Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет 15
дивергенция вектора в физике.
Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки
Оператор дивергенции обозначается так: div F.
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла
Физическая интерпретации
С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:
где Ф —поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат
точка поля является источником
точка поля является стоком
стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга
Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.
или
или
дифференциальная формулировка теоремы остроградского-Гаусса.
С помощью дифференциальной формы теоремы можно рассчитать электростатическое поле при произвольном пространственном распределении зарядов. В ней установлена связь между объемной плотностью заряда ρ и изменением в окрестности данной точки пространства.
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса, согласно которой поток вектора через любую замкнутую поверхность равен интегралу от его дивергенции по объему, охватываемому этой поверхностью, т.е. . Дивергенцией вектора (обозначается div) в какой либо точке поля называется, предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность S , охватывающую точку M , к объему ΔV части поля, ограниченной поверхностью S, при неограниченном уменьшении ΔV : .
Пусть заряд распределен в пространстве V, с объемной плотностью . Тогда по теореме Остроградского –Гаусса
; или ; .
Теперь устремим , стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом будет стремиться к ρ в данной точке, т.е.
Величину, являющуюся пределом отношения к V, при , называют дивергенцией вектора и обозначается . Тогда, по определению
. (11)
Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из этого определения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. В декартовой системе координат
(12)
Итак,
(13)
Это теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме.
Это уравнение свидетельствует о том, что источником электростатического поля являются свободные электрические заряды.
Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор (Набла)
(14)
где i, j, k –орты осей (единичные векторы).
Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается:
,
. (15)
Формула (2.4.5) это тоже дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса.
В тех точках поля, где –(положительные заряды) источники поля, где – стоки (отрицательные заряды). Линии выходят из источников и заканчиваются в стоках.