Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
Признак Даламбера Пусть дан ряд с положительными членами такой что 1) если то ряд сходится 2) если то ряд расходится 3) если неизвестно 3. Радикальный признак Коши Теорема Пусть дан ряд такой что 1) если то ряд сходится 2) если то ряд расходится 3) если неизвестно Интегральный признак Коши Теорема Пусть ф-ия f(x) определена непрерывна и ограничена на [1,+ тогда ряд ()и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно те если несобственный интеграл сходится (расходится) то и ряд сходится (расходится)
если I конечное число то ряд сходится если I равно бесконечности ряд расходится |
Необходимые условия: 1) . Ряд (1.2) сходится тогда и только тогда, когда при любом натуральном k сходится ряд 2) . Если ряд (1.2) сходится и его сумма равна S, то ряд где c − некоторое число, также сходится, и его сумма равна . 3) Если ряды сходятся и их суммы соответственно равны S и , то ряды тоже сходятся и их суммы равны, соответственно, и 4) Предел общего члена сходящегося ряда равен нулю; то есть если ряд (1.2) сходится, то при его общий член |
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера. Радикальный и интегральные признаки Коши. 1. Признаки сравнения Теорема: Пусть даны два ряда ∑ (1) и ∑ (2) (k=1..) и пусть все члены рядов удовлетворяют условию k=1..n тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда(1) и из расходимости ряда (1) следует расходимость рядя(2) частичные суммы рядов 1 и 2 если и =S то ряд (2) сходится следует ряд (1) тоже сходится Предельный признак сравнения Теорема Пусть даны два ряда ∑ и ∑ (к=1..) такие что , тогда оба эти рядя либо сходятся либо расходятся одновременно(т е ведут себя одинаково) |
|
Числовой ряд. Пусть u1,u2,…,un, … (1.1) некоторая бесконечная последовательность чисел. Составленное из этих чисел выражение u1+u2+…+un+ … (1.2) называется бесконечным числовым рядом (или просто – рядом), а сами числа (1.1) − членами ряда. Вместо (1.2), пользуясь знаком суммы, часто пишут. Указатель n пробегает здесь все значения от 1 до . Так как число членов ряда бесконечно, то суммы , … , Sn = u1 + u2 + …+ un, … , которые называются частичными суммами ряда, образуют бесконечную последовательность (1.3) Ряд (1.2) называют сходящимся, если последовательность (1.3) сходится к какому-нибудь числу S, то есть при . Число S называют суммой ряда (1.2) и символически это записывается так:. Если предел, или вовсе не существует, то ряд (1.2) называется расходящимся. Например, ряд (где < 1), составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму , а ряд называемый гармоническим, является |
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница. Ряд, среди членов которого встречаются как положительные, так и отрицательные, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся. Знакочередующимся рядом называется ряд вида а1 - а2 + а3 - а4 +...+ (-1)n+1an +... , все аn>0 Пусть знакочередующийся ряд удоволетворяет условию а1 >= a2 >= a3 >= ... >= an >=...> 0, т. е. lim an = 0. Тогда знакочередующийся ряд сходится, его сумма неотрицательна и не превосходит первый член. Знакочередующийся ряд а1-а2+а3-а4+...+(-1)n+1an+... называется рядом Лейбница, если 1) а1 > a2 > a3 > a4>... > an >... 2) lim an = 0 Теорема Лейбница: ряд Лейбница сходится. Следствие теоремы Лейбница: Если от ряда Лейбница отбросить первые n-членов, то оставшийся ряд будет рядом Лейбница. Частичная сумма ряда Лейбница отличается от суммы ряда Лейбница на величину, не превосходящую по модулю числа an+1 |
функция раз дифференцируема в точк =0 Пусть f(x) дифференцируема любое число раз в окрестности точки х0 тогда f(x)= . Ряд Называется рядом Тейлора Ряд тейлора сходится и его сумма равна значению функции В частном случае x0=0 тогда ряд называется Ряд Маклорена Разложение Некоторых элементарных функций в ряд Маклорена , , Биномиальный ряд- ряд вида Б. р. сходится: при —1 < x <1, если n < —1; при —1< x 1, если —1 < n < 0; при —1< x 1, если n >0. |
|
Формулы Эйлера. Показ. форма записи числа x=i*t – формула Эйлера (3) cosit = cht
