У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

1Производная функции одной переменной и ее геометрический смысл.

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 25.2.2025

1)Производная функции одной переменной и ее геометрический смысл.

Производной функции в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента  стремится к нулю.

Итак, по определению

Производная функции есть некоторая функция , произведенная изданной функции.

 Производная  в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной. 

Если  точка касания М имеет координаты , угловой коэффициент касательной есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении можно записать  уравнение касательной .

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение нормали имеет вид  .

2)Дифференцируемость функции одной переменной, схема вычисления производной. Производная сложной функции.

Функция  , имеющая производную в каждой точке интервала  ,называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Вычисление производной функции  производится по следующей схеме :

1)Находим приращение функции на отрезке  , ;

2)Делим приращение функции на приращение аргумента :  ;

3)Находим предел , устремляя  к нулю.

.

Производная сложной функции.

Если функция имеет производную  в точке , а функция имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле .

3)Основные правила дифференцирования функции одной переменной.

Пусть функции - две дифференцируемые в некотором интервале  функции.

1)Производная суммы (разности) двух функций равна сумме(разности) производных этих функций:

2)Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

 

3)Производная частного двух функций    ,если  равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя  и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

.

4)Производная функции, заданной параметрически.

Пусть зависимость между аргументом  и функцией  задана параметрически в виде двух уравнений   ,где  - вспомогательная переменная ,называется параметром.

Найдем производную  ,считая , что функции  имеют производные и что функция  имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции .

Функцию   , определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:  .

Из всего этого получаем

5)Производная функции, заданной неявно.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения    ,не разрешенного относительно .

 Если неявная функция задана уравнением  , то для нахождения производной  от  по  нет необходимости разрешать уравнение относительно  : достаточно продифференцировать это уравнение по  ,рассматривая при этом  как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .

6)Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием. 

1)Логарифмируем обе части равенства с помощью натурального логарифма.

2)Используем свойства логарифма .

3)Дифференцируем обе части равенства по , с учетом что -сложная функция.

4)Выражаем ;

5).

7)Теоремы Ролля и Лагранжа. Геометрическая интерпретация этих теорем.

Теорема Ролля: Если функция  непрерывна на отрезке  , дифференцируема на интервале  и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная  обращается в нуль,  т.е. .

Геометрически  теорема Ролля означает, что на графике функции   найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси .

Теорема Лагранжа : Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка  такая, что выполняется равенство

.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции  найдется точка  , в которой касательная к графику функции параллельна секущей .

 




1. Доклад- Foreigner
2. Киниматика точек
3. Тема 11- Предмет структура методология и функции экономической теории
4. тематика рефератов по Психологии журналистики- 1
5. Организация основных трудовых процессов в растениеводстве
6. Реферат по психологии.html
7. Тематика контрольных работ по дисциплине Инновационный менеджмент Темы к
8. Разные элементы общего изображения могут располагаться на отдельных слоях следовательно можно редактиров
9. Мита на українських землях у складі Великого князівства Литовського та Польської держави Наприкінці ХІІ
10. Формування інтеграційної стратегії України