Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3. МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ПОКАЗНИКІВ НАДІЙНОСТІ
3.1. Деякі відомості з теорії ймовірностей та математичної статистики
Надійна робота техніки залежить від численних об'єктивних та суб'єктивних факторів, які часто знаходяться у складній взаємозалежності.
Об'єктивні фактори – це дія навколишнього середовища (температура, вологість тощо) та різних процесів (зношування, старіння, втомленість, навантаження та ін.).
Суб'єктивні фактори – це фактори, які певним чином залежать від діяльності людини: конструктивні рішення при проектуванні, вибір режимів нормальної експлуатації, організація системи технічного обслуговування та ремонту машин тощо.
Випадковість процесів, які призводять до порушення працездатності об'єктів, зумовлює відмови, зміну показників надійності, що також мають випадковий характер. Цим пояснюється застосування методів теорії ймовірностей та математичної статистики для визначення показників, які характеризують надійність об'єктів.
У теорії ймовірностей та математичній статистиці використовується ряд понять, основними з яких є: дослід (експеримент, випробування, спостереження), подія, ймовірність, випадкова величина.
Дослід (експеримент, випробування, спостереження) – це практичне створення відтворюваної сукупності умов, в яких спостерігається певне явище та фіксується результат. Дослід не обов'язково повинен бути поставлений людиною, він може відбуватись незалежно від неї. При цьому від людини залежить тільки рішення, що саме спостерігати та які параметри фіксувати.
Подія – явище, яке очікується в результаті досліду; воно може відбутися або не відбутися.
У теорії ймовірностей події поділяють на вірогідні, неможливі, випадкові, сумісні, несумісні, залежні, незалежні, рівноможливі.
Вірогідна – подія, яка обов'язково відбудеться в результаті даного досліду; неможлива – напевно не відбудеться в умовах досліду; випадкова – при досліді може відбутися або не відбутися.
Наприклад, підвищення твердості вуглецевої сталі після загартування, вібрація при роботі неврівноваженого ротора – це вірогідні події; згоряння у двигуні палива без виділення тепла – неможлива подія; відмова трактора в умовах звичайної експлуатації – випадкова подія.
Сумісні події – якщо при випробуванні одна подія не виключає появу іншої (наприклад, вигин та знос валу); несумісні – якщо одна з подій виключає появу інших в одному досліді (наприклад, нормальна робота масляного фільтра та забруднення фільтруючого елемента); залежні – коли настання однієї події зумовлюється появою (або непоявою) іншої (наприклад, відмова коробки передач трактора – це відмова трактора в цілому); незалежні – поява однієї з подій не залежить від появи (або непояви) іншої (наприклад, знос корінних шийок колінчастого вала); рівноможливі – не одна з подій не є можливішою ніж інші (знос гільз циліндрів, встановлених в одному двигуні).
Повною групою називають кілька несумісних подій, з яких при одному випробуванні настане хоча б одна. У випадку, коли повна група складається з двох подій, ці події називають протилежними. Подія протилежна даній А, позначається . Для повної групи подій достатньо мати дві несумісні події – А і . Прикладом протилежних подій є запускання та незапускання двигуна.
Ймовірність чисельно характеризує можливість появи (або непояви) події, яка вивчається. Розрізняють математичну (або теоретичну) та дослідну (або статистичну) ймовірності.
Математична ймовірність події – це відношення кількості випадків, які сприяють появі даної події, до загальної кількості всіх можливих подій.
Математична ймовірність події А визначається за формулою:
, (3.1)
де Ρ(А) – математична ймовірність події А; М – кількість випадків, які сприяють появі події А; N – кількість всіх можливих подій випробування (несумісних, вірогідних та рівноможливих).
Ймовірність події виражають позитивним числом із значеннями від нуля до одиниці, тобто чи у відсотках .
Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці, неможливої – нулю.
При вирішенні технічних задач мають справу не з достовірними або неможливими, а з практично вірогідними та практично неможливими подіями.
Практично вірогідною називають подію, ймовірність якої наближена до одиниці, практично неможливою – подію, ймовірність якої наближена до нуля. Ці події в одному досліді (або випробуванні) завжди супроводжують одна одну.
При випробуванні машин на надійність визначити математичну ймовірність появи значення показника надійності сільськогосподарської техніки практично неможливо, тому обмежуються визначенням статистичної ймовірності (або відносної частоти).
Статистичною ймовірністю (або відносною частотою) події називають відношення кількості випадків появи події до загальної кількості фактичних дослідів.
Статистична ймовірність W(А) визначається за формулами:
або , (3.2)
де m – кількість появ події А; n – загальна кількість дослідів.
Приклад 3.1. При випробуванні 50 тракторів протягом 2000 мото-год сталися: 5 відмов двигунів, 4 відмови коробок передач (КП). Яка статистична ймовірність відмови коробки передач та двигунів за період випробування?
Розв'язання. Кількість появи подій (відмов) КП m=4; загальна кількість дослідів (об'єктів) n=50.
Підставивши значення до формули (3.2), отримують: , або 8 %, тобто статистична ймовірність відмови коробок передач тракторів за 2000 мото-год становить 0,08 (або 8 %), а двигунів (або 10 %).
Співставляючи визначення ймовірності математичну ймовірність події визначають розрахунковим шляхом, без випробувань, до досліду. Визначення статистичної ймовірності дає змогу припустити, що випробування проводились фактично, а розрахунок виконується після досліду.
Дослідна ймовірність появи певного показника надійності являє собою кількість об'єктів (у частках або, відсотках від загальної кількості об'єктів, які випробуються), які реалізують ці ж значення показника при наступному випробуванні.
Наприклад, якщо при спостереженні за достатньо представницькою групою однотипних об'єктів (трактори однієї марки, які експлуатуються в одному агропідприємстві) було встановлено ймовірність W=0,25 появи ресурсної відмови ходової частини до напрацювання 3000 мото-год, тоді з достатньою точністю можна розрахувати, що 25% тракторів цієї марки потребують ремонту до напрацювання 3000 мото-год при експлуатації (або випробуванні) їх в аналогічних умовах.
Для визначення ймовірностей складних подій, наприклад, появи однієї з кількох сумісних або несумісних подій, чи одночасному здійсненні кількох незалежних подій, використовують формули додавання та множення ймовірностей.
Формула (теорема) додавання ймовірностей дає змогу визначити ймовірність появи однієї події з групи однорідних подій.
Для несумісних подій вона має такий вигляд:
, (3.3)
де – ймовірність появи події А1, А2 або Аn; Α1, А2, Аn –попарно несумісні події; – ймовірності подій Α1, А2, Аn, відповідно.
Для двох сумісних подій:
, (3.4)
де АВ – сумісні події А і В; Р(А+В) – ймовірність появи події А або події В; Ρ(Α), Ρ(В) – ймовірності появи події А чи події В, відповідно; Ρ(АВ) – ймовірність сумісної появи подій А і В.
Приклад 3.2. В результаті випробувань встановлено, що ймовірність відмови ножного гальма автомобіля на 100 тис. км пробігу 0,05, а ймовірність відмови ручного гальма – 0,01. Визначити ймовірність відмови гальмової системи автомобіля.
Розв'язання. Оскільки відмова ножного та ручного гальма може відбутися одночасно, тобто ці події сумісні, для визначення відмови системи в цілому використовується формула (3.4).
Підставивши значення, отримаємо:
.
Формула (теорема) множення ймовірностей дає змогу визначити ймовірність сумісної появи кількох незалежних подій.
Зокрема, для незалежних подій вона має вигляд:
, (3.5)
де Ρ(Α1, А2, ... Аn) – ймовірність сумісної появи подій A1, А2, Аn; А1,
А2, … Аn – незалежні події; Ρ(Α1), Ρ(А2), Ρ(Аn) – ймовірності події А1, А2, Аn відповідно; Ρ(Аі) – ймовірність події Аі.
Приклад 3.3. За спостереженнями, ймовірність безвідмовної роботи коробки передач трактора становить 0,80, а двигуна – 0,75. Визначити ймовірність безвідмовної роботи трактора.
Розв'язання. При розгляді безвідмовної роботи коробки передач та двигуна як незалежних одна від одної подій, за формулою (3.5) визначаємо ймовірність безвідмовної роботи трактора:
.
Випадкова величина – це змінна величина, яка в результаті досліду може приймати різні, заздалегідь невідомі значення.
Основними параметрами, які характеризують роботу об'єктів у часі і використовуються для оцінки їх надійності, є випадкові величини. Це пояснюється розсіюванням характеристик машин, різними умовами експлуатації та якістю обслуговування.
Випадкові величини поділяють на дискретні (перервні) та неперервні.
Дискретними називають випадкові величини, які приймають лише кінцеві, цілочисельні значення (кількість відмов, які виникають протягом будь-якого напрацювання, кількість ремонтів та ін.).
Неперервні випадкові величини приймають будь-які значення з певного скінченого або нескінченого інтервалу (напрацювання об'єкта до відмови, величина зносу деталей та ін.).
Поняття випадкової величини пов'язано з поняттям розподілу.
Для повної характеристики випадкової величини разом з її можливими значеннями потрібно вказувати, наскільки часто вона ці значення приймає, тобто навести розподіл випадкової величини.
Розрізняють емпіричний (дослідний) та теоретичний розподіли.
В емпіричних розподілах можливі значення випадкових величин оцінюються статистичними ймовірностями (відносними частотами), отриманими в результаті випробувань, у теоретичних – математичними ймовірностями, визначеними згідно з обраною математичною моделлю розподілу – теоретичного закону розподілу.
Співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин та відповідними цим значенням ймовірностями, називають законом розподілу.
За законом розподілу визначається ймовірність появи випадкової величини у будь-якому інтервалі її можливих значень, це потрібно для розв'язання практичних інженерних завдань.
Повну характеристику емпіричного розподілу дає ряд розподілу (статистичний ряд), який подається як таблиця, де наведено інтервали значень випадкової величини; кількість значень випадкової величини, які потрапляють у даний інтервалу з частотою m, та дослідною (статистична) ймовірністю (табл. 3.1).
Таблиця 3.1. Статистичний ряд розподілу випадкової величини
|
Інтервал значень випадкової величини |
... |
|||
|
Частота mі, |
m1 |
m2 |
... |
mk |
|
Дослідна ймовірність, , |
W1 |
W2 |
... |
Wk |
|
Нагромаджена дослідна ймовірність , |
W1 |
W1+W2 |
... |
W1+W2+...+Wk~1 |
Примітки: h – ширина інтервалу; k – кількість інтервалів; n – загальна кількість дослідів (об'єктів при випробуванні).
Графічно емпіричний розподіл зображено як ступінчастий графік (рис.3.1) – гістограма (для неперервних величин); як многокутник – полігон (для дискретних величин); як ламана лінія – кумулята (крива накопичених ймовірностей).
Ряд розподілу та його графічні інтерпретації є зручною формою зображення тільки для емпіричного розподілу, оскільки кількість значень випадкової величини, визначеної при випробуванні, кінцева.
Для характеристики розподілу випадкової величини, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий інтервал та кількість їх необмежена, ці способи уявлення закону розподілу неприпустимі.
