околі точки х0 значення функції Fx містяться в як завгодно малому епсілоноколі точки А
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Границя:
Число А називається границею деякої функції F(x), коли аргумент прямує до х0 (ікс нульового), якщо для всіх точок х, відмінних від х0, що містяться в досить малому дельта-околі точки х0 значення функції F(x) містяться в як завгодно малому епсілон-околі точки А.
Якщо границі функцій F(x) і G(x) при х, що прямує до х0 існують і є скінченними, то виконуються правила:
- границя суми цих функцій дорівнює сумі їх границь;
- границя різниці цих функцій дорівнює різниці їх границь;
- границя добутку цих функцій дорівнює добутку їх границь;
- границя відношення цих функцій дорівнює відношенню їх границь, якщо границя дільника відмінна від нуля.
Для того щоб знайти границю елементарної функції, коли аргумент прямує до значення, що належить області визначення функції, треба замість аргумента в вираз підставити граничне значення аргументу. Це правило називається правилом граничного переходу.
Запам’ятайте деякі важливі границі:
- Границя частки одиниці і х дорівнює нулю, якщо х прямує до нескінченності.
- -Границя частки синуса х і х дорівнює одиниці, якщо х пярмує до нуля.
Границі функції застосовують для знаходження асимптот графіка функції:
- Пряма х = А є вертикальною асимптотою, якщо границя цієї функції дорівнюєнескінченності при аргументі, що прямує до А.
- Пряма у = В є горизонтальною асимптотою, якщо границя цієї функції дорівнює числу В при аргументі, що прямує до нескінченності.
- Пряма y = kx + b є похилою асимптотою, якщо границя відношення функції до її аргументу дорівнює числу k при аргументі, що прямує до нескінченності і якщо границя різниці функції і kx дорівнює числу b при аргументі, що прямує до нескінченності.
- Функція називається неперервною в деякій точці, якщо ця функція визначена в якому-небудь околі даної точки, і якщо границя приросту функції дорівнює нулю, коли приріст аргументу прямує до нуля.
- Сума скінченного числа функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.
- Різниця скінченного числа функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.
- Добуток скінченного числа функцій, неперервних в деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.
- Відношення двох функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці, якщо дільник не дорівнює нулю.
Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).
Дія знаходження похідної функції називається диференціюванням.
Похідна функції має такий фізичний зміст: похідна функції в заданій точці – швидкість зміни функції в заданій точці.
Похідна функції має такий геометричний зміст: похідна функції в заданій точці є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в цій точці, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці.
- Похідна степеневої функції дорівнює показнику степеня, помноженому на основу в степені, на одиницю меншу; (похідна функції у = xn дорівнює добутку n і xn-1);
- Похідна функції у = 1/x дорівнює одиниці, поділеній на х2, узятій зі знаком мінус;
- Похідна функції у = √x для додатних х дорівнює 1/(2√x);
- Похідна функції синус х дорівнює косинусу х;
- Похідна функції косинус х дорівнює синусу х, взятому зі знаком мінус;
- Похідна функції тангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса х;
- Похідна функції котангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат синуса х, взятій зі знаком мінус;
- Похідна показникової функції у = ах дорівнює цій функції, помноженій на натуральний логарифм основи ах∙ ln а;
- Похідна функції у = ех дорівнює самій функції, тобто ех;
- Похідна логарифмічної функції у = logax на її області визначення дорівнює 1/(х∙ ln а);
- Похідна функції у = ln x на її області визначення дорівнює одинці, поділеній на х .
Можна визначити похідні вищих порядків. Похідною n-го порядку (n-ною похідною) називається похідна від похідної (п – 1) порядку.