного из нескольких событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P(A1 + A2 + … + An) = P(A1) + P(А2) + … + P(An)
Таким образом, искомая вероятность:
P = P4(3) + P4(4)
P= 0,4096 + 0,4096 = 0,8192 = 81,92%
Следовательно, вероятность того, что среди 4-х арбузов, отобранных наугад из партии, не менее 3-х спелых равна 0,8192 = 81,92%.
б) Рассчитаем вероятность того, что среди 4-х арбузов, отобранных наугад из партии, не все спелые.
Среди 4-х отобранных арбузов могут быть все 4 спелые или не все спелые арбузы, иное невозможно – т.е. данные события образуют полную группу событий.
Следовательно, вероятности того, что среди отобранных арбузов все спелые или не все спелые в сумме дают 1.
P = P4(0) + P4(1) + P4(2) + P4(3) + P4(4) = 1
В данном случае необходимо определить вероятность того, что среди 4-х арбузов, отобранных наугад из партии, не все спелые. Т.е. необходимо определить вероятность того, что среди 4-х арбузов, отобранных из партии, будет 0, 1, 2 или 3 спелых арбуза.
В любом из этих случаев утверждение о том, что, среди 4-х отобранных арбузов не все спелые, будет истинным.
Тогда, искомую вероятность можно получить, вычтя из 1 вероятность того, что все арбузы спелые:
P = 1 – P4(4)
Определим вероятность того, что среди 4-х отобранных наугад арбузов, будут все спелые (4 из 4-х):
В данном случае:
n = 4,
k = 4,
p(А) = 0,8,
q(А) = 1 – p = 1 – 0,8 = 0,2.
Следовательно, искомая вероятность, равна:
= 0,4096 = 40,96%
Тогда, вероятность того, что среди 4-х арбузов, отобранных наугад из партии, не все спелые равна 1 – 0,4096 = 0,5904 = 59,94%
Ответ: а) среди 4-х отобранных арбузов не менее 3-х спелых = 0,8192 = 81,92%
б) среди 4-х отобранных арбузов не все спелые = 0,5904 = 59,04%