Рис. 3.1. Графічне зображення емпіричних розподілів: а – гістограма для неперервних величин; б – полігон для дискретних величин; в – кумулята
Універсальний спосіб завдання закону розподілу випадкової величини будь-якої природи полягає у використанні функцій розподілу. Вони можуть мати графічну форму або бути у вигляді явної функціональної залежності, де аргумент – значення випадкової величини, а функція – математична ймовірність цих значень випадкової величини.
У надійності найчастіше застосовують два типи функцій розподілу – інтегральну F(x) та диференціальну f(х).
Інтегральна функція або функція нагромадження математичної ймовірності – це ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, яке менше за певну задану величину х, тобто:
.
Функції F(x) притаманні властивості, які витікають з її імовірнісної природи.
1. Функція розподілу будь-якої (перервної чи безперервної) випадкової величини є неспадна функція, значення якої обмежені нулем та одиницею, тобто , крім того:
; .
2. Ймовірність перебування випадкової величини в інтервалі [X1; Х2] визначається як різниця значень функції розподілу, отриманих у верхній і нижній межах інтервалу, тобто:
. (3.6)
Інтегральна функція розподілу може характеризувати як дискретні, так і неперервні випадкові величини.
Функцію розподілу можна зобразити як аналітично, так і графічно. Приклади графіків дискретних і неперервних інтегральних функцій розподілу наведені на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Функція розподілу випадкових величин: а – розподіл дискретної випадкової величини; б – розподіл неперервної випадкової величини; в – визначення ймовірності перебування випадкової величини в інтервалі [х1; х2]
Диференціальна функція розподілу випадкової величини f(х), яку називають також щільністю розподілу, – це перша похідна від інтегральної функції, тобто .
Слід зазначити, що для дискретної випадкової величини функція щільності розподілу не існує, оскільки інтегральна функція дискретної величини неперервно не диференціюється.
Диференціальна функція має такі основні властивості:
1. Щільність розподілу невід'ємна, тобто:
.
Геометрично це означає, що точки графіка функції, розташовані на осі X і над нею.
2. Невластивий інтеграл від диференціальної функції у нескінчених межах (від – до +) дорівнює одиниці, тобто:
. (3.7)
У графічному зображенні це означає, що вся площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю абсцис і графіком диференціальної функції, дорівнює одиниці.
3. Інтеграл від щільності розподілу в інтервалі від – до будь-якого X дорівнює функції розподілу, визначеної для X, тобто:
. (3.8)
У практичних дослідженнях випадкових величин звичайно визначається ймовірність того, що випадкова величина не вийде за межі заданого інтервалу значень.
У таких випадках застосовується формула, яка пов'язує диференціальну та інтегральну функції:
. (3.9)
У графічній інтерпретації ймовірність того, що випадкова величина х приймає значення в інтервалі [а; b], є частиною площі під графіком, обмежена прямими х=а і х=b та віссю абсцис.
Графік диференціальної функції називають кривою розподілу. Приклади кривих розподілу та ілюстрація властивостей диференціальної функції наведено на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Приклади графіків диференціальної функції розподілу:
а – щільність розподілу необмеженої випадкової величини; б – щільність розподілу випадкової величини, значення якої обмежені інтервалом [Х1; Х2]; в – зв'язок щільності і функції розподілу; г – ймовірність перебування випадкової величини в інтервалі [а; b]
На практиці найчастіше немає потреби застосовувати повний опис випадкової величини функцією ймовірності або графіком, оскільки це пов'язано зі складними експериментами, значними витратами часу, затратами праці і коштів. При вирішенні певних задач щодо оцінки надійності об'єктів можна не володіти точними законами розподілу випадкових величин, достатньо знати числові характеристики розподілу, визначення яких значно простіші за закон розподілу.
Числові характеристики, обчислені за отриманими в процесі випробування значеннями випадкової величини, називають емпіричними характеристиками (статистичними оцінками), а визначені за теоретичними законами розподілу – параметрами розподілу.
До основних статистичних характеристик, які описують розподіл випадкової величини, належать характеристики положення (математичне сподівання або середнє значення, мода, медіана) і характеристики розсіювання (дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації).
Характеристики положення фіксують місце випадкової величини на числовій осі, тобто визначають певне орієнтовне значення випадкової величини, біля якого збігаються її можливі значення.
Математичним сподіванням випадкової величини називається сума добутків всіх можливих значень випадкової величини на відповідні їм ймовірності.
Для дискретної випадкової величини формула визначення математичного сподівання має вигляд:
, (3.10)
де М(х) – математичне сподівання; хі – і-е значення випадкової величини; Рі – ймовірність і-го значення випадкової величини.
Для неперервно випадкової величини:
. (3.11)
де f(х) – щільність розподілу випадкової величини х.
Статистичну оцінку математичного сподівання за дослідними даними називають середнім арифметичним, або середнім зваженим значенням.
Середня арифметична проста величина визначається за формулою:
, (3.12)
де Хі – отримані під час досліду і-і значення випадкової величини; n – число дослідів.
Середня арифметична зважена підраховується тоді, коли серед отриманих у дослідах значень випадкових величин є однакові, які повторюються кілька разів:
, (3.13)
де mi – частота (кількість) появ повторюваного і-го значення у дослідах; Хі – і-е значення випадкової величини; – кількість дослідів.
Враховуючи, що відношення mi/n визначає дослідну ймовірність і-го значення випадкової величини, формула (3.13) матиме такий вигляд:
, (3.14)
де Wi – дослідна ймовірність і-го значення випадкової величини х.
Мода (Мо) дискретної випадкової величини – таке значення випадкової величини, якому відповідає максимальна щільність її розподілу.
Мода емпіричної сукупності – значення випадкової величини, яке зустрічається найчастіше (з найбільшою частотою).
Медіана (Ме) теоретичного розподілу – значення випадкової величини, відносно якого рівноймовірно отримати більше чи менше значення випадкової величини, тобто:
.
Медіана емпіричної сукупності – значення випадкової величини, відносно якого впорядкований у порядку зростання (або спадання) ряд отриманих під час досліду значень поділяється на дві частини, рівні за кількістю членів.
Характеристики розсіювання визначають ступінь розкиду випадкової величини відносно центра розподілу – математичного сподівання (середнього значення).
Дисперсія – випадкової величини – це математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання.
Для дискретної величини дисперсія визначається як сума:
, (3.15)
де DХ – дисперсія випадкової величини; МХ – математичне сподівання випадкової величини; xi – і-е значення випадкової величини; Pі – ймовірність i-го значення випадкової величини.
Для неперервної випадкової величини формула визначення дисперсії така:
, (3.16)
де f(х) – щільність розподілу випадкової величини х.
Емпірична дисперсія – величина, яка характеризує відхилення зафіксованих у дослідах значень від їх середнього значення.
Формула для визначення дисперсії при кількості спостережень менше двадцяти п'яти (n<25) має такий вигляд:
, (3.17)
де S2 – емпірична дисперсія; mi – частота і-го значення випадкової величини; xi – i-е значення випадкової величини; – середнє значення; n – кількість спостережень.
При кількості спостережень більше 25 застосовується формула:
. (3.18)
Для зручності замість дисперсії використовується її додатній квадратичний корінь. Ця величина називається середнім квадратичним відхиленням:
, (3.19)
де σ – середнє квадратичне відхилення випадкової величини; DХ – дисперсія випадкової величини.
Підставивши формули (3.15–3.18) до формули (3.19), отримаємо:
– для дискретної випадкової величини
; (3.20)
– для неперервної випадкової величини
. (3.21)
Емпіричне середнє квадратичне відхилення визначається за формулами:
– для n<25
; (3.22)
– для n25
. (3.23)
Дисперсія і середнє квадратичне відхилення є абсолютними характеристиками розсіювання випадкової величини.
Розсіювання у відносних одиницях (частках одиниці чи відсотках) характеризується коефіцієнтом варіації Vх, який визначається як відношення середнього квадратичного відхилення σх до математичного сподівання МХ:
. (3.24)
Для емпіричного розподілу коефіцієнт варіації дорівнює:
. (3.25)
3.2. Характеристика основних законів розподілу показників надійності
У теорії надійності найчастіше застосовують такі закони розподілу: нормальний (Гаусса), Вейбулла-Гнеденка, експоненціальний – для неперервних величин та біномний і Пуассона – для дискретних величин. Також використовуються ряд інших законів розподілу – хі-квадрат (χ2), гамма – розподіл, логнормальний та ін.
Закон нормального розподілу (або нормальний закон Гаусса) використовується найчастіше у технічних системах. Він займає особливе місце і в теорії ймовірностей та теорії надійності. Особливість нормального розподілу – симетричне розсіювання окремих значень випадкової величини відносно середнього значення.
Диференціальна функція нормального розподілу визначається за формулою:
, (3.26)
де σх – середнє квадратичне відхилення випадкової величини х;
– математичне сподівання випадкової величини х;
Величини та σх називають параметрами розподілу.
Значення диференціальної функції нормального закону розподілу наведені в додатку А табл 1
Випадкова величина, підпорядкована закону нормального розподілу, має три властивості: однакові додатні та від'ємні відхилення від середнього рівноможливі; менші відхилення ймовірніші, ніж більші; досить великі відхилення від середнього значення малоймовірні.
Диференціальна крива, яка відповідає нормальному закону, має дзвоноподібний вигляд і є симетричною відносно ординати, проведеної в точці х= (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Диференціальна форма нормального закону розподілу
Характерні загальні риси кривих нормального розподілу, наведені на рис. 3.5. Основні з них наступні:
1. При значенні крива асимптотичне наближається до осі абсцис і йде у нескінченість.
2. Максимум кривої відповідає по осі абсцис математичному сподіванню, по осі ординат – величині, яка дорівнює . Щільність розподілу знижується з віддаленням від математичного сподівання (середнього значення).
Рис.3.5. Графічне зображення деяких властивостей кривої нормального розподілу
3. Зі зменшенням значення середнього квадратичного відхилення крива витягується уверх, одночасно стискаючись з боків; при збільшенні σх стає більш плоскою, розтягуючись вздовж осі абсцис (в обох випадках обмежуючи одиничну площу).
4. Ймовірність відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання (середнього значення) не більше ніж на ±3σх і дорівнює 99,73 %, тобто практично всі значення випадкової величини перебувають в інтервалі МХ±3σх (правило трьох сигм).
Інтегральна функція нормального розподілу має вигляд:
, (3.27)
Інтеграл, який входить до формули (3.27), у скінченому вигляд не береться. Значення інтегральної функції визначається за допомогою центрованої і нормованої функції F0(х) із співвідношення:
. (3.28)
Інтегральна функція табульована, її значення, наведені у додатку А,
табл. 2А.
Для обчислення F0(х) при від'ємних значеннях х використовується вираз:
. (3.29)
Ймовірність того, що випадкова величина, підвладна закону нормального розподілу при випробуваннях, прийматиме значення у межах від Х1 до Х2, може бути визначена так:
. (3.30)
Приклад 3.4. Визначити відсоток двигунів, що відмовили, до напрацювання 2500 мото-год, якщо відомо, що доремонтний ресурс розподілений за нормальним законом з параметрами: =3000 мото-год і Sх=300 мото-год.
