Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Распределение Максвелла .
Максвелл исходил из естественного предположения о том, что число молекул d, скорости которых попадают в интервал от до + d, пропорционально общему числу молекул и ширине интервала d скоростей, зависит от значения скорости , вблизи которой берется интервал d, то есть: d = f()d, где f() - коэффициент пропорциональности, зависящий от значения скорости и называемый функцией распределения вероятностей молекул по значениям скорости.
f() = dd = dРd, где: dР = d - вероятность того, что скорость молекулы находится в интервале значений от до + d.
Функция же распределения f() = dРd есть плотность вероятности, т. е. удельная
(в расчёте на единичный интервал значений величины) вероятность, уже не зависящая от ширины интервала, и являющаяся функцией только значений самой величины (скорости, применительно к распределению Максвелла). В состоянии термодинамического равновесия функция распределения не зависит от времени и выражает устойчивое распределение вероятностей тех или иных значений статистической величины, характеристики макросистемы.
Для функции распределения справедливо условие нормировки, формально заключающееся в равенстве единице интеграла от неё по всей области задания её аргумента:
Это условие выражает собой вероятность достоверного события, а именно того, что соответствующая величина (в распределении Максвелла это скорость) хотя бы каким-то значением обладает. Естественно, что вероятность такого события равна 100 %, т. е. единице.
Максвеллом были получены следующие выражения для функций распределения молекул идеального газа по скоростям их теплового /хаотического/ движения:
А) по проекции скорости: f(х) = (mо2kТ)12
Б) по модулю скорости: f() = (mо2kТ)3242
где: mо - масса молекулы, k = 1,3810-23 Дж/К - постоянная Больцмана .
Абсолютная температура Т играет роль параметра функции распределения.
Максимум функции распределения Максвелла по модулю скорости приходится на значение, называемое наивероятнейшей скоростью нв, которое можно определить исходя из условия экстремума функции распределения: при = нв, dfd = 0 нв = (2kТmо) = (2RТМ).
Наивероятнейшая скорость однозначно определяется температурой, будучи пропорциональной ей. Температура здесь выступает в роли параметра, определяющего характерные черты функции статистического распределения молекул идеального газа по скоростям их теплового движения. Более нагретое тело обладает в среднем более быстро движущимися молекулами. График функции распределения вероятностей скоростей теплового движения у более нагретого тела сдвинут вправо, в область больших скоростей.
При нулевой температуре, согласно классической статистике Максвелла, тепловое движение прекращается, функция распределения стягивается в вертикальную линию с единственно допустимым нулевым значением скорости: х = 0 и = 0 [f() = () = 0, при 0].
Функция статистического распределения важна тем, что с её помощью можно
вычислять средние (статистически усредненные) значения любых величин, являющихся функциями её аргумента. Так, распределение Максвелла по модулю скорости позволяет определять такие важные статистические (усреднённые) характеристики теплового движения молекул, как среднюю арифметическую <> и среднюю квадратичную кв скорости молекул:
<> = (1 + 2 + … + ) = (1)= (1)= = (8kТmо) = (8RТМ),
кв2 = (12 + 22 + … + 2) = (1)= (1)= = (3kТmо) = (3RТМ) кв = 2 = (3kТmо) = (3RТМ).
Как видно из выражений для наивероятнейшей, средней арифметической и среднеквадратической скоростей молекул идеального газа: нв = (2kТmо), <> = (8kТmо) и кв = (3kТmо) их значения соотносятся как нв : <> : кв = 2 : 8/ : 3 = 1 : 1,13 : 1,22. Несовпадение максимума распределения с его средним значением говорит о несимметричности функции распределения. Тот факт, что среднее значение скорости смещено вправо (в область больших значений) по сравнению с наиболее вероятным (приходящимся на максимум функции распределения), говорит о том, что больше молекул движутся со скоростями превышающими наивероятнейшую.
Полученное выражение для квадрата среднеквадратичной скорости кв2 = (3kТmо) позволяет дать температуре трактовку меры средней кинетической энергии молекул идеального газа. Действительно, из него следует, что mо22 = 3kТ2 – средняя кинетическая энергия молекулы (её поступательного движения), зависит только от температуры газа.
В отличие от молекул идеального газа, молекулы реальных газов запасают наряду с кинетической энергией еще и потенциальную энергию.
Распределение Больцмана
В состоянии равновесия, т. е. в отсутствие внешних возмущающих воздействий, хаотически движущиеся молекулы идеального газа распределены по предоставленному им пространству равномерно, т. е. равновероятны любые их местоположения, любые значения координат молекул. Фактически, однако, молекулы всегда находятся в возмущающем поле силы тяжести, нарушающем их равномерное пространственное распределение. Больцманом было установлено, что для произвольного поля потенциальных сил, задаваемого потенциальной энергией Еп (х, у, z) распределение концентрации частиц подчиняется следующему экспоненциальному закону:
n = nое-ЕпkТ - распределение Больцмана,
где nо - равновесная концентрация молекул, соответствующая отсутствию возмущающего внешнего поля, то есть Еп (х, у, z) = 0.
Концентрация молекул экспоненциально убывает с ростом их потенциальной энергии; молекулы «стремятся» занимать места с наименьшей потенциальной энергией.
При Т , n nо – высокая температура равномерно разбрасывает молекулы.
Согласно экспоненциальному распределению Больцмана, молекулы идеального газа распределяются с большей плотностью там, где их потенциальная энергия меньше. Тепловое же движение стремится "разбросать" молекулы равномерно по всему пространству, выровнять их концентрацию во всём доступном им объёме. Распределение Больцмана позволяет, в частности, дать интерпретацию устойчивости земной атмосферы и получить известную из опыта барометрическую формулу. Т. к. в поле земного тяготения Eп = mоgh, то для молекул воздушного (атмосферного) столба распределение по высоте будет экспоненциально убывающим:
n = nое-m ghkТ, где nо - концентрация молекул воздуха на уровне моря, при h = 0 и Еп (h) = 0.
Поле силы тяжести и тепловое движение – два конкурирующих фактора, обусловливающих в своём противодействии динамически уравновешенное устойчивое состояние нашей атмосферы. Поле силы тяжести препятствует выбросу под действием теплового движения молекул в космос. Тепловое же движение не позволяет силе тяжести собрать все молекулы
на "дне воздушного океана". В итоге и создаётся некоторое неравномерное (экспоненциальное) распределение молекул по высоте.
Барометрическая формула Р = Рое-mghkТ, эмпирически описывающая экспоненциальный характер убывания атмосферного давления по мере увеличения высоты h от уровня моря, легко получается из распределения Больцмана, если вспомнить уравнение состояния идеального газа Р = nkТ. При Т = const, законы изменения Р и n должны быть одинаковыми. Таким образом, из распределения Больцмана n = nое-ЕпkТ - следует барометрическая формула Р = Рое-mghkТ.