Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Составитель: Киселева И.В., 2013
Полное исследование функции и построение ее графика
Задача: провести полное исследование функции и построить ее график .
Алгоритм исследования функции
Определение 1. Область определения функции - множество, на котором задаётся функция.
Определение 2. Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.
Определение 3. Пусть задано отображение f, которое отображает множество X в Y, то есть: ; тогда
множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f), или dom f (от англ. domain «область»).
Правила нахождения области определения функции:
Пусть y=f(x) и y=g(x) - основные элементарные функции или их комбинации.
Для степенных функций вида , где n - четное, область определения находится из системы:
Для логарифмических функций вида область определения находится из системы:
Для дробей вида область определения находится из системы:
Для функций тангенса или котангенса вида tg(f(x)) или ctg(f(x)) область определения находится из систем соответственно:
или
Для функций арксинус или арккосинус вида arcsin(f(x)) или arccos(f(x)) область определения находится из системы (т.к. областью определения арксинуса и арккосинуса является отрезок от -1 до 1):
Для показательно степенных функций вида вида область определения находится из системы:
Область определения суммы (разности) функций вида находится из системы:
Область определения комбинации рассмотренных выше функций вида находится из системы:
|
Нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел. |
Определение 4. На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты, если односторонние пределы функции в этих граничных точках бесконечны.
|
В нашем примере граничными точками области определения являются . Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы: Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика. |
Определение 5. Функция является четной, если y(-x)=y(x) . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.
Определение 6. Функция является нечетной, если y(-x)= - y(x). Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.
Определение 7. Если ни одно из равенств (y(-x)=y(x), y(-x)= - y(x)) не выполняется, то функция является функцией общего вида.
|
В нашем примере выполняется равенство y(-x)=y(x), следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси Oy. |
Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.
Определение 8. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.
Определение 9. Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции:
Определение 10. Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена, и, проходя через которые, производная меняет знак.
|
Находим производную на области определения: Находим критические точки:
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим «+» над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим «-» и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим «+». Схематично плюсами/минусами отмечены промежутки где производная положительна/отрицательна. Возрастающие/убывающие стрелочки показывают направление возрастания/убывания. Делаем вывод: - функция возрастает на промежутке и на промежутке ; - функция убывает на промежутке и на промежутке . В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с «+» на «-» при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума (если бы производная меняла знак с «-» на «+», то мы имели бы точку локального минимума). |
Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно. Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.
Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции:
Определение 11. Точка называется точкой перегиба, если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через . Т.е. точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.
|
Находим вторую производную на области определения. Далее ищем нули числителя и знаменателя. В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя . Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка. Делаем вывод: - функция выпуклая на промежутке . - функция вогнутая на промежутке и на промежутке . В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак, проходя через точки ., а они не входят в область определения функции. |
Наклонные асимптоты имеют вид уравнения прямых: , где , . Если k=0 и , то наклонная асимптота станет горизонтальной. Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности.
|
=
Следовательно, - горизонтальная асимптота. |
Для более точного построения графика необходимо найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).
|
Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2 , х=-1 , ,. В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2 , х=1 , ,. . |
Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).
Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.