Розв'язання. За формулою (3.30):
;
;
.
Визначаємо (додаток 1А, табл.1), тоді .
Це означає, що до напрацювання 2500 мото-год можлива втрата працездатності у 5 % двигунів.
F0(х) звичайно обчислюють для зручних значень х. Наприклад, 0,8; 0,9; 0,95; 0,98; 0,99; 0,999 та ін.
Можна вчинити навпаки, тобто виписати прийняті для аналізу значення F0(х), які дорівнюють 1, 2, ..., n, і визначити відповідні їм значення . Такі значення називають квантилями.
Наприклад, , де – прийняті значення функції F0(х); V – квантиль.
Значення квантилей наведено у додатку А, табл. 3А.
Приклад 3.5. Якщо і , тоді визначаємо (додаток, табл. 3) квантиль і . Потрібно обчислити ймовірність зміни від до , тобто ймовірність того, що .
Визначаємо (додаток, табл. 3) ; або .
Таким чином, квантилі та визначають область зміни випадкової величини х, ймовірність влучення в яку дорівнює 0,04.
Зрізаний нормальний розподіл – це розподіл, в якому будь-яка випадкова величина х з обох боків обмежена певними значеннями.
Логарифмічний нормальний розподіл – розподіл випадкової величини у, десятковий логарифм якої розподіляється за нормальним законом: при цьому за формулою (3.26) .
Експоненціальний (показниковий) розподіл широко застосовують при розв'язанні питань надійності.
Неперервна випадкова величина розподілена за експоненціальним законом, якщо її щільність розподілу ймовірності (рис. 3.6, а) при має вигляд:
, (3.31)
де – постійна величина (коефіцієнт).
Рис. 3.6. Експоненціальний закон розподілу випадкових величин: а – щільність розподілу; б – функція розподілу
Функцію розподілу (рис. 3.6, б) визначають за формулою:
. (3.32)
Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення випадкової величини х такого розподілу – це величина, обернена коефіцієнту :
.
Розподіл Реллея характеризується тим, що щільність розподілу випадкової додатної величини має вигляд:
. (3.33)
Інтегральна функція розподілу Реллея дорівнює:
. (3.34)
Розподіл Вейбула-Гнеденка. Диференціальна функція розподілу Вейбулла-Гнеденка має вигляд:
, (3.35)
де а і b – параметри розподілу і зображена на рис. 3.7.
Зазначимо, що при розподіл Вейбулла-Гнеденка збігається з експоненціальним розподілом, а при – з розподілом Реллея.
Рис. 3.7. Диференціальна форма розподілу Вейбулла-Гнеденка
Інтегральна функція розподілу Вейбулла-Гнеденка дорівнює:
. (3.36)
Гамма – розподіл у теорії надійності набув широкого застосування. Диференціальна функція його розподілу має вигляд:
, (3.37)
де F(x) – гама-функція (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Диференціальна форма гамма-розподілу
Розподіл Пуассона. При розв'язанні практичних задач надійності часто застосовують розподіл дискретних випадкових величин за законом розподілу Пуассона. Наприклад, якщо у початковий період експлуатації виробу (період припрацювання) потік відмов нестаціонарний, то після закінчення періоду припрацювання потік відмов стає стаціонарним, отже, простішим, пуассонівським.
Ймовірності частоти подій, які рідко бувають при певній кількості випробувань, для розподілу Пуассона визначають за формулою:
, (3.38)
де m – частота даної події; n – кількість випробувань (спостережень); Ρ –ймовірність подій при одному випробуванні; – математичне сподівання випадкової величини.
Значення Рm наведені у додатку, табл. 4.
Для розподілу Пуассона дисперсія дорівнює математичному сподіванню.
Якщо у рівнянні (3.38) і , то це буде рівняння експоненціального закону розподілу, який є окремим випадком закону розподілу Пуассона.
Закон біноміального розподілу, як і закон розподілу Пуассона, має практичне значення для дискретних випадкових додатних величин. Наприклад, його застосовують при проведенні серії послідовних незалежних випробувань, кожне з яких закінчується одним з двох несумісних між собою результатів – або подія А настає, або не настає.
Ймовірність появи події А у кожному випробуванні дорівнює р, а ймовірність її відсутності дорівнює . Оскільки випробування незалежні, ймовірність появи чи відсутності А не залежить від результатів попередніх випробувань.
За такою схемою випробувань ймовірність появи події А задану кількість разів підпорядковано закону біноміального розподілу, який формулюється так: якщо ймовірність події А постійна у серії послідовних незалежних випробувань і дорівнює р, то ймовірність появи події А m разів у n випробуваннях становитиме:
. (3.39)
Математичне сподівання M(m) і дисперсія σ2(m) біноміального розподілу відповідно дорівнюють:
; (3.40)
. (3.41)
Якщо замість випадкової величини m розглядати випадкову частість , то з рівняння (3.40) та (3.41) отримаємо:
; (3.42)
. (3.43)
Композиція законів розподілу. На практиці при аналізі надійності найчастіше мають справу зі складними об'єктами, в яких можливі різні фізичні причини відмов окремих елементів об'єкта. Різні види відмов підвладні своїм специфічним законам розподілу. Наприклад, випадкові раптові відмови в основному підпорядковані експоненціальному закону розподілу (табл. 3.2).
Так, у складних об'єктів закони розподілу відмов і несправностей – це сполучення багатьох різних розподілів.
Якщо випадкова величина являє собою суму незалежних випадкових величин, кожна з яких підпорядкована своєму закону розподілу, то закон розподілу суми визначається за законами розподілу доданків.
Припускається, що є кілька незалежних випадкових величин: х; у; z, яким відповідають щільності розподілу ймовірностей: f(х); f(y); f(z).
Таблиця 3.2. Характеристики основних законів розподілу показників надійності
|
Розподіл щільності ймовірностей |
Статистичні характеристики |
|||
|
Закон |
Графічне зображення |
Математичний вираз |
Математичне сподівання |
Середнє квадратичне відхилення |
|
Експоненціальний (однопараметричний) |
, де – показник розподілу |
–1 |
–1 |
|
|
Нормальний Гаусса (двопараметричний) |
, де МХ – математичне сподівання; – середнє квадратичне відхилення |
S |
||
|
Вейбулла-Гнеденка (трипараметричний) |
, де а, b, c – відповідно параметри масштабу форми та зсуву |
аКв+с, де Кв – допоміжний коефіцієнт Вейбулла |
аСв, де Св – коефіцієнт Вейбулла |
Складна величина u дорівнює сумі незалежних випадкових величин: .
Якщо x; y; z – випадкові величини, то їх сума також буде випадковою величиною, а її щільність розподілу ймовірностей становитиме .
Закон розподілу величини u – це композиція законів розподілу величин Х; Υ; Ζ. Композиція може існувати для будь-якого числа випадкових величин.
Композиція законів розподілу має певні загальні та окремі властивості. Загальні властивості композицій не залежать від виду законів розподілу, що розглядаються.
Наприклад, математичне сподівання (середнє значення) та дисперсія композиції розподілу відповідно дорівнюють сумі математичних сподівань незалежних випадкових величин, які утворюють складну випадкову величину.
Окремі властивості застосовують тільки до певних законів розподілу. Наприклад, композиція випадкових величин з нормальним розподілом – це також нормальний розподіл, композиція розподілів Пуассона – це розподіл Пуассона тощо.
Якщо маємо велику кількість розподілів (з однаковими або різними законами розподілу) за умовою, що дисперсії складових розподілів мають незначні відмінності, тоді розподіл їх композиції буде наближений до нормального. Це положення в теорії імовірностей називається центральною граничною теоремою.
3.3. Збирання та обробка інформації про надійність технічних об'єктів
Збирання, обробка та аналіз інформації про надійність пов'язані з необхідністю дослідження випадкових подій.
Загальні вимоги до інформації про надійність такі: повнота інформації, вірогідність, однорідність, дискретність (дані за окремими ознаками), своєчасність та ін.
При статистичній оцінці основних характеристик надійності вивчаються сукупності об’єктів та явищ, об'єднаних єдиною ознакою або властивістю (наприклад, деталі можуть утворювати сукупності за різними ознаками: розмірами, відхиленнями за формою, зносами та ін.; машини – за довговічністю тощо). При цьому деталі, складальні одиниці, системи машин є об'єктами (елементами) сукупності.
Статистична сукупність складається з однорідних об'єктів, які мають якісну спільність.
У випадках, коли мають справу з кількісною ознакою, її називають статистичною змінною або за означенням теорії ймовірностей – випадковою величиною.
Для кожного об'єкта (елемента) сукупності, складеної з кінцевого числа об'єктів, за допомогою спостережень визначаються відповідні значення випадкової величини, які називають спостереженим значенням випадкової величини.
Якщо сукупність містить велику кількість об'єктів або дослідження об'єкта пов'язано з його руйнуванням, з всієї сукупності враховують обмежену кількість об'єктів і вивчають їх. При невеликій кількості об'єктів обстежують кожний з них залежно від ознаки, що цікавить.
Генеральна, або загальна сукупність містить усі досліджувані об'єкти (значення показників надійності), з яких вибирають необхідні для спостереження.
Вибірка, або вибіркова сукупність – певна кількість об'єктів (значення показників надійності), відібраних із сукупності, що досліджується, для отримання відомостей про генеральну сукупність.
Вибірка у всіх своїх частинах повинна бути подібна до генеральної сукупності, щоб на її підставі можна було достатньо впевнено робити висновок про ознаку генеральної сукупності. Основна вимога при цьому: вибірка повинна бути представницькою (репрезентативною), коли кожний об'єкт вибирають випадково, всі об'єкти мають однакову ймовірність потрапити до вибірки.
Об'єм сукупності (генеральної або вибіркової) – це кількість об'єктів цієї сукупності.
Об'єм вибірки – кількість об'єктів спостереження, які складають вибірку.
Система збирання і обробки інформації про надійність нових або відремонтованих виробів, які виготовляють серійно, приладо- та машинобудування являють собою сукупність організаційно-технічних заходів щодо отримання необхідних відомостей про надійність.
Метою системи збирання та обробки інформації про надійність виробів є: конструктивне удосконалення виробів для підвищення їх надійності; удосконалення технології виготовлення, складання, контролю й випробувань, спрямованих на забезпечення та підвищення надійності; розробка заходів щодо додержання правил експлуатації й підвищення ефективності технічного обслуговування; розробка заходів, спрямованих на підвищення якості ремонтів і зниження витрат на їх проведення.
Задачами системи збирання та обробки інформації про надійність є:
– визначення та оцінка показників надійності об’єктів;
– виявлення конструктивних і технологічних недоліків об’єктів, які знижують надійність;
– встановлення деталей та складальних одиниць, які обмежують надійність готових виробів;
– визначення закономірностей виникнення відмов;
– встановлення впливу умов і режимів експлуатації на надійність виробів;
– коригування показників надійності, що нормуються;
– оптимізація норм витрати запасних частин, виявлення недоліків експлуатації та вдосконалення системи технічного обслуговування й ремонту;
– визначення ефективності заходів, спрямованих на підвищення надійності виробів до оптимального рівня.
