Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ
К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А
по э к о н о м е т р и к е
Вариант 17
Выполнила:
студентка III курса Оксана
специальность
Проверил:
должность доц. Уродовских В. Н.
__________________
подпись
Липецк 2006
Задача 1.
Предприятие легкой промышленности региона характеризуется объемом выпуска продукции y (млн. руб.) и объемом капиталовложений x (млн. руб.).
Требуется:
- гиперболической;
- степенной;
- показательной.
9) Привести графики всех построенных уравнений регрессии.
10) Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
РЕШЕНИЕ:
1.Построим уравнение линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию его коэффициентов.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
y = a + a
Для расчета построим вспомогательную таблицу:
Найдем значения параметров модели:
91,9-2,3540,1 = 91,9 - 94,235 = -2,34
Уравнение линейной модели имеет вид:
= -2,34 + 2,35х
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Вывод: Связь между объемом капиталовложений Х и объемом выпуска продукции Y достаточно сильная и прямая. = -2,34 + 2,35х
С увеличением объема капиталовложений Х на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y увеличится в среднем на 2350 тыс. руб., что свидетельствует о достаточно эффективной работе предприятия.
2.Вычислим остатки, построим их график; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию S.
= -2,34 + 2,35х Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим расчетные значения .
Построим вспомогательную таблицу:
Параметры модели определяем в Excel с помощью инструмента Регрессия (СервисАнализ данныхРегрессия)
В таблице ВЫВОД ОСАТКА приведены вычисленные (предсказанные) по модели значения зависимой переменной Y и значения остаточной компоненты Еi.
Для парной регрессии дисперсия остатков:
Sε2 =
График остатков выглядит следующим образом:
3.Проверим выполнение предпосылок МНК.
Отсутствие автокорреляции (зависимость остатков ) проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:
d1 =1,08
d2 =1,36
Т.к.d>2, то d – критерий пересчитывается по формуле: = 4-d
= 4-2,47 = 1,53
Т.к. d2 < < 2, то ряд остатков не коррелирован.
Из графика видно, что в расположении точек нет направленности, следовательно - случайные величины.
Выполняется по t-критерию Стьюдента
tтабл=2,26,следовательно рассчитанное значение меньше его табличного, значит гипотеза о равенстве нулю математического ожидания принимается.
Выявляем при помощи Теста Голдфельда-Квандта:
- Ранжируем наблюдения в порядке возрастания Х
- Делим все наблюдения на две группы и для каждой из них определяем уравнение регрессии:
1. Для первой группы
68,8-1,47*30,6 = 23,8
23,8 + 1,47x
2. Для второй группы
115-2,19*49,6 = 6,08
6,08 +2,19x
- Определим остаточную сумму квадратов для первой регрессии:
=389,63
И для второй:
=24,53
Вычислим отклонение , в числителе должна быть большая сумма квадратов:
Полученное отклонение имеет F-распределение со степенями свободы k1 = n1 - m и k2 = n – n1 - m (m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).
k1 = 3 k2 =10-5-2 = 3
Fнабл (α; k1; k2) = 15,88
Fтабл (0,05; 3; 3) = 9,27
Fнабл > Fтабл, следовательно гетероскедастичность имеет место.
4.Проверим значимость параметров уравнения по t-критерию Стьюдента при =0,05.
Выдвигается Н0 – гипотеза о незначимом отличии параметра уравнения регрессии от нуля. Для проверки этой гипотезы используется t-статистика. Расчетные значения t-критерия определяются по формулам:
7,47
= 2,35 / 0,24 = 9,79
tтабл =2,3
Т.к. tрасч>tтабл (7,47>2,3), то коэффициент а0 значим, tрасч<tтабл (9,79>2,3), то коэффициент а1 тоже значим.
5. Вычислим коэффициент детерминации R, проверим значимость уравнения по F-критерию, найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации, оценим качество модели.
- 1-0,077=0,923
Данный коэффициент показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 92% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.
- Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:
Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,05 при v1=К=1 и v2=n-k-1=10-1-1=8 составляет
Fтабл = 2,3
Поскольку Fрас>Fтабл, уравнение регрессии следует признать значимым.
- Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации и оценим качество модели:
A практически равно 7, следовательно модель имеет хорошее качество.
6. Выполним прогноз среднего значения показателя y при =0,10, если Х составляет 80% от его максимального значения.
хпр = 0,8*хmax = 0,8*53 = 42,4
пр= -2,34 + 2,35*42,4 = 97,3
Стандартная ошибка:
Коэффициент Стьюдента tα для m = 10-2 = 8 степеней свободы и уровня значимости 0,1: tтабл = 1,8595
Тогда u(x=36.8; n=10; α=0.1) =
Верхняя граница: уmax = 97,3 + 15,05 = 112,35
Нижняя граница: ymin = 97,3 - 15,05 = 82,25
Диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ∆у:
∆у =112,35 /82,25 = 1,3
Вывод: выполненный прогноз объема выпуска продукции оказался надежным (ρ = 1 - α = 1 - 0,1 = 0,9), но не точным, т.к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ∆у = 1,3
7.Представим графически: фактические, модельные значения и точки прогноза.
