Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
19) Несжимаемая жидкость – это жидкость, изменение плотности которой в зависимости от давления настолько малы, что ими можно пренебречь.
В покоящейся жидкости и уравнение Эйлера и описывает условия равновесия:
.
Рассмотрим простейшие примеры решения этого уравнения.
а) Несжимаемая жидкость покоится в однородном поле тяжести . Определить давление в жидкости.
В системе координат OXYZ, в которой ось OZ направлена вертикально вниз , уравнения Эйлера имеют вид:
, , .
Решение системы тривиально и имеет вид:
.
б) Определить равновесную форму поверхности жидкости, вращающейся как твердое тело с угловой скоростью и давление внутри жидкости. Определить силу, действующую на небольшое тело, вращающееся вместе с жидкостью.
Для определения равновесия жидкости, вращающейся в однородном поле тяжести, воспользуемся уравнением Эйлера
.
Мы рассматриваем стационарное течение, поэтому . Распределение скоростей течения жидкости – твердотельное , ускорение свободного падения постоянно - и плотность жидкости постоянна .
При твердотельном вращении
,
,
и уравнение Эйлера можно привести к виду:
.
Выберем систему координат так, чтобы поверхность жидкости, вращающейся вокруг вертикальной оси OZ проходила через начало координат, так что давление в этой точке равно атмосферному: . Интегрирование уравнения Эйлера при таком условии дает:
,
или, учитывая зависимость величины скорости от координат:
.
Для определение выталкивающей силы т. е. суммы поверхностных сил, действующих на тело, необходимо вычислить интеграл:
.
Преобразуя поверхностный интеграл к объемному и выполняя интегрирование (по теореме о среднем), для малого объема получим:
.
18) Уравнения равновесия жидкости могут быть получены из уравнений движения в напряжениях
если положить в них . Кроме того в покоящейся жидкости касательные напряжения не проявляются, т.е. все производные по t равны нулю. И, наконец, нормальные напряжения заменяем давлением, что дает
;
; (3.1)
В векторной форме эта система может быть записана в форме
(3.2)
Уравнения (3.1) носят название системы дифференциальных уравнений Эйлера для гидростатики. Эта система уравнений показывает, что существует непосредственная связь между величиной гидростатического давления в точке и ее координатами. Эта связь может быть раскрыта, если проинтегрировать (3.1).
На жидкое тело могут действовать силы, имеющие различную физическую природу. Поэтому правомерна такая постановка вопроса: всегда ли под действием приложенных сил жидкость может находиться в состоянии равновесия? Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить некоторые преобразования системы дифференциальных уравнений (3.1).