Обробка результатів експериментальних спостережень виконується у такій послідовності:
– за дослідними даними будується емпірична крива;
– обчислюють характеристики емпіричного розподілу;
– висувається одна з кількох гіпотез про функцію щільності випадкової величини, що досліджується, виходячи з зовнішнього вигляду експериментальної кривої та значень її характеристик розподілу та факторів, які впливають на її вигляд;
– емпірична крива вирівнюється за однією або послідовно за кількома теоретичними кривими (теоретичні частоти випадкових величин визначають за відповідними формулами і таблицями);
– емпірична і теоретична (апроксимована (вирівняна) емпірична) криві порівнюються за одним із критеріїв узгодження;
– визначається функція (закон) для даного розподілу з урахуванням найкращої узгодженості емпіричної та теоретичної кривих.
Можна розв'язати і обернену задачу, вирівнюючи емпіричний розподіл за теоретичними (параметри теоретичні) і порівнюючи їх за одним з критеріїв узгодження.
Критерії узгодження. Часто постає необхідність визначити, є розбіжність між емпіричним законом розподілу і припущеним (теоретичним) результатом обмеженої кількості спостережень. Можливо ця розбіжність суттєво пов'язана з тим, що дійсний розподіл випадкової величини відрізняється від припущеного. Щоб дати відповідь на ці питання, використовують критерії узгодження – критерії перевірки гіпотези про припущений закон невідомого розподілу.
Найпростішим критерієм узгодження є критерій , запропонований академіком А.М. Колмогоровим.
При використанні цього критерію припускають, що розподіл статистичних даних в більшості випадків має, зокрема, характер нормального розподілу. За параметри розподілу приймають відповідні характеристики вибірки.
Приймається, що параметри теоретичного розподілу, дорівнюють параметрам емпіричного розподілу, тоді теоретичні частоти miтеор будь-якого значення х в емпіричному розподілі обчислюються за формулою:
або , (3.44)
де х або h – ширина (ціна) інтервалу або гранична різниця розмірів в інтервалі.
Значення f(х), обчислені для різних величин, наведено у додатку А, табл. 1А.
За обчисленими частотами будують теоретичні криві розподілу. З середини інтервалів, відкладених на осі абсцис, проводять ординати, рівні обчисленим теоретичним частотам. Кінці ординат з'єднують плавною суцільною лінією.
Близькість теоретичних частот до емпіричних дає змогу орієнтовно стверджувати, що емпірична крива розподілу в основному підпорядковується закону нормального розподілу.
За емпіричними та можливими теоретичними частотами розподілу обчислюють значення критерію узгодження за формулою:
, (3.45)
де – нагромаджена емпірична частота; – нагромаджена теоретична частота; Dmах – найбільша абсолютна різниця між нагромадженими емпіричними та теоретичними частотами; N – загальна кількість всіх спостережених значень (об'єм вибірки).
Під нагромадженою частотою для заданого значення х розуміється сума всіх частот, які передують цьому значенню.
Величини і являють собою інтегральні функції Fn(x) емпіричного та F(x) теоретичного розподілу, а тому вираз для має вигляд:
. (3.46)
Для обчислення інтегральних функцій теоретичного розподілу користуються виразом:
, (3.47)
де х – верхня межа відповідного інтервалу; Φ(t) – функція Лапласа (див. додаток А, табл. 9.
Критерій узгодження підпорядковується певному закону розподілу, за яким обчислюється ймовірність Ρ().
У довідковій літературі є таблиця значень ймовірностей Ρ() для різних (див. додаток, табл. 5).
У випадку, коли ймовірність Ρ() дуже мала (менше 0,05), за принципом практичної неможливості малоймовірних подій можна дійти висновку, що емпіричний розподіл не відповідає припущеному теоретичному розподілу.
У випадку вважають, що розбіжності між значеннями нагромаджених частот випадкові, а встановлений теоретичний розподіл приймається як характеристика досліджуваного явища.
Часто використовують критерій узгодження Пірсона (2), так званий «хі-квадрат». Цей критерій є найприпустимим при значній кількості спостережень. Він забезпечує мінімальну похибку прийняття неправильної гіпотези порівняно з іншими критеріями. Критерій Пірсона слід застосовувати у тих випадках, коли теоретичні значення параметрів функції розподілу невідомі:
. (3.48)
Обчисливши 2, визначають k – кількість степенів вільності:
,
де n – кількість частот, які порівнюються (кількість груп та часткових інтервалів) вибірки; r – кількість параметрів припущенного розподілу, які оцінюють за даними вибірки.
За заданим рівнем значущості Ρ* і кількості степенів вільності k визначають критичну точку , ( додаток А, табл. 8А.)
Якщо , розходження між емпіричними і теоретичними частотами при даному рівні значущості Ρ* незначне, дані спостережень узгоджуються з гіпотезою про припущений закон розподілу випадкових величин. Рівень значущості Ρ* повинен бути не менше 0,1.
Дослідна інформація обробляється також графічним методом за допомогою ймовірносного паперу або функціональних сіток. Функціональна сітка складається таким чином, щоб нанесена на цей папір функція розподілу мала вигляд прямої лінії.
Це "випрямлення" досягається зміною координат функції розподілу F(x) і змінної х координатами F'(x) і х', закон зміни яких підібрано так, щоб "випрямити" функцію заданого закону розподілу.
Для вибору закону розподілу на сітку наносять значення нагромаджених дослідних ймовірностей, які взято по кінцях інтервалів статистичного ряду. Якщо ці точки розташовані на прямій лінії або поблизу від неї, це означає, що дослідна інформація відповідає обраному закону розподілу, а оцінки параметрів цього закону можуть бути визначені за допомогою ймовірносного паперу за дослідними даними. Ймовірносний папір може бути застосований для будь-якого закону розподілу.
Оцінювання точності. Основні параметри теоретичного розподілу – математичне сподівання М(Х) та дисперсія D(Х). Раніше було розглянуто порядок обчислення за емпіричним розподілом середнього значення та дисперсії Sх2.
Це величини – точкові оцінки, які визначають одним числом, для теоретичних значень М(Х) та D(Х) і при достатньо великій кількості дослідів можна вважати, що і .
Оскільки обсяг вибірки, як правило, невеликий, користуються інтервальними оцінками, які визначаються двома числами – кінцями інтервалу.
Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінювання, тобто до яких помилок може призвести заміна значення теоретичного параметра m статистичною характеристикою m. Відомо, що m тим точніше визначає параметр m, чим менше абсолютна величина різниці , тобто , ; чим менше , тим оцінка точніша. Таким чином, додатне число характеризує точність оцінювання.
Але статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що оцінка m задовольняє нерівності ; можна говорити лише про ймовірність , при якій ця нерівномірність правильна.
Надійною ймовірністю (надійністю) оцінки m за m називають ймовірність , при якій виконується нерівність .
Як правило, надійність оцінювання задається наперед, при цьому за приймається число, близьке до одиниці. Наприклад, ймовірність того, що дорівнює :
, (3.49)
де – задана точність; – вірогідність оцінки.
Замінивши нерівність рівнозначною їй подвійною нерівністю або , отримаємо:
.
Це співвідношення слід розуміти так: ймовірність того, що інтервал [] містить у собі невідомий параметр m, дорівнює .
Надійним інтервалом І називають інтервал [], який містить невідомий параметр із заданою надійністю , тобто це інтервал, до якого при заданій надійній (певній) ймовірності потрапляє 100 % випадків від N.
На рис. 3.9 наведено, що характеризує точність оцінювання.
Рис. 3.9. Надійний інтервал та надійні межі
Інтервал [] має випадкові кінці, які називають надійними межами.
Межі, у яких можуть коливатися значення оцінювального показника при заданій ймовірності , називаються нижньою та верхньою .
Надійні межі – випадкові величини і залежать від величини вибірки. За відомими надійними межами визначають надійний інтервал:
.
Надійні інтервали для оцінювання математичного сподівання розподілу можуть визначатися при відомому чи невідомому середньоквадратичному відхиленню . Якщо відомі величини оцінки m* і , то верхню та нижню межі визначають за рівняннями:
; (3.50)
, (3.51)
де t – число, яке визначається за рівнянням (додаток А, табл. 9А): або .
З іншого боку, за формулою при зростаючому об'ємі вибірки n число спадає і точність оцінювання збільшується.
Збільшення надійної ймовірності оцінювання зумовить збільшення t, оскільки Φ(t) – функція зростаюча, а відповідно і до зростання . Отже при цьому спостерігається зростання m, яке призводить до зменшення точності функції.
Для оцінювання математичного сподівання із заданою точністю та ймовірністю мінімальний обсяг вибірки, який може забезпечить цю точність, обчислюють за формулою:
. (3.52)
Приклад 3.6. Випадкова величина х має нормальний розподіл з відомим середнім квадратичним відхиленням . Знайти надійний інтервал для оцінювання невідомого математичного сподівання вибірковим середнім , якщо обсяг вибірки та відома надійність оцінювання .
Розв'язання. Визначають t. Із співвідношення отримують , за табл. 9 додатка – . Звідки точність оцінки:
.
Надійний інтервал такий: ; . Наприклад, якщо , надійний інтервал має такі межі: ; .
Отже, значення невідомого параметра m, яке погоджується з даними вибірки, задовольняють нерівності:
.
Коли значення середнього квадратичного відхилення невідоме, замість величини визначають:
,
де t – табличний коефіцієнт (додаток, табл. 6) для заданої ймовірності та кількості ступенів свободи ; Sх – вибіркова характеристика, яка визначається за рівнянням:
. (3.53)
Аналогічно за допомогою надійних інтервалів проводять оцінювання значення величини, що вимірюється за середнім арифметичним значенням окремих вимірювань.
Приклад 3.7. Кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. При вибірці об'єму 25 визначено вибіркову середню та емпіричний середнє квадратичне відхилення . Потрібно оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою інтервалу надійності з ймовірністю .
Розв'язання. Користуючись табл. 6А додатка А, за і визначаємо . Далі обчислюємо надійні межі:
;
.
Отже, з надійною ймовірністю 0,95 невідомим параметр m замкнений в інтервалі .
3.4. Показники безвідмовності
Ймовірність безвідмовної роботи – це ймовірність того, що у межах заданого напрацювання відмова об'єкта не виникає.
Ймовірність безвідмовної роботи застосовується як кількісний критерій надійності об'єктів для відновлених та невідновлених об'єктів.
Для режимів зберігання та транспортування використовується аналогічний термін – "ймовірність невиникнення відмови". Ймовірність безвідмовної роботи визначається у частках одиниці або у відсотках і змінюється від одиниці до нуля. Наприклад (рис. 3.10), до напрацювання t1 ймовірність безвідмовної роботи дорівнює 1, а при напрацюванні t4 – 0,1.
Рис. 3.10. Функція ймовірності безвідмовної роботи залежно від напрацювання об'єкта
Ймовірність безвідмовної роботи являє собою безумовну ймовірність того, що в інтервалі від 0 до t відмови не буде, і визначається за формулою:
, (3.54)
де F(t) – функція розподілу напрацювання до відмови.