(4) Формула (4) называется показательной формой комплексного числа. |
Арифметические действия над комплексными числами на плоскости. Теорема. При умножении двух комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, аргумент произведения равен сумме. Док-во. z1=x1+i*y1=|z1|*(cosφ1+i*sinφ1) z2=x2+i*y2=|z2|*(cosφ2+i*sinφ2) z=z1*z2=|z1|*|z2|*|cos φ1* cosφ2+i* sinφ1* cosφ2+ cosφ1* i*sinφ2+ i*sinφ1* i*sinφ2|=|z1|*|z2|*|cos(φ1+φ2)+i*sin(φ1+φ2)|=|z|*(cosφ+i*sinφ) Следствие. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей. Аргумент частного равен разности соответствующих модулей. Док-во. = = = Замечание. Число симетрично числу z относительно вещественной оси. arg = - arg z. Следствие 2. = |z1|*|z2|*= |z1|*|z2|** |z1|*|z2|* = |z1|*|z2|* |
Геометрическая интерпритация комплексного числа. Модуль и аргумент. ρ= = - модуль комплексного числа z, φ- аргумент комплексного числа z. φ= Arg z -π<φ≤π arg z – главное значение аргумента. arg z = arctg 1) zϵR arg z = 0 z=y ϵ Ri arg z = 2) arg z = π + arctg z = x < 0 arg z = π 3) arg z = -π + arctg z = Ri y < 0 arg z = - 4) z = arctg arg z = - Точка z=0 имеет неопределенный аргумент |z|=0. x=ρcosφ=*cosφ y=ρsinφ=*sinφ z=x+i*y – алгебраическая запись комплелксного числа. z=|z|*(cosφ+i*sinφ) – тригонометрическая запись комплексного числа. cosφ+i*sinφ – формула Эйлера. z=|z|* - показательная форма записи комплексного числа. |
|
Множества на комплексной плоскости уравнение окружности в т z0 – центр.
Опр. ε-окрестностью т. Z0 называется множество т. Z, удовлетворяющих неравенству: Т.е. это открытый круг с центром в т. Z и радиусом ε. Пусть определено некоторое множество Е. Точка Z называется внутренней точкой множества Е, если ∃ ε-окрестности этой точки целиком лежащая в Е. Множество Е у которого все точки внутренние, называется открытым. Множество Е называется связным, если 2 любые его точки можно соединить непрерывной кривой лежащей во множестве. Связное открытое множество называется областью Пусть дано множество Е. Множество всех граничных точек множества, называется его границей. Область вместе с присоединенной границей называется замкнутой областью. Область называется односвязной если ее граница состоит из 1 непрерывно замкнутой кривой. Область называется n – связной, если ее граница состоит из n. непрерывных, непересекающихся кривых. |
Расширенная комплексная плоскость Такая последовательность называется неограниченной. Говорят, что она сходится в бесконечно удаленной точке. Комплексная плоскость вместе с присоединенной к ней бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. Стереографическая проекция. Рассмотрим комплексную плоскость. Построим сферу, касающуюся комплексной плоскости в начале координат. Рассмотрим произвольную точку комплексной плоскости z и соединяем ее с полюсом прямой. Эта прямая пересечет сферу в точке М, которая называется стереографической проекцией комплексного числа Z. У каждого комплексного числа своя стереографическая проекция. Более того, каждая точка сферы, не считая полюса, является стереографической проекцией, для единственного комплексного числа. Чем дальше удаляется число от начала координат, тем ближе его стереографическая проекция приближается к полюсу. Поэтому принимается, что полюс является стереографической проекцией бесконечно удаленной точки. |
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД U1(x)+…+Un(x)+… (1) Выражение вида (1) наз. Функциональным радом. Определение: совокупность всех значений x при которых ряд сходится наз областью сходимости ряда. Ряд (1) наз мажорируемым если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами такой что │U1(x)│≤ a1………│Un(x)│≤ an Определение: Если функциональный ряд (1) сходится ,т.е. он имеет сумму S(x), то го сумма зависит от x. Теорема1: Сумма ряда непрерывных функций мажорируемых на некотором отрезке [a;b], есть функция непрерывная на этом отрезке Теорема2: Если ряд (1) составленный из функций имеющие непрерывные производные на [a;b] сходится на этом отрезке к сумме S(x) и ряд составленный из производных мажорируем на этом отрезке,то сумма ряда производных = производной от суммы первоначального ряда. СТЕПЕННОЙ РЯД Функциональный ряд вида а0+а1(х-х0)+….