8. Составим уравнения нелинейной регрессии:
- гиперболической;
- степенной;
- показательной.
. Гиперболическая модель.
Уравнение гиперболической модели:
Для построения этой модели произведем ее линеаризацию путем замены переменных: X = 1/x
Получим линейное уравнение регрессии:
Далее рассчитаем параметры модели.
Для расчета параметров построим вспомогательную таблицу:
91,9 +5588,23*0,027=242,78
Запишем гиперболическую модель:
242,78 - 5588,23/x
Рассчитаем индекс корреляции:
Связь между показателем y и фактором x можно считать не очень сильной.
Рассчитаем индекс детерминации:0,658*0,658=0,433
Вариация объема выпуска продукции у на 43,3% объясняется вариацией фактора х - объема капиталовложений.
Рассчитаем F-критерий Фишера:
Поскольку F>Fтабл= 5,11 =0,05; к1=m=1, к2=n-m=9 , то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо.
Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:
В среднем расчетные значения урасч гиперболической функции отличаются от фактических значений на 1,88%.
2. Степенная модель.
Степенная модель имеет вид:
Произведем линеаризацию уравнения путем логарифмирования его обеих частей:
Обозначим:
С учетом этого получим линейное уравнение регрессии:
Для расчета параметров построим вспомогательную таблицу:
Найдем значения параметров модели:
1,946-0,99*1,588=0,37
Уравнение регрессии будет иметь вид:
Y= 0,37+0,99X
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование последнего уравнения:
Тогда окончательно имеем уравнение степенной модели:
Определим индекс корреляции:
Связь между показателем y и фактором x можно считать очень сильной.
Рассчитаем индекс детерминации:
0,999*0,999=0,998
Вариация объема выпуска продукции у на99,8% объясняется вариацией фактора х - объема капиталовложений.
Рассчитаем F-критерий Фишера:
Поскольку F>Fтабл=5,11 =0,05; к1=m=1, к2=n-m= 9 , то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо.
Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:
В среднем расчетные значения урасч степенной функции отличаются от фактических значений на 0,25%.
3. Показательная модель.
Уравнение показательной кривой:
Для построения этой модели произведем линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения:
Обозначим
Получим линейное уравнение регрессии:
Далее рассчитаем параметры модели.
Для расчета параметров построим вспомогательную таблицу:
Найдем значения параметров модели:
1,946-0,012*40,1=1,46
Уравнение регрессии будет иметь вид:
Y= 1,46 + 0,012x
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование последнего уравнения:
Тогда окончательно имеем уравнение степенной модели:
28,84*1,028
Определим индекс корреляции:
Связь между показателем y и фактором x можно считать очень сильной
Рассчитаем индекс детерминации:
0,998*0,998=0,996
Вариация объема выпуска продукции у на 99,6% объясняется вариацией фактора х - объема капиталовложений.
Рассчитаем F-критерий Фишера:
Поскольку F>Fтабл= 5,11 =0,05; к1=m=1, к2=n-m=9 , то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо.
Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:
В среднем расчетные значения урасч показательной функции отличаются от фактических значений на 0,75%.
10. Для указанных моделей найдем коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод.
Из сводной таблицы результатов расчета видно, что наиболее лучшие характеристики имеет степенная модель, поэтому ее выбираем для построения прогноза.
Задача 2
Задача 2а и 2б .
Имеются два варианта структурной формы модели заданные в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо для каждой матрицы записать системы одновременных уравнений и проверить их на идентифицируемость.
2а
Составим системы одновременных уравнений:
Проверим каждое уравнение на выполнение необходимых и достаточных условий идентификации.
Первое уравнение:
Определим эндогенные переменные: y1, y3, т.е. Н = 2,
Найдем отсутствующие экзогенные переменные: x1, т.е. D = 1.
Проверяем условие идентификации 1+1 = 2 или D + 1 = Н – условие необходимости выполнено, и уравнение можно считать идентифицируемым.
Далее проверяем достаточное условие.
Определитель матрицы не равен нулю, следовательно, уравнение можно считать идентифицируемым.
Второе уравнение:
Определим эндогенные переменные: y1, y2, y3, т.е. Н = 3,
Найдем отсутствующие экзогенные переменные: x1, x2 т.е. D = 2.
Проверяем условие идентификации 2+1 = 3 или D + 1 = Н – условие необходимости выполнено, и уравнение можно считать идентифицируемым.
Далее проверяем достаточное условие.
Определитель матрицы не равен нулю, следовательно, уравнение можно считать идентифицируемым.
Третье уравнение:
Определим эндогенные переменные:y2, y3, т.е. Н = 2,
Найдем отсутствующие экзогенные переменные:x4 т.е. D = 1.
Проверяем условие идентификации 1+1 = 2 или D + 1 = Н – условие необходимости выполнено и уравнение можно считать идентифицируемым.
Далее проверяем достаточное условие.