Ймовірність безвідмовної роботи – безрозмірний показник, при його призначенні або визначенні необхідно вказувати час t або напрацювання, протягом якого його значення повинно бути не нижче наведеної величини.
Аналітичний, вираз для визначення Ρ(t):
,
де – середнє арифметичне значення напрацювання; t0 –задане значення напрацювання.
Ймовірність безвідмовної роботи за статистичними даними про відмови оцінюється виразом:
, (3.55)
де – статистична оцінка ймовірності безвідмовної роботи; N0 – кількість об'єктів на початку випробування; n(t) – кількість об'єктів, що відмовили протягом певного часу.
При великій кількості об'єктів N0 статистична оцінка практично збігається з ймовірністю безвідмовної роботи Ρ(t):
На практиці в деяких випадках зручніше користуватись характеристикою ймовірності відмови.
Ймовірність відмови – ймовірність того, що за певних умов експлуатації у заданому інтервалі часу або у межах заданого напрацювання виникає хоча б одна відмова.
Ймовірність відмови Q(t) при дорівнює 0, змінюється від 0 до 1 і обчислюється до формулою:
. (3.56)
Для статистичного визначення ймовірності відмови користуються формулою:
, (3.57)
де n(t) – кількість об'єктів, що відмовили за час t.
Приклад 3.8. Для групи тракторів, що експлуатуються, після напрацювання 1000 мото-год отримано або . Це означає, що 5 % тракторів будуть мати відмову раніше, ніж через 1000 мото-год напрацювання.
За формулою (3.55) обчислюють, що при також дорівнюватиме 0,5, а графік функції ймовірності відмови (Рис. 3.11) – дзеркальне відображення функції ймовірності безвідмовної роботи.
Рис. 3.11. Графіки функцій "безвідмовності" Ρ(t) та "відмовності" Q(t)
Ймовірність безвідмовної роботи машини залежить від кількості деталей у машині та їх ймовірності безвідмовної роботи, тобто маємо: (за правилом множення ймовірностей).
Якщо , то ,
що є прикладом практичного застосування теорії ймовірностей і математичної статистики у надійності.
Середнє напрацювання до відмови – математичне сподівання (середнє значення) напрацювання до першої відмови.
Для невідновлюваних об'єктів середнє напрацювання до першої відмови рівнозначне середньому напрацюванню до відмови. Значення середнього напрацювання до відмови обчислюють за формулою:
, (3.58)
або
, (3.59)
де ti – напрацювання і-го об'єкта до відмови.
Точність визначення середнього напрацювання до відмови залежить від кількості об'єктів, які випробовуються на надійність.
Інший спосіб точного визначення цієї величини – визначення закону розподілу напрацювання до відмови об'єктів від величини напрацювання. Для цього будується графік розподілу щільності ймовірностей появи величини напрацювання до відмови f(t), а потім інтегрується за формулою (3.58) для визначення середнього часу напрацювання об'єктів до відмови.
Найпоширенішими законами розподілу напрацювання до відмови відновлених деталей є експоненціальний, Вейбулла-Гнеденка, нормальний та логарифмічно-нормальний.
Щільність ймовірності експоненціального розподілу визначають так:
, (3.60)
де – параметр розподілу; – обернена величина середнього напрацювання до відмови або інтенсивність відмов.
Ймовірність безвідмовної роботи дорівнює:
,
– математичне сподівання:
;
– значення дисперсії для експоненціального закону:
.
Таким чином, експоненціальний закон розподілу характеризується одним параметром – середнім напрацюванням до відмови.
Щільність ймовірності для розподілу Вейбулла-Гнеденка визначається за рівнянням (3.35).
Інтенсивність відмов – умовна щільність ймовірності виникнення відмови невідновлюваного об'єкта, обчислюється для моменту часу, що розглядається за умови, що до цього моменту відмови не було.
Визначення цього терміна ґрунтується на понятті щільності ймовірності відмови у момент t, яке використовується в теорії ймовірностей і відповідає межі відношення ймовірності відмови в інтервалі часу (від t до ) до величини інтервалу t при . Фізичне розуміння щільності ймовірності відмови – це ймовірність відмови у досить малій одиниці часу.
За визначенням інтенсивності відмов (t) обчислюється співвідношення:
,
де Ρ(t) – ймовірність безвідмовної роботи за час t; f(t) – щільність розподілу напрацювання до відмови. З цього співвідношення отримаємо:
. (3.61)
Ця формула призначена для аналітичного визначення (t) за відомим законом розподілу напрацювання до відмови.
Інтенсивність відмов визначається за наближеною статистичною формулою як відношення кількості об’єктів, що відмовили за одиницю часу до середньої їх кількості, працездатної у даний час:
, (3.62)
де N(t) – кількість об'єктів, працездатних до моменту напрацювання t; t – заданий, достатньо малий інтервал часу.
Якщо t достатньо мала, а величина при цьому велика, то:
,
де – кількість об'єктів, що відмовили за час t. Після певних перетворень визначається .
Інтенсивність відмов можна оцінити і за іншою формулою:
, (3.63)
де – кількість об'єктів, що відмовили в інтервалі часу від до ; – середня кількість, справно працюючих об'єктів в інтервалі t; Νi – кількість об'єктів, справно працюючих на початку інтервалу t; Νi+1 – кількість об'єктів, справно працюючих у кінці інтервалу t.
За формулою для визначення інтенсивності відмов випливає, що вона у момент напрацювання t дорівнює частці об'єктів, які мають відмови в одиницю напрацювання після напрацювання t, при цьому ця частка має відношення до кількості об'єктів, що були працездатними у момент напрацювання t, тобто до N(t).
Потік відмов. Для відновлюваних об'єктів, у яких ймовірна багаторазова поява відмов, напрацювання на відмову – випадкова подія. Тому елементи, що відмовили, замінюють на справні і працездатність об'єкта відновлюється, тобто спостерігається потік відмов та потік відновлень.
Потік відмов характеризується двома величинами: середньою кількістю відмов mсер(t) та параметром потоку відмов (t).
Якщо випробовують або експлуатують N об'єктів, що відновлюються (ремонтуються), при цьому фіксується кількість відмов та напрацювань, при яких вони проявляються m1(t), m2(t), , ..., ..., mi(t), то загальна кількість відмов становитиме:
.
Середня кількість відмов до напрацювання t, що наближено характеризує потік відмов, визначають за формулою:
, (3.64)
де N – кількість об'єктів, що відновлюються (ремонтуються), за випробуваннями або експлуатацією яких у заданих умовах проводять спостереження; mі(t) – кількість відмов кожного з цих об'єктів до напрацювання t.
Переходячи до границі, отримують характеристику потоку відмов:
.
На практиці часто буває так, що після деякого напрацювання tпр (час припрацювання) функція Н(t) стає лінійною і у будь-якому інтервалі часу (у період нормальної експлуатації) набуває вигляду:
, (3.65)
де (t) – параметр потоку відмов (основна характеристика потоку відмов).
Параметром потоку відмов називають щільність ймовірності виникнення відмов відновлюваного об'єкта; визначається для певного моменту часу або напрацювання.
Параметр потоку відмов визначають за рівнянням:
. (3.66)
часто для визначення параметра потоку відмов, на підставі експериментальних даних, користуються наближеною формулою:
, (3.67)
Виходячи з цієї формули можна бачити, що параметр потоку відмов – це середня кількість відмов об'єктів, що відновлюються (ремонтуються), за одиницю часу для досить малого проміжку часу t. При експоненціальному розподілі напрацювання між відмовами і статистична оцінка параметра потоку відмов визначається за формулою: . Після періоду припрацювання .
Якщо позначити через Q(t) ймовірність появи відмови у проміжок напрацювання від t1 до t2, то параметр потоку відмов визначають за формулою:
,
тобто параметр потоку відмов за час t дорівнює ймовірності відмови об'єкта в одиницю напрацювання після цього напрацювання t.
Якщо об'єкт складається з кількох елементів, для яких визначені параметри потоку відмов, загальний параметр потоку відмов обчислюють за виразом:
, (3.68)
де N – кількість елементів об'єкта; і – параметр потоку відмов і-го елемента.
Рівняння (3.68) визначає важливе положення, яке широко використовується у розрахунках надійності. Якщо скласти кілька потоків відмов, то параметр сумарного потоку відмов дорівнюватиме сумі параметрів всіх потоків.
Напрацювання на відмову являє собою середнє значення напрацювання об'єктів, що відновлюються (ремонтуються), між відмовами і визначає, яке напрацювання у середньому припадає на одну відмову (у год, мото-год, кілометрах пробігу, циклах вмикання та ін.). Якщо напрацювання обчислюється в одиницях часу, то може застосовуватись термін "середній час безвідмовної роботи".
Напрацювання на відмову (середній час безвідмовної роботи) – величина, обернена параметру потоку відмов (t) для напрацювання t1 до t2; визначається за теоретичними або статистичними формулами:
; (3.69)
. (3.70)
За рівняннями (3.69) і (3.70) для періоду після припрацювання отримуємо:
. (3.71)
Якщо за цих умов при випробуванні N об'єктів отримано m відмов, то напрацювання на відмову становитиме:
, (3.72)
де ti – напрацювання і-го об'єкта між відмовами після періоду припрацювання.
Напрацювання на відмову статистичне визначають відношенням сумарного напрацювання відновлюваних об'єктів до сумарної кількості відмов цих об'єктів. При експоненціальному розподілі напрацювання між відмовами оцінки для напрацювання на відмову визначають за формулою:
.
Значення напрацювання на відмова у загальному випадку залежить від тривалості періоду, протягом якого воно визначається. Це обумовлено несталою характеристикою потоку відмов.
За стандартом напрацювання на відмову визначають як відношення напрацювання відновлюваного об'єкта до математичного, сподівання кількості його відмов протягом цього напрацювання.
Для режимів зберігання і (або) транспортування можна застосовувати аналогічні показники безвідмовності, наприклад, середній час зберігання (транспортування) до відмови; час зберігання (транспортування) на відмову.
3.5. Показники довговічності
Довговічність кількісно оцінюється за допомогою двох груп показників: ресурсу як показника, пов'язаного з напрацюванням об'єкта, та терміном служби. Кожна з цих груп має багато різновидів, які дають змогу конкретизувати етапи або характер експлуатації.
Середній ресурс (термін служби) – це математичне сподівання ресурсу (терміну служби).
Призначений ресурс – сумарне напрацювання об'єкта, по досягненні якого експлуатація припиняється незалежно від його стану. Цей ресурс найчастіше призначають з міркувань безпеки або економічності. Після відпрацювання призначеного ресурсу двигуни знімають з машин і використовують, наприклад, для сушіння зерна, захисту садів від морозів тощо.
Середній ресурс (термін служби) до ремонту – середній ресурс від початку експлуатації об'єкта до його першого ремонту; середній ресурс (термін служби) між ремонтами – між суміжними ремонтами об'єкта; середній ресурс (термін служби) до списання – від початку експлуатації до його списання, обумовленого граничним станом.
Гамма-відсотковий ресурс t – напрацювання, протягом якого об'єкт не досягне граничного стану із заданою ймовірністю відсотків.