+аn(x-x0) (2) наз степенным рядом. Теорема Абеля: Если степенной ряд (2) сходится при некотором значении х1, то он абсолютно сходится при всех значениях х удовлетворяющий неравенству │x-x0│>│x1-x0│. Если степенной ряд (2) расходится то он расходится при всех значениях х удовлетворяющих неравенству │x-x0│>│x2-x0│ Док-во Пусть степенной ряд сходится про х1 тогда: а0+а1(х1-х0)+…+аn(x1-x0)^n Рассмотрим ряд составленный из модулей: │а0│+│а1(х1-х0)│+…+│аn(x-x0)^n│(x-x0)/x1-x0│+… (3) По признаку сравнения ряд сходится. Теорема доказана. |
|
10 .Ряды с комплексными членами. Степенные ряды. Представление основных элементарных функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции. |
12) Теорема Коши для односвязной области: Если D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю: . Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл имеет одинаковое значение. Первообразная: Если функция f(z) аналитична в некоторой области D И если аналитическая функция F(z) в этой области удовлетворяет рав-ву то F(z) называется первообразной для функции f(z) , Очевидно для любого C , F(z)+C так же будет первообразной . если F1(z) и F2(z) – первообразные для функции f(z) , то F1(z)-F2(z)=C=const |
Неопр. интеграл : Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками z0 = A, z1, z2, …, zn = B на n частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку tk, найдём f(tk) и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при n → ∞, max|Δ z k| → 0 (k = 1, 2, ..., n), если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L и обозначается . |
|
Теорема Коши для многосвязной области: Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L0 (внешняя граница), L1, L2, …, Lk, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области , проходимой так,что область остаётся с одной стороны, равен нулю.Доказательство и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной области. Рассмотрим случай, когда граница области (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L0 и внутренних контуров L1 и L2. Соединим контур L0 разрезом FM с контуром L1, разрезом BG - с контуром L2. Область D=D/(BG U FM)с границей T=AB U BG U(L2=GLKG)U GB U BF U FM U L1 U MF U LA односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши: . Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны. |
13) теорема Морера и ряд Тейлора. Пусть функция f(z) аналитична в многосвязной области D. Тогда интеграл по любому составному контуру Г лежащему в области D =0 Следствие Теорема Морера Если ф-ия f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл от этой ф-ии по любому замкнутому контуру, целтком лежащему в этой области равной 0, то ф-ия f(z) аналитична в этой области D Ряд Тейлора Пусть ф-ия f(z) аналитична в некоторой области D и пусть в этой области задана l ограничивающая некоторую область w. Тогда ряд Называется рядом Тейлора ф-ии f в точке а. |
15)Изолированая и классификация Опр. т. z0 называется особой точкой т. функции f(z), если в этой точке аналитическая функция теряет свою аналитичность. Особая точка z0 называется изолированной особой точкой , если функция f(z) аналитична всюду в кольце 0, а в т. z0 теряет свою аналитичность . Z0=0 0 Zk= Опр. Изолированая особая точка z0 называется устранимой особой точкой функции f(z) аналитической в кольце 0, если Опр. Изолированая особая точка называется полюсом функции f(z), аналитической в кольце
Опр. Изолированая особая точка z0 называется сущетсвенной особой точкой функции f(z),аналитической в кольце 0. Устранимая особая точка и точка и разложения функции в ряд Лорана в окрестностях устранимой особой точки. Теорема. Изолированая особая точка z0 является устранимой особой точки функции f(z) тогда и только тогда , когда разложения функции f(z) в окрестности этой точки не содержит главной части т.е.,ряд Лорана состоит из правильной части. Дост-сть Пусть так и есть
Тогда Необх-сть Пусть т.z0 является устранимой особой точкой.
