Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
58) Теорема. Ряд Фурье 2π-периодической непрерывной и кусочно гладкой функции сходится равномерно.
|
Рис.3 |
Рис.4, n = 35 |
Сходимость ряда Фурье в пространстве L2
Пространство L2 (−π, π) образовано функциями, удовлетворяющими условию
Будем говорить, что функция f (x) является квадратично интегрируемой, если она принадлежит классу L2. Если f (x) квадратично интегрируема, то
то есть частичные суммы fN (x) сходятся к f (x) в смысле среднего квадратичного.
Из равномерной сходимости ряда Фурье следует как сходимость в точке, так и сходимость в пространстве L2. Обратное утверждение неверно: сходимость в пространстве L2 не означает, что ряд Фурье сходится в точке или равномерно, и, аналогично, из сходимости в точке не вытекает равномерная сходимость или сходимость в пространстве L2.
Явление Гиббса
Если функция имеет разрыв второго рода в некоторой точке, то частичные суммы ряда Фурье будут осциллировать вблизи этой точки (смотрите рисунок 4 выше). Этот эффект называется феноменом илиявлением Гиббса. В любой точке разрыва второго рода амплитуда выбросов примерно на 18% (при ) превышает амплитуду скачка функции в точке разрыва.