Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопросы 26-30
26.Свойства ранга матрицы:
27.Теорема о базисном миноре
Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.
28.Теорема Кронекера – Капелли(условие совместности системы)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*. Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1 + x2 + … + xn
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор.Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
29. Однородные системы линейных уравнений.
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n. Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.В линейном пространстве Vn множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.
Фундаментальная система решений.
Любые n – r линейно независимых решений системы (4.2) называются ее фундаментальной системой решений.
Определение .Фундаментальная система решений линейной однородной системы, в которой свободные неизвестные задаются по формулам (4.5), называется нормальной фундаментальной системой решений.
Свойство 1. Сумма решений системы (4.2) является ее решением.
Свойство 2. Столбец решений (4.2), умноженный на любое число, тоже есть решение этой системы.
Следовательно, любая линейная комбинация фундаментальной системы решений системы (4.2) является ее решением. Можно доказать и обратное утверждение:
Теорема 4.3(без доказательства). Любое решение однородной линейной системы (4.2) является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений.
Таким образом, любое решение системы (4.2) имеет вид: , где - фундаментальная система решений.
Структура общего решения неоднородной системы
Вспомним одно из свойств решений линейной неоднородной системы:
Если Х и У— два решения системы Ах=b, то вектор х-у— решение приведенной однородной системы.. Поскольку выражение задает все решения однородной системы, то для любых двух решений и неоднородной системы справедливо и, следовательно, выражение определяет любое решение неоднородной системы.
Таким образом доказана теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы.
Теорема. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейных уравнений мерньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде
где — произвольные константы, а — фундаментальная система решений однородной системы,у — некоторое известное (частное) решение неоднородной системы.
30. Теорема об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения
Опред.Уравнение вида y (n) + a1·y (n-1) + … + an·y = f (x) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением.
Теорема. Общее решение уравнения (1) представляется суммой какого – нибудь частного решения у * этого уравнения и общего решения z соответствующего однородного уравнения
z (n) + a1·z (n-1) + … + an·z = 0