Определитель матрицы не равен нулю, следовательно, уравнение можно считать идентифицируемым.
2б
Составим системы одновременных уравнений:
Проверим каждое уравнение на выполнение необходимых и достаточных условий идентификации.
Первое уравнение
Определим эндогенные переменные: y1,y2, y3, т.е. Н = 3,
Найдем отсутствующие экзогенные переменные:x1, x3 т.е. D = 2.
Проверяем условие идентификации 2+1 = 3 или D + 1 = Н – условие необходимости выполнено и уравнение можно считать идентифицируемым.
Далее проверяем достаточное условие.
Поскольку вторая строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю. Значит достаточное условие идентифицируемости не выполнено и первое уравнение в СФМ нельзя считать идентифицируемым.
Второе уравнение
Определим эндогенные переменные: y1,y2 т.е. Н = 2,
Найдем отсутствующие экзогенные переменные:x4 т.е. D = 1.
Проверяем условие идентификации 1+1 = 2 или D + 1 = Н – условие необходимости выполнено и уравнение можно считать идентифицируемым.
Проверяем условие достаточности по переменным y3 и x4.
Поскольку третье уравнение можно записать в виде:
, тогда равенство = -1 становится очевидным. Определитель для второй матрицы не равен нулю а ранг матрицы равен , поэтому условие достаточности выполнено и это уравнение идентифицируемо.
Третье уравнение:
Определим эндогенные переменные: y1,y2, y3 т.е. Н = 3,
Найдем отсутствующие экзогенные переменные:x1 ,x3 т.е. D = 2.
Проверяем условие идентификации 2+1 = 3 или D + 1 = Н – условие необходимости выполнено и уравнение можно считать идентифицируемым.
Проверяем условие достаточности по переменным, для чего строим матрицу для переменных x1 ,x3, которые отсутствуют в третьем уравнении.
Определитель матрицы равен нулю (первая строка представлена нулями), значит достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Задача 2в
По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), построить структурную форму модели вида:
Структурная форма модели преобразуется в приведенную. Для этого из 2-го уравнения выражаем у2 и подставляем в первое уравнение, а из 1-го уравнения выражаем у1 и подставляем во второе. После преобразований получаем:
у1 = δ11х1 + δ12х2 + u1
у2 = δ21х1 + δ22х2 + u2,
где u1 и u2 случайные ошибки ПФМ. Для 1-го уравнения определим δ – коэффициенты с помощью традиционного МНК.
Σ у1x1 = δ11Σх12 + δ12Σх1х2
Σ у1x2 = δ12Σх1х2 + δ12Σх22
Расчетная таблица
С учетом приведенных данных получаем:
-61,07 = 35,33 δ11 + 28,67 δ12;
229,47 = 28,67δ11 + 104,83 δ12
В результате решения получаем δ11 = - 4,505 δ12 = 3,421
С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:
у1 = -4,505х1 +3,421х2 + u1
Для 2-го уравнения ПФМ с помощью МНК определяем δ-коэффициенты:
Σ у2x1 = δ21Σх12 + δ22Σх1х2
Σ у2x2 = δ21Σх1х2 + δ22Σх22
Для дальнейших расчетов данные берем из этой же таблицы. Подставляя значения сумм из таблицы, получим:
174,6 = 35,33 δ21 +28,67 δ22;
161,9 = 28,67 δ21 + 104,83 δ22 (для 2-го уравнения)
В результате решения получаем δ21 = 4,741 δ22 = 0,248
Второе уравнение ПФМ получаем в виде:
у2 = 4,741 х1 +0,248 х2 + u2
Выполним переход от приведенной формы к структурной форме модели, для чего из последнего уравнения ПФМ найдем х2:
х2 = (у2 - 4,741 х1)/ 0,248
Подставим значение х2 в первое уравнение ПФМ:
у1 = - 4,505х1 +3,421(у2 - 4,741 х1)/ 0,248 = 13,794у2 – 69,902х1
Таким образом, b12 =13,794, a11 = - 69,902
Из первого уравнения ПФМ найдем х1: х1 = (у1 +3,421х2)/ -4,505
Подставим выражение для х1 во второе уравнение ПФМ и найдем структурное уравнение:
у2 = 4,741 х1 +0,248 х2 + u2
у2 =4,741(у1 +3,421х2)/ -4,505 + 0,248 х2 = -1,052 у1 – 3,352 х2
Таким образом, b21 = -1,052 a22 = – 3,352
Свободные члены структурной формы находим из уравнений:
а01 = у1,ср – b12y2,ср – a11x1,ср = 51,53 +13,794*78,1 + 69,902*6,33 = 1571,321
а02 = у2,ср – b21y1,ср – a22x2,ср = 78,1 + 1,052*51,53 + 3,352*9,17 = 163,047
Записываем СФМ в окончательном виде:
у1 = а01 + b12y2 + a11x1 + ε1 =1571,321–13,794 у2 - 69,902х1 + ε1
у2 = а02 + b21y1 + a22x2 + ε2 = 163,047 - 1,052 у1 – 3,352х2 + ε2