Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Векторы на плоскости и в пространстве. Линейная зависимость векторов.
Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными.
Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.
Очевидно, что если из трех векторов какие-либо два вектора коллинеарны, то эти три вектора компланарны.
Векторы (1) называются линейно зависимыми, если существует числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что (2).
Если же равенство (2) справедливо только при , то векторы (1) называются линейно независимыми.
Базис на плоскости: любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов этой плоскости.
Базис в пространстве: любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Всякий вектор однозначно разлагается по базису.
Т-ма: Всякий вектор на плоскости однозначно разлагается по базису.
Координаты вектора в данном базисе - коэффициенты разложения вектора по данному базису.
Признаки лин. зав. векторов на плоскости и в пространстве:
Теорема 1. Два вектора лин. зависимыкогда они коллинеарны.
Док-во:1.Пусть векторы и лин. зависимы: и из двух чисел по крайней мере одно отлично от нуля. Для определенности будем считать . Тогда и коллинеарны.
2. Обратно, пусть векторы и коллинеарны. Если , то справедливо равенство: и лин. зависимы. Если же , то по теореме (если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число , такое, что ) и лин. зависимы.
Теорема 2. Три вектора лин. зависимыкогда они компланарны.
Док-во:1. пусть векторы лин. зависимы: (*), где из трех чисел по крайней мере одно отлично от нуля. Возможны два случая.
А) Из трех векторов какие-либо два вектора коллинеарны. Тогда векторы компланарны.
Б) Из трех векторов никакие два неколлинеарны. Тогда в (*) каждое из чисел отлично от нуля и мы получаем: (**).
Возьмем направленные отрезки и . Три точки не лежат на одной прямой, поэтому существует единственная плоскость , проходящая через эти точки.
Строем отрезки и параллелограмм .
Имеем: .
Значит, (см. (**)). Векторы параллельны плоскости и, значит, компланарны.
2. Обратно, пусть векторы компланарны, т. е. параллельны одной плоскости . Возможны два случая.
А) Векторы и коллинеарны. Тогда по теореме 1. они лин. зависимы: , где по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Перепишем это равенство в виде: . Отсюда следует, что векторы лин. зависимы.
Б) Векторы и неколлинеарны ( значит,). Возьмем точку и отрезки (см. рис.). Точки принадлежат плоскости . Через точку проведем прямые и , обозначив . Тогда . Так как , то и по теореме (при n>1 векторы лин. зависимы когда один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы) заключаем, что векторы лин. зависимы.
Теорема3. Пусть векторы и неколлинеарны в некоторой плоскости . Тогда
Док-во: 1) , .
2) От противного:, где . Пусть
;
, что не может быть по условию.
Теорема 4. Пусть некомпланарные векторы. Тогда:
Док-во: 1)
,
(в силу теоремы 3)
.
и лежат в одной плоскости, тогда и лежит в этой же плоскости.
F
E
A
D
B
O
A
B
D
M
O