Гамма-відсотковий ресурс має велике практичне значення, оскільки в результаті неминучого розсіювання довговічності сільськогосподарської техніки при навантаженнях в умовах експлуатації, що змінюються, їх довговічність – величина статистична. Визначається експериментально за даними про довговічність великої групи об'єктів.
Гамма-відсотковий ресурс має і перевищує у середньому обумовлену кількість відсотків виробів даного типу.
Заданий відсоток об'єктів – регламентована ймовірність. Наприклад при , відповідний ресурс називають 90%-ним ресурсом. На рис. 3.10, де 90%-ний ресурс відповідає t2.Ілюстрація змісту гамма-відсотковою ресурсу t наведено на рис. 3.12.
Рис. 3.12. Гамма-відсотковий ресурс при роботі об'єктів
Якщо ресурс виробів має розподіл зі щільністю ймовірності f(t), то гамма-відсотковий ресурс t обчислюють за рівнянням:
. (3.73)
Якщо , то це медіанний (середній) ресурс tме (рис. 3.10, де ).
У випадку розподілу Вейбулла-Гнеденка рівняння (3.73) приймає вигляд:
.
Логарифмуючи це рівняння, отримують:
,
звідки
. (3.74)
Для експоненціального розподілу при і застосовують рівняння:
. (3.75)
Якщо, наприклад, , то за рівнянням (3.72) .
Частина об'єктів (рис. 3.12), які вичерпали свій ресурс до певного напрацювання, визначається заштрихованою частиною площі під кривою до ординати даного напрацювання (при цьому вся площа під кривою приймається за 100%).
Якщо спостереження (випробування) вести, поки всі 100% об'єктів вичерпають свій ресурс (досягнуть граничного стану) – до напрацювання то за їх результатами нескладно визначити середній ресурс. Тривалість випробувань (спостережень) при цьому буде максимальною.
Наприклад, середній доремонтний ресурс tдр сільськогосподарських тракторів та їх агрегатів повинен досягати 6...8 тис. мото-год. При цьому довговічність окремих тракторів певної марки може значно перевищувати середній доремонтний ресурс. Це потребує для завершення випробувань (спостережень) в умовах експлуатації з вичерпуванням ресурсу всіх досліджуваних тракторів п'ять і більше років.
Гамма-відсотковий ресурс як показник оцінки довговічності сприяє скороченню часу випробувань (спостережень) тракторів або їх агрегатів, оскільки випробування (спостереження) приводять до вичерпування ресурсу порівняно невеликої кількості (10...20%) машин. При цьому значення гамма-відсоткового ресурсу відповідно рівні і ( та ).
Чим більше встановлена , тим менше тривалість випробувань (спостережень). Проте для оцінки ресурсу з певною регламентованою точністю при зменшенні тривалості випробувань потрібно збільшити кількість об'єктів, що випробовуються.
За гамма-відсотковим ресурсом оцінюють якість нових і відремонтованих машин та їх агрегатів.
Для тракторів, комбайнів та іншої нової й відремонтованої сільськогосподарської техніки значення (), тобто у 80% машин ресурс при випробуванні або спостереженні повинен перевищувати встановлену величину .
Розрахунок 80%-го ресурсу виконують так.
Обчислюють послідовно при кожному напрацюванні ti значення кривої спадання (ймовірності безвідмовної роботи) за формулою:
, . (3.76)
Якщо серед значень кривої спадання є значення , оцінка 80%-го ресурсу у протилежному випадку визначають за кривою спадання або методом лінійної інтерполяції за формулою:
. (3.77)
Для розрахунку оцінок довговічності середнього квадратичного відхилення ресурсу та коефіцієнта варіації використовують відповідні формули.
Приклад 3.9. При випробуванні 13 двигунів їх ресурс був вичерпаний при напрацюваннях ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; мото-год.
Визначити кількісні оцінки характеристик довговічності двигунів.
Розв'язання. Значення кривої спадання обчислюють за формулою (3.76):
;
;
і т.д.
За цими даними . За формулою (3.77) визначають:
мото-год.
Користуючись відповідними формулами обчислюють:
мото-год;
мото-год;
Гамма-відсотковий термін служби – календарна тривалість експлуатації, протягом якої об'єкт не досягатиме граничного стану із заданою ймовірністю %.
Певним чином довговічність характеризується й такими показниками як гарантійне напрацювання (ресурс) і термін гарантії.
Конкретні значення кількісних показників довговічності задають залежно від призначення, особливостей застосування об'єктів та впливу відмов на безпеку роботи. Для встановлення їх проводять спеціальні розрахунки на міцність та ресурсні випробування прототипів і дослідних зразків об'єктів.
3.6. Показники ремонтопридатності та збережуваності
Ремонтопридатність має такі одиничні кількісні показники.
Ймовірність відновлення у заданий час, або ймовірність вчасного відновлення – це ймовірність часу виявлення, пошуку причини та усунення наслідків відмови, який не перевищуватиме заданого.
Середній час відновлення – математичне сподівання часу відновлення працездатності. При наявності статистичних даних про тривалість відновлення для об'єктів, які відновлюються (ремонтуються), середній час відновлення визначають за формулою:
, (3.78)
де m – кількість відмов об'єктів, виявлених і усунених; tві – час усунення і ої відмови.
Якщо розглядати всі проміжки tі у порядку зростання індексу i, то ці величини визначають як потік відновлення, який найчастіше має логарифмічно нормальний розподіл. У першому наближенні потік відновлення можна вважати простішим з параметром .
Як характеристики розсіювання часу відновлення, а також для інших випадкових величин використовуються також дисперсія та середнє квадратичне відхилення .
При застосуванні статистичних даних значення емпіричної дисперсії та середнє квадратичне відхилення визначають за формулами (3.17), (3.18), (3.22) і (3.23).
Збережуваність кількісно оцінюється за допомогою таких показників, які вимірюються у роках, місяцях та інших одиницях.
Середній термін збережуваності – це математичне сподівання терміну збережуваність.
Гамма-відсотковий термін збережуваність – термін збережуваності, який досягається об'єктом із заданою ймовірністю процентів.
На рис. 3.13 90%-ний термін збережуваності об'єктів, що не відновлюються (не ремонтуються), становить 1, а середній термін збережуваності – 2. При зберіганні протягом терміну 3 виходить з ладу 80% об'єктів.
Рис. 3.13. Гамма-відсотковий строк збережуваності при зберіганні об'єктів
Ці показники при необхідності фіксують у нормативно-технічній документації, але без зміни терміну зберігання, який також є у технічних вимогах до об'єкта.
3.7. Комплексні показники надійності
Коефіцієнт готовності Kг – ймовірність того, що об'єкт виявиться працездатним у довільний момент часу, крім запланованих періодів, протягом яких використання об'єкта за призначенням не передбачається.
Цей коефіцієнт статистично визначається як відношення сумарного часу перебування досліджуваних об'єктів у працездатному стані до добутку кількості цих об'єктів N на тривалість експлуатації (за винятком простоїв при проведенні запланованих ремонтів і технічного обслуговування):
, (3.79)
де i – сумарний час перебування i-го об'єкта у працездатному стані (); Т=Токс+Тв – тривалість експлуатації (роботи), яка складається з інтервалів часу роботи і відновлення (усунення відмов), що чергуються.
При порядку обслуговування, який передбачає негайний початок відновлення об'єкта, що відмовив, тобто, при усталеному режимі експлуатації коефіцієнт готовності обчислюють за формулою:
, (3.80)
де Т – напрацювання на відмову, яке характеризує безвідмовність; – середній час відновлення, характеризує ремонтопридатність; Τ і – визначають за формулами (3.72) і (3.78). Так за формулою (3.80) коефіцієнт готовності – це та частка часу роботи від сумарного часу, який витрачається на роботу та відновлення. Характеризує водночас дві різні властивості об'єкта: його безвідмовність і ремонтопридатність, а тому є комплексним показником.
Коефіцієнт технічного використання Kтв – відношення математичного сподівання часу перебування об'єкта в працездатному стані за певний період експлуатації до суми математичних сподівань часу перебування об'єкта в працездатному стані; часу простоїв, обумовлених технічним обслуговуванням, і часу ремонту за той же період експлуатації.
Цей коефіцієнт статистичне визначається як відношення сумарного часу перебування досліджуваних об'єктів у працездатному стані до добутку кількості об'єктів, що спостерігаються на заданий час експлуатації:
, (3.81)
де Т=Текспл +tТО+tр – тривалість експлуатації, яка складається з інтервалів часу роботи, технічного обслуговування і ремонту.
Якщо заданий час експлуатації tекспл для кожного об'єкта різний, то для підрахунку величини Kтв застосовується формула:
, (3.82)
де tΣ – сумарне напрацювання всіх об'єктів; tр – сумарний час простоїв через плановий і позаплановий ремонт всіх об'єктів; tТО – сумарний час простоїв через планове і позапланове технічне обслуговування всіх об'єктів (час простоїв через організаційні при чини тут не враховується).
Якщо поділити вираз (3.79) на загальну кількість відмов m, які спостерігаються певний період часу, то:
, (3.83)
де Тп – середній час, який витрачається при технічному обслуговуванні (профілактиці) на усунення однієї відмови; – коефіцієнт профілактики.
Тому, значення коефіцієнта Kтв знаходиться в оберненій залежності до відношень tв/tекс і tТО/tекс або у прямій – до значення коефіцієнта Kг.
Коефіцієнт технічного використання Kтв – узагальнений комплексний показник надійності і є ширшою характеристикою працездатності ніж коефіцієнт готовності, оскільки враховує всі простої, пов'язані з технічним обслуговуванням і ремонтом об'єкта.
Коефіцієнт оперативної готовності Kог – ймовірність того, що об'єкт, перебуваючи у режимі очікування, буде працездатним у довільний момент часу, і, починаючи з цього моменту, буде працювати безвідмовно протягом заданого інтервалу часу.
Режим очікування – це перебування об'єкта при повному або полегшеному навантаженні без виконання основних (робочих) функцій. При цьому можливо виникнення відмов, які повинні бути усунені з відновленням працездатності об'єкта для виконання необхідного завдання. Потрібно також, щоб у разі необхідності об'єкт був працездатним.
Якщо ймовірність безвідмовної роботи об'єкта Ρ(tекс) протягом часу tp не залежить від моменту початку роботи t, то величину коефіцієнта оперативної готовності визначають за формулою:
. (3.84)
Цей коефіцієнт характеризує надійність техніки, призначеної для збирання врожаю, кормоприготувальних машин тваринницьких комплексів та ін.
До показників, які враховують сумарну і питому сумарну трудомісткість (вартість) технічного обслуговування і ремонту, і є комплексними показниками надійності, належать такі:
– середня сумарна трудомісткість технічного обслуговування – математичне сподівання сумарних затрат праці на проведення технічного обслуговування за певний період експлуатації;
– середня сумарна трудомісткість ремонту – математичне сподівання сумарних затрат праці на всі види ремонту об'єктів за певний період експлуатації;
– середня сумарна вартість технічного обслуговування (ремонту) – математичне сподівання сумарних витрат на проведення технічного обслуговування (на всі види ремонту) об'єкта за певний період експлуатації.