f(z) , в некотрой окрестности z0 0 |
|
16) Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Теорема: если т. Z0 – полюс 1-ого порядка ф-ии f(z), т.е. фун-я представится в виде F(z) = при этом 0 , =0 , 0 , тогда вычет функции res Z0 f(z)= res Z0 f(z)=0)= 0) = = = = = Вычет в бесконечно удаленной особой точке. Z= f (=f f(z) =a0 + a1z + a2z + … f (=a0 + a1 +a2 + … res Z0 f(z) = f(z) =k Zk res Z0 f(z)=k k dz = ( -2-1) = - C–1 Вычет функции в бесконечно удаленной точке равен коэффициенту С-1 со знаком – разложения функции в ряд Лорана по степеням z. |
17. Применение вычетов к вычислению определенных и не собственных интегралов. Вычисление несобственных интегралов при помощи вычетов. Пусть требуется найти Теорема. Пусть функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, … zn леж ащих в верхней полуплоскости. |z|≥R |f(z)|= , где m≥z R – такое, что все особые m попадают внутрь окружности радиуса R. Тогда |
18. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры. |
|
19. преобразования Лапласа и его свойства Для произвольного комплексного числа S и произвольного оригинала f(t) преобразование называется интегральным преобразованием Лапласа. f1(t) .=. F1(s) ; f2(t) .=. F2(s) Cв-ва: 1) c*f1(t) .=. c*F1(s) 2) f1(t) + f2(t) .=. F1(s) + F2(s) Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям: 1. при t < 0 2. при t > 0, M > 0, 3. На любом конечном отрезке [ab ] , положительный полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. a) ограничена, b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода, c) имеет конечное число экстремумов. Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Дифференцирование оригинала: Дифференцирование изображения: Интегрирование оригинала: Интегрирование изображения |
21) Восстановление оригинала по рациональному изображению. Решение дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения. 1) x’(0)=x0,…,(0)= Пусть f(t) F(s) ; x(t) – решение этого у-я Тогда x’(t) s-x(o) =s -x0 X’’(t) -sx0-x0’ - Из ур-я (1) => ур-е -x0-s=F(s) =F(s)-( (2) Ур-е (2) , получено из ур-я (1) заменой ф-и и их производных соответствующими изображениями. Это ур-е наз-ся вспомогательными (или операторами) ур-ем соо. Диф. Ур-я (1) Опо явл-ся алгебраическимур0ем линейными относительно преображения , т.е. имеют вид A(s) =b(s) Решал это ур-е, нахом , восстанавливая оригинал. Найденного преображения, полученные решение исходной задачи КОШИ Y’’-3y’+2y= Y(o)=1 ; y’(0)=-2 Y(t) Y’ Y’’ -s+2-3s+3+2 (-3s+2)= = => |
23) Разложение четных и нечетных функции в ряд фурье .Разложение функции в ряд Фурье по cos , sin. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье в производных ортогональной системе функции. Разложение четных и нечетных функции в ряд Фурье . f(x)=x=2 f(x)= a0= ak= bk== f(x)=- Если функция f(x)-нечетная то интеграл от неё по любому симметричному промежутку равен Елси функция f(x)-четная, F(x)-нечетная F(x)* coskx-нечетная F(x)sinkx-четная ak=0 bk= Если функция f(x) четная F(x)*coskx-четная F(x)*sinkx-нечетная a0 ak= f(x)=+ то нечетная функция раскладывается в ряд Фурье ,содержит только sin и не содержающий cos ,a четная функция функция раскладывается в ряд Фурье ,содержающий только cos и не содержающий sin . a0=ak=0 , bk= f(x)= bk=0, a0= ak= + На промежутке [0;] функции совпадают. |
|
24) Ряд фурье в комплексной форме . Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Cos kx = sin kx = = -i F(x) = i = == = f(x)= Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. (1)
Пусть функция f(x) раскладывается на в ряд по заданной ортогональной системы функций (1) т.е. f(x) представится в виде : f(x) = ( и этот ряд сходится) C1 C2 + … Cn-1 + Cn + Cn+1 + … + 0 + … Сn = |
Интеграл Фурье Пусть функция f(X) определена на всей числовой прямой, причем абсолютно интегрируема на всей прямой. f(x) раскладывается в ряд Фурье в любом интервале [-l;l] Рассмотрим формулу (3) при
Интеграл стоящий в правой части формулы (4) называется интегралом Фурье для ф-ии f(x) |
Разложение непериодической функции на промежутке [0;] по cos и sin. Пусть функция опредедена на промежутке [0;]. Распределим [-;) четным образом (симметрия). f(x)=f(-x). Полученная функция будет четной и определенной на [-;], т.е. будет раскладываться в ряд Фурье по cos. Распределим ту же функцию на [-;) нечетным образом. Т.э. f(x)=-f(-x). Тогда полученная функция нечетная и определенная на на промежутке [-;) и раскладывается в ряд Фурье по sin. В обоих случаях получающиеся функции совпадают на промежутке (0;], т.е. соответствующие ряды Фурье на отрезке [0;] совпадают с искомой функцией. Рассмотрим функция f(x) определенную на отрезке [0;]. a0=ak=0, bk = == f(x)=sinx= Функция четная bk=0, a0 = ak = === f(x)=sinx= |
|
Преобразование Фурье
Функция F(a) называется косинус-преобразованием Фурье, а выражение, стоящее в правой части формулы (9а) называется обратным косинус-преобразованием Фурье.
Функция F(a) называется синус-преобразованием Фурье, а выражение, стоящее в правой части формулы (9а) называется обратным синус-преобразованием Фурье.
Интеграл Фурье в комплексной форме Формула (11) запишется в виде Преобразование (n) называется преобразованием Фурье, а преобразование (na) называется обратным преобразованием Фурье. |
25) Уравнения в частных производных. Волновое уравнение. Уравнение теплопроводности. Уравнение Лапласа. Начальные и граничные условия. |