Для цих показників (разом з їх середніми значеннями) застосовують питомі величини, які визначають як відношення середніх сумарних величин до відповідного математичного сподівання сумарного напрацювання об'єкта за певний період експлуатації.
Важливими показниками є коефіцієнт відновлення Кв і коефіцієнт відновлення ресурсу Квр:
tвідн до середнього ресурсу до першого капітального ремонту (нових об'єктів) tнов:
;
, (3.85)
де - відповідно середній ресурс капітально-відремонтованих і нових об’єктів; Тмр і Тдр – відповідно середній міжремонтний і доремонтний ресурси.
Для співставлення кількісних показників надійності агрегатів нових і капітально відремонтованих тракторів визначають величину () 100% (за гамма-відсотковим ресурсом) або для оцінки рівня безвідмовності діленням середнього напрацювання на відмову відповідної групи складності капітально відремонтованих агрегатів чи систем на відповідний показник агрегатів нових машин. Якщо відома середня кількість відмов нових і капітально відремонтованих тракторів за певне, встановлене напрацювання, визначають величину:
.
Показники експлуатаційної технологічності характеризують затрати праці, а також кошти на підготовку сільськогосподарської техніки до експлуатації, на планові технічні обслуговування в процесі експлуатації, на роботи після експлуатації техніки (зокрема, встановлення на зберігання, консервацію тощо).
Показники ремонтної технологічності характеризують пристосованість конструкції об'єкта та його складових (деталей, складальних одиниць та ін.) до ремонтних робіт, які виконуються для відновлення їх працездатності на ремонтних підприємствах.
До цих показників відносять: середній час ремонту; ймовірність його закінчення у заданий час; середні абсолютні витрати на ремонт техніки певного виду; відносні витрати, віднесені до одиниці часу перебування машини в експлуатації (для деталей, складальних одиниць та ін.) або до одиниці виробленої продукції (для верстатів, машин та ін.). Додаткові показники ремонтопридатності у сполученні з основними дозволяють конкретизувати окремі вимоги до ремонтопридатності.
Показники, які характеризують загальну технічну досконалість конструкції машини, у тому числі й конструктивні рішення, такі.
Коефіцієнт застосованості конструктивних елементів – відношення суми кількості найменувань типорозмірів стандартизованих, нормалізованих, запозичених та придбаних деталей та вузлів до загальної кількості найменувань конструктивних елементів об'єкта.
Коефіцієнт уніфікації визначає, яку частину використаних деталей об'єкта уніфіковано. Наприклад, коефіцієнт уніфікації двигунів ЯМЗ близько 0,9.
Коефіцієнт конструктивної послідовності – відношення кількості найменувань раніше освоєних складальних одиниць і деталей до загальної кількості найменувань конструктивних елементів об'єктів.
Послідовність значно спрощує організацію й технологію виготовлення машин і дає змогу раціональніше вирішувати питання їх експлуатації і ремонту.
Перераховані коефіцієнти належать до найважливіших показників стандартизації.
Коефіцієнт взаємозамінності – відношення кількості взаємозамінних елементів до загальної кількості конструктивних елементів машин.
Раціональний рівень взаємозамінності конструктивних елементів у машині – важливий засіб зниження затрат праці й коштів при усуненні відмов.
Коефіцієнт кратності обслуговування та термінів служби конструктивних елементів – відношення відповідної кількості елементів машин періодичності обслуговувань і ремонту базового конструктивного елемента до загальної кількості найменувань конструктивних елементів.
Дотримання вимог і кратності або рівної періодичності й строків служби елементів машини значно скорочує сумарний час простою машини та витрати на її обслуговування і ремонт.
Коефіцієнт загальної контролепридатності – відношення кількості конструктивних елементів, пристосованих до контролю різними способами технічного стану машини в процесі експлуатації, до загальної кількості елементів машини, контроль яких необхідний під час експлуатації.
Показники, які характеризують пристосованість конструкції машини до профілактичних і відновлюваних робіт, такі.
Коефіцієнт зручності поз – відношення загальної кількості зручних поз при виконанні робіт до загальної кількості можливих поз.
Коефіцієнт доступності враховує сумарну трудомісткість баластних робіт (підготовка машини, необхідні розбірно-складальні роботи тощо), які необхідно виконати при усуненні відмов і технічному обслуговуванні.
Коефіцієнт маси демонтованих складальних одиниць характеризує легкознімність конструкції машини. Його визначають з відношення кількості складальних одиниць, які демонтуються і маса їх не перевищує встановленого граничного значення при демонтажі вручну, до загальної кількості одиниць машини, що демонтуються при усуненні відмов, технічному обслуговуванні та ремонті в процесі експлуатації.
3.8. Розрахунки показників надійності
Розрахунки об'єктів на надійність призначені для визначення кількісних показників надійності, їх проводять на етапах розробки, створення та експлуатації об'єктів (машин, обладнання, пристроїв).
Для розрахунку показників надійності сільськогосподарської техніки користуються державними і галузевими стандартами, методичними вказівками та Інструкціями щодо оцінювання надійності машин.
На етапі проектування розрахунок надійності виконують з метою прогнозування очікуваної надійності даного об'єкта.
При випробуваннях й експлуатації розрахунки на надійність необхідні для оцінювання кількісних показників надійності. Результати розрахунків характеризують надійність об'єктів, які пройшли випробування або використовуються у певних експлуатаційних умовах.
На основі цих розрахунків визначають слабкі елементи об'єкта, намічають основні напрямки щодо підвищення їх надійності, оцінюють надійність об'єкта і вплив на неї різних факторів.
При цьому завдання полягає у визначенні одної або кількох кількісних характеристик надійності сільськогосподарської техніки.
Наприклад, на основі розрахунків машини та її елементів на надійність визначають ймовірність безвідмовної роботи, коефіцієнти готовності, технічного використання тощо, а потім вказують шлях покращання отриманих показників надійності. При цьому не всі показники надійності можна розрахувати, деякі з них визначають експериментально.
Загальну схему розрахунку машини на надійність наведено на рис. 3.14.
Ця схема стосується випадку, коли втрата машиною працездатності пов'язана як з поступовими (зносними), так і з раптовими відмовами.
Початкові дані для розрахунку такі: конструкції елементів; характеристики сил; матеріали, які застосовуються; режими роботи; умови експлуатації та ремонту; інші параметри, якими визначається працездатність сільськогосподарської техніки.
Оцінювання ймовірності безвідмовної роботи об'єктів. Ймовірність безвідмовної роботи об'єкта (машини) Р0(t) при сумісній дії поступових (зносних) і раптових відмов розраховується за формулою множення ймовірностей:
, (3.86)
де Рз(t) – безвідмовність при зносних відмовах; Рр(t) – те ж саме, при раптових відмовах.
Рис. 3.14. Загальна схема розрахунку машини на надійність
Наприклад, якщо розглянути гідроагрегати з позиції кількості ущільнень, які найчастіше призводять до раптових відмов, і з врахуванням поступових (зносних) відмов рухомих з'єднань, то за формулою (3.86) у найгіршому становищі серед інших агрегатів гідросистеми перебувають гідронасоси, які мають велику кількість гумових ущільнень. Якщо відомі параметри законів розподілу (, , ) можна розрахувати ймовірність безвідмовної роботи об'єкта або його елементів.
У випадку, коли зносні відмови підпорядковуються нормальному закону розподілу, а раптові – експоненціальному, формула (3.85) матиме такий вигляд:
, (3.86)
У початковий період роботи об'єкта основний вплив на Р0(t) чинять раптові відмови, а потім зростає вплив зносних відмов (рис. 3.15).
Рис. 3.15. Ймовірність безвідмовної роботи при сумісній дії зносних та раптових відмов
Сільськогосподарська техніка – це складні об'єкти (системи), які складаються з окремих, взаємопов'язаних елементів. Відмова будь-якого елемента впливає на працездатність об'єкта, оскільки це залежить від працездатності елементів та від способу їх з'єднання у систему.
У надійності розрізняють два основних види з'єднань елементів – послідовне і паралельне.
Під послідовним з'єднанням елементів (рис. 3.16, а) у надійності розуміють таке з'єднання, при якому відмова одного будь-якого елемента спричинює відмова усієї системи. Цій умові підлягають більшість приводів і механізмів передач машин, оскільки вихід з ладу будь-якої шестерні, підшипника, електродвигуна тощо, викликають втрату працездатності всієї системи.
а)
б)
Рис. 3.16. Схема з’єднань елементів складних систем: а – послідовне, б – паралельне
Якщо відома ймовірність безвідмовної роботи і-го елемента Рі(t), з урахуванням виду з'єднання елементів безвідмовність Р(t) складної системи можна підрахувати за формулами теорії ймовірностей.
Ймовірність безвідмовної роботи системи з послідовним з'єднанням елементів. У цьому випадку ймовірність безвідмовної роботи визначається за формулою множення ймовірностей незалежних подій і дорівнює добутку ймовірностей безвідмовної роботи елементів:
. (3.88)
Ймовірність відмови послідовного елемента визначають за виразом:
. (3.89)
При однаковій ймовірності безвідмовної роботи елементів формула матиме вигляд:
. (3.90)
Так, якщо система складається з 50 послідовно з'єднаних елементів () з ймовірністю безвідмовної роботи кожного елемента за певний проміжок часу , то ймовірність безвідмовної роботи всієї системи становитиме:
.
Для випадку виникнення раптових відмов, які підпорядковуються експоненціальному закону розподілу, ; ; ...; . Виконавши відповідні розрахунки за формулою (3.91) отримують:
. (3.91)
Ймовірність безвідмовної роботи складної системи також підпорядковується експоненціальному закону з таким параметром:
Ймовірність відмови становить:
.
При експоненціальному розподілі часу безвідмовної роботи параметр потоку відмов і напрацювання на відмова для відновлюваних об'єктів відповідно дорівнює:
;
,
де і – відповідно параметр потоку відмов і напрацювання на відмова і-го елемента протягом часу (напрацювання) t.
Зокрема, якщо = const, то і = const.
Ймовірність безвідмовної роботи при паралельному з'єднанні елементів. Паралельним з'єднанням (рис. 3.16, б) називається сукупність елементів, працездатність якої порушується тільки за умов відмови всіх паралельних елементів сукупності.
Паралельне з'єднання елементів у системи є основою резервування. Резервні елементи, постійно приєднані до основних, перебувають у тому ж режимі, що і основний елемент, тобто резерв навантажений.
У даному випадку буде постійне резервування, при якому резервні елементи беруть участь у функціонуванні об'єкта на рівні з основними.
Ймовірність безвідмовної роботи при навантаженому резервуванні підраховують так.
Якщо q1, q2, ..., qn ймовірності появи відмови кожного з елементів протягом часу t, то відмова системи у цьому випадку паралельного з'єднання виникає за умов відмови всіх елементів.
Ймовірність сумісної появи всіх відмов Q(t) за формулою множення ймовірностей дорівнює:
. (3.92)
Оскільки
То маємо формулу безвідмовності системи з паралельним з'єднанням елементів:
, (3.93)
Наприклад, якщо ймовірність відмови кожного з трьох елементів , то .
Автомобіль (або трактор) має у системі освітлення й сигналізації фари, підфарники і габаритні ліхтарі, з'єднані методом резервування (по два вироби у кожному ланцюзі). Відмова будь-якого одного об'єкта (наприклад, фари) не викликає відмови освітлення, експлуатація автомобіля або трактора триває до повернення у гараж і усунення там відмов. У цьому випадку ймовірність безвідмовної роботи системи освітлення й сигналізації визначається за формулою (3.93).
Щоб визначити надійність гальмівної системи автомобіля, якщо відомо, що ножне гальмо , а ручне , також застосовують формулу (3.89):
;
.
Ймовірність відмови гальмівної системи становить:
.
Ймовірність безвідмовної роботи визначають за формулою:
.
Для окремого випадку експоненціального закону розподілу відмов розрахункові формули для паралельного з'єднання елементів можна представити у вигляді:
; (3.94)
. (3.95)
На практиці часто застосовують структурні схеми, які складаються з m паралельних ланцюгів, кожний з яких має послідовно з'єднані елементи. В цьому випадку ймовірність безвідмовної роботи обчислюють з використанням формул для паралельно-послідовних схем.
Приклад 3.10. Визначити ймовірність безвідмовної роботи автомобіля, якщо ймовірність безвідмовної роботи кожного елемента становить 0,9 (рис. 3.17).
Рис. 3.17. Структурна схема автомобіля
За схемою автомобіль має чотири паралельно з'єднаних елемента (чотири циліндри двигуна), а з ними послідовно з'єднуються два елемента 5 та 6 трансмісії (наприклад, коробка передач і задній міст).
Двом різним системам гальмування відповідає два паралельних елемента 7 та 8, включених послідовно з елементами 5 та 6. Останній, теж з послідовним включенням, елемент 9 належить до системи живлення.
Розв'язання. Для визначення безвідмовної роботи при паралельному і послідовному з'єднаннях елементів застосовують формули (3.93) і (3.89).
Оскільки у даному прикладі ймовірності безвідмовної роботи елементів однакові, ймовірності безвідмовної роботи паралельно з'єднаних елементів розраховують за формулою:
,
тому ймовірність безвідмовної роботи двигуна:
,
ймовірність безвідмовної роботи системи гальмування:
.
Так, ймовірність безвідмовної роботи автомобіля:
За відсутністю ввімкнених паралельно елементів ймовірність безвідмовної роботи дорівнюватиме:
,
тобто буде значно нижчою.
Граничні стани (зноси) деталей, з'єднань складальних одиниць та механізмів машин. Обґрунтування і розрахунок граничного стану дозволяють повніше використати кожну деталь, з'єднання, складальну одиницю і механізм машини при мінімальних витратах коштів.
При знижених граничних станах ресурс сільськогосподарської техніки не використовується повністю, а при завищених можуть виникнути аварійні відмови, зрости простої сільськогосподарської техніки і витрати на її експлуатацію та ремонт.
Зміна стану з'єднань характеризується переважно зносом деталей, а тому граничний стан з'єднань встановлюється за критеріями (ознаками) граничного зносу.
Пропонується розглянути три критерія граничного стану деталей і з'єднань: технічний (безвідмовність, робота без поломок), технологічний (якість роботи) та економічний.
Критерії граничного зносу пропонується встановити залежно від впливу зносу деталі на роботу машини. При цьому розглядаються три випадки (Рис.3.18).
У першому випадку (рис. 3.18, а) в результаті зносу машина не може більше функціонувати, тобто стає непрацездатною. Наприклад, відбувається злам колінчастого вала, поломка поршневого кільця, заїдання зубів шестерень.
Рис. 3.18. Критерії граничного зносу
У другому випадку (рис. 3.18, б) знос приводить до потрапляння в зону інтенсивного виходу з ладу машини та її деталей. При цьому виникають удари, відбувається форсоване зношування поверхонь, зростають вібрації машини, підвищується температура вузлів.
На кривій зносу (залежно від напрацювання) – це період аварійного зношування.
Цей випадок можна проілюструвати на прикладі верхнього поршневого компресійного кільця, вкритого електролітичним хромом. Граничний знос настане в результаті зношування шару хрому і відповідно різкого зростання інтенсивності зношування з'єднання.
У третьому випадку (рис. 3.18, в) через знос характеристики машини виходять за допустимі або запропоновані межі (знижуються точність роботи, продуктивність та коефіцієнт корисної дії, коефіцієнт подачі тощо).
Наприклад, металорізальний верстат не забезпечує необхідної продуктивності й отримання продукції відповідної якості (за точністю і шорсткістю).
При зносі деталей циліндро-поршневої групи двигуна змінюється потужність, питома витрата палива, підвищується витрата мастильного матеріалу, проривання газів у картер, підсилюються стуки.
Двигун може продовжувати роботу, але як тільки стан його з'єднань буде відповідати максимально допустимим змінам його характеристики, цей стан стане граничним.
Насос гідросистеми при граничному стані не забезпечує необхідної подачі.
Граничні зноси основних деталей часто встановлюють на підставі практичних даних експлуатації та ремонту машин окремих марок.
Для визначення напрацювання (ресурсу) t деталі необхідно мати величину її зносу U залежно від напрацювання (рис. 3.19) і значення граничного зносу uгран, оскільки:
, (3.96)
де – випадкова функція, яка характеризує швидкість зношування з'єднання.
Рис. 3.19. Залежність зносу від напрацювання
З іншого боку, , тобто функція, яка залежить від навантаження, швидкості ковзання і технологічних та експлуатаційних факторів.
Допустимі зноси uдоп (рис. 3.20) менші за граничні uгран, оскільки деталь не повинна вийти з ладу протягом наступного міжремонтного напрацювання Т1. За період міжремонтного напрацювання знос деталі збільшується на Т1.
Рис. 3.20. Розрахунок допустимого і граничного зносів деталі
Звідки:
або . (3.96)
Враховуючи, що , де tр – напрацювання до ремонту, який виконується, отримують:
; (3.97)
. (3.98)
Якщо від останнього ремонту даний періодичний ремонт, при якому проводиться дефектування деталей, становить K, то .
Тоді формула для оцінки допустимого зносу матиме вигляд:
; . (3.99)
Приклад 3.11. При мм визначити необхідність відновлення деталі, якщо при третьому періодичному ремонті її знос дорівнював 0,08мм. Розв'язання.
мм
Отже, деталь необхідно відновлювати, хоч її знос і менший за ; вона не може працювати до наступного періодичного ремонту, оскільки менший за величину її фактичного зносу, яка дорівнює 0,08мм.
За значеннями uгран можна визначити напрацювання деталей, які замінюються при періодичному ремонті.
Підставляючи у формулу значення :
,
звідки:
,
або
,
Враховуючи, що – випадкова величина, яка значно залежить від реальних умов експлуатації, спостерігається розсіюванням величини tр, і на практиці користуються ймовірнісними показниками tр, та ін.
Розглянемо ще один приклад визначення граничних і допустимих розмірів або інших контрольних показників технічного стану деталей, з'єднань механізмів, необхідних для дефектації машин, що ремонтуються.
Визначення допустимих зносів деталей і допустимих зазорів з'єднань, які мають недовговічні змінні деталі. На схемі (рис. 3.21) побудовано лінії зносу деталей 1 та 2, які працюють у з'єднанні.
Початковий зазор у з'єднанні деталей Sпоч. Середня інтенсивність (швидкість) зношування деталі 1 характеризується кутом 1 нахилу лінії зносу, а деталі 2 – кутом 2. Граничне напрацювання з'єднання, а отже, і граничний зазор у з'єднанні визначаються аналітично або графічно. На схемі ці показники наведені як вертикальна лінія І–І, граничне напрацювання позначене tгран, а граничний зазор Sгран.
Якщо відомо, через яке напрацювання дане з'єднання обов'язково повторно надійде на ремонтне підприємство на контроль або ремонт, то за наведеною схемою можна встановити допустимий знос обох деталей і допустимий зазор у з'єднанні.
Для цього необхідно ліворуч від вертикалі І–І відкласти значення Т1, яке відповідає міжремонтному напрацюванню, і провести вертикаль II–II. Розмір Sдоп, наведений на цій вертикалі, буде відповідати значенню допустимого зазору у з'єднанні, при якому деталі зі зносом можна без відновлення залишати в машині, оскільки вони відпрацюють ресурс до наступного ремонту. Перетин вертикалі II–II з лінією зносу деталі 1 дозволяє визначити також допустимий її знос uдоп1, а з лінією зносу деталі 2 – допустимий знос uдоп2.
Рис. 3.21. Визначення допустимих зносів деталей і допустимих зазорів у з'єднаннях
Коли граничний зазор у з'єднанні збільшити не можна і за умовами експлуатації з'єднання одна з деталей має більші ресурси і граничний знос (без небезпеки аварії), при ремонті машини працездатність з'єднання відновлюють, замінюючи одну з деталей (наприклад деталь 1). У даному випадку деталь 2 буде мати підвищені граничні й допустимі зноси (uгран2 і uдоп2).
Допустимі та граничні зноси в основних з'єднаннях отримують з використанням даного методу.
Приклад 3.12. Трактор ДТ-75М після ремонту мав напрацювання 2200 мото-год ( мото-год). Вимірюванням товщини зубів шестерен коробки передач встановлено, що мм. Потрібно визначити залишковий ресурс шестерні та його межі надійності при , якщо з технічних умов відомо: початкова товщина зуба ; гранична товщина зуба мм; допустима товщина зуба мм.
Розв'язання. 1. Визначається середня швидкість зношування зубів шестерні при середньому допуску на виготовлення:
мм.
За формулою обчислюють:
мкм/мото-год.
2. Обчислюється середній залишковий ресурс шестерні за рівнянням:
мото-год.
3. Визначаються надійні межі залишкового ресурсу шестерні за формулами для розподілу Вейбулла-Гнеденка:
мото-год;
мото-год.
Контрольні запитання
1. Що таке подія? Які є різновиди подій?
2. Що таке дискретна і неперервна випадкова величина? Навести їх приклади.
3. Що таке ймовірність, які є формули додавання та множення ймовірностей?
4. Які бувають функції розподілу випадкових величин?
5. Що називається щільністю розподілу випадкових величин?
6. Які основні характеристики розподілу випадкових величин?
7. Які закони розподілу випадкових величин найчастіше зустрічаються у надійності?
8. Як визначити основні характеристики (показники) надійності виробів, що не ремонтуються (не відновлюються)?
9. Як розрахувати основні показники надійності виробів, що ремонтуються (відновлюються)?
10. Які показники безвідмовності виробів, що не ремонтуються і ремонтуються? Дати їх визначення.
11. Що править за показник довговічності виробів?
12. Що таке гамма-відсотковий ресурс?
13. Навести основні і додаткові показники ремонтопридатності виробів.
14. Що таке показник збережуваності виробу?
15. Яка залежність між надійністю об'єкта і схемою з'єднання його елементів?
16. Як розраховуються допустимі й граничні розміри деталей і з'єднань?